《復(fù)變函數(shù)與積分變換》期末考試試卷A及答案詳解

1、?復(fù)變函數(shù)與積分變換？期末試題（A）答案及評分標(biāo)準(zhǔn)?復(fù)變函數(shù)與積分變換？期末試題（A）一.填空題（每小題3分，共計15分）R1.上呈3的幅角是(£+2kn,k=0,±1,±2)；2.Ln(-1+i)的主值是23(須2+學(xué))；3.f(z)=1,f(0)=(0)；z-sinz14.z=0是一z一的(一級)極點；5.f(z)=】，Resf(z),g=(-1)；二.選擇題(每小題3分，共計15分)1 .解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的導(dǎo)函數(shù)為(B)；(A)f'(z)=Ux+iUy；(B)f'(z)=Ux-iUy；(C)f'(z)=U

2、x+iVy；(D)f'(z)=Uy+iVx.2 .C是正向圓周z=3,如果函數(shù)f(z)=(D),則(MzVzmO.（A）白；"（C）言十83 .如果級數(shù)ccnzn在z=2點收斂，則級數(shù)在（C）n1（A）z=-2點條件收斂；（B）z=2i點絕對收斂；（C）z=1+i點絕對收斂；（D）z=1+2i點一定發(fā)散.4 .下列結(jié)論正確的是（B）（A）如果函數(shù)f（z）在z。點可導(dǎo),則f（z）在4點一定解析;(B)如果f(z)在C所圍成的區(qū)域內(nèi)解析,則:f(z)dz=0C(C)如果梟f(z)dz=0,則函數(shù)f(z)在c所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；C(D)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

3、在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是u(x,y)、v(x,y)在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù).5 .下列結(jié)論不正確的是(D).1(A)0c為sin的可去可點；g為sinz的本性奇點；z(C)史為彳的孤立奇點；(D)g為的孤立奇點.sin1sinzz三.按要求完成下列各題(每小題10分，共計40分)(1)設(shè)f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2)是解析函數(shù)，求a,b,c,d.ze(2) .計算/二一涓dz其中c是正向圓周：z=2;Cz(z-1)(3)計算：z 315 z(1 z2)2(2 z4)3 dz(4)函數(shù)f (z)=z(z2-1)(z 2)3(z-3)2/ _ 一 3(sin z)在擴

4、充復(fù)平面上有什么類型的奇點？，如果有極點，請指出它的級四、(本題14分)將函數(shù)f(z)=在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù);z(z-1)(1) 0<|z-1<1,(2)0<|z<1,(3)1<|z<8五.(本題10分)用Laplace變換求解常微分方程定解問題y(x)-5y(x)4y(x)=e-xy(0)=y(0)=1六、(本題6分)求f (t) = e pt|(P > 0)的傅立葉變換，并由此證明:xcos tJTe*.按要求完成下列各題(每小題 10分，共40分)(1 ).設(shè) f(z)=x2 + axy + by2 + i(cx2 + dxy + y2)是

5、解析 函數(shù)，求a,b,c,d.解：因為f(z)解析,由C-R條件:v:x2x ay = dx 2y ax 2by= - 2cx - dy,c - - 1,b - -1,a=2,d=2,a=-2c,2b=-d,給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分。ze(2) .計算1;一dz其中c是正向圓周：C(z-1)z解：本題可以用柯西公式柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計算也可用留數(shù)計算洛朗展開計算，僅給出用前者計算過程z因為函數(shù)f(z)=e2在復(fù)平面內(nèi)只有兩個奇點z1=0,z2=1,分別以Zi，Z2(z-1)2z1為圓心畫互不相交互不包含的小圓c1,c2且位于zedz ； z dzC2 (z - 1)z=0

6、ez.(z-1)2:-dz=-C(z-1)zC1zz2-ie2z.(z-1)2共6頁第18頁無論采用那種方法給出公式至少給一半分,其他酌情給分。(3)人15z(1z2)2(2z4)3dz解：設(shè)f(z)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點均在:<3內(nèi)，由留數(shù)定理15zza(iz2)2(2z4)3dz-2二iResf(z),二(5分)11f(-)-2zz,11=2：iResf()2zz(1)15z-(112)2(2(1)4)3z2zz(8分)z(1z2)2(2z41)3有唯一的孤立奇點z=0,11Resf(-)?,0=iim(1z2)2(2z41)3=115zqz丸1z2)2(2z4)odz2二i3(10

7、分)(4)函數(shù)f(z)=z(z2-1)(z2)(sin二z)332-(z-3)在擴充復(fù)平面上有什么類型的奇點？，如果有極點，請指出它的級.解f(z)=z(z2-1)(z2)3(z-3)2(sin二z)3的奇點為z=k,k=0,±1,±2,±3,，g(1)=k,k=0，士1,士2,士3,為(sisinz)3=0的三級零點,(2)z=0,z=±1,為f(z)的二級極點，z=-2是f(z)的可去奇點,(3)z=3為f(z)的一級極點,(4)z=2,-3，土4，為f(z)的三級極點;(5)g為f(z)的非孤立奇點。備注:給出全部奇點給5分，其他酌情給分。1四、(

8、本題14分)將函數(shù)f(z)=在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù);z(z-1)(1)0<z-1<1,(2)0<|z<1,(3)1<|z<8解：(1)當(dāng)0<z1<1f(z)=z2(z-1)(z-1)(z-11)而(z-11)=(")n(z-1)nn=0一(-1)nn(z-1)nn=0f(z)=n 1n -2' (-1) n(z-1)n =0當(dāng)0 <|z：1f(z)=z2(z-1)z2(1 - z)12zn=0(3)當(dāng) 1 < znWzn =010f(z)=z2(z-1)31 z (1)zf (z)= (1)n=0 zn=0 zn

9、 ,314每步可以酌情給分。五.(本題10分)用Laplace變換求解常微分方程定解問題:；y"(x) 5y(x) +4y(x)=-x e、y(0)=1=y'(0)=1解：對y(x)的Laplace變換記做L(s),依據(jù)Laplace變換性質(zhì)有(5分)s2L(s)-s-1-5(sL(s)-1)4L(s)=整理得八、L(s)=(s1)(s1)(s4)s-110(s1)10(s1)1.xy(x)=e106(s-1)15(s-4)s-16(s-1)15(s-4)x14x一e15(6分)求f(t)=e邳(P>-,cost-He解：F()=e-nOF()=eeJ-i)teF(卜f

10、二2-JI（7分）（10分）0）的傅立葉變換，并由此證明:Jte-tdt(0)oe4te'dt(0)Hocdt°e(：0)-0(-0)(P>0)4分1力eitF()d(2>0)5分_-：eit2d(0)2.2(costisint)d(-0)f(t)=二costsintd(0)二,0二cost2曲(P>0),七ccost兀2T?復(fù)變函數(shù)與積分變換？期末試題(B)一.填空題(每小題3分，共計15分)二.1.亨的幅角是()；2.Ln(-+i)的主值是()；3.a=(),22一22、f(z)=x+2xy-y+i(ax+2xy十y)在復(fù)平面內(nèi)處處解z-sinz1析.4

11、.Z=0是3的()極點；5.f(z)=一,zzResf(z),00=()；二.選擇題(每小題3分，共計15分)1.解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的導(dǎo)函數(shù)為()；(A)f'(z)=Uy+乂；(B)f'(z)=Uxiuy；(0f'(z)=Ux+ivy；(D)f'(z)=Ux+iUy.2. C是正向圓周z=2,如果函數(shù)f(z)=(),則可 f (z)dz = 0 . ' C(A)3；z -1(B)3zz -1(C)3z(z-1)2(D)(z-1)23.如果級數(shù)ZCnzn在z=2i點收斂,則級數(shù)在n1(A)z=-2點條件收斂；(B)z=-2i點絕

12、對收斂；(C)z=1+i點絕對收斂；(D)z=1+2i點一定發(fā)散.4.下列結(jié)論正確的是()(A)如果函數(shù)f(z)在zo點可導(dǎo),則f(z)在zo點一定解析;(B)如果1f(z)dz=0,其中C復(fù)平面內(nèi)正向封閉曲線,則f(z)在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；(C)函數(shù)f(z)在z°點解析的充分必要條件是它在該點的鄰域內(nèi)一定可以展開成為z-z0的幕級數(shù)，而且展開式是唯一的；(D)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是u(x,y)、v(x,y)在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù).5.下列結(jié)論不正確的是().(A)、z是復(fù)平面上的多信函數(shù)；(B)、cosz是無界函數(shù);(C)、s

13、inz是復(fù)平面上的有界函數(shù)；(D)、ez是周期函數(shù).按要求完成下列各題(每小題8分，共計50分)(1)設(shè)f(z)=u(x,y)十i(x1z 一 z_(3) .計算久二萬dz,其中C是正向圓周|z = 2;+g(y)是解析函數(shù)，且f(0)=0,求g(y),u(x,y),f(z)(2) .計算1Cz(z2 1)(z-i)2dz .其中C是正向圓周z =2 ；(4).利用留數(shù)計算C(z_1)(z_2)2dz.其中C是正向圓周|z = 3;23.,、z(z-1)(z2)(5)函數(shù)f(z)=7,.、3在擴充復(fù)平面上有什么類型的奇點？，如果(sinz)有極點，請指出它的級.、二1,四、(本題12分)將函數(shù)

14、f(z)=-在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù);z(z-1)(1) 0c z-1(2) 0< |z < 1 , 1Mlz .五.（本題10分）用Laplace變換求解常微分方程定解問題y (x)-5y(x) 4y(x) = e" y(0) = y(0) = 1六、（本題8分）求f（t）=e別。 0）的傅立葉變換，并由此證明:-Xcos t . nd 022：e一中?復(fù)變函數(shù)與積分變換?期末試題簡答及評分標(biāo)準(zhǔn)（B）.填空題（每小題3分，共計15分）1 i 八一1 T的幅角是（-2k二* = 0 _1,_2, 4）；2. Ln（7 i）的主值是/ 1一 二、(-ln 2 -i );2

15、43.f (。)=(0z - sin z4. f(z) = -3 zResf(z),0二(0)； 5.Res f (z),°° =(二.選擇題（每小題3分，共計15分）1-5 A A C C C.按要求完成下列各題（每小題 10分，共計40分）(1)求 a,b,c, d 使 f (z) = x2 + axy + by2 + i(cx2 + dxy + y2）是解析函數(shù),解：因為f（z）解析，由C-R條件LLu vLLLLx y y x2xay=dx2yax2by=-2cx-dy,a=2,d=2,a=-2c,2b=-d,c=-1,b=-1,給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，

16、結(jié)果正確2分。1,(2).0八2dZ.其中C是正向圓周z(z一I)解：本題可以用柯西公式柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計算也可用留數(shù)計算洛朗展開計算,僅給出用前者計算過程因為函數(shù)f(z)=在復(fù)平面內(nèi)只有兩個奇點z1=0,z2=1,分別以Zi，Z2(z-1)z圓心畫互不相交互不包含的小圓Ci，C2且位于1(z-1)2zdz zC2 (z - 1)2 dz=2吧'z12 i 2 (z-1)2二 0z -013 z z ez(3)計算+；一； C (1 - z)dz,其中C是正向圓周z=2；解：設(shè)f(z)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點均在:z <2 內(nèi),由留數(shù)定理向 f (z)dz= -2叫 Resf (z

17、)產(chǎn)=2ic(5分)1 <|z :二二13 z z ez(1 一 z)1 z2ez 二 z- z2(12! z23! z3111)(1 - z z z=一 (z21r- -r2!3!z 4!z112)(11-2zzc< = 一(112! 3!ff(z)dz=82ni.zF3一、(z2-1)(z2)3(4)函數(shù)f(z)='八3'在擴充復(fù)平面上有什么類型的奇點？，如果有(sin二z)極點，請指出它的級.f(z)的奇點為z=k,k=0,±1,±2,±3,，8z=k,k=0，土1注2注3，為(sinnz)3=0的三級零點，z=±1,為

18、f(z)的二級極點，z=-2是f(z)的可去奇點,z=0,2,-3,±4，為f(z)的三級極點；出為f(z)的非孤立奇點。給出全部奇點給5分。其他酌情給分、二1,四、(本題14分)將函數(shù)f(z)=-在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù);z(z1)(1)0<|z+1<1,(2)0Mlz<1,(3)1<|z<00(1)0<|z+1<1,(2)0<z<1,(3)1<|z<8解：(1)當(dāng)0<z+1<1f (z)=12z (z 1)(z11)(1-(1z1)=L.而/d / 八(1 -(z 1)QOQO=(z 1)n = " n(z 1)n-1n =0