概率論與數(shù)理統(tǒng)計第六章(最新版)

1、1第一二節(jié)第一二節(jié) 隨機樣本與抽樣分布隨機樣本與抽樣分布教學內容教學內容 1 總體和樣本總體和樣本 2 統(tǒng)計量與經驗分布函數(shù)統(tǒng)計量與經驗分布函數(shù) 3 統(tǒng)計三大抽樣分布統(tǒng)計三大抽樣分布 4 幾個重要的抽樣分布定理幾個重要的抽樣分布定理教學重點教學重點 統(tǒng)計量，幾個重要的抽樣分布定理統(tǒng)計量，幾個重要的抽樣分布定理2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科，是重要的一個數(shù)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科，是重要的一個數(shù)學分支。概率論是研究隨機現(xiàn)象發(fā)生可能性學分支。概率論是研究隨機現(xiàn)象發(fā)生可能性的大小的一門學科，而數(shù)理統(tǒng)計則是研究大的大小的一門學科，而數(shù)理統(tǒng)計

2、則是研究大量隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門學科。它們之間量隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門學科。它們之間聯(lián)系密切但也有根本差別，數(shù)理統(tǒng)計的方法聯(lián)系密切但也有根本差別，數(shù)理統(tǒng)計的方法在自然科學、工程技術研究及社會科學領域在自然科學、工程技術研究及社會科學領域中應用極其廣泛。中應用極其廣泛。3 數(shù)理統(tǒng)計學是一門應用性很強的學科數(shù)理統(tǒng)計學是一門應用性很強的學科. 它是研究它是研究怎樣以怎樣以有效的方式有效的方式收集、收集、 整理和分析帶有隨機性的整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出推斷和預測，甚至數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出推斷和預測，甚至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議。為采取一定的決策和行動提供

3、依據(jù)和建議。 由于大量隨機現(xiàn)象必然呈現(xiàn)它規(guī)由于大量隨機現(xiàn)象必然呈現(xiàn)它規(guī)律性，只要對隨機現(xiàn)象進行足夠多次律性，只要對隨機現(xiàn)象進行足夠多次觀察，被研究的規(guī)律性一定能清楚地觀察，被研究的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來呈現(xiàn)出來. 客觀上，客觀上， 只允許我們對隨機現(xiàn)象只允許我們對隨機現(xiàn)象進行次數(shù)不多的觀察試驗進行次數(shù)不多的觀察試驗 ，我們只，我們只能獲得局部觀察資料能獲得局部觀察資料.4數(shù)理統(tǒng)計是以概率論為理論基礎數(shù)理統(tǒng)計是以概率論為理論基礎, 根據(jù)抽根據(jù)抽樣信息樣信息, 對研究對象對研究對象(總體總體)作出合理的估計作出合理的估計和判斷的學科和判斷的學科.數(shù)理統(tǒng)計的步驟數(shù)理統(tǒng)計的步驟:(1) 收集、整理

4、數(shù)據(jù)資料收集、整理數(shù)據(jù)資料(2) 對所得數(shù)據(jù)資料進行分析、研究對所得數(shù)據(jù)資料進行分析、研究(3) 對所研究對象的性質、特點作出估計對所研究對象的性質、特點作出估計或判斷或判斷.5 一一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象.1.1.總體總體研究某批燈泡的質量研究某批燈泡的質量 研究對象的研究對象的所構成的一個集合所構成的一個集合全體稱為全體稱為總體，總體，是一維隨機變量是一維隨機變量(或多維隨機變量或多維隨機變量), 記為記為X.總體總體一、總體和樣本一、總體和樣本總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量總體的容量.總體中每個成員稱為總體中每個成

5、員稱為個體，個體，總體總體有限總體有限總體無限總體無限總體 6 在數(shù)理統(tǒng)計研究中，人們往往研究有關對象的在數(shù)理統(tǒng)計研究中，人們往往研究有關對象的某一項某一項(或幾項或幾項)數(shù)量指標和為此，對這一指標進行數(shù)量指標和為此，對這一指標進行隨機試驗，觀察試驗結果全部觀察值，從而考察該隨機試驗，觀察試驗結果全部觀察值，從而考察該數(shù)量指標的分布情況數(shù)量指標的分布情況.這時，每個具有的數(shù)量指標的這時，每個具有的數(shù)量指標的全體就是總體全體就是總體.每個數(shù)量指標就是個體每個數(shù)量指標就是個體.某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命該批燈泡壽命的全該批燈泡壽命的全體就是總體體就是總體國產轎車每公里國產轎車每公里的耗油量的耗油

6、量國產轎車每公里耗油量國產轎車每公里耗油量的全體就是總體的全體就是總體7 由于每個個體的出現(xiàn)是隨機的，所以相由于每個個體的出現(xiàn)是隨機的，所以相應的數(shù)量指標的出現(xiàn)也帶有隨機性應的數(shù)量指標的出現(xiàn)也帶有隨機性. 從而可從而可以把這種數(shù)量指標看作一個隨機變量，以把這種數(shù)量指標看作一個隨機變量，因此因此隨機變量的分布就是該數(shù)量指標在總體中的隨機變量的分布就是該數(shù)量指標在總體中的分布分布. 這樣，總體就可以用一個隨機變量這樣，總體就可以用一個隨機變量及其分布來描述及其分布來描述.8 而而概率分布概率分布正是刻劃這種集體性質正是刻劃這種集體性質的適當工具的適當工具. . 因此在理論上可以把總體因此在理論上可

7、以把總體與概率分布等同起來與概率分布等同起來.從另一方面看從另一方面看 統(tǒng)計的任務統(tǒng)計的任務, ,是根據(jù)從總體中抽取的是根據(jù)從總體中抽取的樣本樣本，去推斷總體的性質去推斷總體的性質. 由于我們關心的是總體中的個體的某由于我們關心的是總體中的個體的某項指標項指標( (如人的身高、體重，燈泡的壽命如人的身高、體重，燈泡的壽命, ,汽車的耗油量汽車的耗油量) ) ，所謂總體的性質所謂總體的性質，無非就是這些指標值的集體的性質無非就是這些指標值的集體的性質.9 例如例如:研究某批燈泡的壽命時，關心的數(shù)研究某批燈泡的壽命時，關心的數(shù)量指標就是壽命，那么，此總體就可以用隨量指標就是壽命，那么，此總體就可以

8、用隨機變量機變量X表示，或用其分布函數(shù)表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示表示.某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命總體總體壽命壽命X可用一概可用一概率分布來刻劃率分布來刻劃鑒于此，常用隨機變量的記號鑒于此，常用隨機變量的記號或用其分布函數(shù)表示總體或用其分布函數(shù)表示總體. 如如說總體說總體X或總體或總體F(x) .F(x)10 類似地，在研究某地區(qū)中學生的營養(yǎng)狀類似地，在研究某地區(qū)中學生的營養(yǎng)狀況時，若關心的數(shù)量指標是身高和體重，我況時，若關心的數(shù)量指標是身高和體重，我們用們用X和和Y分別表示身高和體重，那么此總體分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機變量就可用二維隨機變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)

9、或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來表示來表示. 統(tǒng)計中，總體這個概念統(tǒng)計中，總體這個概念 的要旨是：的要旨是：總體就是一個總體就是一個 概率分布概率分布.11參數(shù)的分布，為推斷總體分布及各種特征，按一參數(shù)的分布，為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進行觀察試驗，以定規(guī)則從總體中抽取若干個體進行觀察試驗，以獲得有關總體的信息獲得有關總體的信息 ，這一抽取過程稱為，這一抽取過程稱為 “抽抽樣樣”，所抽取的部分個體稱為所抽取的部分個體稱為樣本樣本. 樣本中所包樣本中所包含的個體數(shù)目稱為含的個體數(shù)目稱為樣本容量樣本容量.2. 2. 樣本樣本從國產轎車中抽從國產轎車中抽5輛輛進行耗油量試

10、驗進行耗油量試驗樣本容量為樣本容量為5抽到哪抽到哪5輛是隨機的輛是隨機的 總體分布一般是未知，或只知道是包含未知總體分布一般是未知，或只知道是包含未知12 一旦取定一組樣本一旦取定一組樣本X1， ,Xn ,得到得到n個具體的數(shù)個具體的數(shù) (x1,x2,xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡稱，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值樣本值 .n稱為這個樣本的容量稱為這個樣本的容量.21nXXXnX，觀觀察察，其其結結果果依依次次記記為為次次重重復復、獨獨立立在在相相同同的的條條件件下下，進進行行對對總總體體.,21分分布布同同的的與與總總體體隨隨機機變變量量具具有有相相的的一一個個簡簡單單隨隨機機樣樣本本，

11、是是來來自自總總體體這這樣樣得得到到的的隨隨機機變變量量XXXXn13最常用的一種抽樣叫作最常用的一種抽樣叫作“簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣”，其特點其特點：1. 代表性代表性： X1,X2,Xn中每一個與所考察的總體有中每一個與所考察的總體有 相同的分布相同的分布.2. 獨立性獨立性： X1,X2,Xn是相互獨立的隨機變量是相互獨立的隨機變量.3.同分布同分布: 樣本與總體服從同一分布樣本與總體服從同一分布.14定義：定義：.nXx,x,xnXFFX,X,XFX,X,XFXn21n21n21個個獨獨立立的的觀觀察察值值的的又又稱稱為為稱稱為為樣樣本本值值，值值簡簡稱稱樣樣本本，它它們們的的觀觀察

12、察為為的的簡簡單單隨隨機機樣樣本本，）得得到到的的容容量量、或或總總體體（或或總總體體為為從從分分布布函函數(shù)數(shù)變變量量，則則稱稱的的、相相互互獨獨立立的的隨隨機機是是具具有有同同一一分分布布函函數(shù)數(shù)的的隨隨機機變變量量，若若是是具具有有分分布布函函數(shù)數(shù)設設 由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本簡單隨機樣本，它可以用與總體獨立同分布的它可以用與總體獨立同分布的n個相互獨立的隨機個相互獨立的隨機變量變量X1,X2,Xn表示表示.15 簡單隨機樣本是應用中最常見的情形，今后，簡單隨機樣本是應用中最常見的情形，今后，當說到當說到“X1,X2,Xn是取自某總體的樣本是取自

13、某總體的樣本”時，若時，若不特別說明，就指簡單隨機樣本不特別說明，就指簡單隨機樣本.=F(x1) F(x2) F(xn) 若總體的分布函數(shù)為若總體的分布函數(shù)為F(x)、概率密度函數(shù)為、概率密度函數(shù)為f(x),則其簡單隨機樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為則其簡單隨機樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為),(2*nxxxF其簡單隨機樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為其簡單隨機樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為),(2*nxxxf=f(x1) f(x2) f(xn) 16 事實上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確事實上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值定的值. 如我們從某班大學生中抽取如我們從某班大學生中抽取10人測量身高人測量身高,得到得

14、到10個數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本個數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本. 我我們只能觀察到隨機變量取的值而見不到隨機變量們只能觀察到隨機變量取的值而見不到隨機變量.3. 3. 總體、樣本、樣本值的關系總體、樣本、樣本值的關系17總體（理論分布）總體（理論分布） ？ 樣本樣本 樣本值樣本值 統(tǒng)計是從手中已有的資料統(tǒng)計是從手中已有的資料-樣本值，去推斷總樣本值，去推斷總體的情況體的情況-總體分布總體分布F(x)的性質的性質. 總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總

15、體總體. 樣本是聯(lián)系二者的橋梁樣本是聯(lián)系二者的橋梁18 由樣本值去推斷總體情況，由樣本值去推斷總體情況，在應用時在應用時, , 往往往往不是直接使用樣本不是直接使用樣本, ,需要對樣本值進行需要對樣本值進行“加工加工”，這就要構造一些依賴于樣本的函數(shù)，它把樣本中這就要構造一些依賴于樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來所含的（某一方面）的信息集中起來.1. 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 這種這種不含任何未知參數(shù)不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量計量. 它是完全由樣本決定的量它是完全由樣本決定的量.二、統(tǒng)計量與經驗分布函數(shù)二、統(tǒng)計量與經驗分布函數(shù)19定義定義.),(,),(

16、,21212121個個統(tǒng)統(tǒng)計計量量稱稱是是一一中中不不含含未未知知參參數(shù)數(shù)，則則的的函函數(shù)數(shù)，若若是是的的一一個個樣樣本本，是是來來自自總總體體設設nnnnXXXggXXXXXXgXXXX請注意請注意 :.),X(),(,X21212121的觀察值的觀察值計量計量也是統(tǒng)也是統(tǒng)則則是一個樣本的觀察值是一個樣本的觀察值的一個樣本的一個樣本是來自總體是來自總體設設nnnnXXgxxxgxxxXXX 注：統(tǒng)計量是隨機變量。它不含任何注：統(tǒng)計量是隨機變量。它不含任何未知參數(shù)未知參數(shù). .20例例 1 設為來自總體設為來自總體 的一個樣本，的一個樣本，nXX ,1),(2 NX已知，已知，未知未知其中其中

17、2, 問下列隨機變量中那些是統(tǒng)計量問下列隨機變量中那些是統(tǒng)計量;21XXn;)(221 XXn+ + +.)(1 nnXXn- -+ + +;1 nXXn- -+ + +;),min(21XXXn21 幾個常見統(tǒng)計量幾個常見統(tǒng)計量樣本平均值樣本平均值niiXnX11它反映了它反映了總體均值總體均值的信息的信息樣本方差樣本方差-niiXXnS122)(11它反映了總體它反映了總體方差的信息方差的信息 - - - niiXnXn12211樣本標準差樣本標準差 - - - niiXXnS12)(1122nikikXnA11它反映了總體它反映了總體k 階矩的信息階矩的信息樣本樣本k階原點矩階原點矩樣本

18、樣本k階中心矩階中心矩-nikikXXnB1)(1 k=1,2,它反映了總體它反映了總體k 階階中心矩的信息中心矩的信息23它們的觀察值分別為：它們的觀察值分別為： niixnx11. 1樣本均值樣本均值11)(11. 2122122 - - - - - - niiniixnxnxxns樣本方差樣本方差 - - - niixxns12)(11. 3樣本標準差樣本標準差2 , 1,1. 41 kxnanikik樣本樣本k階矩階矩2 , 1,)(1. 51 - - kxxnbnikik樣本樣本k階中心矩階中心矩24請注意請注意 :., 2 , 11)(1 kXnAnXEkXkpnikikkk時，時

19、，存在，則當存在，則當階矩階矩的的若總體若總體.),(),(2121為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中可將上述性質推廣為可將上述性質推廣為由依概率收斂性質知，由依概率收斂性質知，再再ggAAAgkpk .根根據(jù)據(jù)這這就就是是矩矩估估計計法法的的理理論論., 2 , 1)(,2121上述結論上述結論再由辛欽大數(shù)定律可得再由辛欽大數(shù)定律可得同分布同分布獨立且與獨立且與有有同分布，同分布，獨立且與獨立且與由由事實上事實上nkXEXXXXXXXXkkikknkkn 25 2. 經驗分布函數(shù)經驗分布函數(shù).,)(,2121的隨機變量的個數(shù)的隨機變量的個數(shù)中不大于中不大于表示表示的一個樣本，用的一個樣本，用是總體

20、是總體設設xxxxxxsFXXXnn - - xxsnxFn)(1)(經驗分布函數(shù)為經驗分布函數(shù)為定義定義31 1 2( )FF x例設總體 具有一個樣本值 ， ，則經驗分布函數(shù)的觀察值為30,12( ),1231,2xF xxx若若若2612(1)(2)( ),.( )nnnx xxnxxxF x一般，設是總體的一個容量為 的樣本值將它們按大小次序排列如下：則經驗分布函數(shù)的觀察值為(1)( )(1)( )0,( ),(1,2, ,1)1,nkknx xkF xxx xknnx x+ -若若若27 三三 統(tǒng)計三大抽樣分布統(tǒng)計三大抽樣分布)(22n記為記為2分布分布1、定義定義: 設設 相互獨立

21、相互獨立, 都服從正態(tài)分布都服從正態(tài)分布N(0,1), 則稱隨機變量：則稱隨機變量： 所服從的分布為所服從的分布為自由度為自由度為 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX+22分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布. .28 - - -0,00,)2/(21)(2122/yyeynyfynn其概率密度函數(shù)為：其概率密度函數(shù)為：來定義來定義.其中伽瑪函數(shù)其中伽瑪函數(shù) 通過積分通過積分0,)(01-xdttexxt)(x1/10,( )( )000 xxxexfx-，其他, 分布的密度函數(shù)為分布的密度函數(shù)為記為( , )X 29(1)X,Y( , ),

22、( , )(, );XYXY +注：若隨機變量相互獨立且服從 分布，即，則22222211(2)(1),2.(1),21,2 .,2 .22iniiiXnXX已知就是分布由定義即再由 可加性知30曲曲線線圖圖分分布布的的密密度度函函數(shù)數(shù))(2yf- - 1 n4 n20 n10 n31),(2N1. 設設 相互獨立相互獨立, 都服從正態(tài)分布都服從正態(tài)分布nXXX,21則則)()(121222nXnii-).(21221nnXX+ + + +則則),(),(222121nXnX這個性質叫這個性質叫 分布的可加性分布的可加性.22設設 且且X1,X2相互獨立，相互獨立， 2分布的性質32E(X)=

23、n, D(X)=2n.2223.( ),n若分布的數(shù)學期望與方差1)()(),1 , 0(2 iiiXDXENX故故事實上，由事實上，由213)()()(2242 - - - - iiiXEXEXD.2)()(,)()(122122nXDDnXEEniinii ,),(22充充分分大大時時則則當當 nn 4若若22nn-的分布近似正態(tài)分布近似正態(tài)分布N(0,1).(應用中心極限定理可得應用中心極限定理可得 ) 33分布的分位點分布的分位點2. 5 )(222)()(ndyyfnP, 10 ，對于給定的正數(shù)對于給定的正數(shù)稱滿足條件稱滿足條件22( )( )nn的點為分布的上 分位點，)(2n 是

24、標準正態(tài)分布的是標準正態(tài)分布的充分大時，充分大時，當當 znznn22)12(21)(- -+ + .分位點分位點上上 2.( )n如圖所示可通過查表求。20.1(25)34.382.例34概率密度函數(shù)為：概率密度函數(shù)為： - -+ + + + + +- -tntnnnthn212)1()2(2)1()( 定義定義: 設設XN(0,1) , Y , 且且X與與Y相互相互 獨立，則稱變量獨立，則稱變量nYXt 所服從的分布為所服從的分布為自由度為自由度為 n的的 t 分布分布.)(2n2、t 分布分布).(ntt記為記為分布的分布的分布又稱為學生氏分布分布又稱為學生氏分布)(. ntt35)2(

25、)2()(, 0)(),(. 1 - - nnntDtEntttn與與方方差差為為：其其數(shù)數(shù)學學期期望望分分布布的的具具有有自自由由度度為為.21)(lim,.0. 222tnethntt- - 函函數(shù)數(shù)的的性性質質有有由由再再分分布布概概率率密密度度的的圖圖形形，其其圖圖形形近近似似于于標標準準正正態(tài)態(tài)充充分分大大時時當當對對稱稱分分布布的的密密度度函函數(shù)數(shù)關關于于).1 , 0(Ntn近似近似足夠大時，足夠大時，即當即當t t分布的性質分布的性質36.)()(如圖所示如圖所示分位點分位點分布的上分布的上為為的點的點 ntnt)(nt )()()(ntdtthnttp稱滿足條件稱滿足條件，對

26、于給定的對于給定的分布的分位點分布的分位點, 10. 3 t37)(nt .1315. 2)15()(025. 0 tntt求求得得，例例可可查查表表分分位位點點分分布布的的上上 zntn)(45的的值值，可可用用正正態(tài)態(tài)近近似似時時，對對于于常常用用的的當當1( )( )ttntn- -分布的上 分位點的性質：38由定義可見，由定義可見，3、F分布分布121nUnVF F(n2,n1),(),(2212nVnU 定義定義: 設設 U 與與V 相互相互獨立，則稱隨機變量獨立，則稱隨機變量服從服從自由度為自由度為n1及及 n2 的的F分布分布，n1稱為稱為第一第一自由度自由度，n2稱為稱為第二自

27、由度第二自由度，記作，記作21nVnUF FF(n1,n2) .39即它的數(shù)學期望并不依賴于第一自由度即它的數(shù)學期望并不依賴于第一自由度n1. + + + +- -+ +- - 0001)()()()()()(2222221211211212121yyyyynnnnnnnnnnnn1.F分布的數(shù)學期望為分布的數(shù)學期望為:2)(22- - nnFE若若n22若若FF(n1,n2)， F的概率密度為的概率密度為F F分布的性質分布的性質40 ),(21nnF 2.F分布的分位數(shù)分布的分位數(shù)稱滿足條件稱滿足條件，對于給定的對于給定的, 10 ),(2121)(),(nnFdyynnFFp.),(),

28、(2121如圖所示如圖所示分位點分位點分布的上分布的上為為的點的點 nnFnnF分位點的性質：分位點的性質：分布的上分布的上 F),(1),(12211nnFnnF - - 0.95.,(12,9)FF分布的上 分位點可查表求得例0.05110.357(9,12)2.80F41三、幾個重要的抽樣分布定理三、幾個重要的抽樣分布定理有有和和樣樣本本方方差差則則樣樣本本均均值值來來自自總總體體的的一一個個樣樣本本，是是，方方差差為為的的均均值值為為設設總總體體2212,XSXXXXn 2(),(),E XD Xn 22)( SE42 - - - niiXnXnEsE122211)(事實上事實上 -

29、- - niiXnEXEn122)()(11 21222211 + + - - + + - - ninnn43 定理定理 1 (1 (樣本均值的分布樣本均值的分布) ) 設設 X1, X2, , Xn 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體),(2 N的樣本，的樣本， 是樣本均值，則有是樣本均值，則有),(2nNX ) 1 , 0( NnX - -即即X4401( , )XNn - -n取不同值時樣本取不同值時樣本均值均值 的分布的分布X請注意請注意 :.X2本均值本均值可用本定理計算樣可用本定理計算樣時，時，在已知總體在已知總體 ),(2nNX 45 定理定理 2 (2 (樣本方差的分布樣本方差的分布

30、) ) 1() 1() 1 (222-nSn 設設X1,X2,Xn是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2SX和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差, 則有則有.)2(2獨獨立立與與SXn取不同值時取不同值時 的分布的分布22) 1(Sn -46 定理定理 3 3 ( (樣本均值的分布樣本均值的分布) ) 設設X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2SX和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有) 1(-ntnSX 且相互獨立且相互獨立分布的定義可得分布的定義可得、由定理由定理證證)1()1(,)1 , 0(t2,1

31、222- - - - - -nSnNnX)1()1(22- - - - - -ntSnnX則則.X2本均值本均值時，可用本定理計算樣時，可用本定理計算樣，在未知總體在未知總體 定理定理 4 (4 (兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布) ) 2221212112211221212()2 (2)=(1)(1)112XYt nnnSnSnnnn-+-+-+-、（）221121(,)(,)XNYN 設，YX和分別是這兩個樣本的分別是這兩個樣本的且且X與與Y獨立獨立,X1,X2,1nX是來自是來自X的樣本的樣本,是取自是取自Y的樣本的樣本,這兩個樣本的樣本方差這兩個樣本

32、的樣本方差,則有則有2221SS 和Y1,Y2,2nY樣本均值，樣本均值，分別是分別是)1, 1(12122222121- - - nnFSS、)2(112)1()1()()(21212122221121- -+ + +- -+ +- -+ +- - - - -nntnnnnSnSnYX ),(221221nnNYX + +- - -證明：證明：)1,0(/1/1)()(2121NnnYX+ +- - - - 所以所以且且它它們們獨獨立立。, ) 1() 1(, ) 1() 1(222222122211- - - - -nSnnSn 。則則)2() 1() 1(21222222211- -+

33、+- -+ +- -nnSnSn )2()2/()1()1(/1/1)()(2121222222112121- -+ +- -+ +- -+ +- -+ +- - - -nntnnSnSnnnYX )2(112)1()1()()(21212122221121- -+ + +- -+ +- -+ +- - - - -nntnnnnSnSnYX 即：即：分布的定義：分布的定義：由由 - -t50六、小結六、小結 在這一節(jié)中我們學習了統(tǒng)計量的概念在這一節(jié)中我們學習了統(tǒng)計量的概念 , 幾幾個重要的統(tǒng)計量及其分布個重要的統(tǒng)計量及其分布 ,即抽樣分布即抽樣分布. 要求大要求大家熟練地掌握它們家熟練地掌握它們 .51常用的統(tǒng)計量常用