求極限的方法及例題總結(jié)

1、 1定義： 說(shuō)明：（1）一些最簡(jiǎn)單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如：； （2）在后面求極限時(shí)，（1）中提到的簡(jiǎn)單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限這種方法要求熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的定義。2極限運(yùn)算法則定理1 已知 ，都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有 （1）（2）（3） 說(shuō)明：極限號(hào)下面的極限過(guò)程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。. 利用極限的四則運(yùn)算法求極限這種方法主要應(yīng)用于求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的和、乘、積、商的極限。通常情況下，要使用這些法則，往往需要根據(jù)具體情況先對(duì)函

2、數(shù)做某些恒等變形或化簡(jiǎn)。 8.用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限例1 解：原式= 。注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例2 解：原式= 。例3 解：原式 。3兩個(gè)重要極限（1） （2） ； 說(shuō)明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式， 例如：，；等等。 利用兩個(gè)重要極限求極限例5 解：原式= 。注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例6 解：原式= 。例7 解：原式= 。4等價(jià)無(wú)窮小 定理2 無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無(wú)窮?。礃O限是0）。定理3 當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)都是無(wú)窮小（即極限是0），且相互等價(jià)，即有： 。說(shuō)明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成時(shí)（），仍有上面的等價(jià)關(guān)系成

3、立，例如：當(dāng)時(shí)， ； 。 定理4 如果函數(shù)都是時(shí)的無(wú)窮小，且，則當(dāng)存在時(shí)，也存在且等于，即=。利用等價(jià)無(wú)窮小代換（定理4）求極限 例9 解：，原式= 。例10 解：原式= 。注：下面的解法是錯(cuò)誤的： 原式= 。 正如下面例題解法錯(cuò)誤一樣： 。例11 解：， 所以， 原式= 。（最后一步用到定理2）五、利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限有限個(gè)無(wú)窮小的和是無(wú)窮小，有界函數(shù)與無(wú)窮小乘積是無(wú)窮小。用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限常常行之有效。例 1. 2. 5洛比達(dá)法則 定理5 假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無(wú)窮大）時(shí)，函數(shù)和滿足：（1）和的極限都是0或都是無(wú)窮大； （2）和都可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)不為0； （3）存在（或是無(wú)窮

4、大）； 則極限也一定存在，且等于，即= 。說(shuō)明：定理5稱為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗(yàn)證所求極限是否為“”型或“”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。利用洛比達(dá)法則求極限說(shuō)明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，也可能用到前面的重要極限、等價(jià)無(wú)窮小代換等方法。同時(shí)，洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。例12 （例4）解：原式= 。（最后一步用到了重要極限）例13 解：原式= 。例14 解：原式= 。（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后

5、用重要極限）例15 解：例18 解：錯(cuò)誤解法：原式= 。 正確解法：應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下例。例19 解：易見(jiàn)：該極限是“”型，但用洛比達(dá)法則后得到：，此極限不存在，而原來(lái)極限卻是存在的。正確做法如下：原式= （分子、分母同時(shí)除以x） = （利用定理1和定理2）6連續(xù)性 定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果是函數(shù)的定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，則有 。利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限例4 解：因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)， 所以 原式= 。7極限存在準(zhǔn)則 定理7（準(zhǔn)則1） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。四、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性，再求解方程可

6、求出極限。例1. 設(shè)，求極限。 定理8（準(zhǔn)則2） 已知為三個(gè)數(shù)列，且滿足：（1） （2） ， 則極限一定存在，且極限值也是a ，即。10. 夾逼定理利用極限存在準(zhǔn)則求極限例20 已知，求解：易證：數(shù)列單調(diào)遞增，且有界（0<<2），由準(zhǔn)則1極限存在，設(shè) 。對(duì)已知的遞推公式 兩邊求極限，得： ，解得：或（不合題意，舍去）所以 。例21 解： 易見(jiàn)：因?yàn)?，所以由準(zhǔn)則2得： 。9. 洛必達(dá)法則與等價(jià)無(wú)窮小替換結(jié)合法對(duì)于一些函數(shù)求極限問(wèn)題，洛必達(dá)法則和等價(jià)無(wú)窮小結(jié)合御用，往往能化簡(jiǎn)運(yùn)算，收到奇效。 11. 泰勒展開(kāi)法 12. 利用定積分的定義求極限法

7、積分本質(zhì)上是和式的極限，所以一些和式的極限問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求定積分的問(wèn)題。 8. 利用復(fù)合函數(shù)求極限 十、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限級(jí)數(shù)收斂的必要條件是：若級(jí)數(shù)收斂，則，故對(duì)某些極限，可將函數(shù)作為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，只須證明此技術(shù)收斂，便有。例 十一、利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限當(dāng)數(shù)列本身就是某個(gè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列時(shí)，求該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級(jí)數(shù)的和，此時(shí)常可以輔助性的構(gòu)造一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（通常為冪級(jí)數(shù)，有時(shí)為Fourier級(jí)數(shù)）。使得要求的極限恰好是該函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)在某點(diǎn)的值。例 求7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限） （q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）8各項(xiàng)的拆分相加 （來(lái)消掉中間的大多數(shù)） （

8、對(duì)付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)函數(shù)9求左右求極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限） 例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系， 已知Xn的極限存在的情況下，  xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的 ，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化11 還有個(gè)方法  ，非常方便的方法  就是當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)候不同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的！x的x次方 快于  x！   快于  指數(shù)函數(shù)   快于   冪數(shù)函數(shù)   快于        對(duì)數(shù)函數(shù) （畫(huà)圖也能看出速率的快慢）  !當(dāng)x趨近無(wú)窮的時(shí)候  他們的比值的極限一眼就能看出來(lái)了12 換元法  是一種技巧，不會(huì)對(duì)模一道題目而言就只需要換元， 但是