第二章-從Maxwell方程組到光波導理論(共60頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二章 從Maxwell方程組到光波導理論光是一種特殊波段的電磁波，它在波導中傳輸滿足電磁場的基本方程Maxwell方程組。這一章中，我們將從Maxwell方程組出發(fā)，建立光在波導中傳輸?shù)碾姶挪ɡ碚撆c幾何光學理論，進而討論光在波導中的傳輸行為。§2.1 Maxwell方程組19世紀60年代，英國物理學家麥克斯韋（James Clerk Maxwell，18311879）在法拉第、高斯等人對電磁現(xiàn)象深入研究的基礎上，加上他自己對電磁現(xiàn)象與力學的類比，提出了渦旋電場和位移電流假設，建立起一組完整的定量描述宏觀電磁現(xiàn)象的基本方程，即著名的Maxwell方程組。根據(jù)

2、這組基本方程，麥克斯韋預言了電磁波的存在，并指出光波就是波長極短的電磁波，從而使人類對光的本質(zhì)的認識向前邁進了一大步，也在物理學發(fā)展史上建立了一座新的里程碑。迄今為止，除了光發(fā)射與吸收必須用量子理論才能圓滿解釋外，麥克斯韋的經(jīng)典電磁理論仍是分析光波傳輸問題的理論基礎。2.1.1 Maxwell方程組宏觀電磁現(xiàn)象可以用電磁場來描述。真空中的電磁場由電場強度和磁感應強度來描述。而為描述場對物質(zhì)的作用，如光在透明介質(zhì)中傳播，則需再引入電位移矢量和磁場強度。在電磁場中每一點，這些矢量隨時間和空間的變化關系由Maxwell方程組給出（2.1.1a）（2.1.1b）（2.1.1c）（2.1.1d）式中，為

3、介質(zhì)中的傳導電流密度；為自由電荷密度。（2.1.1）式中四個方程不是獨立的，如果認為電流連續(xù)方程（2.1.2）是獨立方程，則c、d兩式可由a、b兩式推出。為了從（2.1.1）式完全確定電磁場量，尚需給出、與、的關系，即物質(zhì)方程（2.1.3a）（2.1.3b）（2.1.3c）式中，為介質(zhì)的電導率，對良好介質(zhì)可以認為近似為零；和分別為真空的介電常數(shù)和磁導率；稱為介質(zhì)的極化強度；稱為介質(zhì)的磁化強度。對于電各向異性介質(zhì)，電極化強度可以寫成（2.1.4）其中是i+1階張量。如果除外，其余的元素均為零，則稱此介質(zhì)為線性介質(zhì)，否則為非線性介質(zhì)。對于各向異性線性介質(zhì)，總可以選擇合適的坐標系使（2.1.5）若、

4、均不相等，稱為雙軸晶體；若其中只有兩個相等，稱為單軸晶體；若三個都相等，即，可以用標量表示，從而得到（2.1.6）（2.1.7）其中為相對介電常數(shù)。由于一般傳光介質(zhì)均為非磁性介質(zhì)，從而（2.1.8）滿足（2.1.7）及（2.1.8）式的介質(zhì)稱為各向同性線性介質(zhì)，如未作特殊說明，本書所涉及的介質(zhì)均為此種介質(zhì)。通過上面的講述我們可以看出，Maxwell方程組雖然給出了電磁場的基本規(guī)律，但由于介質(zhì)和場量的復雜性，使得求解并不容易。考慮物質(zhì)方程，可以降低求解難度。首先，通過線性各向同性介質(zhì)假設降低了介質(zhì)的復雜程度；其次，通過物質(zhì)方程可以使求解的場量由4個（、）變?yōu)?個（、）。但是，介質(zhì)和場量均是時間t

5、與空間位置（x，y，z）的函數(shù)，方程仍很復雜。先在時間上將場量簡化。引入傅里葉變換（2.1.9a）（2.1.9b）式中，可代表所有場分量的時域表達式；則為其頻域表達式。從（2.1.9b）式可以看出，任意時域場分量都可以分解成多個頻域分量。在良好介質(zhì)（，）中，且介質(zhì)的性質(zhì)不隨時間變化（定態(tài)假設），則各個頻率的場量均滿足頻域中的Maxwell方程組（2.1.10a）（2.1.10b）（2.1.10c）（2.1.10d）若不涉及色散或非線性傳輸?shù)扰c頻率有關的現(xiàn)象，對于某一工作頻率，式中、僅是空間位置（x，y，z）的函數(shù)，而時域中的電磁場量可根據(jù)（2.1.9a）式疊加而成。再考慮場量在空間上能否簡化。

6、若介質(zhì)均勻，即不隨空間位置（x，y，z）變化，則（2.1.10d）式可化為，問題顯然簡單了很多。但大多數(shù)情況是，僅在某一局域為常數(shù)，因此我們接下來討論電磁場的邊界條件，即兩局域交界面處電磁場的聯(lián)系。2.1.2 電磁場邊界條件Maxwell方程組（2.1.1）式描述的是電磁性質(zhì)、為位置坐標的連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)中電磁場的基本規(guī)律。而當介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生突變時，由于導數(shù)不存在，所以（2.1.1）式不再適用。此時需將（2.1.1）式改成積分形式（2.1.11a）（2.1.11b）（2.1.11c）（2.1.11d）式中和的積分路徑L分別為（2.1.11a）和（2.1.11b）兩式右端面積分區(qū)域S的邊界；而和在

7、閉合曲面上面積分的積分區(qū)域S分別為（2.1.11c）和（2.1.11d）兩式右端體積分區(qū)域V的外表面。將（2.1.11a）和（2.1.11b）式應用于圖2.1.1(a)所示的窄條型回路，可得到（2.1.12a）（2.1.12b）（2.1.12）式說明，兩介質(zhì)分界面處電場強度切向連續(xù)，而磁場強度的切向分量在邊界面上的突變?nèi)Q于界面上的傳導面電流密度。再將（2.1.11c）和（2.1.11d）式應用于圖2.1.1(b)所示的扁平區(qū)域，可得到（2.1.13a）（2.1.13b）上式說明，兩介質(zhì)分界面處磁感應強度的法向分量連續(xù)，而電位移矢量的法向分量突變?nèi)Q于界面上的自由面電荷密度。對于非導電介質(zhì)，其

8、表面面電荷密度，面電流密度，因而可將（2.1.12）和（2.1.13）式合并寫成（2.1.14a）（2.1.14b）（2.1.14c）（2.1.14d）即電場強度和磁場強度切向連續(xù)，磁感應強度和電位移矢量法向連續(xù)。根據(jù)Maxwell方程組、物質(zhì)方程及邊界條件即可以確定所有電磁場量。由于Maxwell方程組是偏微分方程組，還需要在適當?shù)臈l件下進一步消元，化簡為偏微分方程。2.1.3 波動方程和Helmholtz方程良好介質(zhì)中、，如果介質(zhì)為均勻、各向同性、線性介質(zhì)，則為常數(shù)。在上述兩條件下，將（2.1.1a）和（2.1.1b）式取旋度，并注意到，可得（2.1.15a）（2.1.15b）式中，為真空

9、中光速；為介質(zhì)的折射率。（2.1.15）式即為線性、均勻、各向同性介質(zhì)中的波動方程，它的解即為波速為的電磁波。在頻域中，所有場量都是以角頻率振蕩的正弦量，因而其波動方程為（2.1.16a）（2.1.16b）式中（2.1.17）（2.1.16）式稱為Helmholtz方程。對于非均勻的各向同性線性介質(zhì)，因為（2.1.18）可得（2.1.19）從而得到（2.1.20a）（2.1.20b）式中，是位置的函數(shù)，如果介質(zhì)的折射率或相對介電常數(shù)隨位置變化得較為緩慢，即滿足，則稱這種介質(zhì)為緩變介質(zhì)，于是（2.1.20）可化簡為（2.1.21a）（2.1.21b）上式雖然形式上與(2.1.16)式相同，但二者

10、有著重要區(qū)別，即(2.1.21)式中的折射率n是空間位置的函數(shù)，因而其求解也就要困難得多。在分析光波導中光波的傳播時，我們既會遇到均勻介質(zhì)，又會遇到非均勻介質(zhì)，但光波導中介質(zhì)的非均勻性總滿足緩變條件。因而（2.1.16）和（2.1.21）式是我們分析光波導中光波傳播的基礎。Helmholtz方程是一元二階偏微分方程，與Maxwell方程組相比要簡化了許多。但由于場量和都是矢量，所以每一個矢量方程都相當于三個標量方程，即Helmholtz方程仍有簡化的可能。一方面，我們可以根據(jù)介質(zhì)的對稱性，選擇合適的坐標系，利用各分量之間的關系，將Helmholtz方程化簡為標量方程，如第2.2節(jié)和第3章。另一

11、方面，我們可以將一個矢量函數(shù)在合理的情況下簡化為常矢量和標量函數(shù)的乘積，進而將Helmholtz方程化簡為標量方程，下面就主要對此進行論述。2.1.4 均勻平面電磁波根據(jù)定態(tài)波假設，電磁波的振幅僅是空間位置的函數(shù)，相位是時間和空間的線性函數(shù)（2.1.22）式中是波的振幅矢量。略去后（2.1.23a）（2.1.23b）式中，稱為波矢，方向為波的相速方向，大小為，即波的相位常數(shù)；和分別是波的電場和磁場振幅矢量，與和一樣，僅是空間位置的函數(shù)。尤其在無界均勻各向同性線性介質(zhì)中，對于均勻平面電磁波，、和都是常矢量。令（2.1.24）式中C為任意常數(shù)。上式在空間描述出一組平面，稱為波的等相位面。(1)均勻

12、平面電磁波是TEM波將（2.1.23）式代入（2.1.10）式，得（2.1.25a）（2.1.25b）（2.1.25c）（2.1.25d）式中，為介質(zhì)的波阻抗，為波矢的單位矢量。上式說明無界介質(zhì)中的均勻平面電磁波是TEM波，、和三者相互垂直，和相位始終一致。(2)均勻平面電磁波的相速和群速平面電磁波相位傳播的速度稱為相速（2.1.26）而能量傳播的速度稱為群速（2.1.27）對于均勻平面波，。如果介質(zhì)折射率n與頻率無關，則（2.1.28）即對于均勻無色散介質(zhì)，其中傳播的平面電磁波的相速與群速相等，且與波源的頻率無關，僅與介質(zhì)的折射率有關。(3)均勻平面電磁波的偏振態(tài)平面電磁波的偏振態(tài)是指電場強

13、度矢量或磁場強度矢量的空間取向隨時間的變化情況。平面電磁波的偏振態(tài)包括：自然光、部分偏振光、線偏振光、橢圓偏振光和圓偏振光，共5種。其中，線偏振光、橢圓偏振光和圓偏振光統(tǒng)稱為完全偏振光，自然光也稱為非偏振光。自然光和部分偏振光都可以看成多個完全偏振光的混合，因此下面我們著重討論完全偏振光。任意場矢量總可以寫成沿兩個特征方向的分矢量之和，即（2.1.29）式中，、為與波傳播方向垂直的兩個相互正交的單位矢量，；和分別為和方向上的振幅；和分別為和方向上的相位因子。當時分別為一、三和二、四象限的線偏振態(tài)。當且時分別為右旋和左旋圓偏振態(tài)。更一般的情況下，波呈橢圓偏振態(tài)，時為右旋偏振態(tài)，而時為左旋偏振態(tài)。

14、需要指出，這里關于旋向的定義與工程電磁理論中的規(guī)定一致，而與一般的光學教科書中的剛好相反。（2.1.29）式說明，任何一種完全偏振態(tài)都可以看成兩個具有確定相位差和振幅比的線偏振態(tài)的疊加。同樣，在研究旋光現(xiàn)象時，我們也可以將它看成是兩個旋向相反的圓偏振光的疊加，即（2.1.30）式中，、分別為左旋和右旋圓偏振態(tài)的振幅。若，則代表線偏振態(tài)；若，則代表橢圓偏振態(tài)；若、其中之一為零，則為圓偏振態(tài)。為了方便，在研究偏振態(tài)時，常引進Stokes參數(shù)。四個Stokes參數(shù)的定義是（2.1.31a）（2.1.31b）（2.1.31c）（2.1.31d）顯然，四個Stokes參數(shù)不是獨立的，（2.1.32）如果

15、以、為直角坐標系中的x、y、z坐標，則當為常數(shù)時，決定了一個球面，這個球面稱為Poincaré球。Poincaré球面上的點與完全偏振態(tài)一一對應，如圖2.1.2所示。如果測得Stokes參數(shù)的變化規(guī)律，則可確定光波的偏振態(tài)變化規(guī)律，這為測定單模光纖傳輸系統(tǒng)的偏振態(tài)色散提供了理論基礎。2.1.5 平面電磁波的反射和折射與2.1.2類似，當介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生突變時，平面電磁波將在不同介質(zhì)分界面處發(fā)生反射和折射，如圖2.1.3所示。根據(jù)分界面兩側(cè)滿足的邊界條件，可得兩種介質(zhì)中入射波、反射波和折射波之間的運動學關系：(1)入射光、反射光和折射光共面，即、和共面；(2)反射角等于入射角，

16、即；(3)Snell定律:,其中、為兩種介質(zhì)的折射率。入射波、反射波和折射波之間的動力學關系：(1)對于平行偏振態(tài)，即電場矢量與入射面平行的線偏振態(tài)，其振幅反射和透射率分別為（2.1.33a）（2.1.33b）(2)對于垂直偏振態(tài)，即電場矢量與入射面垂直的線偏振態(tài)，其振幅反射和透射率分別為（2.1.34a）（2.1.34b）（2.1.33）和（2.1.34）式統(tǒng)稱為Fresnel公式。s分量始終垂直紙面向內(nèi)，p、s、k成右手系。由Snell定律可知，當時，折射角大于入射角，有可能發(fā)生全反射。全反射的臨界角（2.1.35）當時，折射光將與界面平行；當時，折射光消失，從而發(fā)生全反射。由（2.1.3

17、3a）式可知，如果以Brewster角入射（2.1.36）則平行偏振態(tài)的反射率為零，即無論入射光的偏振態(tài)如何，均只有垂直偏振態(tài)反射。即以Brewster角入射時，反射光總為線偏振光，因此Brewster角又稱為起偏角。2.1.6 電磁波理論的短波長極限幾何光學理論光波是頻率極高的電磁波，即波長極短。在光纖通信與光纖傳感中常用近紅外光波作為信號的載體，其頻率在左右，波長在1m左右。這種近紅外光波的波長比起一般光學系統(tǒng)的尺寸要小很多，因而可以可以忽略光波波長的有限大小的尺度，近似認為光沿光線傳播，從而形成研究光傳播規(guī)律的另一分支幾何光學。幾何光學的理論早在古希臘時期就已形成，其歷史與歐幾里得幾何一

18、樣悠久，要遠早于波動光學。幾何光學的基本方程程函方程（eikonal equation）也完全可以從變分原理得到，而不必借助Maxwell電磁理論。本書中為了將光的傳播理論統(tǒng)一在電磁理論的框架之內(nèi)，將幾何光學理論看成電磁波理論的短波長極限。幾何光學的優(yōu)點是：理論模型簡單直觀、物理概念清晰、易于理解，所以對于初學者理解光在波導中傳輸及分析多模光波導都有著重要意義。但因為幾何光學是電磁波理論的短波長極限，所以幾何光學所得到的結(jié)果具有局限性，僅適于分析幾何尺度遠大于波長的情形。具體地說，幾何光學理論只能用來分析多模光波導；而橫向尺度與工作波長可比擬的單模光波導就只能波動理論才能得到正確的結(jié)果。(1)

19、幾何光學基本規(guī)律程函方程程函方程描述了光波的幾何波陣面的運動規(guī)律。在各向同性的非磁性介質(zhì)中，頻域中的Maxwell方程組為（2.1.37a）（2.1.37b）（2.1.37c）（2.1.37d）在各向同性均勻介質(zhì)中，均勻平面電磁波的電場和磁場強度可表為（2.1.38a）（2.1.38b）上式描述了一個沿方向傳播的均勻平面波，其波陣面是與垂直的平面族。更一般的情況下，介質(zhì)的電磁性質(zhì)不均勻，即其折射率是空間位置的函數(shù)。一般說來，在此情況下，已不存在均勻平面波解。非均勻介質(zhì)中Maxwell方程組的試探解可以寫成（2.1.39a）（2.1.39b）式中振幅矢量和都是位置的函數(shù)，而稱為光程函數(shù)。（2.1

20、.39）式代入（2.1.37）式得（2.1.40a）（2.1.40b）（2.1.40c）（2.1.40d）式中，是自由空間的波阻抗。在電磁波的波長趨于零，即趨于無窮的短波長極限情形下，（2.1.40）的右端都可以忽略，從而有（2.1.41a）（2.1.41b）（2.1.41c）（2.1.41d）由（2.1.41c）和（2.1.41d）式可以看出，電場強度矢量和磁場強度矢量都與矢量相垂直。如果令常數(shù)，則可以得到一系列曲面，這些曲面就是波的等相位面或等程函面。由于和都與等程函面法向垂直，且和也相互垂直，所以在折射率不均勻的介質(zhì)中波長極短的電磁波仍是橫電磁波，即TEM波。將（2.1.41b）式代入（

21、2.1.41a）式，得（2.1.42）利用矢量恒等式及（2.1.41d）式，得（2.1.43）由于電場強度矢量不能處處為零，因而有（2.1.44）上式即為程函方程，它是幾何光學的基本方程。另外，程函方程也可由費馬原理得到。費馬原理指出，介質(zhì)中任意兩點間的光線的實際傳播路徑為這兩點間光程變分為零的路徑。即、兩點間實際路徑所滿足的方程必是變分問題（2.1.45）的Hamilton-Jacobi方程，即程函方程。詳細的推導可參閱M.Born與E.Wolf合著的光學原理第3章。(2)光線的傳播路徑射線方程前面我們定義了等相位面，與之正交的軌跡稱為光線。即（2.1.46）式中是光線傳播路徑切線方向上的單

22、位矢量，即光線的傳播方向，如圖2.1.4所示。根據(jù)程函方程（2.1.44）式，又可以得到，于是（2.1.47）將上式對路程s求導，得（2.1.48）交換右端的求導次序，得（2.1.49）由于，故（2.1.50）再利用（2.1.47）式，得（2.1.51）上式即為折射率分布為的介質(zhì)中的射線方程。射線方程在研究其它波線乃至流線中都有著廣泛的應用，因此也稱流線方程或射流方程。(3)應用舉例例1 光線在均勻介質(zhì)中傳播?！窘狻烤鶆蚪橘|(zhì)中n=常數(shù)，因而，所以（2.1.52）積分上式即可解得（2.1.53）式中和是兩個常矢量，s是路徑的長度。（2.1.53）式是一個直線方程，說明光線在均勻介質(zhì)中沿直線傳播。

23、矢量表示光線的起始位置，矢量表示光的傳播方向，如圖2.1.5所示。例2 光線在球?qū)ΨQ折射率分布介質(zhì)中傳播【解】所謂球?qū)ΨQ分布是指在球坐標系下，折射率僅是r的函數(shù)，即（2.1.54）所以（2.1.55）再由射線方程（2.1.51）式，得（2.1.56）將上式兩端得（2.1.57）由于，故（2.1.58）即（2.1.59）上式說明：(1)光線的傳播方向與位置矢量構(gòu)成一個平面，而光線的路徑始終處于此平面內(nèi)。即光線路徑是平面曲線，而非空間曲線。(2)每條光線都對應一個不變量（2.1.60）式中為位置矢量與光線傳播方向之間的夾角，d為原點到該點切向的距離，n為該點的折射率，如圖2.1.6所示。為進一步討

24、論光線的走向，將（2.1.56）式展開，得（2.1.61）或（2.1.62）式中為位置矢量的單位矢量。由微分幾何可知，曲率矢量（2.1.63）其中為曲率半徑，為曲線的主法線方向，如圖2.1.7所示。（2.1.62）式 得（2.1.64）由于曲率半徑，因而上式右端必為正值。即當時，與的夾角小于，如圖2.1.7(a)所示；而當時，與的夾角大于，如圖2.1.7(b)所示。說明光線的路徑總是彎向折射率大的一側(cè)。這個結(jié)論雖然是從折射率球?qū)ΨQ分布的特例中得到的，但它具有普遍性，一般的結(jié)果與折射定律相吻合。運用這一結(jié)論，會為定性分析光的傳播路徑等問題帶來很大的方便，希望讀者能夠記住。例3 折射定律和反射定律

25、的證明【證】前兩個例子中折射率不變或連續(xù)變化，而在此例中，光線的反射和折射發(fā)生在介質(zhì)的分界面處，這里的折射率發(fā)生突變，射線方程中不存在。因此需從幾何光學的基本方程出發(fā)。由光線的定義，即等程函面的正交軌線，有（2.1.65）即矢量可以看成是標量光程函數(shù)的梯度，因而（2.1.66）令兩種介質(zhì)的折射率分別為、，由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的分界面的法向單位矢量為。取如圖2.1.8所示的扁平回路。光線傳播方向的單位矢量在介質(zhì)1、2中分別用、表示。假設扁平回路的長l比寬h大得多，即l>>h。此時上面的積分近似為（2.1.67）式中、分別為扁平回路位于介質(zhì)1、2中的變的切向單位矢量，且。設為扁平回路的法

26、向單位矢量，則，從而得（2.1.68）即（2.1.69）由于回路的可以以為軸任意選取，即為垂直的任意矢量。故（2.1.70）上式說明，入射光線、折射光線、法線三者共面。令與之間的夾角為，與之間的夾角為，則有（2.1.71）這就是折射定律或Snell定律。對于反射光線，只需令（負號表示反射光與入射光的法向剛好相反，入射光由介質(zhì)1射向介質(zhì)2時，反射光由介質(zhì)2射向介質(zhì)1），則（2.1.72）這就是反射定律。上式的表述與通常的反射定律略有不同，這跟幾何光學的符號規(guī)定有關，即由法向逆時針轉(zhuǎn)向光線的角度為正，而由法向順時針轉(zhuǎn)向光線的角度為負。本節(jié)著重討論了光在介質(zhì)中傳播所遵從的基本規(guī)律電磁波理論和幾何光學

27、理論，是以后分析波導中光的傳播規(guī)律的理論基礎。兩者的主要區(qū)別在于，幾何光學理論直觀、簡單，但適用范圍僅限于多模波導；電磁波理論則更為精確、復雜，對于多模和單模波導均適用。在下一節(jié)中，我們將應用這些基本理論解決一些光波導的簡單模型。§2 光波導理論廣義地講，凡是能穩(wěn)定持續(xù)傳輸光信號的結(jié)構(gòu)都可以稱為光波導。從形狀上，光波導可分為薄膜波導、條形波導、圓柱形波導（光纖）等；從芯區(qū)折射率分布上，又可分為均勻介質(zhì)波導和漸變介質(zhì)波導。本節(jié)所涉及的光波導特指薄膜波導、條形波導等具有平移對稱性波導結(jié)構(gòu)，此類波導只需在直角坐標系下進行分析，相對比較簡單。而光纖具有軸對稱性，需在柱坐標系下進行分析，我們留

28、在下一章詳細介紹。光纖主要承擔信號傳輸?shù)娜蝿?，而光源、接收器、探測器、中繼等也是光纖通信與光纖傳感系統(tǒng)中不可缺少的重要組成部分。這些器件的形狀往往與這一節(jié)所分析的波導結(jié)構(gòu)相近，這也就是我們分析此類波導的意義所在。2.2.1 薄膜波導的幾何光學分析方法均勻介質(zhì)薄膜波導結(jié)構(gòu)如圖2.2.1所示。中間一層厚度為d（一般為幾微米），折射率為，光線主要在此進行傳播，稱為芯區(qū)。上下兩層沿x方向的尺度遠大于芯區(qū)，可認為半無限大。下層折射率為，稱為襯底。上層折射率為，稱為敷層。為了保證光線在芯區(qū)中傳播，必須有，。薄膜波導y、z方向的尺寸遠大于x方向的尺寸，因此往往認為y、z方向上是無限大的，這樣就使問題簡化為一

29、維情況?？梢姡∧げ▽枪獠▽е凶詈唵蔚那樾?，關于它的討論也將為以后分析條形波導和光纖打下基礎。(1)均勻介質(zhì)薄膜波導中光線的傳播傳播路徑：均勻介質(zhì)薄膜波導中芯區(qū)折射率、襯底折射率、敷層折射率均為常數(shù)。因而光線在芯區(qū)沿直線傳播，在上下兩界面發(fā)生反射和折射，如圖2.2.2所示。若在上下兩界面發(fā)生全反射，光線將被束縛在芯區(qū)，形成鋸齒狀的傳播路徑。光線分類：根據(jù)襯底和敷層中是否存在折射光線，我們將波導內(nèi)的光線分成折射光線和束縛光線兩類。若光線在兩界面上都滿足全反射條件，光線完全被束縛在芯區(qū)內(nèi)，則稱之為束縛光線。若光線在某一界面或兩界面上同時不滿足全反射條件，從而導致光線穿過界面進入襯底或敷層，則稱之

30、為折射光線。顯然只有束縛光線才能在波導中沿確定方向進行遠傳，而折射光線由于能量進入到襯底或敷層，不能遠傳。光線在芯區(qū)與襯底及芯區(qū)與敷層的界面上的全反射臨界角分別為（2.2.1a）（2.2.1b）不妨設，則，這表明成為束縛光線的必要條件為。為了討論方便，我們常用光線與波導軸z軸之間的夾角來表示光線的方向，它與入射角互余，即。于是根據(jù)可將光線分類為：束縛光線（2.2.2a）只存在襯底輻射的折射光線（2.2.2b）同時存在襯底輻射和敷層輻射的折射光線（2.2.2c）消失光線（2.2.2d）這里所謂的消失光線是指，垂直于z軸傳播的光線，即光線在z軸分量為零。而光通信的目的是使信號沿z軸傳播，因此討論這

31、種光線意義不大。在以后的各種波導中將不再討論。光線不變量：由及折射定律可知，在光線傳播過程中（2.2.3）是個常數(shù)。其中腳標i=1,2,3，分別表示3種介質(zhì)。可將稱為光線不變量，它實際上是光波沿z軸方向的歸一化相位常數(shù)，即（2.2.4）用光線不變量也可對光線進行分類。束縛光線（2.2.5a）只存在襯底輻射的折射光線（2.2.5b）同時存在襯底輻射和敷層輻射的折射光線（2.2.5c）消失光線（2.2.5d）傳播時延：沿z軸傳播單位距離所需的時間稱為光線的傳播時延。在均勻介質(zhì)薄膜波導中，束縛光線在芯區(qū)的傳播速度為（2.2.6）其中c為真空中的光速，為芯區(qū)折射率。由于傳播路徑為鋸齒狀，如圖2.2.3

32、所示，光線沿z軸傳播距離z時，走過的實際路徑長度及光程為（2.2.7a）（2.2.7b）需要的時間為（2.2.8）根據(jù)定義，傳播時延（2.2.9）時延差：如果在芯區(qū)中有兩條束縛光線，其路徑不同，與z軸的夾角分別為和。則沿z軸傳播單位距離時，傳播時延不同，其差值稱為時延差，記為（2.2.10）最大時延差：所有束縛光線中，路徑最短的是沿z軸傳播的光線，其。而路徑最長的是接近全反射臨界角的光線，其。這兩條光線的時延差最大，稱為最大時延差，記為（2.2.11）由上式可以看出，正比于相對折射率差。而在以后我們將看到，時延差越大，多徑色散越嚴重。所以實際光波導中相對折射率差不宜過大。一般芯區(qū)和襯底往往是一

33、種材料，只是摻雜濃度不同，導致略大于，即滿足所謂的弱導條件（2.2.12）相對折射率差：為了使最大時延差的表述更簡潔，我們引入相對折射率差。相對折射率差的嚴格定義為（2.2.13）這與上面的不同，但在弱導近似下（2.2.14）兩者近似相等。之所以不同是由于幾何光學理論本身并不嚴格，而的嚴格定義是在電磁理論的嚴格推導下得到的。但對于多模波導，在弱導近似下（2.2.15）仍不失為多徑色散導致光脈沖展寬的一個很好的估計。(2)芯層折射率漸變的介質(zhì)薄膜波導中光線的傳播前面分析的均勻介質(zhì)薄膜波導雖然結(jié)構(gòu)簡單、容易分析，但其多徑色散效應嚴重。為了解決這一問題，可以將芯區(qū)的折射率改進為漸變的，使其中心折射率

34、最大，向兩側(cè)單調(diào)下降至襯底的折射率，如圖2.2.4所示。下面就對這種結(jié)構(gòu)更復雜的介質(zhì)薄膜波導進行分析。為簡單起見，假設芯區(qū)兩側(cè)折射率對稱分布，則折射率函數(shù)可表為（2.2.16）首先進行定性討論。如圖2.2.5(a)所示，假設某時刻光線傳播至軸線上一點O，且與z軸的夾角為。下一時刻光線將偏離軸線，但由于折射率向兩側(cè)單調(diào)下降，故光線同時也向軸線方向發(fā)生彎曲。因此，芯區(qū)的傳播路徑一般曲線，且偏離軸線的距離x越遠其切向方向與軸線的夾角越小。若光線傳播至且使，光線接下來將向接近z軸的方向傳播。由對稱性及光路可逆知，光線將被束縛在區(qū)域，形成束縛光線，稱為折返點。若光線一直傳播至處也未出現(xiàn)的點，由于襯底及敷

35、層折射率不變，則光線將沿a點處路徑的切向傳播至襯底及敷層區(qū)域，形成折射光線，如圖2.2.5(b)所示。對于沿不同路徑傳播的束縛光線，如圖2.2.5(c)所示，其傳播路徑越長，則其經(jīng)過區(qū)域的折射率相對越小。因為傳播時間正比于光程，所以路徑越長的光線未必時延越大。下面就對路徑方程、光線分類及傳播時延等問題進行定量分析。路徑方程：在芯區(qū)中光線傳播的路徑方程由射線方程（2.1.51）式可以具體化為（2.2.17）由于與y、z無關，故光線路徑為平面曲線?？偪梢赃x取合適的坐標系，使光線的傳播路徑在xz平面內(nèi)。曲線上任意一點的矢徑為（2.2.18）將上式代入到（2.2.17）式，并寫成分量形式，有（2.2.

36、19a）（2.2.19b）由如圖2.2.6所示的幾何關系可知（2.2.20a）（2.2.20b）（2.2.20c）積分（2.2.19b）式可得（2.2.21）即前面提到的光線不變量歸一化的z方向相位常數(shù)。也就是說光線傳播的歸一化的z方向相位常數(shù)在整個傳播過程中始終保持不變，其值僅由光線的初始狀態(tài)決定。由于折返點處，故折返點坐標是下面方程的解（2.2.22a）（2.2.22b）利用（2.2.20）式，可以將（2.2.19a）式寫成（2.2.23）利用（2.2.21）式的不變量關系，又可將上式化簡為（2.2.24）作變換，則，將其代入（2.2.24）式，得（2.2.25）積分得（2.2.26）式中

37、C為積分常數(shù)。對于束縛光線，方程（2.2.22）有解。在處，故，于是。再由（2.2.21）式，確定。于是（2.2.27）再次積分得到路徑方程的積分式（2.2.28）上式是在x=0時，z=0的前提下得到的。如果給定芯區(qū)折射率分布和光線的起始傾角，則光線的路徑方程可由（2.2.28）式的積分完全確定。光線分類：由前面的分析可知，若方程（2.2.22a）式在的范圍內(nèi)有解，則說明存在折返點，光線為束縛光線；反之則為折射光線。兩者的分界線剛好是的路徑。由（2.2.22a）式可以得到這條路徑的起始傾角（2.2.29）式中是襯底及敷層的折射率，是芯區(qū)軸線上的折射率。于是光線的分類可以歸納為束縛光線（2.2.

38、30a）折射光線（2.2.30b）或用光線不變量來表示束縛光線（2.2.31a）折射光線（2.2.31b）傳播時延：由于光線路徑的周期性與對稱性，我們可以只考慮半個周期的光程，即圖2.2.5(c)中P、Q兩點間的曲線段。利用（2.2.27）式，即（2.2.32）并注意到（2.2.33）得，光程（2.2.34）又由于P、Q在z軸上投影點之間的距離（2.2.35）所以傳播時延（2.2.36）式中是z方向上半周期的長度。若傳播路徑在z軸上的投影長度剛好是的整數(shù)倍，則（2.2.36）式精確成立；若，則（2.2.36）式近似成立；若不滿足以上條件，傳播時延的精確值為（2.2.37）由（2.2.36）式可

39、以看出，傳播時延與初始條件及折射率分布有關。即當光線沿不同路徑傳播（不同）時，可能會產(chǎn)生時延差。而時延差的大小顯然就由折射率分布來決定了。因此，在設計波導時，可以通過選擇合理的折射率分布函數(shù)，來盡量減小甚至消除最大時延差和多徑色散。下面我們就舉幾個典型的例子。(3)舉例例1 無界拋物線型折射率分布，即，（2.2.38）【解】由于這里假設折射率在范圍內(nèi)按拋物線函數(shù)分布，所以式中的a不再具有芯區(qū)厚度的意義，只是一個幾何尺度參量而已。是一個無量綱的參量，反映折射率的變化情況。顯然當時，不符合實際情況，即所謂的“無界拋物線型折射率分布”是不存在的。但從它可以得到簡單的解，有助于我們理解漸變折射率分布波

40、導中光線傳播的概念，且對于其中那些不大的傍軸光線，所得的結(jié)果是相當精確的。在波導中，我們主要關心的也就是傍軸光線，所以這樣的假設有討論的價值。具體分析方法是先通過（2.2.22a）式確定積分限（即折返點），再通過積分式（2.2.34）和（2.2.35）求出和，最后得到時延，進行討論。由于沒有芯區(qū)和襯底的界面，所以所有實際存在的光線都是束縛的。其折返點位置由方程（2.2.39）決定。解得（2.2.40）由上式可知，當波導參量a，確定以后，折返點僅取決于起始傾角。越小，就越小，如圖2.2.7所示，即光線就越越接近光軸，結(jié)果越精確。將（2.2.38）式代入（2.2.28）式，并注意到，得路徑方程（2

41、.2.41）將（2.2.40）代入，得（2.2.42）作變換，則（2.2.43）即（2.2.44）由上式知，光線的路徑是正弦曲線，令宗量，可得其半周期長度（2.2.45）于是，路徑方程可寫成（2.2.46）由（2.2.45）式可知，起始傾角越小，即越小，則半周期越短，如圖2.2.7所示。由（2.2.34）及（2.2.38）式得，半周期的光程（2.2.47）令，則（2.2.48）傳播時延（2.2.49）顯然，光線的初始傾角不同時，其傳播時延也不同，即這種折射率分布的波導存在時延差。如果將作為波導的邊界，且在邊界處折射率連續(xù)，且芯區(qū)外折射率不變，如圖2.2.4所示，則模型變?yōu)橛薪鐠佄锞€型折射率分布

42、薄膜波導。顯然，在這種情況下，即為束縛光線的臨界路徑，如圖2.2.7所示。由（2.2.40）知此臨界路徑的初始傾角滿足（2.2.50）再由光線不變量的定義式（2.2.3）得（2.2.51）而沿波導軸線z軸傳播的光線，。由于且單調(diào)，在區(qū)間內(nèi)也是的單調(diào)函數(shù)，故和分別對應著最大和最小時延。將和分別代入（2.2.49）式再相減，得（2.2.52）在弱導近似的情況下，最大時延差（2.2.53）將上式與（2.2.15）比較，可以看到，當芯區(qū)折射率分布滿足拋物線函數(shù)時，其最大時延差是均勻折射率波導的倍。由于一般光波導均滿足弱導條件，故當折射率分布滿足拋物線函數(shù)時，其最大時延差一般比均勻波導提高2到3個數(shù)量級

43、，即多徑色散明顯小于均勻波導。例2 雙曲正割折射率分布，即，（2.2.54）【解】與前面的例1類似，所有實際存在的光線都是束縛的。將（2.2.54）式代入（2.2.22a）式，解得折返點（2.2.55）為運算方便，令，。將（2.2.54）式代入路徑積分（2.2.28）式，得（2.2.56）作變換，得（2.2.57）（2.2.58）即光線的路徑方程（2.2.59）由上式可知，光線的路徑為一族周期性曲線，其z軸方向的半周期長度（2.2.60）與光線的起始傾角無關。這表明從軸線上同一點O發(fā)出的光線，由于起始傾角不同，可能沿不同路徑傳播，但經(jīng)半個周期后又匯聚于同一點P。這就是所謂的自聚焦現(xiàn)象，如圖2.

44、2.8所示。另一個問題是，同時從O點發(fā)出的光線能否同時匯聚于P點，即時延是否相等。將（2.2.54）式代入（2.2.34）式，得半周期的光程（2.2.61）則傳播時延（2.2.62）從上式可知，傳播時延與路徑無關。即雙曲正割折射率分別的波導不存在多徑色散。例3 冪指數(shù)型折射率分布，即（2.2.63）式中為正的常數(shù)，稱為折射率指標。因為不一定是偶數(shù)，所以式中用以保證折射率分布的對稱性。不同的值表示各種類型折射率分布的波導，如圖2.2.9所示。例如表示例1中的波導，表示前面介紹的均勻介質(zhì)薄膜波導。所以（2.2.63）具有一定的普遍意義?！窘狻繉ⅲ?.2.63）式代入（2.2.22a）式，解得折返點

45、（2.2.64）對于束縛光線，則（2.2.65）即（2.2.66）當時，可以近似寫成（2.2.67）除了的特例外，光線的路徑積分得不到顯式。z軸方向的半周期長度及光程可用函數(shù)表示為（2.2.68）（2.2.69）傳播時延（2.2.70）與前面的結(jié)果相比較可知，（2.2.27b）和（2.2.28）式分別是（2.2.69）和（2.2.70）式在的特例，而（2.2.48）和（2.2.49）式分別是（2.2.69）和（2.2.70）式在的特例?？梢宰C明，當取值略小于2時，傳播時延差最小。我們將之稱為最優(yōu)的值，記為。（2.2.71）當時，（2.2.72）與（2.2.53）式比較，時延差幾乎又提高了一個數(shù)

46、量級。說明時延差是折射率指標的敏感函數(shù)。歸一化的時延差隨折射率指標變化關系如圖2.2.10所示。2.2.2 從幾何光學理論向模式理論過渡本地平面波解釋根據(jù)前面的介紹，我們知道只有在無限大均勻介質(zhì)中存在電磁波的最簡單形式均勻平面電磁波。但在大多數(shù)情況下，電磁波的形式都不是均勻平面電磁波。為了考慮問題方便，我們可以選取一小塊區(qū)域，只要在此區(qū)域中振幅變化不明顯，且等相位面近似可以看成平面，就可以把此區(qū)域中的電磁波看成是均勻平面電磁波，稱為本地平面波。(1) TE波和TM波任意一種偏振形式的均勻平面電磁波都可以分解成兩個線偏振光的疊加，而線偏振光又可以作如圖2.3.1所示的分解。即首先建立如(a)圖所

47、示的波導坐標系，x軸為界面的法向；z軸處在x軸及波矢確定的平面內(nèi)且垂直于x軸，為傳播方向；y軸與z軸、x軸成右手系。再建立本征坐標系，y軸即為s軸，波的傳播方向為k軸，p軸與s軸、k軸成右手系。電磁場量可以作分解成p和s分量，如圖(b)和(c)所示。將和分成一組，組成橫電波，簡稱TE波，而和分成另一組，組成橫磁波，簡稱TM波。即波導中的任意電磁波都可以分解TE波和TM波的疊加，如圖2.2.12所示。尤其當平行于z軸，TE波和TM波均成為橫電磁波（TEM波），其物理含義在后面的條形波導中體現(xiàn)的更為明顯。(2)入射波電場，反射波電場，折射波電場表達式對于TE波，如圖2.2.12(a)所示，入射波電

48、場、折射波電場和反射波電場表達式分別為（2.2.73a）（2.2.73b）（2.2.73c）式中，、和分別為入射、折射和反射波的振幅；、和分別為入射、折射和反射波與法線的夾角。這里為了討論問題方便，只考慮了襯底的折射光線，后面只需將換成即可得到敷層的情況。(3)倏逝波對于我們主要關心的束縛光線，滿足全反射條件，即。又由Snell定律知，為純虛數(shù)，故折射光（2.2.74）式中，為場量在介質(zhì)2中的衰減常數(shù)。上式表示，當全反射發(fā)生時，并不是所有能量都返回介質(zhì)1中，也有一部分能量以波動的形式進入到介質(zhì)2中。這種波動的形式比較特殊，能量沿x方向按指數(shù)衰減，沿z方向以行波的形式傳播，稱之為倏逝波。倏逝波的存在提醒我們，即使在滿足全反射條件的情況下，我們還應使x方向形成駐波，來更好地保