定積分概念微積分基本公式ppt課件

1、1maxii nt 其中其中 tvv 細(xì)分細(xì)分取近似值取近似值作和作和取極限取極限 112111212 , , , ,nT TT tt ttTti-1tii iiiSvt(2) 取近似值取近似值 11( )nniiiiiSSvt3作和作和01lim( )niiiSvt4取極限取極限 T1T2vt曲邊梯形面積曲邊梯形面積A：變速運(yùn)動的路程變速運(yùn)動的路程 S：01lim( )niiiSvt dttvTT21記為記為01lim( )niiiAfx baf x dx記為記為 f x, a b f x, a b定積分存在的充分條件定積分存在的充分條件 f x, a b f x, a b有界是函數(shù)在區(qū)間有

2、界是函數(shù)在區(qū)間a,b上可積的必要條件。上可積的必要條件。 123baf x dxAAA 表示曲線與表示曲線與 x 軸圍成的圖形面積的代數(shù)和。軸圍成的圖形面積的代數(shù)和。 123baf x dxAAA表示曲線與表示曲線與 x 軸圍成的圖形面積。軸圍成的圖形面積。 定積分的幾何意義演示定積分的幾何意義演示 xfyabA1A2A3假設(shè)假設(shè) 是奇函數(shù)，那么是奇函數(shù)，那么( )f x aaf x dx 0aafx dx 02af x dx( )f x假設(shè)假設(shè) 是偶函數(shù)，那么是偶函數(shù)，那么a-a定積分的幾何意義定積分的幾何意義-aa定積分幾何意義的運(yùn)用定積分幾何意義的運(yùn)用3 (7 1)18 1(28) 31

3、52 142817371(1)3dx41(2)2xdx21932200 xy2-33323(3)9x dx20(4)sin xdx定積分幾何意義的運(yùn)用定積分幾何意義的運(yùn)用把區(qū)間把區(qū)間1 , 0分成分成n等份，每份長等份，每份長1 n，各分點(diǎn)是：，各分點(diǎn)是：0120,1,2,1nxxnxnxn n21011limnniixdxnnninin1231lim31121611lim3nnnnn 01limnbiiaifxf x dx120 x dx解解 由于由于 在在 上延續(xù)，所以上延續(xù)，所以 存在存在2x0,1例例 用定義求定積分用定義求定積分dxx102補(bǔ)充規(guī)定：補(bǔ)充規(guī)定： 10aaf x dx

4、2baabfx dxfx dx abxx+dx定積分的根本性質(zhì)定積分的根本性質(zhì)無論無論 a, b, c 的相對位置如何，的相對位置如何，3式均成立。式均成立。 3bcbaacf x dxf x dxf x dx caabcbdxxfdxxfdxxf bcbaacf x dxf x dxf x dx 1bbbaaaf xg xdxf x dxg x dx 2 bbaak f x dxkf x dxbcaacb定積分的根本性質(zhì)定積分的根本性質(zhì) 41badxba 5,bbaafxg xfx dxg x dx 6bam bafx dxM bam f x f xM f x, a b, a b, baf

5、x dxfba 7定積分的根本性質(zhì)定積分的根本性質(zhì)幾何演示幾何演示幾何演示幾何演示 21TTSv tdt 2121( )TTSs Ts Tv t dt F bF a f x, a b F x微積分根本公式微積分根本公式 stv t而而？0000()limxxxxxx 000limxxxxf t dtx 0limxfxx 00limxff x xfx0 x積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) xaxf x dx xaf t dt f x, a b, a b f x , xa b xaf x dxx x 定理定理 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 a,b上延續(xù)，那么積分上限函數(shù)上延續(xù)，那么

6、積分上限函數(shù) 是是f(x)在在a,b上的一個原函數(shù)。上的一個原函數(shù)。( )( )xaxf t dt證明證明 介于介于 與與 之間之間0 x0 xx 2xxe sinxbtfxdtt sin xx 例例1 求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解解解22 txyedty，求解解222xtxyedte 2xtaxe dt1 sinbxtfxdtt221122uuxxxeuexyyxln2tan 1 xayt dty，求21tan 1lnxuxyuxyx例例1 求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解解解2utae dt2xtaye dtux2tan 1uat dtln2tan 1xayt dtlnux2x

7、taye dt3sin22 ln22xxxxxuyyu sinarcsin bxytdty，求arcsin sincoscosxuxxxyyuxx 例例1 求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2sinxbtydttsinbutdtt2xu 解解解解2sinxbtydtt430arcsin0lnlnxxytdttdt332211ln arcsinln13yxxxx 2cos2lgsec( ),xxytdty求4sec(cos)2cos( sin )yxxx 21sec(lg)ln10 xx例例1 求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解解解24sec(lg)sin2sec(cos)ln10 xyxxx

8、3arcsinlnxxytdt5 v xu xf x dxf v x v xf u x u x特別地特別地 u xbu x uf xxdxf v xav xv xf x dxf普通地普通地 f x, a b F x baf x dxF bF a xaF xf x dxC baF bf x dxC aaF af x dxCC baf x dxF bF a微積分根本公式微積分根本公式牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式證明思緒證明思緒 ( )baF x記作記作 3a 1201x dx例例2 求以下定積分求以下定積分1231001()3x dxx13 32202adxax301arctanaxaa解解

9、由于由于 在在 上延續(xù)，上延續(xù)， 是它的一個原函數(shù)是它的一個原函數(shù) 2yx0,1313yx所以所以 解解 原式原式 2131edxx 02sin xdx4cos20 x20coscosxx 2200sinsinsinx dxxdxxdx11114 0 11 21ln 1ex 204sin x dx解解 原式原式 解解 原式原式 幾何意義幾何意義 dxxdxx3220223222022222xxxx25262902dxx302 dxx30225解解 原式原式 幾何意義幾何意義 112 21 12252 3202xdx 424sin6cos1tanxxdxx402cosxdx402 sin2x 2

10、071 sin2xdx2012sin cosxxdx220sincosxxdx20sincosxx dx 20cossin0 11 02xx 解解 原式原式 解解 原式原式 合理運(yùn)用對稱區(qū)間上合理運(yùn)用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)，奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)，簡化定積分的計算。簡化定積分的計算。22112x dx解解122310126xx設(shè)設(shè) 21,11,12xxf xxx 20f x dx，求，求 8181822663分段函數(shù)的積分分段函數(shù)的積分計算，應(yīng)分區(qū)間計算，應(yīng)分區(qū)間選取相應(yīng)的函數(shù)選取相應(yīng)的函數(shù)函數(shù)在函數(shù)在x=1處延續(xù)處延續(xù) 20f x dx101xdx23311113x dx23321219xdxxx213212321222 2199u？ 223191xx dx2272 29解解 原式原式 2113udu31ux 積分變量變，積分變量變，積分區(qū)間變積分區(qū)間變l作業(yè)：作業(yè)：P146l174，5l19l20l213，8l22l預(yù)習(xí)預(yù)習(xí) P131-Pexit引例曲邊梯形的面積引例曲邊梯形的面積 exit定積分的定義定積分的定義 exit定積分的幾何意義定積分的幾何意義 exit估值定理估值定理