數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

1、課題：數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)福建省三明市第二中學(xué)李平香一、 教材分析：“數(shù)列”是人教（ A）版必修 5 第 2 章“數(shù)列”第一課時(shí)，是繼函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和幾個(gè)連續(xù)函數(shù)的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)）之后，學(xué)習(xí)的一類(lèi)新的、離散型的函數(shù)模型，是函數(shù)概念和性質(zhì)的進(jìn)一步深化與運(yùn)用 . 通過(guò)“數(shù)列”起始課的學(xué)習(xí)，在讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到數(shù)列是一類(lèi)特殊函數(shù)的同時(shí)，將函數(shù)的研究?jī)?nèi)容和研究方法，類(lèi)比遷移到數(shù)列之中，讓學(xué)生了解數(shù)列的研究?jī)?nèi)容與研究方法，促進(jìn)學(xué)生形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.二、 學(xué)情分析：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了集合、函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法（列表法、解析法、圖象法）、函數(shù)的一般性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周

2、期性）和幾個(gè)連續(xù)的函數(shù)模型，通過(guò)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，不僅對(duì)函數(shù)有了較深刻的認(rèn)識(shí)，而且還初步形成了建立新的數(shù)學(xué)概念的一般方法，具備了抽象與概括、類(lèi)比與遷移、歸納與演繹等數(shù)學(xué)能力，這為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列概念創(chuàng)造了良好的條件.本節(jié)課的授課對(duì)象是實(shí)驗(yàn)班學(xué)生，他們的思維能力、遷移類(lèi)比能力等較強(qiáng)，他們積極上進(jìn)，善于思考，課堂上敢于發(fā)表自己的見(jiàn)解 .三、 教學(xué)目標(biāo)：1.通過(guò)生活實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法，數(shù)列的分類(lèi)，了解數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù).2.運(yùn)用已有的研究數(shù)學(xué)概念的經(jīng)驗(yàn)，理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，單調(diào)性及應(yīng)用.3. 在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受類(lèi)比遷移、歸納演繹等數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，形成系統(tǒng)的知識(shí)鏈，將新知

3、識(shí)順利納入已有的知識(shí)體系.四、 教學(xué)重難點(diǎn)：1.教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列概念及表示、通項(xiàng)公式、單調(diào)性.2.教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列概念的深層次理解，即數(shù)列是特殊的函數(shù).五、 教學(xué)方法：采用問(wèn)題引導(dǎo)下的探究教學(xué)，即通過(guò)設(shè)計(jì)相關(guān)問(wèn)題，啟迪思維， 在學(xué)生的探究活動(dòng)中，學(xué)習(xí)新知， 積累方法 .六、 教學(xué)過(guò)程： . 回顧典故，導(dǎo)入新課師：章節(jié)引入：有人說(shuō)，大自然是懂?dāng)?shù)的. 不知你注意過(guò)沒(méi)有，樹(shù)木的分杈、花瓣的數(shù)量、植物種子的排列 ，都遵循了某種數(shù)學(xué)規(guī)律. 想知道這種規(guī)律，就要進(jìn)入第二章：數(shù)列的學(xué)習(xí).數(shù)列是如何定義的呢？我們還是先看看具體的實(shí)例. 傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯派的數(shù)學(xué)家，他們經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù). 比如

4、，他們?cè)谏碁┥涎芯窟^(guò)多邊形數(shù)：1,3,6,10， ，可以用圖中的三角形點(diǎn)陣表示，他們就將其稱(chēng)為三角形數(shù) ；類(lèi)似地： 1,4,9,16, ，被稱(chēng)為 正方形數(shù) ，因?yàn)檫@些數(shù)可以用圖中的正方形點(diǎn)陣表示.師：今天，這節(jié)課讓我們一起沿著古人的足跡，進(jìn)入數(shù)的世界，繼續(xù)數(shù)的研究. 這兩列數(shù)中數(shù)字之間能否調(diào)換順序？為什么？1生：不能調(diào)換順序，調(diào)換了順序后，表示的意義就不同了. 這兩列數(shù)共同的特點(diǎn)是：按一定順序排列的一列數(shù) . . 順應(yīng)認(rèn)知，建構(gòu)概念一、數(shù)列的概念與表示法： 數(shù)列的概念 ：按一定 順序 排列著的 一列數(shù) 叫做數(shù)列 .數(shù)列與數(shù)集的比較：數(shù)列數(shù)集共同點(diǎn)都是研究數(shù)(1) 數(shù)列中的 數(shù)有順序 ，如數(shù)列

5、1,2,3,4, 與數(shù)列 (1) 數(shù)集中的 數(shù)沒(méi)有順序，4,3,2,1, 是不同的兩個(gè)數(shù)列如 1,2,3,44,3,2,1不同點(diǎn)(2) 數(shù)列中的 數(shù)可以相同 ，如：數(shù)列 3,3,3 ，3， ，(2) 數(shù)集中的 數(shù)互不相同 ，如3,3 錯(cuò)誤數(shù)列的項(xiàng) ：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng) .各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1 項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)， ，排在第n 位的數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的第n 項(xiàng) .n 為項(xiàng)的序號(hào) .師：類(lèi)比集合中元素常用小寫(xiě)字母表示，數(shù)列中的項(xiàng)可以怎么表示？生：可以 用 a1, a2 , a3, an分別表示數(shù)列的第1 項(xiàng)（首項(xiàng)）、第2 項(xiàng)、第 3 項(xiàng)、 第 n 項(xiàng) .數(shù)列的一般形式： a1

6、,a2 , a3 , an, 錯(cuò)誤！未找到引用源。簡(jiǎn)記為數(shù)列an ，其中 an 錯(cuò)誤！未找到引用源。 是數(shù)列的第 n 項(xiàng) .師：在數(shù)列中，符號(hào)an 與 an 表示的意義是否相同？生：不同 . 因?yàn)閍n 表示一個(gè)數(shù)列，不只是一項(xiàng)；而an 只表示第 n 項(xiàng) .師：對(duì) .an 表示一個(gè)數(shù)列，不只是一項(xiàng)，通常在前面加上“數(shù)列”兩字，即“數(shù)列an ”；那數(shù)列中的項(xiàng)可以有多少個(gè)呢？.生：可以有限個(gè)，還可以無(wú)限個(gè).師：我們可以根據(jù)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)：有限和無(wú)限，將數(shù)列分為兩類(lèi).設(shè)計(jì)意圖： 在前面新概念的教學(xué)過(guò)程中，教師都十分重視發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知策略，引導(dǎo)學(xué)生提煉總結(jié)建構(gòu)新概念的一般方法，學(xué)生已經(jīng)初步具備了建構(gòu)新概念

7、的基本策略. 因此，在建立“數(shù)列”這一新概念時(shí)，通過(guò)問(wèn)題 1，引導(dǎo)學(xué)生將前面已經(jīng)初步形成的建立概念的基本策略，類(lèi)比遷移到建立數(shù)列的概念建構(gòu)之中，以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知 . . 注重聯(lián)系，理解概念2二、數(shù)列的本質(zhì)：離散函數(shù)師：當(dāng)我們學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，要關(guān)注到所學(xué)的新知識(shí)與原有的知識(shí)之間有無(wú)內(nèi)在的聯(lián)系，讓新知識(shí)長(zhǎng)在舊知識(shí)上，以利于我們從整體上把握數(shù)學(xué)，構(gòu)建一個(gè)具有強(qiáng)大思維功能的知識(shí)體系.問(wèn)題 . 數(shù)列 a中的各項(xiàng) ak 與各項(xiàng)序號(hào) k 1,2,3, , n,之間存在著如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系，n這個(gè)“對(duì)應(yīng)關(guān)系f ”是函數(shù)嗎？序號(hào) n1234nB項(xiàng) ana1a2a3anAa4.生：是 .師：為什么？生：因?yàn)閷?duì)數(shù)

8、列中的每一個(gè)序號(hào)1,2,3, n,，都有唯一的項(xiàng)a1 , a2 , a3 , an, 與它對(duì)應(yīng)，所以，數(shù)列是一個(gè)函數(shù).師：其他同學(xué)認(rèn)同這個(gè)結(jié)論嗎？師：依據(jù)函數(shù)的定義，可見(jiàn)，數(shù)列確實(shí)是一個(gè)函數(shù). 反之，對(duì)于一個(gè)函數(shù)yfx ，若自變量 x 可以取正整數(shù)時(shí)，我們就可以得到一個(gè)數(shù)列：f1 , f2 , f3 , f4 , fn ,，自變量 x1234nfxf 1f2f 3f 4fn數(shù)列 ana1a2a2a3an師：如果數(shù)列an 的第 n 項(xiàng)與序號(hào) n 之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么我把 anfnnN的解析式，稱(chēng)為數(shù)列的通項(xiàng)公式.數(shù)列與函數(shù)比較：函數(shù)數(shù)列 ( 特殊的函數(shù) )定義域R 或 R 的子集

9、N 或它的有限子集1,2,3,n表示法列表法、圖象法、解析式法列表法、圖象法、通項(xiàng)公式法解析式y(tǒng)fx , xAanfn （稱(chēng)為數(shù)列的 通項(xiàng)公式 ）圖象可以是連續(xù)或離散的點(diǎn)的集合一些離散的點(diǎn)的集合師：我們知道確定一個(gè)函數(shù)，就是要確定定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，同樣，確定一個(gè)數(shù)列也可以通過(guò)確定它的通項(xiàng)公式 .3 . 理解公式，掌握應(yīng)用三、數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用：例 1. 根據(jù)下面數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出前5 項(xiàng)：n(1)an3n1;變式： 2016 是數(shù)列中的項(xiàng)嗎？(2)an1 n n ,變式： an1 n ，變式： an1 n 1由通項(xiàng)公式定義可知，只要將通項(xiàng)公式中n 依次取1， 2，3， 4， 5，即可

10、得到數(shù)列的前5 項(xiàng)解： (1)a14, a27, a310, a413, a5 16變式：若3n12016 ， 得 n2015N 所以 2016 不是數(shù)列的項(xiàng) .32 a11,a22,a33,a44, a55，變式： 符號(hào)數(shù)列：1,1,1,1,，變式： 符號(hào)數(shù)列：1,1,1,1,，總結(jié)：根據(jù)通項(xiàng)公式可以算出數(shù)列的指定項(xiàng)，判斷某個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)，可見(jiàn)，確定一個(gè)數(shù)列可以確定其通項(xiàng)公式，還可以有其它方法, 數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一, 也可以沒(méi)有 .例 2：寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4 項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(1)1,4,9,16， ，變式： 2,5,10,17 ， ，（ 2） 8,8,8,8，

11、 ，1 11,(3) 1, ,234(4)10,100,1000,10000, ，變式： 9,99,999,9999, ，變式： 5,55,555,5555, ，3,1,79,（ 5）, ,210 17規(guī)律方法：（ 1）分析項(xiàng)與項(xiàng)的序號(hào) n 的關(guān)系，相鄰項(xiàng)是如何變化的；（ 2）注意各項(xiàng)符號(hào)特征 , 如果是分式要注意分別觀(guān)察分子、分母的特征；（ 3）若關(guān)系不明顯時(shí)，可以將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)變形，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律展現(xiàn)出來(lái)；（ 4）常見(jiàn)數(shù)列：奇數(shù)數(shù)列、偶數(shù)數(shù)列、平方數(shù)列、99 數(shù)列、倒數(shù)數(shù)列、符號(hào)數(shù)列等通項(xiàng)公式.（ 5）分析數(shù)列與常見(jiàn)數(shù)列的關(guān)系，設(shè)計(jì)意圖： 通過(guò)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一個(gè)特

12、殊的函數(shù). 在明確了數(shù)列就是函數(shù)之后，通過(guò)類(lèi)比函數(shù)的研究?jī)?nèi)容和研究方法，進(jìn)一步地研究數(shù)列. 這樣設(shè)計(jì)的目的是促使學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法串成一個(gè)完整的系統(tǒng).4 . 深層理解，研究性質(zhì)四、數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用：?jiǎn)栴} . 函數(shù)的性質(zhì)有哪些？數(shù)列我們經(jīng)常研究那些性質(zhì)呢？生：我們研究了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性. 單調(diào)性、周期性依然存在，而奇偶性不存在.師：能說(shuō)說(shuō)理由嗎？生：因?yàn)閿?shù)列的定義域都是正整數(shù)，所以，不具有奇偶性；有的數(shù)列具有單調(diào)性，如例2 中的第（ 1）小題，有的數(shù)列具有周期性，如例1 中的第（ 2）小題 .師：總結(jié)的很好！你能說(shuō)出例1 中每個(gè)數(shù)列的單調(diào)性嗎？生：（ 1）

13、、（ 4）是遞增數(shù)列；（ 2）是常數(shù)數(shù)列（4）是遞減數(shù)列，（6）是擺動(dòng)數(shù)列 .師：什么叫遞增數(shù)列？什么叫遞減數(shù)列？數(shù)列的單調(diào)性呢？生：遞增數(shù)列： 從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.遞減數(shù)列： 從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.常數(shù)數(shù)列： 各項(xiàng)都相等的數(shù)列 .擺動(dòng)數(shù)列： 從第 2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.師：我們又一次從具體實(shí)例中，抽象概括出了“新概念”，接著咱們又要用數(shù)學(xué)特有的“符號(hào)語(yǔ)言”來(lái)表示 . 如何用符號(hào)來(lái)表示：“數(shù)列的每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)”呢？生：數(shù)列的每一項(xiàng)即通項(xiàng)an 它的前一項(xiàng)就是an 1師：很好！還要注意一個(gè)細(xì)節(jié)：數(shù)列第二項(xiàng)開(kāi)始才有

14、前一項(xiàng)，這里的下標(biāo)序號(hào)n2.，實(shí)際上，就是從第二項(xiàng)起的任意相鄰兩項(xiàng)選擇用an 與 an 1 n2; 還可以如何選？生：用 an 與 an 1, 這里的下標(biāo)序號(hào) nN即可 .師：非常棒！可見(jiàn)，要判斷數(shù)列的單調(diào)性， 就是要比較任意相鄰兩項(xiàng)anan 1大小或a n與an 1n 2.與10n例 3. 已知數(shù)列an 的通項(xiàng) annN ，求數(shù)列的最大項(xiàng) .n 111變式：已知數(shù)列an的通項(xiàng) ann29n8，則數(shù)列的最小項(xiàng)是第_項(xiàng).10n 110n10n210n9n解： an 1 an n 2n 110 nn 1111111111111所以，當(dāng) n1,2,3,8 時(shí)， an 1an0, 即 an 1an ，

15、即 a1a2a3a8a9 ；當(dāng) n 9 時(shí)， an 1an ，即 a9a10 ；5當(dāng) n 10,11,12,13, 時(shí)， an1an0, 即 an 1an ，即 a10a11 a12 ,綜上： a1 a2a3a8a9a10a11a12a1310所以：數(shù)列中的第9項(xiàng)和第 10項(xiàng)最大，最大值為109 .11師：利用數(shù)列的單調(diào)性可以求最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，當(dāng)然，還可以有其它方法，大家可以自己回去思考. . 總結(jié)分類(lèi)，完善結(jié)構(gòu)五、數(shù)列的分類(lèi)：1根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分 ：有窮數(shù)列 ：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列. 無(wú)窮數(shù)列： 項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列 .2 根據(jù)數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)的大小分：遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列.師：數(shù)列

16、還可以按其它的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分類(lèi).設(shè)計(jì)意圖： 在學(xué)習(xí)和運(yùn)用概念過(guò)程中，激活某個(gè)概念時(shí)，其實(shí)質(zhì)是激活這個(gè)概念所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò). 因此，教學(xué)每一個(gè)概念都應(yīng)當(dāng)從概念所處的系統(tǒng)出發(fā)，促進(jìn)學(xué)生建立新舊概念之間的各種聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)概念網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)與擴(kuò)展，使新的概念成為學(xué)生內(nèi)部概念網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)有機(jī)組成部分. 這樣，數(shù)學(xué)概念教學(xué)不再是個(gè)別概念的教學(xué)，而是通過(guò)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的各種活動(dòng)，使學(xué)生獲得概念域、概念網(wǎng)絡(luò)，直至完成對(duì)概念系統(tǒng)的理解與掌握 . . 課堂小結(jié)，作業(yè)布置問(wèn)題 (1) 什么是數(shù)列？其本質(zhì)是什么？（ 2）本節(jié)課具體研究了數(shù)列的哪些內(nèi)容？作業(yè)（ 1）課本 : 習(xí)題 2.1A 組 1、 2、3、 5. (2)求數(shù)列3n12

17、的最小項(xiàng) .3n22（ 3）（ 2013 湖北，理 14）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù). 如三角形數(shù)1,3,6,10 ， ,n n 1n2nn 個(gè) k 邊形數(shù)為 Nn, kk 3，以下列出了部分k 邊形數(shù)中第第 n 個(gè)三角形數(shù)為2. 記第22n 個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N n,3n2n ,22正方形數(shù)Nn,4n2 ,五邊形數(shù)Nn,53n2n ,22六邊形數(shù)N n,62n2n, 可以推測(cè) N n, k 的表達(dá)式，由此計(jì)算 N 10,24_6設(shè)計(jì)意圖： 通過(guò)課堂小結(jié)，總結(jié)所學(xué)習(xí)的知識(shí)，提煉研究問(wèn)題的方法，在幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)列概念理解的同時(shí)，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)研究數(shù)學(xué)概念的基本方法，讓學(xué)生在

18、學(xué)會(huì)知識(shí)的同時(shí)，學(xué)會(huì)研究問(wèn)題的方法，讓學(xué)生在“學(xué)會(huì)”的同時(shí)，逐步做到“會(huì)學(xué)” . 補(bǔ)充以“多邊形數(shù)”為背景的考題，與課堂引入相呼應(yīng)，讓數(shù)學(xué)文化自然滲入課堂 . . 教學(xué)反思問(wèn)題是驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維的源泉！在數(shù)學(xué)教學(xué)中好的問(wèn)題，可以驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維、形成有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng) . 因此，所設(shè)計(jì)的問(wèn)題應(yīng)當(dāng)符合學(xué)生的實(shí)際，否則，如果問(wèn)題過(guò)大、過(guò)難，學(xué)生往往無(wú)從下手，難以形成有效的探究活動(dòng)；同樣地，也不能過(guò)小、過(guò)碎，如果教師為學(xué)生設(shè)置了許多的“臺(tái)階”和“路徑”，學(xué)生只要遵循教師所指引的路線(xiàn)，最終都會(huì)到達(dá)目的，學(xué)生似乎“發(fā)現(xiàn)”或“撿到”了什么，但實(shí)際上教師早就把結(jié)果放在了探究的必經(jīng)之路上，這樣的引導(dǎo)在很大程度上就失去了發(fā)現(xiàn)的意義. 所以，本節(jié)所設(shè)計(jì)的問(wèn)題都在“學(xué)生的就近發(fā)展區(qū)”上設(shè)問(wèn)，不僅包含了知識(shí)層面，而且還包含了認(rèn)知層面.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是傳授知識(shí)，更重要的是發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、完善學(xué)生的認(rèn)知體系. 認(rèn)知策略不僅影響著學(xué)生學(xué)習(xí)、 記憶和思維的任何一個(gè)階段，而且在一個(gè)情境中已經(jīng)獲得的概念學(xué)習(xí)策略可以遷移到另一個(gè)新概念