二元二次方程組解法例題

1、i二元二次方程的解法1.解二元二次方程組的基本思想和方法解二元二次方程組的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，這種轉(zhuǎn)化包含“消元”和“降次”將二元轉(zhuǎn)化為一元是消元，將二次轉(zhuǎn)化為一次是降次，這是轉(zhuǎn)化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程組的關(guān)鍵。2. “二一”型是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組；“二二型是由兩個(gè)二元二次方程組成 的方程組?！岸弧毙头匠探M的解法(1)代入消元法(即代入法)代入法是解“二一”型方程組的一般方法，具體步驟是：1把二元一次方程中的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；2把這個(gè)代數(shù)式代入二元二次方程，得到一個(gè)一元二次方程；3解這個(gè)一元二次方程

2、，求得一個(gè)未知數(shù)的值；4把所求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入二元一次方程，求得另一個(gè)未知數(shù)的值；如果代入二元二次方程求另一個(gè)未 知數(shù)，就會(huì)岀現(xiàn)“增解”的問(wèn)題；5所得的一個(gè)未知數(shù)的值和相應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的值分別組在一起，就是原方程組的解。(2)逆用根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)“二一型二元二次方程組中形如期的方程組，可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的兩個(gè)根，解這個(gè)方程，求得的zi和Z2的值，就是x、y的值。當(dāng)xi=zi時(shí)，yi=Z2;當(dāng)X2=Z2時(shí)，y2=zi，所以原方程組的解是兩組“對(duì)稱解”。 注意：不要丟掉一個(gè)解。此方法是解“二一”型方程組的一種特殊方法，它適用于解“

3、和積形式”的方程組。以上兩種是比較常用的解法。除此之外，還有加減消元法、分解降次法、換元法等，解題時(shí)要注意分析方程的 結(jié)構(gòu)特征，靈活選用恰當(dāng)?shù)姆椒?。注意?i)解一元二次方程、分式方程和無(wú)理方程的知識(shí)都可以運(yùn)用于解“二一”型方程組。(2)要防止漏解和增解的錯(cuò)誤?！岸毙头匠探M的解法(i)當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個(gè)二元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)“二一”型方程組，解得這兩個(gè)“二一”型方程組，所得的解都是原方程組的解。(ii)當(dāng)方程組中兩個(gè)二元二次方程都可以分解為兩個(gè)二元一次方程時(shí)，將第一個(gè)二元二次方程分解所得到的每一個(gè)二元一次

4、方程與第二個(gè)二元二次方程分解所得的每一個(gè)二元一次方程組成新的方程組，可得到四個(gè)二元一次方2程組，解這四個(gè)二元一次方程組，所得的解都是原方程的解。注意：“二一”型方程組最多有兩個(gè)解，“二二”型方程組最多有四個(gè)解，解方程組時(shí)，即不要漏解，也不要增解。x+y=S.(1)二、例題分析：例1.解方程組.7=12(2)分析：仔細(xì)觀察這個(gè)方程組，不難發(fā)現(xiàn)，此方程組除可用代入法解外，還可用根與系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造一個(gè) 以X, y為根的一元二次方程來(lái)求解。2x -8x+12=0.解得X1=2, X2=6.Jt = 2Xj =iI所以原方程組的解是biba =2注意：“二一”型方程組中的兩個(gè)方程，如果是以兩數(shù)和與

5、兩數(shù)積的形式給岀的，這樣的方程組用根與系數(shù)的關(guān)系解是很方便的。但要特別注意最后方程組解的寫法，不要漏掉。|+即=4 (1)解方程是x與2y的和，方程是x與2y的積，-x與2y是方程z2-4z-21=0的兩個(gè)根解此方程得：Z1=-3,Z2=7, 1 = -3=?7特殊型的方程組，可用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解解法一：由(1)得y=8-x.把xi=2代入，得yi=6.把代入，整理得 把X2=6代入，得y2=2.解法二：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：x, y是一元二次方程,pt】=2Xj = 6所以原方程組的解是bi=612 = 2o2z-8z+12=0的兩個(gè)根，解這個(gè)方程，得zi=2, Z2=6.

6、I= -3 .f x - 7 2v =7 2y - -3dW原方程的解是k + y- a說(shuō)明:此題屬于2 2此外Xy=b型的二元二次方程組，也都可以通過(guò)變形用簡(jiǎn)便的特殊解法X2-+4 + J-2/-2-0 Q)31 + 2-11 = 0(2)ll-3z解解法一(用代入法)由得：y= -把代入得4叩創(chuàng)132屮-辦)X2-_+4( - )2+x-1-2=0.2整理得:4x -21x+27=03y，可得到關(guān)于x的一元方程，如果這個(gè)一元方程是一元二次方程，那么就可以根據(jù)根的判別式來(lái)討論。P * 0解：將 代入(1)，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0.(3)你(1)當(dāng) 山胡 時(shí)，方程(3)有兩個(gè)相

7、等的實(shí)數(shù)根即b-4卩-恥=0解得：“1=k=1。當(dāng)k=1時(shí)，原方程組有兩組相等的實(shí)數(shù)根。I(2)當(dāng)時(shí)，方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。即|(2k-4)2-4t20解得：Rvl =1且k電當(dāng)k1且k0時(shí)，原方程組有兩組不等實(shí)根。(3)因?yàn)樵?1)、(2)中已知方程組有兩組解，可以確定方程(3)是一元二次方程，但在此問(wèn)中不能確定方程(3)是否是二次方程，所以需兩種情況討論。9Xi=3X2=乙.把x=3代入得:y=1917把x=代入 得:y=7.原方程組的解為解法二(用因式分解法)2方程(1)可化為(x-2y) +(x-2y)-2=0即(x-2y+2)(x-2y-1)=0 x-2y+2=0或x-2y-1

8、=0原方程組可化為x - 2/ -1 - 0 3x+ 2j-ll =0分別解得:9=417r說(shuō)明:此題為I型二元二次方程組，一般可用代入法求解,當(dāng)求岀一個(gè)未知數(shù)的值代入求另一個(gè)未知數(shù)的值時(shí)要代入到二元一次方程中去求，若針對(duì)二元二次方程的特點(diǎn)，采用特殊解法，則較為簡(jiǎn)便例4.k為何值時(shí)，方程組(1)有兩組相等的實(shí)數(shù)解；護(hù)-4x+1 = 0.(1)二上x+2.。(2)有兩組不相等的實(shí)數(shù)解;(3)沒(méi)有實(shí)數(shù)解。分析：先用代入法消去未知數(shù)如71 =04故只需解下面兩組方程組：3x-4 = Q-1=03(1)? +尸=乃；(2)? + 尸=25。(1)由3x-4y=0，得y= x，代入x2+y2=25,93

9、得x2+WX2=25,X2=16, x=4,即X1=4, X2=-4,將X1和X2代入y=x，得y1=3, y2=-3.解：將式(1)分解因式，得(x+y)(3x-4y)-(3x-4y)=0(2)由x+y-1= 0，得y=1-x，代入x2+y2=25.得x2+(1-x)2=25,整理，得x2-x-12=0,5即(x-4)(x+3)=0,X3=4, X4=-3.當(dāng)X3=4時(shí),y3=-3;當(dāng)X4=-3時(shí)，y4=4.(i)若方程(3)是一元二次方程，無(wú)解條件是,即(2k-4)2-4t20解得:宀0i1。(ii)若方程(3)不是二次方程，則 綜合(i)和(ii)兩種情況可知，當(dāng)k=0，此時(shí)方程 為-4

10、x+1=0，它有實(shí)數(shù)根x= -.k1時(shí)，原方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)根。注意：使用判別式“”的前提條件是能確定方程為一元二次方程，不是一元二次方程不能使用厶例5解方程組2x-3j -1.2jra-3jgi+ja-4z+3j-3-0分析：解二元二次方程組的基本思想是先消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程解之。本題用 代入法消元。(3)將式代入式，得2x2-3x()+(化簡(jiǎn)，得4X2-13X-35=0,即(x-5)(4x+7)=0二xi=5, X2=-.解：由得y=二2-1 2x-l:)2-4x+3(二)-3=0,3將Xi=5代入(3),得yi=3,將X2=-代入 ，得y2二-3x2- 42-+4

11、p =0.(1)例6解方程組X2+JI2=25.在(1)式的等號(hào)左邊分解因式后將二元二次方程轉(zhuǎn)化為即(3x-4y)(x+y-1)=03x-4y=0,或x+y-1=0.分析：此方程組是由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組, 元二次方程。6I】=4 pt? = * Xj - 4 X4 = -3故原方程組的解為：bi =3 = v；U=4例7解方程組呼=*30。x-ji = 17解：原方程組可化為1 = 30，從而由根與系數(shù)的關(guān)系，知x, -y是方程Z2-17Z+30=0的兩個(gè)根廿2”1 -彳巾=15解此方程，得Z1=2，Z2=15。即di二2“，故原方程組的解為U=-15|乃 7。x2-J3=1-（1）

12、例8.解方程組腫，= 0.分析：觀察方程（2），把（x-y）看成整體，那么它就是關(guān)于（x-y）的一元二次方程，因此可分解為（x-y-3）（x-y+1）=0，由此可得到兩個(gè)二元一次方程x-y-3=0和x-y+1=0。這兩個(gè)二元一次方程分別和方程（1）組成兩個(gè)“二一”型的方程組:和 x2-y2=/ -3= 0= 0分別解這兩個(gè)方程組，就可得到原方程組的解。用代入消元法解方程組（1）和（2），分別得:錯(cuò)誤分析：注意不要將（1）式錯(cuò)誤分解為（x+y）（x-y）=1,故而分解為（x-y）=1或者（x+y）=1,這樣做是錯(cuò)的,或x-y+1=O原方程組可化為兩個(gè)方程組: U = 03，原方程組的解為因?yàn)楫?dāng)右

13、邊工0時(shí)，可以分解岀無(wú)窮多種可能，例如（x+y）（x-y）=1還可以分解為x+y=2,x-y= _等等。例9解方程組X2=0.Q/ +4+4/ =1.分析：方程（1）的右邊為零，而左邊可以因式分解，從而可達(dá)到降次的目的。方程 是1，將其兩邊平方，也可以達(dá)到降次的目的。（2）左邊是完全平方式，右邊解：由得-I1二x-y-3=07解這四個(gè)方程組，得原方程組的四個(gè)解是:注意：不要把同一個(gè)二元二次方程分解岀來(lái)的兩個(gè)二元一次方程組成方程組，這樣會(huì)岀現(xiàn)增解問(wèn)題，同時(shí)也不 要漏解。x2+y2=52.(1)xy+x + j* = 34 (2)分析：此方程組是“二二”型方程組，因?yàn)榉匠蹋?）和（2）都不能分解為兩個(gè)二元一次方程，所以需要尋找其它解法。程組具備換元條件，可以用換元法來(lái)解。解:由式，得匚=，設(shè)x+y=u, xy=v（這種換元是解決問(wèn)題的關(guān)鍵），解這個(gè)方程組，得:則原方程組可化為:x=10V = 24解：bJ卻二52u + v = 34無(wú)解例11