選修2-1第二章圓錐曲線與方程教案(3)

1、2.3雙曲線221雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 知識與技能目標(biāo)理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義、會用雙曲線的定義解決實際問題；理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程及化簡無理方程的常用的方法；了解借助信息技術(shù)探究動點軌跡的幾何畫板的制作或操作方法 過程與方法目標(biāo)（1）預(yù)習(xí)與引入過程預(yù)習(xí)教科書56頁至60頁，當(dāng)變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當(dāng)截面與圓錐的軸線或平行時，截口曲線是雙曲線，待觀察或操作了課件后，提出兩個問題：第一、你能理解為什么此時的截口曲線是雙曲線而不是兩條拋物線；第二、你能舉出現(xiàn)實生活中雙曲線的例子當(dāng)學(xué)生把上

2、述兩個問題回答清楚后，要引導(dǎo)學(xué)生一起思考與探究P56頁上的問題（同桌的兩位同學(xué)準(zhǔn)備無彈性的細(xì)繩子兩條（一條約10cm長，另一條約6cm每條一端結(jié)一個套）和筆尖帶小環(huán)的鉛筆一枝，教師準(zhǔn)備無彈性細(xì)繩子兩條（一條約20cm，另一條約12cm，一端結(jié)個套，另一端是活動的），圖釘兩個）當(dāng)把繩子按同一方向穿入筆尖的環(huán)中，把繩子的另一端重合在一起，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是雙曲線啟發(fā)性提問：在這一過程中，你能說出移動的筆?。▌狱c）滿足的幾何條件是什么？板書§221雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）新課講授過程（i）由上述探究過程容易得到雙曲線的定義板書把平面內(nèi)與兩個定點，的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小

3、于）的點的軌跡叫做雙曲線（hyperbola）其中這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩定點間的距離叫做雙曲線的焦距即當(dāng)動點設(shè)為時，雙曲線即為點集（ii）雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程提問：已知橢圓的圖形，是怎么樣建立直角坐標(biāo)系的？類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法由學(xué)生來建立直角坐標(biāo)系 無理方程的化簡過程仍是教學(xué)的難點，讓學(xué)生實際掌握無理方程的兩次移項、平方整理的數(shù)學(xué)活動過程 類比橢圓：設(shè)參量的意義：第一、便于寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二、的關(guān)系有明顯的幾何意義 類比：寫出焦點在軸上，中心在原點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（iii）例題講解、引申與補充例1 已知雙曲線兩個焦點分別為，雙曲線上一點到，距離差的絕對值等于，求雙曲線

4、的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義及給出的條件，容易求出補充：求下列動圓的圓心的軌跡方程： 與：內(nèi)切，且過點； 與：和：都外切； 與：外切，且與：內(nèi)切解題剖析：這表面上看是圓與圓相切的問題，實際上是雙曲線的定義問題具體解：設(shè)動圓的半徑為 與內(nèi)切，點在外，因此有，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，即的軌跡方程是； 與、均外切，因此有，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的上支，的軌跡方程是； 與外切，且與內(nèi)切，因此，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的右支，的軌跡方程是例2 已知，兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為，求炮彈爆炸點的軌跡方程分析：首先要判斷軌跡的形狀，由聲學(xué)原理：由聲速及，兩

5、地聽到爆炸聲的時間差，即可知，兩地與爆炸點的距離差為定值由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點的軌跡方程 擴展：某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀察點的報告：正西、正北兩個觀察點同時聽到了一聲巨響，正東觀察點聽到該巨響的時間比其他兩個觀察點晚已知各觀察點到該中心的距離都是試確定該巨響發(fā)生的位置（假定當(dāng)時聲音傳播的速度為；相關(guān)點均在同一平面內(nèi)）解法剖析：因正西、正北同時聽到巨響，則巨響應(yīng)發(fā)生在西北方向或東南方向，以因正東比正西晚，則巨響應(yīng)在以這兩個觀察點為焦點的雙曲線上如圖，以接報中心為原點，正東、正北方向分別為軸、軸方向，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)、分別是西、東、北觀察點，則， 設(shè)為巨響發(fā)生點，、同時聽到

6、巨響，所在直線為，又因點比點晚聽到巨響聲，由雙曲線定義知，點在雙曲線方程為聯(lián)立、求出點坐標(biāo)為即巨響在正西北方向處探究：如圖，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程，并與§21例3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？探究方法：若設(shè)點，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關(guān)系式，即得到點的軌跡方程 情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)通過課件（）的展示與操作，必須讓學(xué)生認(rèn)同：與圓錐的軸平行的平面去截圓錐曲面所得截口曲線是一條雙曲線而不是兩條拋物線；必須讓學(xué)生認(rèn)同與體會：雙曲線的定義及特殊情形當(dāng)常數(shù)等于兩定點間距離時，軌跡是兩條射線；必須讓學(xué)生認(rèn)同

7、與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個原則，及引入?yún)⒘康囊饬x，培養(yǎng)學(xué)生用對稱的美學(xué)思維來體現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧美；讓學(xué)生認(rèn)同與領(lǐng)悟：像例1這基礎(chǔ)題配備是必要的，但對定義的理解和使用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須配備有一定靈活性、有一定的思維空間的補充題；例2是典型雙曲線實例的題目，對培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維方法，會用分析、聯(lián)系的觀點解決問題有一定的幫助，但要準(zhǔn)確判定爆炸點，必須對此題進行擴展，培養(yǎng)學(xué)生歸納、聯(lián)想拓展的思維能力能力目標(biāo)（1） 想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內(nèi)容能想象日常生活中哪些是雙曲線的實際例子，能用數(shù)學(xué)符號或自然語言的描述雙曲線的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據(jù)圖形能用數(shù)學(xué)術(shù)語和數(shù)學(xué)符號表示（

8、2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法；培養(yǎng)學(xué)生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力（3） 實踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力（4） 數(shù)學(xué)活動能力：培養(yǎng)學(xué)生觀察、實驗、探究、驗證與交流等數(shù)學(xué)活動能力（5） 創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑練習(xí)：第60頁1、2、3、作業(yè)：第66頁1、2、：教學(xué)反思222雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 知識與技能目標(biāo)了解平面解析幾何研究的主要問題：（1）根據(jù)條件，求出表示曲線的方程；（2）通

9、過方程，研究曲線的性質(zhì)理解雙曲線的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點、漸近線的概念；掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、會用雙曲線的定義解決實際問題；通過例題和探究了解雙曲線的第二定義，準(zhǔn)線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)進一步見識圓錐曲線的統(tǒng)一定義 過程與方法目標(biāo)（1）復(fù)習(xí)與引入過程引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)得到橢圓的簡單的幾何性質(zhì)的方法，在本節(jié)課中不僅要注意通過對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究雙曲線的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，而且還注意對這種研究方法的進一步地培養(yǎng)由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負(fù)實數(shù)的概念能得到雙曲線的范圍；由方程的性質(zhì)得到雙曲線的對稱性；由圓錐曲線頂點的統(tǒng)一定義，容易得出雙曲線的頂點的坐標(biāo)及實軸、虛軸的概念

10、；應(yīng)用信息技術(shù)的幾何畫板探究雙曲線的漸近線問題；類比橢圓通過的思考問題，探究雙曲線的扁平程度量橢圓的離心率板書§222雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（2）新課講授過程（i）通過復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來研究雙曲線的幾何性質(zhì)提問：研究雙曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？通過對雙曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置要從范圍、對稱性、頂點、漸近線及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì) （ii）雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 范圍：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，進一步得：，或這說明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域；對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究雙曲線

11、的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到雙曲線是以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心；頂點：圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點因此雙曲線有兩個頂點，由于雙曲線的對稱軸有實虛之分，焦點所在的對稱軸叫做實軸，焦點不在的對稱軸叫做虛軸；漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線；離心率： 雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率（）（iii）例題講解與引申、擴展例3 求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程分析：由雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出引導(dǎo)學(xué)生用雙曲線的實半軸長、虛半軸長、離心率、焦點和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點在軸上的漸近線是

12、擴展：求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方及離心率解法剖析：雙曲線的漸近線方程為焦點在軸上時，設(shè)所求的雙曲線為，點在雙曲線上，無解；焦點在軸上時，設(shè)所求的雙曲線為，點在雙曲線上，因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率這個要進行分類討論，但只有一種情形有解，事實上，可直接設(shè)所求的雙曲線的方程為例4 雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出雙曲線的方程（各長度量精確到）解法剖析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，算出的值；此題應(yīng)注意兩點：注意建立直角坐標(biāo)系的兩個原則；關(guān)于的近似值，原

13、則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定引申：如圖所示，在處堆放著剛購買的草皮，現(xiàn)要把這些草皮沿著道路或送到呈矩形的足球場中去鋪墊，已知，能否在足球場上畫一條“等距離”線，在“等距離”線的兩側(cè)的區(qū)域應(yīng)該選擇怎樣的線路？說明理由解題剖析：設(shè)為“等距離”線上任意一點，則，即（定值），“等距離”線是以、為焦點的雙曲線的左支上的一部分，容易“等距離”線方程為理由略例5 如圖，設(shè)與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點的軌跡方程分析：若設(shè)點，則，到直線：的距離，則容易得點的軌跡方程引申：用幾何畫板探究點的軌跡：雙曲線若點與定點的距離和它到定直線：的距離比是常數(shù)，則點的軌跡方程是雙曲

14、線其中定點是焦點，定直線：相應(yīng)于的準(zhǔn)線；另一焦點，相應(yīng)于的準(zhǔn)線： 情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)在合作、互動的教學(xué)氛圍中，通過師生之間、學(xué)生之間的交流、合作、互動實現(xiàn)共同探究，教學(xué)相長的教學(xué)活動情境，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神、審美觀和科學(xué)世界觀，激勵學(xué)生創(chuàng)新必須讓學(xué)生認(rèn)同和掌握：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，能由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程能直接得到雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率；必須讓學(xué)生認(rèn)同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個原則，充分利用圖形對稱性，注意圖形的特殊性和一般性；必須讓學(xué)生認(rèn)同與熟悉：取近似值的兩個原則：實際問題可以近似計算，也可以不近似計算，要求近似計算的一定要按要求進行計算

15、，并按精確度要求進行，沒有作說明的按給定的有關(guān)量的有效數(shù)字處理；讓學(xué)生參與并掌握利用信息技術(shù)探究點的軌跡問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和掌握利用先進教學(xué)輔助手段的技能 能力目標(biāo)（1） 分析與解決問題的能力：通過學(xué)生的積極參與和積極探究,培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力（2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考；培養(yǎng)學(xué)生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力（3） 實踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力（4） 創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑練習(xí)：第

16、66頁1、2、3、4、5作業(yè)：第3、4、6教學(xué)反思：補充： 3.課題:雙曲線第二定義教學(xué)目標(biāo)：11111知識目標(biāo)：掌握雙曲線第二定義與準(zhǔn)線的概念，并會簡單的應(yīng)用。11112能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力及探索和創(chuàng)新意識。 教學(xué)重點：雙曲線的第二定義教學(xué)難點：雙曲線的第二定義及應(yīng)用.教學(xué)方法：類比法（類比橢圓的第二定義）教學(xué)過程：111111111111111111111111111111一、復(fù)習(xí)引入： 1、 （1）、雙曲線的定義：平面上到兩定點距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線.定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。(2)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在x

17、軸： 焦點在y軸： 其中2、 對于焦點在x軸上的雙曲線的有關(guān)性質(zhì)：（1）、焦點：F1(-c,0),F2(c,0)；(2)、漸近線:；（3）、離心率：>13、今節(jié)課我們來學(xué)習(xí)雙曲線的另一定義。（板書課題：雙曲線第二定義）二、新課教學(xué)： F2F1HHxoy1、引例(課本P64例6)：點M(x,y) 與定點F(5,0)距離和它到定直線的距離之比是常數(shù),求點M的軌跡方程.分析：利用求軌跡方程的方法。解:設(shè)是點M到直線的距離,根據(jù)題意,所求軌跡就是集合P=M|, 即 所以，點M的軌跡是實軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線。由例6可知:定點F(5,0)為該雙曲線的焦點,定直線為,常數(shù)為離心率>1.

18、提出問題：（從特殊到一般）將上題改為：點M(x,y)與定點F(c,0)距離和它到定直線的距離之比是常數(shù),求點M的軌跡方程。解：設(shè)是點M到直線的距離, 根據(jù)題意,所求軌跡就是集合P=M|, 即 化簡得兩邊同時除以得2、小結(jié)： 雙曲線第二定義:當(dāng)動點M(x,y) 到一定點F(c,0)的距離和它到一定直線的距離之比是常數(shù)時,這個動點M(x,y)的軌跡是雙曲線。其中定點F(c,0)是雙曲線的一個焦點，定直線叫雙曲線的一條準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。雙曲線上任一點到焦點的線段稱為焦半徑。例如PF是雙曲線的焦半徑。（P65思考）與橢圓的第二定義比較,你有什么發(fā)現(xiàn)？（讓學(xué)生討論）答：只是常數(shù)的取值范圍不同，橢圓的,而雙曲線的.三、課堂練習(xí)1 求的準(zhǔn)線方程、兩準(zhǔn)線間的距離。 解:由可知,焦點在x軸上,且所以準(zhǔn)線方程為:；故兩準(zhǔn)線的距離為.2、(2006年廣東高考第8題選擇題)已知雙曲線 3x 2y 2 = 9，則雙曲線右支上的點 P 到右焦點的距離與點 P 到右準(zhǔn)線的距離之比等于( )。(A) (B) (C) 2(D) 4解：3、如果雙曲線上的一點P到左焦點的距離為9，則P到右準(zhǔn)線的距離是 解： P到左準(zhǔn)線的距離為m，由雙曲線方程可知a=5，b=12，c=13，準(zhǔn)線方程