第18講 參數(shù)的點估計 判別估計量好壞的標準

1、第18講 參數(shù)的點估計 判別估計量好壞的標準教學目的：理解參數(shù)點估計的概念，掌握矩估計法和最大似然估計法。了解無偏性、有效性及一致性等估計量優(yōu)劣的評價標準，了解樣本均值與樣本方差作為總體均值與總體方差估計量的無偏性和一致性。教學重點：參數(shù)點估計的矩估計法和最大似然估計法。教學難點：參數(shù)點估計的最大似然估計法。教學時數(shù)： 2學時。教學過程：第六章 參數(shù)估計§6.1參數(shù)的點估計設(shè)總體服從某已知分布，如，等，但是其中的一個或多個參數(shù)為未知，怎樣根據(jù)抽取的樣本估計未知參數(shù)的值，就是參數(shù)的點估計問題。定義 設(shè)總體的分布中含有未知參數(shù)，從總體中抽取樣本，構(gòu)造某個統(tǒng)計量作為參數(shù)的估計，則稱為參數(shù)的

2、點估計量；若樣本的觀測值為，則稱為參數(shù)的點估計值。例如，人的身高，一個樣本為,則為個人的平均身高，近似認為總體均值為，即。用來估計，這里不是真值，而是估計值。 若總體的分布中含有m（m>1)個未知參數(shù)，則需構(gòu)造m個統(tǒng)計量作為相應(yīng)m個未知參數(shù)的點估計量。下面介紹兩種常用的求未知參數(shù)點估計量的方法。1.矩估計法（1）總體階原點矩，樣本階原點矩 ，；（2）總體階中心矩，樣本階中心矩，。用相應(yīng)的樣本矩來估計總體矩，如，等。同樣由于，故有。例1 設(shè)，一個樣本為。則 ， 或。例2 設(shè)，一個樣本為，則例3 設(shè)， ，一個樣本為，則 若，則有。由于參數(shù)可以由其總體的各階原點矩表示出來，即此時，用樣本原點矩

3、來估計總體原點矩代入上面的函數(shù)中就可以得到參數(shù)的估計，即因此，求的矩估計的關(guān)鍵就在于找出關(guān)系。例4 設(shè)，一個樣本為，求參數(shù)的矩估計。解 因為故則 2. 最大似然估計法設(shè)總體的一個樣本為（），由樣本的獨立性可得其中為總體的分布密度函數(shù)，為未知參數(shù)。設(shè)是的點估計量，則取樣本值的概率應(yīng)最大，于是我們選取使得最可能出現(xiàn)，步驟如下：（1）令（2）（3）（4）求出最大值點，則。例5 設(shè)， ，一個樣本為，其觀測值為，求的最大似然估計。解（1）令（2）（3）（4）令，則。故§6.2 判別估計量好壞的標準上一節(jié)我們學習了兩種參數(shù)點估計的方法,它們是矩估計法和最大似然估計法。對于同一個未知參數(shù),用不同的

4、估計法得到的點估計量一般是不相同的,那么哪一個估計量更好呢?為此我們需要建立判別估計量好壞的標準,而參數(shù)的所謂“最佳估計量”應(yīng)當是在某種意義下最接近于。最佳估計量應(yīng)具有下列性質(zhì)：（1） 無偏性若的數(shù)學期望E（）=，則稱是參數(shù)的無偏估計量。設(shè)樣本觀測值為，則稱為參數(shù)的無偏估計值。例6 設(shè)總體的均值，方差，證明樣本均值是總體均值的無偏估計量。證 因為樣本相互獨立，且與總體服從相同分布，所以有 由于所以樣本均值是總體均值的無偏估計量。（2）有效性設(shè)=與=都是參數(shù)的無偏估計量，若<則稱較有效。有效估計量：當樣本容量一定時，若的所有無偏估計量中，的方差最小，則稱是參數(shù)的有效估計量。例7 證明樣本均值作為總體均值的估計量較個別樣本()有效。證 由例1知，與都是總體均值的無偏估計量，即 又=,而,所以當時,故樣本均值作為總體均值的估計量較個別樣本()有效。例8 從總體中抽取樣本，證明下列三個統(tǒng)計量, 都是總體均值的無偏估計量，并確定哪個估計量更有效。證 所以三個統(tǒng)計量都是總體均值的無偏估計量。 由于的值最小，所以是三個估計量中最有效估計量。（3）一致性若對于任意給定的正數(shù)，有 P ()=1, 則稱是參數(shù)的一致估計量。例9 設(shè)總體的均值，方差，證明樣本均值是總體均值的一致估計量。證 因為樣本相互獨立，且與總體服從相同的