拉氏變換與反變換

1、機電控制工程所涉及的數(shù)學(xué)問題較多， 經(jīng)常要解算一些 線性微分方程 。按照一般方法解算比較麻 煩，如果用 拉普拉斯變換 求解線性微分方程， 可將經(jīng)典數(shù)學(xué)中的微積分運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算， 又 能夠單獨地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡便的工程數(shù)學(xué)方法。拉普拉斯變換的定義如果有一個以時間 為自變量的實變函數(shù) ，它的定義域是 ，那么 的拉普拉斯變換定義為式中， 是復(fù)變數(shù)， （b、3均為實數(shù)）， 稱為拉普拉斯積分；是函數(shù) 的拉普拉斯變換，它 是一個復(fù)變函數(shù)，通常也稱 為 的象函數(shù)，而稱 為 的原函數(shù)； L 是表示進行拉普拉斯變換的符 號。式（）表明：拉氏變換是這樣一種變換，即在一定條

2、件下，它能把一實數(shù)域中的實變函數(shù)變換為 一個在復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價的復(fù)變函數(shù) 。幾種典型函數(shù)的拉氏變換1. 單位階躍函數(shù) 的拉氏變換單位階躍函數(shù) 是機電控制中最常用的典型輸入信號之一， 常以它作為評價系統(tǒng)性 能的標(biāo)準(zhǔn)輸入，這一函數(shù)定義為單位階躍函數(shù) 如圖所示，它表示在 時刻突然作用于系統(tǒng)一個幅值為 1 的不變量 單位階躍函數(shù) 的 拉氏變換式 為當(dāng) ，則 。所以（）圖 單位階躍函數(shù)2. 指數(shù)函數(shù)的拉氏變換指數(shù)函數(shù) 也是控制理論中經(jīng)常用到的函數(shù)，其中 是常數(shù)。則與求單位階躍函數(shù)同理，就可求得()3. 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的拉氏變換 設(shè)，則由 歐拉公式 ，有)其幅值和作用時間的乘積所以同理4. 單位脈沖函

3、數(shù) S (t)的拉氏變換單位脈沖函數(shù) 是在持續(xù)時間期間幅值為的矩形波。 等于 1，即。如圖所示。圖 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) 的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 其拉氏變換式為 此處因為時，故積分限變?yōu)?. 單位速度函數(shù)的拉氏變換單位速度函數(shù) ，又稱 單位斜坡函數(shù) ，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 見圖所示。圖 單位速度函數(shù) 單位速度函數(shù) 的 拉氏變換式 為 利用分部積分法令所以當(dāng)時，,則（）6. 單位加速度函數(shù)的拉氏變換 單位加速度函數(shù) 的數(shù)學(xué)表達(dá)式為如圖所示圖 單位加速度函數(shù)其 拉氏變換式 為（）根據(jù)拉氏變換定義或查表能對一些標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)進行拉氏變換和反變換，但利用以下的定理， 則對（）（）拉氏變換的主要定理一般的函數(shù)可以使運

4、算簡化1. 疊加定理拉氏變換 也服從線性函數(shù)的 齊次性 和疊加性（ 1）齊次性 設(shè)，則 式中常數(shù)。（2）疊加性 設(shè), ，則兩者結(jié)合起來，就有 這說明拉氏變換 是線性變換2. 微分定理設(shè)則式中函數(shù)在 時刻的值，即 初始值 。 同樣，可得的各階導(dǎo)數(shù)的 拉氏變換 是（）式中， 原函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)在時刻的值。如果函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零 （稱為零初始條件 ），則各階導(dǎo)數(shù)的 拉氏 變換為（）3. 復(fù)微分定理若 可以進行 拉氏變換 ，則除了在 的極點 以外，式中，同樣有一般地，有（）4. 積分定理 設(shè) ，則（） 式中積分 在 時刻的值。當(dāng) 初始條件為零 時，（） 對多重積分是（） 當(dāng) 初始條件為零 時，

5、則（）5. 延遲定理設(shè) ，且 時， ，則（） 函數(shù)為 原函數(shù)沿時間軸延遲了，如圖所示。圖 函數(shù)6. 位移定理在控制理論中，經(jīng)常遇到 一類的函數(shù)，它的 象函數(shù) 只需把 用代替即可，這相 當(dāng)于在復(fù)數(shù)坐標(biāo)中，有一位移。設(shè)，則（） 例如 的象函數(shù) ，則的 象函數(shù)為7. 初值定理 它表明 原函數(shù)在 時的數(shù)值。（） 即原函數(shù) 的初值等于 乘以象函數(shù) 的終值。8. 終值定理設(shè)，并且 存在，則（） 即原函數(shù)的終值等于乘以 象函數(shù)的初值。 這一定理對于求 瞬態(tài)響應(yīng) 的穩(wěn)態(tài)值是 很有用的。9. 卷積定理 設(shè)，則有（） 即兩個原函數(shù)的卷積分的拉氏變換等于它們 象函數(shù)的乘積。式（）中， 為卷積分 的數(shù)學(xué)表示，定義為1

6、0. 時間比例尺的改變 式中 比例系數(shù) 例如,的象函數(shù) , 則 的象函數(shù)為11. 拉氏變換的積分下限 在某些情況下 ,在 處有一個脈沖函數(shù)。這時必須明確 拉普拉斯積分 的下限是 還 是 ，因為對于這兩種下限， 的拉氏變換 是不同的。為此，可采用如下符號予以 區(qū)分： 若在 處 包含一個 脈沖函數(shù) ，則因為在這種情況下顯然，如果 在處 沒有脈沖函數(shù) ，則有拉普拉斯反變換 拉普拉斯反變換的公式為（） 式中 表示拉普拉斯反變換的符號 通常用部分分式展開法將復(fù)雜函數(shù)展開成有理分式函數(shù)之和， 然后由拉氏變換表一一查出對應(yīng)的 反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù) 。1. 部分分式展開法 在控制理論中，常遇到的 象函

7、數(shù) 是的有理分式為了將 寫成部分分式，首先將 的分母因式分解 ，則有式中， 是的根的負(fù)值，稱為的 極點，按照這些根的性質(zhì)，可分為以下幾種情況來研 究。2. 的極點為各不相同的實數(shù)時的拉氏反變換（） 式中， 是待定系數(shù)，它是 處的留數(shù)，其求法如下（） 再根據(jù)拉氏變換 的迭加定理，求原函數(shù)例 求的原函數(shù)。解: 首先將 的分母因式分解，則有即得3. 含有共軛復(fù)數(shù)極點時的拉氏反變換如果 有一對共軛復(fù)數(shù)極點 , ，其余極點均為各不相同的 實數(shù)極點 。將 展成 式中 , 和 可按下式求解即（） 因為 （或 ）是復(fù)數(shù)，故式（）兩邊都應(yīng)是復(fù)數(shù)，令等號兩邊的實部、虛部分別相 等，得兩個方程式，聯(lián)立求解，即得，

8、兩個常數(shù)。例 已知,試求其部分分式。 解: 因為 （） 含有一對共軛復(fù)數(shù)極點 , 和一個極點 ，故可將式（ ）因式分解成 （） 以下求系數(shù) 、 和 。由式（）和式（）相等，有 （） 用乘以上式兩邊，并令 ，得到 上式可進一步寫成由上式兩邊實部和虛部分別相等，可得聯(lián)立以上兩式，可求得 為了求出系數(shù) , 用乘方程（）兩邊，并令 , 將 代入，得 <!endif> 將所求得的 , 值代入（），并整理后得的部分分式 查拉氏變換表便得， 結(jié)果見式（） 例 已知求。解 : 將的分母因式分解，得利用方程兩邊實部、虛部分別相等得解得，所以這種形式再作適當(dāng)變換：查拉氏變換表得4. 中含有重極點的拉氏

9、反變換 設(shè)有 r 個 重根 ，則將上式展開成部分分式 （）式中，的求法與單實數(shù)極點情況下相同。的求法如下：則）例 設(shè) ，試求的部分分式。解 : 已知（） 含有 2 個重極點，可將式（）的分母因式分解得（） 以下求系數(shù)、 和。將所求得的、值代入式（），即得的部分分式查拉氏變換表可得 。例 求的拉氏反變換。解 : 將展開為部分分式上式中各項系數(shù)為查拉氏變換表，得5.用MATLA展開部分分式(1) 概述MATLA是美國Math Works公司的軟件產(chǎn)品，是一個高級的數(shù)值分析、處理與計 算的軟件，其強大的矩陣運算能力和完美的圖形可視化功能， 使得它成為國際控 制界應(yīng)用最廣的首選計算機工具。SIMULI

10、NK是基于模型化圖形的動態(tài)系統(tǒng)仿真軟件，是MATLA的一個工具箱，它使 系統(tǒng)分析進入一個嶄新的階段， 它不需要過多地了解數(shù)值問題， 而是側(cè)重于系統(tǒng) 的建模、分析與設(shè)計。 其良好的人機界面及周到的幫助功能使得它廣為科技界和 工程界所采用。用MATLAB進行部分分式展開MATLAB有一個命令用于求 B(s)/ A( s)的部分分式展開式。設(shè)S的有理分式為 式中(i=)和。=)的某些值可能為零。在 MATLAB勺行向量中，num和den分別 表示 F(s) 分子和分母的系數(shù)，即num=den=1 命令r,p,k=residue(num,den)MATLAB將按下式給岀 F(s)部分分式展開式中的 留

11、數(shù)、極點和余項：上式與式()比較，顯然有p(1)=-p1，p(2)=-p2，p( n)=-pn；r(1)=A,r(2)= A，r(n)=A;k (s )是余項。 例 試求下列函數(shù)的部分分式展開式 解：對此函數(shù)有 num=1 11 39 52 26 den= 1 10 35 50 24 命令 r,p,k=residue(num,den) 于是得到下列結(jié)果 r,p,k=residue(num,den) r= p= k= 1則得如果 F(s) 中含重極點，則部分分式展開式將包括下列諸項 式中， p(j) 為一個 q 重極點。 例 試將下列函數(shù)展開成部分分式解：對于該函數(shù)有num=0 1 4 6den =1 3 3 1命令r,p,k=residue(num,den)將得到如下結(jié)果：r,p,k=residue(num,den)r= p= k= 所以可得注意，本例的余項 k 為零。應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程時，采用下列步驟：的代數(shù)方程；(1) 對線性微分方程中每一項進行拉氏變換，使微分方程變?yōu)?2) 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式；(3)