點集拓撲學第二章拓撲空間與連續(xù)映射2-1,2

1、- -哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學- - - -理理 學學 院院- - - -林林 錳錳- -點集拓撲學點集拓撲學 第二章第二章 拓撲空間與連續(xù)映射拓撲空間與連續(xù)映射本章教學基本要求本章教學基本要求 掌握度量空間及度量空間的連續(xù)映射的概念掌握拓掌握度量空間及度量空間的連續(xù)映射的概念掌握拓撲與拓撲空間的概念撲與拓撲空間的概念,并在此空間上建立起來的連續(xù)映并在此空間上建立起來的連續(xù)映射射,同胚的概念，熟悉幾個拓撲空間的例子掌握鄰域與同胚的概念，熟悉幾個拓撲空間的例子掌握鄰域與鄰域系的概念及性質(zhì)；掌握連續(xù)映射的兩種定義；掌鄰域系的概念及性質(zhì)；掌握連續(xù)映射的兩種定義；掌握證明開集與鄰域的證明方法握證明

2、開集與鄰域的證明方法 掌握閉集和閉包等相關(guān)掌握閉集和閉包等相關(guān)概念概念.重點：重點：拓撲空間拓撲空間, ,同胚映射同胚映射, ,拓撲的建立和證明拓撲的建立和證明. . 難點：難點：拓撲空間拓撲空間,同胚映射同胚映射Department of Mathematics2.1 度量空間與連續(xù)映射度量空間與連續(xù)映射一一. 度量空間度量空間1. 度量空間的定義度量空間的定義 0),( , 0),( )1yxyxyx ),( ),( )2xyyx ),(),(),( )3zyyxzx 則稱則稱是集合是集合X的一個的一個度量度量 并稱并稱 為為度量空間度量空間.),( X 對于任意兩點對于任意兩點x，yX，

3、實數(shù)，實數(shù)(x，y)稱稱為從點為從點x到點到點y的距離的距離 定義定義2.1. 設(shè)設(shè) 為集合為集合, 為一映射為一映射,如果如果對于任何對于任何x，y，zX，有，有:XRXX : Department of Mathematics例例2.1 對于實數(shù)集合對于實數(shù)集合R ,定義定義：RRR如下：如下：對于任意對于任意x，yR，令，令(x，y)=|x-y| 是是R的一個度量，因此偶對的一個度量，因此偶對(R，)是一個度是一個度量空間量空間,通常稱為通常稱為實數(shù)空間實數(shù)空間.例例2.2 n維歐氏空間維歐氏空間,對于實數(shù)集合對于實數(shù)集合R的的n重笛卡兒積重笛卡兒積,定義定義： ,對于任意的對于任意的R

4、RRnn ),(21nxxxx nnRyyyy ),(21 niiiyxyx12)(),( 定義定義: 則則是是 上的一個度量上的一個度量nRDepartment of Mathematics例例2.3 離散的度量空間離散的度量空間 設(shè)設(shè)(X,)是一個度量空間如果對于每一個是一個度量空間如果對于每一個xX，存在一個實數(shù)存在一個實數(shù) , 使得使得 ,對對任意的任意的 都成立都成立, 稱稱(X,)是離散的是離散的，或者稱或者稱是是X的一個的一個離散度量離散度量.0 x xyx ),(yxXyx , . , 1; , 0),(yxyxyx 是一個離散度量是一個離散度量例如例如: 離散的度量空間或許是

5、我們以前未曾接觸過離散的度量空間或許是我們以前未曾接觸過的一類空間，但今后會發(fā)現(xiàn)它的性質(zhì)是簡單的的一類空間，但今后會發(fā)現(xiàn)它的性質(zhì)是簡單的Department of Mathematics2. 度量空間的其他概念度量空間的其他概念 定義定義2.2. 設(shè)設(shè)(X,)是一個度量空間，是一個度量空間，xX對于任意給定的實數(shù)對于任意給定的實數(shù)0，集合，集合:稱為一個以稱為一個以x為中心以為中心以為半徑的為半徑的球形鄰域球形鄰域. ),(|),( yxXyxB 定理定理2.1. 度量空間度量空間(X,)的球形鄰域具有性質(zhì)：的球形鄰域具有性質(zhì)：1) 對任意對任意xX,至少有一個至少有一個 .且且)(xB )(

6、xBx 2) 對對xX的任意兩個的任意兩個 ,)(),(21xBxB )()()( .),(21xBxBxBxtsxB 3) 若若 ,則存在則存在 .),( xBy ),(),( xByB Department of Mathematics定義定義2.3. 設(shè)設(shè)A是度量空間是度量空間X的一個子集如果的一個子集如果A中中的每一個點都有一個球形鄰域包含于的每一個點都有一個球形鄰域包含于A（即對于每（即對于每一個一個aA，存在實數(shù)，存在實數(shù)0使得使得B(a,) )，則稱，則稱A是度量空間是度量空間X中的一個中的一個開集開集A 例例2.4 實數(shù)空間實數(shù)空間R中的開區(qū)間中的開區(qū)間 (a,b)為開集為開集

7、. 例例2.5 度量空間度量空間 中的開球為開集中的開球為開集.X例例2.6 a,b=xR|axb(a.b=xR|axb，a,b)xR|axb都不是都不是R中的開集中的開集Department of Mathematics 定理定理2.2. 度量空間度量空間(X,)的開集具有以下性質(zhì)：的開集具有以下性質(zhì)：(1)集合集合X本身和空集本身和空集 都是開集都是開集. (2) 有限個開集的交是一個開集有限個開集的交是一個開集 . (3)任意一個開集族（即由開集構(gòu)成的族）任意一個開集族（即由開集構(gòu)成的族） 的并是一個開集的并是一個開集 定義定義2.4. 設(shè)設(shè)x是度量空間是度量空間X中的一個點，中的一個點

8、，U是度量是度量空間空間X的一個子集如果存在一個開集的一個子集如果存在一個開集V滿足滿足: ,則稱則稱U是點是點x的一個鄰域的一個鄰域.UVx Department of Mathematics二二. 度量空間中的連續(xù)映射度量空間中的連續(xù)映射定義定義2.4.設(shè)設(shè)X和和Y是兩個度量空間，是兩個度量空間，f : XY，以及，以及 Xx 0如果對于如果對于 的任意一個球形鄰域的任意一個球形鄰域 ,存在存在 的某一球形鄰域的某一球形鄰域 ,使得使得:)(0 xf),(0 xfB0 x),(0 xB),(),(00 xfBxBf 則稱映射則稱映射f 在點在點 處是處是連續(xù)連續(xù)的的.0 x 如果映射如果映

9、射f 在在X的每一個點的每一個點xX處連續(xù)，則處連續(xù)，則稱稱f 是一個是一個連續(xù)映射連續(xù)映射 Department of Mathematics 設(shè)設(shè)X和和Y是兩個度量空間，是兩個度量空間，f : XY，以及，以及則下述條件則下述條件(1)和和(2)分別等價于條件分別等價于條件 和和 ：Xx 0定理定理2.3)1( )2( 的每一個鄰域的原象是的每一個鄰域的原象是 的一個鄰域的一個鄰域.)1( )(0 xf0 x(2) f 是連續(xù)的是連續(xù)的 Y中每一個開集的原象是中每一個開集的原象是X中的一個開集中的一個開集)2( (1) f 在點在點 處是連續(xù)的處是連續(xù)的. 0 x 從這個定理可以看出：度量

10、空間之間的一個從這個定理可以看出：度量空間之間的一個映射是否是連續(xù)的，或者在某一點處是否是連續(xù)映射是否是連續(xù)的，或者在某一點處是否是連續(xù)的的,本質(zhì)上只與度量空間中的開集有關(guān)本質(zhì)上只與度量空間中的開集有關(guān) Department of Mathematics一一. 拓撲空間的定義拓撲空間的定義2.2 拓拓 撲撲 空空 間間 與與 連連 續(xù)續(xù) 映映 射射(3) 若若 . 則則 11 AA (2) 若若A, B . 則則AB (1) ,X則稱則稱 是是X的一個的一個拓撲拓撲 ,稱稱(X, )為為拓撲空間拓撲空間.稱稱 中的元素為拓撲空間中的元素為拓撲空間(X, ) 中的中的開集開集. 定義定義2.5設(shè)

11、設(shè)X是一個集合是一個集合 是是X的冪集的冪集P(X)的子集的子集 如果如果 滿足滿足: Department of Mathematics說明說明常見的拓撲常見的拓撲例例2.1平庸空間平庸空間設(shè)設(shè)X是一個集合令是一個集合令 ,則則 是拓撲是拓撲),( X ),( X空間空間,稱為稱為平庸拓撲空間平庸拓撲空間. 拓撲空間的開集和度量空間的開集有區(qū)別拓撲空間的開集和度量空間的開集有區(qū)別設(shè)設(shè) 是一個度量空間是一個度量空間, 則稱則稱 為由度量為由度量 誘導(dǎo)的拓撲誘導(dǎo)的拓撲, 是由度量是由度量空間空間 誘導(dǎo)誘導(dǎo)的拓撲空間的拓撲空間. ),( X),( XVXV是是 ),( X),( X Departm

12、ent of Mathematics例例2.2離散空間離散空間設(shè)設(shè)X是一個集合令是一個集合令 =P (X)，即由，即由X的所有子的所有子集構(gòu)成的族容易驗證，集構(gòu)成的族容易驗證， 是是X的一個拓撲，稱之的一個拓撲，稱之為為X的的離散拓撲離散拓撲；可知，在離散空間（；可知，在離散空間（X, ）中，）中，X的每一個子集都是開集的每一個子集都是開集 練習練習2.1設(shè)設(shè)Xa，b，c),(),(),( ,1cbabaa 是否是否X的拓撲的拓撲1 例例2.3有限補空間可數(shù)補空間有限補空間可數(shù)補空間 的的一一個個有有限限子子集集是是XUXUC 的的一一個個可可數(shù)數(shù)子子集集是是XUXUC Department

13、of Mathematics二二. 鄰域與鄰域系鄰域與鄰域系 定義定義2.6設(shè)設(shè)(X， )是一個拓撲空間，是一個拓撲空間，xX如果如果U是是X的一個子集，滿足條件：存在一個開集的一個子集，滿足條件：存在一個開集V使得使得 , 則稱則稱U是點是點x的一個的一個鄰域鄰域 UVx 如果如果U是包含著點是包含著點x的一個開集，那么的一個開集，那么它一定是它一定是x的一個鄰域，于是我們稱的一個鄰域，于是我們稱U是點是點x的一個開鄰域的一個開鄰域說明說明點點x的所有鄰域構(gòu)成的的所有鄰域構(gòu)成的x的子集族稱為的子集族稱為點點x的鄰域系的鄰域系,記為記為xUDepartment of Mathematics定理

14、定理2.4拓撲空間拓撲空間X的一個子集的一個子集U是開集的充分必是開集的充分必要條件是要條件是U是它的每一點的鄰域，即只要是它的每一點的鄰域，即只要xU，U便便是是x的一個鄰域的一個鄰域 定理定理2.5設(shè)設(shè)X是一個拓撲空間是一個拓撲空間xX, 為為x的的鄰域系鄰域系,則則: xU(1) 對于任何對于任何xX， ,如果如果 則則xU xU,xUU (2) 如果如果 ,則則UV . xUVU ,xU(3) 如果如果 ,并且并且 , 則則: .xUU VU xUV (4) 如果如果 ,則存在則存在 .滿足滿足:xUU xUV (a) , (b) 對于任何對于任何yV,有有UV yUV Departm

15、ent of Mathematics三三. 拓撲空間中的連續(xù)映射和同胚映射拓撲空間中的連續(xù)映射和同胚映射定義定義2.7設(shè)設(shè)X和和Y是兩個拓撲空間，是兩個拓撲空間，f : XY，以及，以及 如果對于如果對于 的任意一個鄰域的任意一個鄰域 , 有有: ,則稱則稱 在點在點 處是連續(xù)的處是連續(xù)的.)(0 xf)(0 xfUU 0 x0)(1xUUf Xx 0f 如果映射如果映射f 在在X的每一個點的每一個點xX處連續(xù)，則處連續(xù)，則稱稱f 是拓撲空間是拓撲空間X上的一個上的一個連續(xù)映射連續(xù)映射 定理定理2.6 f 是連續(xù)的是連續(xù)的 充分必要條件是充分必要條件是Y中開集的中開集的原象是原象是X中的開集中

16、的開集Department of Mathematics定理定理2.7設(shè)設(shè)X，Y和和Z都是拓撲空間則都是拓撲空間則(1)恒同映射：恒同映射： : XX是一個連續(xù)映射；是一個連續(xù)映射； Xi(2)如果如果f : XY和和g:YZ都是連續(xù)映射，都是連續(xù)映射， 則則 gof : XZ也是連續(xù)映射也是連續(xù)映射 (3)常值映射：常值映射： : 是一個連續(xù)映射；是一個連續(xù)映射； YyX 0C(4)從離散空間到任何空間的映射都是連續(xù)的從離散空間到任何空間的映射都是連續(xù)的(5)從從X到平凡空間的任何映射都是連續(xù)的到平凡空間的任何映射都是連續(xù)的Department of Mathematics定義定義2.8設(shè)設(shè)

17、X和和Y是兩個拓撲空間如果是兩個拓撲空間如果 f ：XY是一個一一映射，并且是一個一一映射，并且 f 和和 ：YX都是連續(xù)的，都是連續(xù)的，則稱則稱 f 是一個是一個同胚映射同胚映射或同胚或同胚1 f定理定理2.8設(shè)設(shè)X，Y和和Z都是拓撲空間則都是拓撲空間則(1)恒同映射：恒同映射： : XX是一個同胚映射；是一個同胚映射； Xi(3)如果如果f : XY和和g:YZ都是同胚映射，都是同胚映射， 則則 gof : XZ也是同胚映射也是同胚映射 (2)如果如果f ：XY是一個同胚，則是一個同胚，則 ： YX 也是一個同胚；也是一個同胚； 1 fDepartment of Mathematics定義

18、定義2.9設(shè)設(shè)X和和Y是兩個拓撲空間如果存在一個是兩個拓撲空間如果存在一個同胚同胚f ：XY，則稱拓撲空間，則稱拓撲空間X與拓撲空間與拓撲空間Y是同胚的，是同胚的，或稱或稱X與與Y同胚，或稱同胚，或稱X同胚于同胚于Y定理定理2.9設(shè)設(shè)X，Y和和Z都是拓撲空間則都是拓撲空間則（1）X與與X同胚；同胚；（2）如來）如來X與與Y同胚，則同胚，則Y與與X同胚；同胚；（3）如果）如果X與與Y同胚，同胚，Y與與Z同胚，同胚， 則則X與與Z同胚同胚Department of Mathematics四四. 子空間的概念子空間的概念 定義定義2.10設(shè)設(shè)(X， )是一個拓撲空間，是一個拓撲空間，令令 ,則則 是是A上的拓撲上的拓撲,拓撲空間拓撲空間 稱為稱為 的的子空間子空間. VAVA),(AA XA ),( XA 定理定理2.10設(shè)設(shè)X，Y，Z都是拓撲空間如果都是拓撲空間如果Y是是X的的一個子空間，一個子空間，Z是是Y的一個子空間，則的一個子空間，則Z是是X的一個的一個子空間子空間說明說明拓撲空間拓撲空間 的任何子集都可以看作拓的任何子集都可以看作拓撲撲空間空間,即子空間即子空間),( X),(AX Department of Mathematics 定理定理2.11 設(shè)設(shè) 是拓撲空間是拓撲空間,(1) 若若B是是X中的開集中的開集,則則B也是也是A中的開集中的