金融工程期末案例投資組合優(yōu)化問題

1、二、投資組合優(yōu)化問題2.1案例介紹2.1.1案例情景介紹方正證券股份有限公司（股票代碼：601901）系中國證監(jiān)會核準的第一批綜合類證券公司，為上海證券交易所、深圳證券交易所首批會員。公司為我國中西部最大證券公司，市值規(guī)模、綜合財務(wù)指標和業(yè)務(wù)指標位居上市券商前列。目前，方正證券將自己管理的社?；鹜顿Y于股票市場，經(jīng)過長期的考察與驗證選中8只股票進行投資?，F(xiàn)階段，經(jīng)驗豐富的基金經(jīng)理陳晨，通過優(yōu)化方法構(gòu)造符合具體投資要求的最優(yōu)投資組合。8只股票具體介紹如下：興業(yè)證券股份有限公司（601377 SH）是中國證監(jiān)會核準的全國創(chuàng)新類證券公司和A類A級1證券公司，經(jīng)營范圍包括證券經(jīng)紀、證券投資咨詢、證券承

2、銷與保薦、證券自營、證券資產(chǎn)管理、代辦非上市股份公司股份轉(zhuǎn)讓、與證券交易、證券投資活動有關(guān)的財務(wù)顧問、融資融券、證券投資基金代銷和為期貨公司提供中間介紹業(yè)務(wù)等。中國石油天然氣集團公司（簡稱中國石油集團）是一家集油氣勘探開發(fā)、煉油化工、油品銷售、油氣儲運、石油貿(mào)易、工程技術(shù)服務(wù)和石油裝備制造于一體的綜合性能源公司。2011年在世界50家大石油公司中排名第5位。廣晟有色金屬集團有限公司是一個有色金屬的專業(yè)集團。主要業(yè)務(wù)有，有色金屬的采、選、冶、倉儲物流、期貨交易、進出口貿(mào)易等。主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)有，鎢業(yè)、稀土業(yè)、銅業(yè)和銀錫業(yè)四大產(chǎn)業(yè)。擁有全資、控股企業(yè)30多家，主要分布在廣東、江西、湖南和海南等地。華蘭生物

3、工程股份有限公司(前身為華蘭生物工程有限公司)成立于1992年，是從事血液制品研發(fā)和生產(chǎn)的國家級重點高新技術(shù)企業(yè)，并首家通過血液制品行業(yè)的GMP認證。在全國同行業(yè)企業(yè)中處于領(lǐng)先地位。公司先后承擔(dān)多項國家、省、市級科技攻關(guān)項目。萊寶高科技股份有限公司是專業(yè)研發(fā)和生產(chǎn)中小尺寸平板顯示上游材料的廠商。公司的主導(dǎo)產(chǎn)品包括液晶顯示器用ITO導(dǎo)電玻璃、彩色濾光片（CF）、TFT-LCD面板和具有多點觸摸控制功能的電容式觸摸屏，可提供的中小尺寸平板顯示器件用原材料的解決方案。華能國際電力股份有限公司及其附屬公司在中國全國范圍內(nèi)開發(fā)、建設(shè)和經(jīng)營管理大型發(fā)電廠本公司完成了15億股以人民幣計價的普通股（“A股”）

4、和5億股境外上市普通股（“H股”）的非公開發(fā)行。公司的主要業(yè)務(wù)是利用現(xiàn)代化的技術(shù)和設(shè)備，利用國內(nèi)外資金，在全國范圍內(nèi)開發(fā)、建設(shè)和運營大型發(fā)電廠。鐵龍物流1998年5月在上海證券交易所上市，成為中國鐵路第一家A股上市公司，全力打造以鐵路特種集裝箱運輸為主題，全國性、網(wǎng)絡(luò)型的現(xiàn)代物流企業(yè)。先河環(huán)保一直專注于高端環(huán)境監(jiān)測儀器儀表研發(fā)與生產(chǎn)。公司現(xiàn)有產(chǎn)品主要包括：空氣、水質(zhì)、污水COD、煙氣、酸雨五大在線連續(xù)自動監(jiān)測系統(tǒng)和環(huán)境應(yīng)急監(jiān)測車共計六大產(chǎn)品系列，是國內(nèi)唯一一家全系列產(chǎn)品都完全擁有自主知識產(chǎn)權(quán)的環(huán)境監(jiān)測儀器生產(chǎn)企業(yè)。2.1.2數(shù)據(jù)依據(jù)選定目標股票后投資經(jīng)理陳晨從2011年我國A股市場中搜集8只股

5、票的日收盤數(shù)據(jù)，經(jīng)過excel和eviews軟件的處理得到8只股票的值和方差協(xié)方差的信息，進行，獲得以下數(shù)據(jù)：興業(yè)證券中國石油廣晟有色華蘭生物萊寶高科華能國際鐵龍物流先河環(huán)保股票值1.840.891.321.070.81.671.161.57表1-28只股票的值興業(yè)證券中國石油廣晟有色華蘭生物萊寶高科華能國際鐵龍物流先河環(huán)保標準差3.01%0.98%3.27%2.41%1.90%3.43%2.52%3.80%表1-3 8只股票的方差興業(yè)證券中國石油廣晟有色華蘭生物萊寶高科華能國際鐵龍物流先河環(huán)保興業(yè)證券0.000922 0.000155 0.000370 0.000263 0.000178 0

6、.000372 0.000271 0.000298 中國石油0.000155 0.000102 0.000103 0.000065 0.000055 0.000113 0.000095 0.000087 廣晟有色0.000370 0.000103 0.000958 0.000150 0.000065 0.000313 0.000242 0.000257 華蘭生物0.000263 0.000065 0.000150 0.000617 0.000166 0.000325 0.000228 0.000314 萊寶高科0.000178 0.000055 0.000065 0.000166 0.0003

7、74 0.000181 0.000120 0.000138 華能國際0.000372 0.000113 0.000313 0.000325 0.000181 0.001085 0.000318 0.000453 鐵龍物流0.000271 0.000095 0.000242 0.000228 0.000120 0.000318 0.000649 0.000349 先河環(huán)保0.000298 0.000087 0.000257 0.000314 0.000138 0.000453 0.000349 0.001467 表1-4 8只股票的協(xié)方差假設(shè)無風(fēng)險收益率為4%, 市場組合的風(fēng)險溢價為8%，根據(jù)C

8、APM模型可以計算出8只股票未來一年的預(yù)期收益率：興業(yè)證券中國石油廣晟有色華蘭生物萊寶高科華能國際鐵龍物流先河環(huán)保期望收益率18.72%11.12%14.56%12.56%10.40%17.36%13.28%16.56%表1-1 8只股票的期望收益率2.1.3知識基礎(chǔ)陳晨經(jīng)理一直憑借自身在投資理財、風(fēng)險控制和金融工程方面扎實的知識背景，獲得了突出的基金管理回報表現(xiàn)。在此次投資組合的構(gòu)建中主要運用到了投資組合理論、CAPM模型理論、1.投資組合理論投資組合理論是指，若干種證券組成的投資組合，其收益是這些證券收益的加權(quán)平均數(shù)，但是其風(fēng)險不是這些證券風(fēng)險的加權(quán)平均風(fēng)險，投資組合能降低非系統(tǒng)性風(fēng)險。該

9、理論包含兩個重要內(nèi)容：均值方差分析方法和投資組合有效邊界模型。投資組合理論用均值方差來刻畫這兩個關(guān)鍵因素。所謂均值，是指投資組合的期望收益率，它是單只證券的期望收益率的加權(quán)平均，權(quán)重為相應(yīng)的投資比例。當(dāng)然，股票的收益包括分紅派息和資本增值兩部分。所謂方差，是指投資組合的收益率的方差。我們把收益率的標準差稱為波動率，它刻畫了投資組合的風(fēng)險。2.CAPM模型資本資產(chǎn)定價模型就是在投資組合理論和資本市場理論基礎(chǔ)上形成發(fā)展起來的,主要研究證券市場中資產(chǎn)的預(yù)期收益率與風(fēng)險資產(chǎn)之間的關(guān)系,以及均衡價格是如何形成的?；緟?shù)：E(ri) 是資產(chǎn)i 的預(yù)期回報率；rf 是無風(fēng)險率；im 是Beta系數(shù)，即資產(chǎn)

10、i 的系統(tǒng)性風(fēng)險；E(rm) 是市場m的預(yù)期市場回報率；E(rm) rf 是市場風(fēng)險溢價（market risk premium），即預(yù)期市場回報率與無風(fēng)險回報率之差。2.2問題解答與分析2.2.1問題背景基金經(jīng)理陳晨目前管理的這只基金的總規(guī)模為1000萬人民幣，并投資于上述八支股票所構(gòu)成的投資組合。陳晨需要考慮最優(yōu)的投資組合的收益和風(fēng)險，以期獲得最佳的投資效果。2.2.2問題設(shè)計養(yǎng)老金的投資問題：問題1：已知要求的最低組合期望收益率15%，各只股票所占投資組合比例上限20%，求組合最小方差，以及組合內(nèi)各股票所占比例問題2：已知投資組合所能承擔(dān)的最大風(fēng)險（組合標準差小于2%），以及每只股票占投

11、資組合比例上限（20%），求可能的最高期望收益率，以及各股占投資組合比例問題3：在第一題中，對要求的最低組合期望收益率進行敏感性分析，該收益率變動對組合內(nèi)各只股票的投資比例的影響問題4：社?；馂榱舜_保投資組合的風(fēng)險不至于過高，決定采用仿真方法模擬出整個投資組合的在險價值（VAR），建立仿真模型，模擬每只股票的收益率，進行100次仿真，計算整個組合在5%置信水平下的VAR值（根據(jù)股價隨機游走理論，我們假設(shè)股票價格變化服從幾何布朗運動。于是，根據(jù)伊藤引理有：Si=Sit+Si(t) 其中，Si是股票價格變化；Si是股票的初始價格；是股票的期望收益率；是股票的標準差；t是股票價格變化的時間窗口；是

12、隨機變量，且N(0,1), t設(shè)為1 ）問題5：采用決策樹方法，根據(jù)研究部門的判斷，未來一年宏觀經(jīng)濟樂觀的概率為20%，中性的概率為30%，下滑的概率為50%（先驗概率），根據(jù)概率分布，陳晨要對未來一年投資品種的選擇進行決策，分別運用樂觀準則，悲觀準則，最大可能性準則，貝葉斯決策規(guī)則判斷要選擇的投資品種，并計算全情報價值損益表經(jīng)濟樂觀中性悲觀投資股票20%12%-10%投資債券5%6%8%表1-5 宏觀經(jīng)濟狀況的概率分布問題6：接上題，已知陳晨是風(fēng)險規(guī)避者，其投資于股票和債券的收益和風(fēng)險如下表所示：投資債券國債收益率7.0%方差0投資股票期望收益率15.0%方差0.0003103表2-1 投資

13、目標基本信息其效用函數(shù)為：U(m,s2)=t×1-e-m121-e-112-e100×s2+50 其中m是投資組合的期望值；2是投資方式的方差，用于反映風(fēng)險的程度。t表示投資者對風(fēng)險資產(chǎn)的偏好程度，t值越大表示風(fēng)險偏好程度越大，本題中設(shè)t值為0.45，求其在股票和債券上投入的比例使其預(yù)期效用最大？n問題7：接上題，對不同風(fēng)險偏好程度（t值）的投資者進行敏感性分析，設(shè)t的范圍從0.3-0.6，求其使其效用最高的投資比例變動情況。2.2.3模型介紹已知變量：8只股票的歷史收益率、方差以及它們之間的協(xié)方差矩陣。可變變量：8只股票的投資比例約束變量：1)投資比例之和為1。2)投資比

14、例存在限制。3)投資組合收益率大于一定值，或者投資組合風(fēng)險小于一定值。決策目標：組合投資風(fēng)險或者組合投資收益率。模型簡介：投資過程中風(fēng)險與收益是相對應(yīng)的，投資者不可能同時追求收益最大和風(fēng)險最小。本文的模型主要是在保證組合收益率大于一定值的情況下，使得組合投資風(fēng)險最??；或者是保證組合投資風(fēng)險小于某個值的情況下，投資組合收益率最大。2.2.4假設(shè)條件與題目設(shè)計思路1、前四個問題基本假設(shè)假設(shè)1：投資者希望財富越多愈好，效用是財富的函數(shù)，財富又是投資收益率的函數(shù)，因此可以認為效用為收益率的函數(shù)假設(shè)2：投資者能事先知道投資收益率的概率分布為正態(tài)分布。 假設(shè)3：投資風(fēng)險用投資收益率的方差或標準差標識。 假

15、設(shè)4：影響投資決策的主要因素為期望收益率和風(fēng)險兩項。 假設(shè)5：投資者都遵守主宰原則(Dominance rule)，即同一風(fēng)險水平下，選擇收益率較高的證券；同一收益率水平下，選擇風(fēng)險較低的證券。假設(shè)6：投資組合可以有效地分散投資風(fēng)險。假設(shè)7：股票未來價格水平的變化服從布朗運動。設(shè)計思路題目中前四個問題的設(shè)計以CAPM模型原理為依據(jù)，考慮收益與風(fēng)險的相互關(guān)系，針對不同問題情景的要求進行解答，得出風(fēng)險分散后的最優(yōu)組合。前4個問題符合假設(shè)1-6，第四個問題還滿足假設(shè)7。2、-7問題基本假設(shè)假設(shè)1：未來的期望收益和風(fēng)險是不確定的，難以預(yù)測。假設(shè)2：效用函數(shù)可用于表示對于某項具體投資，投資者的風(fēng)險和收益

16、的偏好。設(shè)計思路后三個問題是不確定性決策問題，不能預(yù)期未來的情況，只能通過估算投資組合在不同的市場情境下的收益與風(fēng)險，根據(jù)投資偏好選擇相應(yīng)的方案。這三個題主要應(yīng)用了決策分析方法，包括樂觀準則、悲觀準則、貝葉斯準則和決策樹等內(nèi)容。2.3問題解答與分析（1）問題1：要求確定這八只證券在投資組合中的持股比例，以保證組合收益率大于15%，每只股票占投資組合比例小于20%的情況下，該投資組合的風(fēng)險最小。最終結(jié)果如下：興業(yè)證券中國石油廣晟有色華蘭生物華能國際萊寶高科鐵龍物流先河環(huán)保Portfolio20.00%20.00%10.55%5.42%5.73%17.93%8.13%12.23%表2-2 投資組合

17、最優(yōu)組合構(gòu)成分布最小方差為0.0003（2）問題2已知投資組合所能承擔(dān)的最大風(fēng)險（組合標準差小于2%），以及每只股票占投資組合比例上限（20%），求可能的最高期望收益率，以及各股占投資組合比例興業(yè)證券中國石油廣晟有色華蘭生物萊寶高科華能國際鐵龍物流先河環(huán)保Portfolio20.00%14.29%17.10%0.00%0.00%20.00%8.61%20.00%表2-3 投資組合最優(yōu)組合構(gòu)成分布最高期望收益率為15.8%（3）問題三該問題為最低要求收益率對投資組合比例的敏感性分析。題目中我們設(shè)定最低收益率的變化區(qū)間為13%16%，每次變化0.1%，通過solver table對其進行求解得出對

18、應(yīng)的組合構(gòu)成比例。 通過分析solver table的運算結(jié)果可得出以下結(jié)論：§ 最優(yōu)投資組合的方差與要求的期望收益率成正比§ 當(dāng)要求的期望收益率變高時，最優(yōu)投資組合配置在高風(fēng)險資產(chǎn)（高值）的比例上升（4）問題四根據(jù)伊藤引理球求解價格變化對原始價格的變化率。sqrt11111111t11111111u0.07%0.04%0.05%0.05%0.04%0.06%0.05%0.06%3.01%0.98%3.27%2.41%1.90%3.43%2.52%3.80%Si/Si-0.45%-0.13%-0.51%-0.37%-0.29%-0.53%-0.38%-0.59%表2-4 股

19、票價格的變化率總投資金額100000005%置信水平下?lián)p失率-4.84%5%置信水平下1天的VAR-483574.8689表2-5 VAR檢驗結(jié)果本題利用仿真技術(shù)，通過NORMINV(RAND(),0,1)函數(shù)取得幾何布朗運動所需的符合標準正態(tài)分布的隨機數(shù)，對投資組合每天的資產(chǎn)變動進行了100次的仿真模擬，結(jié)果顯示在95%的置信度下，4.84%的損失是比較小的可以接受，也說明該投資組合在風(fēng)險控制方面是比較合理的。（因為隨機數(shù)不斷變動，excel表上的實際VAR值可能和word文檔上的數(shù)據(jù)有差異）（5）問題五求解不確定性問題，根據(jù)不同的偏好取向特出不同的決策結(jié)果。原則樂觀悲觀最大可能貝葉斯準則期

20、望20%投資于股票5%投資于債券8%投資于債券7%投資于債券表2-6 不同原則下的決策結(jié)果對以上結(jié)果進行分析，當(dāng)宏觀環(huán)境不夠樂觀的條件下，投資于債券比投資于股票更有利于投資者進行保值增值。全情報收益EP擁有全情報= 11.60%；EP無更多信息=7%；EVPI=EP擁有全情報- EP無更多信息 =4.60%投資額=10000000，最高咨詢費=460000。（6）問題六根據(jù)實際問題選擇合理的效用函數(shù)：，其中0.45為t值(對高收益資產(chǎn)的偏好程度)，在不同的t之下求的不同的組合權(quán)重。當(dāng)t=0.45時，求的結(jié)果：投資債券：國債收益率7.0%41%方差0+股票組合：期望收益率15.0%59%方差0.0003103=1組合期望收益率：11.74%組合方差：0.01%t值投資者的效用49.043840480.45表2-7 t=0.45時的優(yōu)化結(jié)果（7）問題七對t進行敏感性分析:利用solver table求解在不同t之下的條件下對應(yīng)的投資比例，根據(jù)求解結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，t值越大時投資者傾向于增大股票的投資比例，說明t值反映