數(shù)列的通項和求和

1、課時訓練19 數(shù)列的通項與求和【說明】 本試卷滿分100分，考試時間90分鐘.一、選擇題（每小題6分，共42分）1.數(shù)列an的前n項和Sn=2n2-3n+1,則a4+a5+a6+a10等于（ ）A.171 B.21 C.10 D.161【答案】D【解析】原式=S10-S3=2×102-3×10-(2×32-3×3)=161.2.數(shù)列an的通項公式是an=，若前n項和為10，則項數(shù)n為（ ）A.11 B.99 C.120 D.121【答案】C【解析】因an=，故Sn=(-1)+(-)+()=-1,由Sn=10,故n=120.3.數(shù)列an的通項公式為an=4

2、n-1,令bn=,則數(shù)列bn的前n項和為（ ）A.n2 B.n(n+2) C.n(n+1) D.n(2n+1)【答案】B【解析】an=4n-1,數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1=4-1=3,bn=2n+1.顯然數(shù)列bn是等差數(shù)列，且b1=2+1=3，它的前n項和Sn=b1+b2+bn=n(n+2).4.數(shù)列1，（1+2），（1+2+22），（1+2+22+2n-1）,的前n項和等于（ ）A.2n B.2n-n C.2n+1-n-2 D.n·2n【答案】C【解析】令n=1,排除A、D，又令n=2，排除B.選C.5.數(shù)列1，的前n項和等于( )A.Sn=3- B.Sn=3-1-C.Sn=3-

3、D.Sn=3-n2n-【答案】A【解析】令Sn=1+, 則Sn=+. -得Sn=1+=1+=.Sn=3-,故選A.或者用特殊法.6.Sn=1+等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】an=,Sn=2(1-)+(-)+()=2(1-)=.7.(2010全國大聯(lián)考，10)已知數(shù)列an滿足an=則an的前2k-1項的和為( )A.k2-k+1- B.k2+k+1-C. D.【答案】A【解析】取k=1，S1=，排除B、C；取k=2,S3=,排除D。二、填空題（每小題5分，共15分）8.已知數(shù)列an的前n項和Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),那么S15+S22-S

4、31的值為_.【答案】-76【解析】S15=1-5+9-13+57=1+(9-5)+(17-13)+(57-53)=29,同理可得：S22=-44，S31=61,S15+S22-S31=-76.9.(2010湖北八校模擬，14)數(shù)列an中，Sn是前n項和，若a1=1,an+1=Sn(n1),則an=_.【答案】an=【解析】an+1=Sn, an=Sn-1. -得an+1-an=an,(n2).a2=S1=×1=,當n2時，an=×()n-2.an=10.數(shù)列an滿足a1=,a1+a2+an=n2an,則an=_.【答案】(nN*)【解析】a1+a2+an=n2an a1+

5、a2+an+an+1=(n+1)2·an+1. -得an+1=(n+1)2an+1-n2an,.an=a1···.三、解答題（1113題每小題10分，14題13分，共43分）11.求a+2a2+3a3+nan.【解析】設S=a+2a2+3a3+nan.若a=0,則S=0；若a=1,則S=;若a0,且a1,則S=a+2a2+3a3+nan, aS=a2+2a3+(n-1)an+na n+1 -得（1-a）S=a+a2+an-nan+1=-nan+1.S=.12.(2010湖北黃岡中學模擬，17)已知等比數(shù)列an中，a1=64,公比q1,a2,a3,a4又分

6、別是某等差數(shù)列的第7項，第3項，第1項.(1)求an;(2)設bn=log2an,求數(shù)列|bn|的前n項和Tn.【解析】（1）依題意有a2-a4=3(a3-a4)，即2a4-3a3+a2=0,2a1q3-3a1q2+a1q=0，即2q2-3q+1=0.q1,q=.故an=64×()n-1,(2)bn=log264×()n-1=log227-n=7-n，|bn|=n7時，Tn=;n7時，Tn=T7+=21+，故Tn=13.(2010中科大附中模擬，19)等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前n項和為Sn,且a1,a3,a9成等比數(shù)列，S5=a52;(1)求數(shù)列an的通項公式；（2）若數(shù)列

7、bn滿足bn=,求數(shù)列bn的前99項的和.【解析】(1)設數(shù)列an公差為d(d0),a1,a3,a9成等比數(shù)列,a32=a1a9,(a1+2d)2=a1(a1+8d),d2=a1d. d0,a1=d.Sn=a52,5a1+·d=(a1+4d)2. 由得：a1= d=,an=+(n-1)×=n.bn=.b1+b2+b3+b99=99+(1-)+(-)+()=(100-)=.14.設數(shù)列an的前n項和為Sn，若對于任意的nN*,都有Sn=2an-3n,(1)求數(shù)列an的首項與遞推關系式an+1=f(an);(2)先閱讀下面定理，若數(shù)列an有遞推關系an+1=Aan+B,其中A、B為常數(shù)，且A1,B0,則數(shù)列an-是以A為公比的等比數(shù)列，請你在第（1）題的基礎上應用本定理，求數(shù)列an的通項公式;(3)求數(shù)列an的前n項和Sn.【解析】(1)Sn=2an-3n,Sn+1=2an+1-3(n+1).an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3.故an+1=f(an)=2an+3.(2)an+1+3=2(an+3