九類常見遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式方法[1]

1、遞推數(shù)列通項(xiàng)求解方法舉隅類型一：（）思路1（遞推法）：。思路2（構(gòu)造法）：設(shè)，即得，數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，則，即。例1 已知數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：方法1（遞推法）：。方法2（構(gòu)造法）：設(shè)，即，數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，則，即。類型二： 思路1（遞推法）：。思路2（疊加法）：，依次類推有：、，將各式疊加并整理得，即。例2 已知，求。解：方法1（遞推法）：。方法2（疊加法）：，依次類推有：、，將各式疊加并整理得，。類型三： 思路1（遞推法）：。思路2（疊乘法）：，依次類推有：、，將各式疊乘并整理得，即。例3 已知，求。解：方法1（遞推法）：。方法2（疊乘法）：，依次

2、類推有：、，將各式疊乘并整理得，即。類型四： 思路（特征根法）：為了方便，我們先假定、。遞推式對(duì)應(yīng)的特征方程為，當(dāng)特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)， (、為待定系數(shù)，可利用、求得；當(dāng)特征方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)、時(shí)，(、為待定系數(shù)，可利用、求得；當(dāng)特征方程的根為虛根時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)與上同理，此處暫不作討論。例4 已知、,求。解：遞推式對(duì)應(yīng)的特征方程為即，解得、。設(shè)，而、，即，解得，即。類型五： （）思路（構(gòu)造法）：，設(shè)，則，從而解得。那么是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。例5 已知，求。解：設(shè)，則，解得，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，。類型六： （且）思路（轉(zhuǎn)化法）：，遞推式兩邊同時(shí)除以得，我們令，那么問題就

3、可以轉(zhuǎn)化為類型二進(jìn)行求解了。例6 已知，求。解：，式子兩邊同時(shí)除以得，令，則，依此類推有、，各式疊加得，即。類型七： （）思路（轉(zhuǎn)化法）：對(duì)遞推式兩邊取對(duì)數(shù)得，我們令，這樣一來，問題就可以轉(zhuǎn)化成類型一進(jìn)行求解了。例7 已知，求。解：對(duì)遞推式左右兩邊分別取對(duì)數(shù)得，令，則，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，因而得。類型八：（）思路（轉(zhuǎn)化法）：對(duì)遞推式兩邊取倒數(shù)得，那么，令，這樣，問題就可以轉(zhuǎn)化為類型一進(jìn)行求解了。例8 已知，求。解：對(duì)遞推式左右兩邊取倒數(shù)得即，令則。設(shè)，即，數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，則，即，。類型九： （、）思路（特征根法）：遞推式對(duì)應(yīng)的特征方程為即。當(dāng)特征方程有兩個(gè)

4、相等實(shí)根時(shí)，數(shù)列即為等差數(shù)列，我們可設(shè)（為待定系數(shù)，可利用、求得）；當(dāng)特征方程有兩個(gè)不等實(shí)根、時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，我們可設(shè)（為待定系數(shù)，可利用已知其值的項(xiàng)間接求得）；當(dāng)特征方程的根為虛根時(shí)數(shù)列通項(xiàng)的討論方法與上同理，此處暫不作討論。例9 已知， （），求。解：當(dāng)時(shí)，遞推式對(duì)應(yīng)的特征方程為即，解得、。數(shù)列是以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，設(shè)，由得則，即，從而，。寒假專題常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法重、難點(diǎn)：1. 重點(diǎn)：遞推關(guān)系的幾種形式。2. 難點(diǎn)：靈活應(yīng)用求通項(xiàng)公式的方法解題。【典型例題】例1 型。（1）時(shí)，是等差數(shù)列，（2）時(shí)，設(shè) 比較系數(shù)： 是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為 例2 型。（1）時(shí)，若可

5、求和，則可用累加消項(xiàng)的方法。例：已知滿足，求的通項(xiàng)公式。解： 對(duì)這（）個(gè)式子求和得： （2）時(shí)，當(dāng)則可設(shè) 解得：， 是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 將A、B代入即可（3）（0，1）等式兩邊同時(shí)除以得令 則 可歸為型例3 型。（1）若是常數(shù)時(shí)，可歸為等比數(shù)列。（2）若可求積，可用累積約項(xiàng)的方法化簡(jiǎn)求通項(xiàng)。例：已知：，（）求數(shù)列的通項(xiàng)。解： 例4 型。考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有 令 則可歸為型。練習(xí)：1. 已知滿足，求通項(xiàng)公式。解：設(shè) 是以4為首項(xiàng)，2為公比為等比數(shù)列 2. 已知的首項(xiàng)，（）求通項(xiàng)公式。解： 3. 已知中，且求數(shù)列通項(xiàng)公式。解： 4. 數(shù)列中，求的通項(xiàng)。解： 設(shè)       5. 已知：，時(shí)，求的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 解得： 是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 【模擬試題】1. 已知中，求。2. 已知中，（）求。3. 已知中，（）求。4. 已知中，（）求。5. 已知中，其前項(xiàng)和與滿足（）（1）求證：為等差數(shù)列 （2）求的通項(xiàng)公式6. 已知在正整數(shù)數(shù)列中，前項(xiàng)和滿足（1）求證：是等差數(shù)列 （2）若求的前n項(xiàng)和的最小值1. 解：由，得 2. 解：由得： 即是等比數(shù)列 3. 解：由得 成等差數(shù)列， 4. 解： （） （）設(shè)即 是等差