二元一次方程組練習1

1、學智教育教師備課手冊教師姓名學生姓名填寫時間學 科數(shù)學年 級 初一上課時間課時計劃2教學目標教學內(nèi)容二元一次方程組個性化學習問題解決 教學重點、難點教學過程一、知識要點梳理知識點一：二元一次方程的概念含有兩個未知數(shù)(一般設(shè)為x、y)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程. 如xy24，都是二元一次方程.要點詮釋：(1)在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).(2)“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(單項式)的次數(shù)是1. 如xy的次數(shù)是2，所以方程 6xy90不是二元一次方程.(3)二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式. 如方程的左邊不是整式

2、，所以它就不是二元一 次方程.(4)判斷某個方程是不是二元一次方程，一般先把它化為axbyc0的形式，再根據(jù)定義判斷，例 如：2x4y32x不是二元一次方程，因為通過移項，原方程變?yōu)?y3，不符合二元一次方程的 形式。知識點二：二元一次方程的解能使二元一次方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。由于使二元一次方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值不只一個，故每個二元一次方程都有無數(shù)組解。如，都是二元一次方程xy3的解，我們把有無數(shù)組解的這樣的方程又稱之為不定方程。要點詮釋：(1)使二元一次方程左右兩邊都相等的兩個未知數(shù)的值(二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不 是一個數(shù)值)

3、,即二元一次方程的解都要用“”聯(lián)立起來，如,是二元一次方程xy2的解。(2)在二元一次方程的無數(shù)個解中，兩個未知數(shù)的值是相互聯(lián)系、一一對應(yīng)的。即其中一個未知數(shù)的值 確定后，另一個未知數(shù)的值也隨之確定并且唯一。知識點三：二元一次方程組的概念把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組. 例如， 都是二元一次方程組.此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如 也是二元一次方程組.知識點四：二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點詮釋：(1)方程組的解要用大括號聯(lián)立，如 ，而不能表示成x9,y4.(2)一般地，二

4、元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組 的解有無數(shù)個.(3)檢驗一組數(shù)是否是二元一次方程組的解時，一定要將這一組數(shù)代入方程組中的每一個方程，看是否 滿足每一個方程，只有這組數(shù)滿足方程組中的所有方程時，該組數(shù)才是原方程組的解，否則不是。知識點五：消元法1消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，那么就把二元一次方程組 轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個未知數(shù)，然后再求出另一個未知數(shù). 這種 將未知數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.2消元的基本思路：未知數(shù)由多變少.3消元的基本方法：把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.知識點六

5、：代入消元法1代入消元法是解方程組的兩種基本方法之一。代入消元法就是把方程組其中一個方程的某個未知數(shù) 用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示，然后代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化 為一元一次方程來解。這種解二元一次方程組的方法叫代入消元法，簡稱代入法。2用代入法解二元一次方程組的一般步驟：(1)從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表 示；(2)將變形后的這個關(guān)系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；(3)解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；(4)將求得的這個未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的值；(5

6、)把求得的兩個未知數(shù)的值用符號“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式.要點詮釋：(1)用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化 簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法。如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另一個 未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體 代入法。整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度 及準確率。知識點七：加減消元法1加減消元法是解二元一次方程組的基本方法之

7、一，加減消元法是通過將兩個方程相加(或相減)消去 一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解,這種解法叫做加減消元法，簡稱加減法。2用加減法解二元一次方程組的一般步驟：(1)方程組中的兩個方程，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)又不相等，就可用適當?shù)臄?shù)去乘一 個方程或兩個方程的兩邊，使兩個方程中的某一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；(2)把兩個方程的兩邊分別相加減(相同時相減，相反時相加)，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方 程；(3)解這個一元一次方程，求得其中一個未知數(shù)的值；(4)把所求得的這個未知數(shù)的值代入到原方程組中系數(shù)比較簡單的一個方程，求出另一個未知數(shù)的值；(5)把求得的

8、兩個未知數(shù)的值用符號“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式。要點詮釋：一般地，加減消元法的選擇方法是：(1)選擇系數(shù)絕對值較小的未知數(shù)消元；(2)某一未知數(shù)絕對值相等，如果符號不同，用加法消元，如果符號相同，用減法消元；(3)某一未知數(shù)系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，直接對其中一個方程變形，使其系數(shù)絕對值相等，再運用加減法消 元；(4)當相同的未知數(shù)的系數(shù)都不相等時，找出某一個未知數(shù)的最小公倍數(shù)，同時對兩個方程進行變形， 轉(zhuǎn)化為絕對值相同的系數(shù)，再用加減法來解。用加減法解方程組時需注意：對某個方程變形處理時各項都要擴大相同的倍數(shù)；兩個方程的左右兩邊的各項都要同時相加或相減。二、規(guī)律方法指導1二元一次方程的整數(shù)解的

9、求法：一般情況下，一個二元一次方程都有無數(shù)個整數(shù)解，解這類問題時，先用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，然后根據(jù)條件逐一求出相應(yīng)的解.2判斷二元一次方程組的方法：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起就組成一個二元一次方程組，判斷一個方程是不是二元一次方程組，就看它是否滿足以下兩個條件：(1)看整個方程組里含有的未知數(shù)是不是兩個；(2)看含未知數(shù)的項的次數(shù)是不是1.3檢驗一對數(shù)是不是某個二元一次方程組的解，常用的方法是：將這對數(shù)值分別代入方程組中的每個方程，只有當這對數(shù)值滿足其中的所有方程時，才能說這對數(shù)值是此方程組的解；否則，如果這對數(shù)值不滿足其中的任何一個方程，那么它就不是此方程組的

10、解.4運用代入法、加減法解二元一次方程組要注意的問題：(1)當方程組中含有一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)的代數(shù)式時，用代入法比較簡單；(2)若方程組中未知數(shù)的系數(shù)為1(或1)，選擇系數(shù)為1(或1)的方程進行變形，用代入法比較簡便；(3)當方程組中的兩個方程有某個未知數(shù)的系數(shù)相同或相反時，進行加減消元比較方便；(4)若兩個方程中，同一個未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，利用等式性質(zhì)，可以轉(zhuǎn)化成(3)的類型，選擇加減 消元法比較簡便；(5)若兩個方程中，同一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值都不相等，那么，應(yīng)選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小 的一組系數(shù))，求出它們的最小公倍數(shù)，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對值

11、相等 (都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù))，再加減消元；(6)對于比較復雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(去分母、去括號、合并同類項等). 通常要把每個方程 整理成含未知數(shù)的項在方程的左邊，常數(shù)項在方程的右邊的形式，再作加減消元的考慮.三、有關(guān)應(yīng)用題列方程解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問題：(1)追及問題:追及問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段 圖便于理解、分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差開始時兩者相距的路程；路程速度×時間； 速度；時間。(2)相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀， 因而也畫線段圖幫

12、助理解、分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和總路程。(3)航行問題:船在靜水中的速度水速船的順水速度； 船在靜水中的速度水速船的逆水速度； 順水速度逆水速度2×水速。注意：飛機航行問題同樣會出現(xiàn)順風航行和逆風航行，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似。2.工程問題：工作效率×工作時間=工作量.3.濃度問題：溶液質(zhì)量×濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.4.教育儲蓄問題：(1)基本概念 本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。 利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。 本息和：本金與利息的和叫做本息和。 期數(shù)：存入銀行的時間叫做期數(shù)。 利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。 利息稅：

13、利息的稅款叫做利息稅。(2)基本關(guān)系式 利息本金×利率×期數(shù) 本息和本金利息本金本金×利率×期數(shù)本金×(1利率×期數(shù)) 利息稅利息×利息稅率本金×利率×期數(shù)×利息稅率。 稅后利息利息×(1利息稅率) 年利率月利率×12 月利率年利率×。注意：免稅利息=利息 5.銷售中的盈虧問題：(1)利潤售價成本(進價)；(2)；(3)利潤成本×利潤率；(4)標價成本(進價)×(1利潤率)；(5)實際售價標價×打折率；注意：“商品利潤售價成本”中的右邊

14、為正時，是盈利；為負時，就是虧損。打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售。6.優(yōu)化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案。注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點；比較幾種方案得出最佳方案。7.和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量較小量多余量，總量倍數(shù)×倍量.8.產(chǎn)品配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：加工總量成比例.9.增長率問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量×(1增長率)n 增長后的量；原量×(1減少率)n 減少后

15、的量課堂練習類型一：求二元一次方程的解1寫出二元一次方程4xy20的所有正整數(shù)解. 思路點撥：要把4xy20變形，再根據(jù)代數(shù)式的特點求解.總結(jié)升華：(1)可以把二元一次方程中的一個未知數(shù)看成已知數(shù)，先解關(guān)于另一個未知數(shù)的一元一次方程，然后兩個未知數(shù)取正整數(shù)值即可.(2)對題意理解，要注意兩點：要正確；不重、不漏. 兩個未知數(shù)的取值均為正整數(shù)才符合題意的解.舉一反三：【變式1】在方程3x4y20中，若y分別取2、0、1、4，求相應(yīng)的的值. 【變式2】求二元一次方程2xy9在自然數(shù)范圍內(nèi)的解。思路點撥：首先明確自然數(shù)的概念，自然數(shù)是指0,1，2, 3，也就是非負整數(shù)，最小的自然數(shù)是0。再把二元一次

16、方程變形，用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，可變?yōu)閥92x，這樣再讓未知數(shù)x按順序0,1，2，3，取值，即可獲得所求的自然數(shù)范圍內(nèi)的解。類型二：確定方程的待定系數(shù)2若是關(guān)于的二元一次方程，求的值.思路點撥：根據(jù)二元一次方程的定義，a30，即a3；|a|21，即a±3，所以a3. 總結(jié)升華：二元一次方程的待定系數(shù)的求解，要同時考慮兩個未知數(shù)的系數(shù)與次數(shù)，不管方程的形式如何變化，必須滿足含有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，這兩個條件.舉一反三：【變式1】如果是方程組的解，求a20092b2009的值.思路點撥：把代入方程組，可以得到關(guān)于a、b的方程組，解這個方程組，可得a、b的值.總結(jié)升華：把

17、x、y的值代入方程組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b的方程組，解出a、b的值. 本題體現(xiàn)了“系數(shù)”與“未知數(shù)”的轉(zhuǎn)化關(guān)系.【變式2】方程2xm13y2n5是二元一次方程，則m_，n_.【變式3】若是方程組的解，則a_，b_.3已知方程組與方程組的解相同，求的值.思路點撥：因為兩個方程組的解相同，所以可先求出方程組的解，然后把此解代入方程組中，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解這個方程組，即可導出a、b的值.舉一反三：【變式1】已知方程組與方程組的解相同，求a、b的值.【變式2】若等式中的x、y滿足方程組，求mn的值。類型三：二元一次方程組的求法4解方程組 .思路點撥：根據(jù)方程組的特點，可以選用不同的方法來解

18、.總結(jié)升華：(1)方法一和方法二都利用了二元一次方程組的常規(guī)解法：代入法和加減法；方法三根據(jù)題目的特點應(yīng)用了整體的思想方法先求出xy和xy的值，再進一步求x、y的值，這是解方程(組)的一種重要的思想.(2)解方程組時，不要急于求解，要先觀察特點，因題而異，靈活選擇方法，才能事半功倍. 同時，注意一題多解，訓練思維的敏捷性和解題的靈活性.舉一反三：【變式1】已知方程組 ，求xyz的值.思路點撥：這是個三元一次方程組，只含有兩個方程，一般不能分別求出x、y、z的值，可把“xyz”作為一個整體，把方程組變形，根據(jù)特殊性求解.【變式2】解方程組【變式3】解方程組類型四： 實踐應(yīng)用題5直角三角形ABC中

19、，C90°，兩個銳角的差是30°，求兩個銳角的度數(shù).思路點撥：許多幾何中的問題，如邊、角問題，可通過設(shè)未知數(shù)來列方程組，使幾何問題中的量的關(guān)系變得更直接、更易懂.總結(jié)升華：列簡單的二元一次方程組時應(yīng)先設(shè)未知數(shù)，然后列出含有未知數(shù)的兩個方程，再用大括號聯(lián)立，組成二元一次方程組.舉一反三：【變式1】美術(shù)小組的同學分鉛筆若干支，若其中4人每人各取4支，其余的人每人各取3支，則還剩16支；若有1人只取2支，則其余的人恰好每人各得6支，問美術(shù)小組的同學有多少人？鉛筆有多少支？【變式2】（寧德中考）某刊物報道：“2008年12月15日，兩岸海上直航、空中直航和直接通郵啟動，大三通基本實

20、現(xiàn)大三通最直接好處是省時間和省成本，據(jù)測算，空運平均每航次可節(jié)省4小時，海運平均每航次可節(jié)省22小時，以兩岸每年往來合計500萬人次計算，則共可為民眾節(jié)省2900萬小時”根據(jù)文中信息，求每年采用空運和海運往來兩岸的人員各有多少萬人次6小明做拼圖游戲時發(fā)現(xiàn)：8個一樣大小的小長方形恰好可以拼成一個大的長方形，如圖1所示. 小麗看見了，也來試一試，結(jié)果拼成了如圖2所示的正方形，不過中間留下一個空白，恰好是邊長為2cm的小正方形，你能算出每個小長方形的長和寬各是多少嗎？思路點撥：在圖1中，大長方形的長有兩種表現(xiàn)形式，一種是5個小長方形的寬的和，另一種是3個小長方形的長的和. 在圖2中，大正方形的邊長也

21、有兩種表現(xiàn)形式，一種是1個小長方形的長和2個小長方形的寬的和，另一種從中間看為2個小長方形的長和1個小正方形的邊長的和，由此可設(shè)出未知數(shù)列出方程求解.總結(jié)升華：通過觀察圖形找等量關(guān)系，建立方程組求解，本題滲透了數(shù)形結(jié)合的思想. 舉一反三：【變式】（肇慶中考）2008 年北京奧運會，中國運動員獲得金、銀、銅牌共 100 枚，金牌數(shù)列世界第一其中金牌比銀牌與銅牌之和多2 枚，銀牌比銅牌少7 枚問金、銀、銅牌各多少枚？ 課后作業(yè)一、選擇題：1. 方程組，將(2)×3-(1)×2得( )A. -3y=2 B. 4y+1=0 C. y=0 D. 7y=-82. 以下各組數(shù)中，是方程組

22、的解的是( )A. B. C. D. 3. 若|3a+b+5|+|2a-2b-2|=0，則2a2-3ab的值為( )A. 14 B. 2 C. -2 D. -44. 解方程組的解( )A. 只有1個 B. 是兩對相同的數(shù)值C. 是兩對數(shù)值D. 是兩對數(shù)值其中x和y互為相反數(shù)二、填空題5. 若是二元一次方程，則m=_,n=_6. 已知x，y是方程組的解，則x-2y=_7. 將代入x-2y=1可得_8. 若ax+by=c用含x的代數(shù)式表示y為_三、解答題：9. 解方程組：(1) (2)(3) (4)10. （1）寫出二元一次方程4xy20的所有正整數(shù)解.（2）已知方程組與方程組的解相同，求的值.（

23、3）已知是方程組的解，求k和m的值。11. （1）若mxy+9x+3yn-1=7是關(guān)于x，y的二元一次方程，求m，n的值。（2）若是關(guān)于的二元一次方程，求的值.12. 關(guān)于x，y的方程組的解也是3x-2y=8的解，求b的值。13. 若方程組有無數(shù)組解，則k與m的值分別是多少？四、應(yīng)用題1、根據(jù)圖中所給出的信息，求出每個籃球和每個羽毛球的價格. 2、 (云南)在“家電下鄉(xiāng)”活動期間，凡購買指定家用電器的農(nóng)村居民均可得到該商品售價13%的財政補貼.村民小李購買了一臺A型洗衣機，小王購買了一臺B型洗衣機，兩人一共得到財政補貼351元，又知B型洗衣機售價比A型洗衣機售價多500元.求：(1)A型洗衣機和B型洗衣機的售價各是多少元？(2)小李和小王購買洗衣機除財政補貼外實際各付款多少元？3、某人要在規(guī)定的時間內(nèi)由甲地趕往乙地. 如果他以每小時30千米的速度行駛，就會遲到30分；如果他以每小