商品房還貸方案優(yōu)化設(shè)計(jì)

1、摘要本文針對(duì)購(gòu)房還貸問(wèn)題進(jìn)行了討論。我們通過(guò)上網(wǎng)搜索了相關(guān)知識(shí)，依據(jù)每 個(gè)問(wèn)題中的不同情況，建立相應(yīng)的模型進(jìn)行求解，并運(yùn)用Lingo軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處 理，給出了各種情況下的購(gòu)房還貸優(yōu)化方案。針對(duì)問(wèn)題一，通過(guò)分析我們建立了差分方程模型，求解出每月還款額公式：(I + 廠)-1并推算出每月被銀行拿走利息的計(jì)算公式：7 = (Pxr-w)(l + r)w_,最后用ling。編程求解出一萬(wàn)元借貸十年的還款總額為13164. 828以及逐月被銀 行拿走的利息錢見(jiàn)表。針對(duì)問(wèn)題二，因等額本息還貸比較適合收入穩(wěn)定的工薪階層。所以我們采用 等額本息還款模式，然后分別建立十年還貸、五年還貸以及是否提前還款不同情況

2、 下的模型，通過(guò)對(duì)比得出貸款33萬(wàn)用54個(gè)月還清的最優(yōu)方案。其中2007年3月 10日志2011年3月10日月消費(fèi)上限為2250元，2011年3月10日至2012年3月 10日的月消費(fèi)上限為3090元。針對(duì)問(wèn)題三，在王先生及其外甥A收入、開銷、年終獎(jiǎng)及現(xiàn)有可支配金額都 不相同的條件下，我們把王先生及其外甥兩家當(dāng)做一個(gè)整體，以還貸總利息最小作 為L(zhǎng)I標(biāo)建立模型，設(shè)訃出最優(yōu)方案，然后將節(jié)省下來(lái)的利息合理分配到兩家，達(dá)到 使兩家都滿意的效果。針對(duì)問(wèn)題四，在問(wèn)題三的基礎(chǔ)上對(duì)模型進(jìn)行修整，仍將王先生及其六個(gè)外甥 看做一個(gè)整體，將各個(gè)家庭收入、開銷及年終獎(jiǎng)等合并到一起，然后以最大額度用于首付，使貸款最小，

3、已取得利息最少的目的。通過(guò)具體汁算得出六個(gè)外甥各向 銀行貸款貸款121624.5元、還貸期限均為3年、并且每次年終獎(jiǎng)都用于提前還款 的最優(yōu)還貸方案，此方案總共向銀行支付利息80935. 4元，總共節(jié)約了 103040. 5 兀O針對(duì)問(wèn)題五，根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，運(yùn)用有效投資組合，對(duì)各個(gè)項(xiàng)U的收益 率、方差進(jìn)行計(jì)算，并使用MATLAB編程進(jìn)行求解，然后將投資三個(gè)項(xiàng)LI的收益與 銀行貸款付息相比，判斷方案可行，最終確定對(duì)項(xiàng)H中投資43. 5萬(wàn)元、項(xiàng)口乙投 資6. 5萬(wàn)元，年收益為25099. 582775元的最優(yōu)方案。關(guān)鍵詞：等額本息差分方程有效投資組合 Lingo、MATLAB軟件一、問(wèn)題重述購(gòu)房策

4、略問(wèn)題問(wèn)題背景：近些年來(lái)，我國(guó)商品房銷售火爆。山于升值潛力大，不少人愿意投資于房 產(chǎn)。但是，高位的房?jī)r(jià)乂迫使大多數(shù)人不得不向銀行貸款。然后，用按揭的方式逐 月償還銀行貸款額。注意：向銀行借貸時(shí)間必須以年為單位，如1年、2年、3 年.等。問(wèn)題提出：第一問(wèn)：2007年9月1號(hào)，某高校教師王先生到某商品房去看房，銷售小姐 向他推薦等額本息還款方式，并給他一個(gè)銀行還貸明細(xì)表。這個(gè)明細(xì)表給出了若向 銀行借了 1萬(wàn)元錢、不同年限的等額房貸還款額。王先生不知還款公式怎樣寫，請(qǐng) 你給出等額本息房貸還款公式，幫王先生解惑。如果向銀行借1萬(wàn)元，借10年。 請(qǐng)?jiān)敿?xì)計(jì)算逐月還完1萬(wàn)元后，總共向銀行還款的總額以及逐月被

5、銀行拿走的利息 錢。表1借銀行1萬(wàn)元為例每月等額房貸還款明細(xì)表:年限實(shí)際還款年利率月利率月還款（元）15. 5080. 4590858. 4025. 5080. 4590440. 9935. 5080. 4590302. 0045. 5080. 4590232. 6055. 5080. 4590191. 05105. 73750.478125109.71155. 73750.47812582. 97205. 73750.47812570. 14第二問(wèn)：王先生看中了一套135m2單價(jià)為3230/m2的房子，準(zhǔn)備9月10號(hào) 前成交。他們家每月收入5600元，每月家庭開銷在1500-3000元之間服

6、從均勻分 布，每年還有3萬(wàn)元的年終獎(jiǎng)金。這時(shí)候王先生手頭有15萬(wàn)元的可支配的現(xiàn)金， 現(xiàn)在請(qǐng)你建立一套詳細(xì)的購(gòu)房與商貸快速計(jì)算還貸數(shù)學(xué)模型，并為王先生設(shè)訃還貸 方案而且要指出每月的家庭開銷上限（注：首付不得低于20%）。第三問(wèn)：但事情有變：2008年3月10號(hào)，王先生經(jīng)多方籌措，借到了無(wú)息 的款項(xiàng)20萬(wàn)（包括年終獎(jiǎng)金3萬(wàn)），準(zhǔn)備提前還款，但其外甥A此時(shí)在本地購(gòu)買 了總房?jī)r(jià)為20萬(wàn)的房子，但首付不得低于40%,但外甥A手頭只有可支配現(xiàn)金5 萬(wàn)元，每月全家收入3500元，每月家庭開銷在1500-2000元之間也服從均勻分 布。她來(lái)向王先生借錢買房，王先生很為難，但此時(shí)，聰明的王夫人給出了一套新 方案

7、，使兩家人購(gòu)房均歡欣鼓舞，你能給出這個(gè)新方案嗎？第四問(wèn)：但這事還未開始實(shí)施就被王先生其他五個(gè)外甥知道了，均想加入這 一方案，并準(zhǔn)備在3月份都購(gòu)買房子，他們購(gòu)買房子的總價(jià)以及他們的經(jīng)濟(jì)情況見(jiàn) 表2。那么，王夫人怎樣設(shè)計(jì)這7套房子的購(gòu)房還貸及每個(gè)家庭的每月開銷上限呢？請(qǐng)你幫她拿出詳細(xì)的方案。即每套房子向銀行貸款多少年、多少錢、是否提前 還款及還款多少、總共向銀行交了多少利息錢、這種方案總共節(jié)約了多少錢等等。表1:借銀行1萬(wàn)元為例每月等額房貸還款明細(xì)表：購(gòu)買房子的總價(jià)手頭可支配的現(xiàn)金每月開銷（均勻分布）每月家 庭 總收入首付最低比例年終 獎(jiǎng)外甥B35萬(wàn)15萬(wàn)1500-2000 元5000 元30%2

8、萬(wàn)元外甥C30萬(wàn)20萬(wàn)1200-1800 元1000 元30%0萬(wàn)元外甥D15萬(wàn)10萬(wàn)1000-1500 元3500 元40%3萬(wàn)元外甥E25萬(wàn)8萬(wàn)1200-1500 元4500 元30%0萬(wàn)元外甥F20萬(wàn)9萬(wàn)800-1200 元3000 元40%5萬(wàn)元第五問(wèn)：王先生拿到方案后，覺(jué)得應(yīng)該多向銀行借錢，想把盡量多的錢拿出 來(lái)投資三個(gè)項(xiàng)目，但遭到其他人的反對(duì)，你支持王先生的觀點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。如 果你支持王先生的觀點(diǎn)，問(wèn)最多可拿多少錢投資這三個(gè)項(xiàng)LI,各投資多少？表3三種項(xiàng)H （屮、乙、丙）12年中后一年相對(duì)于前一年資產(chǎn)每年的增長(zhǎng)悄況年份項(xiàng)目甲項(xiàng)目乙項(xiàng)目丙19961.3001.2251. 1491

9、9971. 1031.2901.26019981.2161.2161.41919990. 9540. 7280. 92220000. 9291. 1441. 16920011.0561. 1070. 96520021.0381.3211. 13320031.0891.3051. 73220041.0901. 1951.02120051.0831.3901. 13120061.0350. 9281.00620071. 1761.7151.908注：例如1996年項(xiàng)U甲1.300的意思是：1996年項(xiàng)訂屮的最后資產(chǎn)是1995 年最后資產(chǎn)的1.3倍，其他類推。四、問(wèn)題分析4. 1問(wèn)題一的分析：通過(guò)上

10、網(wǎng)查閱相關(guān)知識(shí)，我們了解到等額本息還貸規(guī)則，建立差分方程模型 推導(dǎo)出每月還款金額公式以及逐月還款利息公式，最后運(yùn)用Lingo對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處 理，得出逐月還款利息。4.2問(wèn)題二的分析：首先將等額本息還款和等額本金還款兩種不同還款模式進(jìn)行分析比較，通過(guò) 上網(wǎng)查閱資料我們了解到:等額本息還款就是按按揭貸款的本金總額與利息總額相加，然后平均分?jǐn)偟?還款期限的每個(gè)月中。作為還款人，每個(gè)月還給銀行固定金額，但每月還款額中的 本金比重逐月遞增、利息比重逐月遞減，適合收入穩(wěn)定的群體。等額本金還款方式將本金分?jǐn)偟矫總€(gè)月內(nèi)，同時(shí)付清上一還款日至本次還款 日之間的利息。借款人可隨還貸年份增加逐漸減輕負(fù)擔(dān)，適合口前收入

11、較高的人 群?？紤]到王先生家庭收入穩(wěn)定，并且每月收入并不是很高，因此我們采用等額 本息還款模式，然后通過(guò)計(jì)算將不同貸款年限以及貸款金額不同的情況作對(duì)比，并 考慮提前還款對(duì)方案作具體調(diào)整，最終得出最優(yōu)還貸方案。4. 3問(wèn)題三的分析：王先生至少要借給外甥3萬(wàn)元，外甥才足以支付買房首付。要使得兩家人對(duì) 方案都滿意，就要使付給銀行的利息最少。因此，我們可以把王先生及其外甥兩家 合并到一起，通過(guò)具體訃算對(duì)比出可支配現(xiàn)金如何分配才能使支付銀行的利息達(dá)到 最少，確定最優(yōu)方案。然后將節(jié)省下來(lái)的錢按兩家節(jié)省利息的比列分配給兩家，以 達(dá)到兩家收益平衡。4.4問(wèn)題四的分析：在問(wèn)題三的基礎(chǔ)上對(duì)模型進(jìn)行修整，仍將王先生

12、及其六個(gè)外甥看做一個(gè)整 體， 將各個(gè)家庭收入、開銷及年終獎(jiǎng)等合并到一起，然后以最大額度用于首付， 使貸款達(dá)到最少，已取得利息最少的目的。4.5問(wèn)題五的分析：首先要考慮到投資三個(gè)項(xiàng)U與銀行貸款付息相比是否獲利，若獲利，獲利多 少，在獲利的情況下，貸款越多越好。高利率存在高風(fēng)險(xiǎn)，在有風(fēng)險(xiǎn)的情況下，應(yīng) 該選擇哪個(gè)投資項(xiàng)LI。先算岀每個(gè)項(xiàng)LI的獲利情況、風(fēng)險(xiǎn)大小、利率曾長(zhǎng)趨勢(shì)，綜 合三個(gè)因素，確定最優(yōu)投資方案。二、模型假設(shè)(1) 假設(shè)還款期限不受外界因素的影響。(2) 假設(shè)貨幣價(jià)值在貸款期限內(nèi)不受外界因素影響，即不會(huì)發(fā)生升值或貶值。(3) 假設(shè)在貸款期限內(nèi)利率固定不變，不受經(jīng)濟(jì)危機(jī)、通貨膨脹等因素的影

13、 響。(4) 假設(shè)每個(gè)月的收入只用于月開銷與還款，不用于其他方面。(5) 假設(shè)王先生以及各個(gè)外甥的年終獎(jiǎng)金都在每年3月10號(hào)發(fā)放。(6) 假設(shè)年終獎(jiǎng)金在每年3月10日發(fā)。三、符號(hào)說(shuō)明P:貸款總額n:貸款時(shí)間(月):貸款月利率:每個(gè)月的還款利息tn:月還款數(shù):貸款后笫k個(gè)月時(shí)欠款余數(shù)R:貸款總利息五、模型建立與求解5. 1問(wèn)題一的模型建立與求解：5. 1. 1模型建立根據(jù)題意并查閱相關(guān)資料我們知道，若貸款總額為P,月利率為，貸款年限為rn,每月還貸金額為 m9Pk為第個(gè)k個(gè)月還貸后的本息和，則第一個(gè)月：片=P(1 + /) - m第二個(gè)月：P2 =片(1+)-加個(gè)月:第個(gè)月：+1昇=耳（1 +門

14、加模型求解針對(duì)本題，我們主要是為了求解每月的還款額m,因此我們令4 = 4 - Pk = 1.2,3 /2由（1）知：4 = Pd-m9理（1 +廠）-皿則:4.1 = 4（1+ 廠），k = L2,3./;山上式遞推可得:A.=4（i+廠）IllA + P- = 4 + A-i + -2 二二 4 + 4d + 卩得Pk則：=人1 + (1 +廠)+ (1 +(1 +廠)人r,、(1+譏1=(pr - in)=P(l+A-1 力(1 + r)k - 1則：到第個(gè)月后，,代入上式得:即+譏如nn則此時(shí)本息和幾, = 0,k = n空P(1 + /T-1月還款額二月利率x(l十月利率護(hù)數(shù)(1十月

15、利率屮辿1X貨款木金逐月利息公式為:r = (P x r - /n)(l + r)1 +m如果向銀行貸款1萬(wàn)元，貸款期限為10年。我們運(yùn)用Lingo編程求解出還款 總額為13164. 828元，逐月被銀行拿走的利息錢見(jiàn)下表：表 5. 1. 1：年份月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月第一年47. 8147. 5247. 2246. 9246. 6246. 3216. 0245.7145.4145. 144. 7944. 48第二年44. 1743.8543. 5443.2242.942. 5842. 2641.9441.6241.2940. 9640. 64第三年40.

16、3139.9739. 6439. 3138. 9738. 6338. 2937. 9537.6137. 2636. 9236. 57第四年36.2235.8735.5135. 1634.834. 4434. 0833. 7233. 3632. 9932. 6332.26第五年31.8931.5231. 1430. 7730. 3930.0129. 6329.2528. 8628. 4728. 0927.7第六年27.326.9126.5126. 1225. 7225. 3224.9124.5124. 123. 6923. 2822.87第七年22.4522.0321.6121. 1920. 7720. 3419. 9219.4919.