五年級(jí)奧數(shù)完整教案-老師版(共53頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上奧數(shù)第一講 巧算 小朋友，你是不是在日常生活和解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要進(jìn)行計(jì)算？在數(shù)學(xué)課里我們學(xué)習(xí)了一些簡(jiǎn)便計(jì)算的方法，但如果善于觀察、勤于思考，計(jì)算中還能找到更多的巧妙的計(jì)算方法哦，不僅使你能算得好、算得快，還可以讓你變得聰明和機(jī)敏。一、計(jì)算： 9.99629.98169.93999.5解：算式中的加法看來(lái)無(wú)法用數(shù)學(xué)課中學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)算方法計(jì)算，但是，這幾個(gè)數(shù)每個(gè)數(shù)只要增加一點(diǎn)，就成為某個(gè)整十、整百或整千數(shù)，把這幾個(gè)數(shù) “湊整 ”以后，就容易計(jì)算了。當(dāng)然要記住，“湊整 ”時(shí)增加了多少要減回去。 9.99629.98169.93999.5=10301704000（0.0040

2、.020.10.5）=42100.624 =4209.376二、計(jì)算：10.990.980.970.960.950.940.930.040.030.020.01解：式子的數(shù)是從 1開(kāi)始，依次減少 0.01，直到最后一個(gè)數(shù)是 0.01，因此，式中共有 100個(gè)數(shù)而式子中的運(yùn)算都是兩個(gè)數(shù)相加接著減兩個(gè)數(shù)，再加兩個(gè)數(shù)，再減兩個(gè)數(shù) 這樣的順序排列的。由于數(shù)的排列、運(yùn)算的排列都很有規(guī)律，按照規(guī)律可以考慮每 4個(gè)數(shù)為一組添上括號(hào)，每組數(shù)的運(yùn)算結(jié)果是否也有一定的規(guī)律？可以看到把每組數(shù)中第 1個(gè)數(shù)減第3個(gè)數(shù)，第2個(gè)數(shù)減第4個(gè)數(shù)，各得0.02，合起來(lái)是0.04，那么，每組數(shù)（即每個(gè)括號(hào)）運(yùn)算的結(jié)果都是0.04，

3、整個(gè)算式100個(gè)數(shù)正好分成 25組，它的結(jié)果就是25個(gè)0.04的和。 10.990.980.970.960.950.940.930.040.030.020.01=（10.990.980.97）（0.960.950.940.93）（0.040.030.020.01） =0.04×25 =1如果能夠靈活地運(yùn)用數(shù)的交換的規(guī)律，也可以按下面的方法分組添上括號(hào)計(jì)算： 1 0.990.980.970.960.950.940.930.040.030.020.01=1（0.990.980.970.96）（0.950.940.930.92）（0.030.020.01） =1 三、計(jì)算： 0.10.20

4、.30.80.90.100.110.120.190.20解：這個(gè)算式的數(shù)的排列像一個(gè)等差數(shù)列，但仔細(xì)觀察，它實(shí)際上由兩個(gè)等差數(shù)列組成， 0.10.20.30.80.9是第一個(gè)等差數(shù)列，后面每一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)多 0.1，而0.100.110.120.190.20是第二個(gè)等差數(shù)列，后面每一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)多 0.01，所以，應(yīng)分為兩段按等差數(shù)列求和的方法來(lái)計(jì)算。 0.10.20.30.80.90.100.110.120.190.2=（0.10.9）×9÷2（0.100.20）×11÷2=4.51.65 =6.15四、計(jì)算： 9.9×9.91.99

5、解：算式中的9.9×9.9兩個(gè)因數(shù)中一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大10倍，另一個(gè)因數(shù)縮小10倍，積不變，即這個(gè)乘法可變?yōu)?99×0.99+1.99可以分成0.991的和，這樣變化以后，計(jì)算比較簡(jiǎn)便。 9.9×9.91.99=99×0.990.991=（991）×0.99 1 =100五、計(jì)算： 2.437×36.54243.7×0.6346解：雖然算式中的兩個(gè)乘法計(jì)算沒(méi)有相同的因數(shù)，但前一個(gè)乘法的2.437和后一個(gè)乘法的243.7兩個(gè)數(shù)的數(shù)字相同，只是小數(shù)點(diǎn)的位置不同，如果把其中一個(gè)乘法的兩個(gè)因數(shù)的小數(shù)點(diǎn)按相反方向移動(dòng)同樣多位，使這兩個(gè)數(shù)變成

6、相同的，就可以運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算了。 2.437×36.54243.7×0.6346=2.437×36.542.437×63.46=2.437×（36.5463.46） =243.7六、計(jì)算： 1.1×1.2×1.3×1.4×1.5解：算式中的幾個(gè)數(shù)雖然是一個(gè)等差數(shù)列，但算式不是求和，不能用等差數(shù)列求和的方法來(lái)計(jì)算這個(gè)算式的結(jié)果。平時(shí)注意積累計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)也許會(huì)注意到7、11和 13這三個(gè)數(shù)連乘的積是 1001，而一個(gè)三位數(shù)乘 1001，只要把這個(gè)三位數(shù)連續(xù)寫(xiě)兩遍就是它們的積，例如 578×

7、1001=，這一題參照這個(gè)方法計(jì)算，能巧妙地算出正確的得數(shù)。 1.1×1.2×1.3×1.4×1.5 =1.1×1.3×0.7×2×1.2×1.5 =1.001×3.6 =3.6036 練習(xí)15.4673.8147.5334.18626.25×1.25×6.433.99719.961.9998199.740.10.30.90.110.130.150.970.995199.9×19.98199.8×19.97623.75×3.9876.013

8、15;92.076.832×39.877××8（10.120.23）×（0.120.230.34）（10.120.230.34）×（0.12 0.23）96.7341.5363.2664.464100.8÷0.1251189.190.388.692.188.990.8124.83×0.590.41×1.590.324×5.91337.5×21.5×0.11235.5×12.5×0.112 149999×2222+3333×3334151989&#

9、215;1999-1988×2000奧數(shù)第二講 數(shù)的整除如果整數(shù)a除以不為零數(shù)b，所得的商為整數(shù)而余數(shù)為0，我們就說(shuō)a能被b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的約數(shù)，a叫做b的倍數(shù)。數(shù)的整除的特征：（1）能被2整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是2、4、6、8、0，那么這個(gè)整數(shù)一定能被2整除。（2）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的各個(gè)數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么這個(gè)整數(shù)一定能被3（或9）整除。（3）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能被4（或25）整除。（4）能被5整除的數(shù)的特征：如果一

10、個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5，那么這個(gè)整數(shù)一定能被5整除。（5）能被6整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)能被2整除，又能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能被6整除。（6）能被7（或11或13）整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)分成兩個(gè)數(shù)，末三位為一個(gè)數(shù)，其余各位為另一個(gè)數(shù)，如果這兩個(gè)數(shù)之差是0或是7（或11或13）的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就能被7（或11或13）整除。（7）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能被8（或125）整除。（8）能被11整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減小）能被11整除，那么它必能被11整除。1、 例題與方法

11、指導(dǎo)例1、下列各數(shù)哪些能被7整除？哪些能被13整除？（數(shù)的整除特征）88205， ， ， ， ， ， 。例2、一個(gè)六位數(shù)2356是88的倍數(shù),這個(gè)數(shù)除以88所得的商是_或_.思路導(dǎo)航：一個(gè)數(shù)如果是88的倍數(shù),這個(gè)數(shù)必然既是8的倍數(shù),又是11的倍數(shù).根據(jù)8的倍數(shù),它的末三位數(shù)肯定也是8的倍數(shù),從而可知這個(gè)六位數(shù)個(gè)位上的數(shù)是0或8.而11的倍數(shù)奇偶位上數(shù)字和的差應(yīng)是0或11的倍數(shù),從已知的四個(gè)數(shù)看,這個(gè)六位數(shù)奇偶位上數(shù)字的和是相等的,要使奇偶位上數(shù)字和差為0,兩個(gè)方框內(nèi)填入的數(shù)字是相同的,因此這個(gè)六位數(shù)有兩種可能23 0 56 0 或23 8 56 8 又 =2620 =2711所以,本題的答案是

12、2620或2711.例3、,這個(gè)十一位數(shù)能被36整除,那么這個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)最小是_.思路導(dǎo)航：因?yàn)?6=94,所以這個(gè)十一位數(shù)既能被9整除,又能被4整除.因?yàn)?+2+9=45，由能被9整除的數(shù)的特征，（可知+之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的數(shù)的特征:這個(gè)數(shù)的末尾兩位數(shù)是4的倍數(shù),可知是00,04,，36，72，96.這樣,這個(gè)十一位數(shù)個(gè)位上有0,2,6三種可能性.所以,這個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)最小是0.例4、下面一個(gè)1983位數(shù)333444中間漏寫(xiě)了一個(gè)數(shù)字(方框),已 991個(gè) 991個(gè)知這個(gè)多位數(shù)被7整除

13、，那么中間方框內(nèi)的數(shù)字是_.思路導(dǎo)航：333444 991個(gè) 991個(gè)=33+3+444 990個(gè) 990個(gè) 因?yàn)槟鼙?整除，所以333和444都能被7整除,所以只要 990個(gè) 990個(gè)34能被7整除，原數(shù)即可被7整除.故得中間方框內(nèi)的數(shù)字是6.例5、有三個(gè)連續(xù)的兩位數(shù),它們的和也是兩位數(shù),并且是11的倍數(shù).這三個(gè)數(shù)是_.思路導(dǎo)航：三個(gè)連續(xù)的兩位數(shù)其和必是3的倍數(shù),已知其和是11的倍數(shù),而3與11互質(zhì),所以和是33的倍數(shù),能被33整除的兩位數(shù)只有3個(gè),它們是33、66、99.所以有當(dāng)和為33時(shí),三個(gè)數(shù)是10,11,12；當(dāng)和為66時(shí),三個(gè)數(shù)是21,22,23；當(dāng)和為99時(shí),三個(gè)數(shù)是32,33,

14、34.所以，答案為 10,11,12或21,22,23或32,33,34。注“三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和必能被3整除”可證明如下：設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)為n,n+1,n+2,則n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以，能被3整除.2、 鞏固訓(xùn)練1. 有這樣的兩位數(shù),它的兩個(gè)數(shù)字之和能被4整除,而且比這個(gè)兩位數(shù)大1的數(shù),它的兩個(gè)數(shù)字之和也能被4整除.所有這樣的兩位數(shù)的和是_.2. 一個(gè)小于200的自然數(shù),它的每位數(shù)字都是奇數(shù),并且它是兩個(gè)兩位數(shù)的乘積,那么這個(gè)自然數(shù)是_.3. 任取一個(gè)四位數(shù)乘3456,用A表示其積的各位數(shù)字之和,用B表示A的各位數(shù)字之和,C表示B的各位數(shù)字之和,那么C是_.4.

15、 有0、1、4、7、9五個(gè)數(shù)字，從中選出四個(gè)數(shù)字組成不同的四位數(shù)，如果把其中能被3整除的四位數(shù)從小到大排列起來(lái)，第五個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是_.1. 118符合條件的兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之和能被4整除,而且比這個(gè)兩位數(shù)大1的數(shù),如果十位數(shù)不變,則個(gè)位增加1,其和便不能整除4,因此個(gè)位數(shù)一定是9,這種兩位數(shù)有:39、79.所以,所求的和是39+79=118. 2 195因?yàn)檫@個(gè)數(shù)可以分解為兩個(gè)兩位數(shù)的積，而且1515=225>200,所以其中至少有1個(gè)因數(shù)小于15,而且這些因數(shù)均需是奇數(shù),但11不可能符合條件,因?yàn)閷?duì)于小于200的自然數(shù)凡11的倍數(shù),具有隔位數(shù)字之和相等的特點(diǎn),個(gè)位百位若是奇數(shù),十位必

16、是偶數(shù).所以只需檢查13的倍數(shù)中小于200的三位數(shù)1313=169不合要求,1315=195適合要求.所以,答案應(yīng)是195.3. 9根據(jù)題意,兩個(gè)四位數(shù)相乘其積的位數(shù)是七位數(shù)或八位數(shù)兩種可能.因?yàn)?456=3849,所以任何一個(gè)四位數(shù)乘3456,其積一定能被9整除,根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征,可知其積的各位數(shù)字之和A也能被9整除,所以A有以下八種可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.從而A的各位數(shù)字之和B總是9,B的各位數(shù)字之和C也總是9.4. 90+1+4+7+9=21能被3整除,從中去掉0或9選出的兩組四個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9兩種選

17、擇組成四位數(shù),由小到大排列為:1047,1074,1407,1470,1479,1497.所以第五個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是9.3、 拓展提升1.找出四個(gè)互不相同的自然數(shù),使得對(duì)于其中任何兩個(gè)數(shù),它們的和總可以被它們的差整除,如果要求這四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)的和盡可能的小,那么這四個(gè)數(shù)里中間兩個(gè)數(shù)的和是多少？2.只修改21475的某一位數(shù)字,就可知使修改后的數(shù)能被225整除,怎樣修改？3.試問(wèn),能否將由1至100這100個(gè)自然數(shù)排列在圓周上,使得在任何5個(gè)相連的數(shù)中,都至少有兩個(gè)數(shù)可被3整除？如果回答：“可以”，則只要舉出一種排法；如果回答：“不能”，則需給出說(shuō)明.答案1.如果最小的數(shù)是1,則和1一

18、起能符合“和被差整除”這一要求的數(shù)只有2和3兩數(shù)，因此最小的數(shù)必須大于或等于2.我們先考察2、3、4、5這四個(gè)數(shù),仍不符合要求,因?yàn)?+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,經(jīng)試算,這四個(gè)數(shù)符合要求.所以,本題的答案是(3+4)=7.2.因?yàn)?25=259,要使修改后的數(shù)能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成問(wèn)題,末兩位數(shù)75不必修改,只要看前三個(gè)數(shù)字即可,根據(jù)某數(shù)的各位數(shù)字之和是9的倍數(shù),則這個(gè)數(shù)能被9整除的特征,因?yàn)?+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不難排出以下四種改法:把1改為0；把4改為3；把1改為9；把2改為1.3

19、.不能.假設(shè)能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個(gè)數(shù),我們來(lái)按所排列順序?qū)⑺鼈兠?個(gè)分為一組,可得20組,其中每?jī)山M都沒(méi)有共同的數(shù),于是,在每一組的5個(gè)數(shù)中都至少有兩個(gè)數(shù)是3 的倍數(shù).從而一共有不少于40個(gè)數(shù)是3 的倍數(shù).但事實(shí)上,在1至100的自然數(shù)中有33個(gè)數(shù)是3的倍數(shù),導(dǎo)致矛盾.奧數(shù)第三講 數(shù)字謎小朋友們都玩過(guò)字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭”（打一城市名）。謎底你還記得嗎？記不得也沒(méi)關(guān)系，想想“空中”指什么？“天”。這個(gè)地名第1個(gè)字可能是天?！按a頭”指什么呢？碼頭又稱(chēng)渡口，聯(lián)系這個(gè)地名開(kāi)頭是“天”字，容易想到“天津”這個(gè)地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。這樣謎底就出來(lái)了

20、：天津。算式謎又被稱(chēng)為“蟲(chóng)食算”，意思是說(shuō)一道算式中的某些數(shù)字被蟲(chóng)子吃掉了無(wú)法辨認(rèn)，需要運(yùn)用四則運(yùn)算各部分之間的關(guān)系，通過(guò)推理判定被吃掉的數(shù)字，把算式還原。“蟲(chóng)食算”主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數(shù)字常常用、等圖形符號(hào)或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來(lái)代替未知的數(shù)字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數(shù)字，相同的數(shù)字或字母表示同一個(gè)數(shù)字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。在數(shù)學(xué)里面，文字也可以組成許許多多的數(shù)學(xué)游戲，就讓我們一起來(lái)看看吧。橫式字謎1、 例題與方法指導(dǎo)例1、，8，97在上面的3個(gè)方框內(nèi)分別填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)字，可以使得這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是150。那么

21、所填的3個(gè)數(shù)字之和是多少？思路導(dǎo)航：150×3-8-97-5=340所以3個(gè)數(shù)之和為3+4+5=12。例2、我學(xué)數(shù)學(xué)樂(lè)×我學(xué)數(shù)學(xué)樂(lè)=數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)在上面的乘法算式中，“我、學(xué)、數(shù)、樂(lè)”分別代表的4個(gè)不同的數(shù)字。如果“樂(lè)”代表9，那么“我數(shù)學(xué)”代表的三位數(shù)是多少？ 分析：學(xué)=1，我=8，數(shù)=6 ，81619×81619=例3、÷（÷÷）=24在式中的4個(gè)方框內(nèi)填入4個(gè)不同的一位數(shù)，使左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小，并且等式成立。思路導(dǎo)航：這樣，我們可以先用字母代替數(shù)字，原等式寫(xiě)成：a÷（b÷c÷d）=a

22、5;c×d÷b (去括號(hào)） 當(dāng)a=1時(shí)，有6×8÷2=24，8×9÷3=24；當(dāng)a=2時(shí)，有4×9÷3=12，6×8÷4=12，8×9÷6=12；所以，滿足要求的等式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8÷9）=24。例4、 ×=5； 1

23、2+=，把1至9這9個(gè)數(shù)字分別填入上面兩個(gè)算式的各個(gè)方框中，使等式成立，這里有3個(gè)數(shù)字已經(jīng)填好。分析：根據(jù)第一個(gè)等式，只有兩種可能：7×8=56，6×9=54；如果為7×8=56，則余下的數(shù)字有：3、4、9，顯然不行；而當(dāng)6×9=54時(shí)，余下的數(shù)字有：3、7、8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能滿足。2、 訓(xùn)練鞏固1. 迎迎×春春=杯迎迎杯，數(shù)數(shù)×學(xué)學(xué)=數(shù)賽賽數(shù)，春春×春春=迎迎賽賽在上面的3個(gè)算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。如果這3個(gè)等式都成立，那么，“迎+春+杯+數(shù)+學(xué)+賽”等于多

24、少？分析：考察上面三個(gè)等式，可以從最后一個(gè)等式入手：能夠滿足：春春×春春=迎迎賽賽 的只有88×88=7744，于是，春=8，迎=7，賽=4；這樣，不難得到第一個(gè)為：77×88=6776，第二個(gè)為：55×99=5445；所以，迎+春+杯+數(shù)+學(xué)+賽=7+8+6+5+9+4=39。2. 迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯在上面的兩個(gè)橫式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。那么“迎+春+杯”等于多少？分析：同樣可以從第二個(gè)算式入手，發(fā)現(xiàn)滿足要求的只有（8+1）×（8+1）=81，于是，迎=8；這樣

25、，第一個(gè)算式顯然只有：8+9×9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。3、 拓展提升1.在下列各式的中分別填入相同的兩位數(shù)：(1)5×=2；(2)6×3。2. 將39中的數(shù)填入下列各式，使算式成立，要求各式中無(wú)重復(fù)的數(shù)字：(1)÷=÷；(2)÷÷。3.在下列各式的中填入合適的數(shù)字：(1)448÷=；(2)2822÷=；(3)13×= 46。4. 在下列各式的中填入合適的數(shù)：(1) ÷32831；(2)573÷3229；(3)4837÷7427。答案與提示

26、60;練習(xí)224.(1)287；(2)17；(3)65。豎式字謎一、例題與方法指導(dǎo)例1 在圖4-1所示的算式中，每一個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字那么“喜歡”這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)是多少？分析： 首先看個(gè)位，可以得到“歡”是0或5，但是“歡”是第二個(gè)數(shù)的十位，所以“歡”不能是0，只能是5。 再看十位，“歡”是5，加上個(gè)位有進(jìn)位1，那么，加起來(lái)后得到的“人”就應(yīng)該是偶數(shù)，因?yàn)榻Y(jié)果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；由此可知，“喜”等于8。 所以，“喜歡”這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)就是85。例2 在圖4-2所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字如果：巧+解

27、+數(shù)+字+謎=30，那么“數(shù)字謎”所代表的三位數(shù)是多少？分析：還是先看個(gè)位，5個(gè)“謎”相加的結(jié)果個(gè)位還是等于“謎”，“謎”必定是5（0顯然可以排出）； 接著看十位，四個(gè)“字”相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“字”，那說(shuō)明“字”只能是6； 再看百位，三個(gè)“數(shù)”相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“數(shù)”，“數(shù)”可能是4或9； 再看千位，（1）如果“數(shù)”為4，兩個(gè)“解”相加再加上進(jìn)位1，結(jié)果尾數(shù)還是“解”，那說(shuō)明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6與“字”等于6重復(fù)，不能； （2）如果“數(shù)”為9，兩個(gè)“解”相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“解”，那說(shuō)明“解”只能是8；5+6+9+

28、8=28，30-28=2，可以。 所以“數(shù)字謎”代表的三位數(shù)是965。例3 圖4-4是一個(gè)加法豎式，其中E，F(xiàn)，I，N，O，R S，T，X，Y分別表示從0到9的不同數(shù)字，且F，S不等于零那么這個(gè)算式的結(jié)果是多少？ 分析：先看個(gè)位和十位，N應(yīng)為0，E應(yīng)為5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因?yàn)镹等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位向千位進(jìn)位是2，且X不能是0，因此決定了T、R只能是7、8這兩個(gè)；如果T=7，X=3，這是只剩下了2、4、6三個(gè)數(shù)，無(wú)法滿足S、F是兩個(gè)連續(xù)數(shù)的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F(xiàn)=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式結(jié)果是314

29、86。2、 訓(xùn)練鞏固1. 在圖4-5所示的減法算式中，每一個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字那么D+G等于多少？分析：先從最高位看，顯然A=1，B=0，E=9；接著看十位，因?yàn)镋等于9，說(shuō)明個(gè)位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C=7；這樣，D、G有2、4，3、5和4、6三種可能。所以，DG就可以等于6，8或10。2. 王老師家的電話號(hào)碼是一個(gè)七位數(shù)，把它前四位組成的數(shù)與后三位組成的數(shù)相加得9063，把它前三位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得2529求王老師家的電話號(hào)碼分析：我們可以用abcdefg來(lái)表示這個(gè)七位數(shù)電話號(hào)碼。由題意知，abcd+efg=9063，abc+defg

30、=2529；首先從第一個(gè)算式可以看出，a=8，從第二個(gè)算式可以看出，d=1；再回到第一個(gè)算式，g=2，掉到第二個(gè)算式，c=7；又回到第一個(gè)算式，f=9，掉到第二個(gè)算式，b=3；那么，e=6。所以，王老師家的電話號(hào)碼是。3. 將一個(gè)四位數(shù)的各位順序顛倒過(guò)來(lái)，得到一個(gè)新的四位數(shù)如果新數(shù)比原數(shù)大7902，那么在所有符合這樣條件的四位數(shù)中，原數(shù)最大是多少？分析：用abcd來(lái)表示愿四位數(shù)，那么新四位數(shù)為dcba，dcba-abcd=7902；由最高為看起，a最大為2，則d=9；但個(gè)位上10+a-d=2，所以，a只能是1；接下來(lái)看百位，b最大是9，那么，c=8正好能滿足要求。所以，原四位數(shù)最大是1989。

31、3、 拓展提升1.已知圖4-6所示的乘法豎式成立那么ABCDE是多少？ 分析：由1/7的特點(diǎn)易知，ABCDE=42857。×3=。2. 某個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是4，將這個(gè)4移到左邊首位數(shù)字的前面，所構(gòu)成的新數(shù)恰好是原數(shù)的4倍問(wèn)原數(shù)最小是多少？ 分析：由個(gè)位起逐個(gè)遞推：4×4=16，原十位為6；4×6+1=25，原百位為5；4×5+2=22，原千位為2；4×2+2=10，原萬(wàn)位為0； 1×4=4，正好。所以，原數(shù)最小是。奧數(shù)第四講 定義新運(yùn)算定義新運(yùn)算通常是用特殊的符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義。它的符號(hào)不同于課本上明確定義或已經(jīng)約定的符號(hào)，例如

32、“+、-、×、÷、>、<”等。表示運(yùn)算意義的表達(dá)式，通常是使用四則運(yùn)算符號(hào)，例如ab=3a-3b，新運(yùn)算使用的符號(hào)是，而等號(hào)右邊表示新運(yùn)算意義的則是四則運(yùn)算符號(hào)。正確解答定義新運(yùn)算這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要確切理解新運(yùn)算的意義，嚴(yán)格按照規(guī)定的法則進(jìn)行運(yùn)算。如果沒(méi)有給出用字母表示的規(guī)則，則應(yīng)通過(guò)給出的具體的數(shù)字表達(dá)式，先求出表示定義規(guī)則的一般表達(dá)式，方可進(jìn)行運(yùn)算。值得注意的是：定義新運(yùn)算一般是不滿足四則運(yùn)算中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，所以，不能盲目地運(yùn)用定律和運(yùn)算性質(zhì)解題。1、 例題與方法指導(dǎo)例1、設(shè) ab都表示數(shù)，規(guī)定ab表示a的4倍減去b的3倍，即ab=4×a-3

33、×b,試計(jì)算56，65。解56=5×4-6×3=20-18=2 65=6×4-5×3=24-15=9說(shuō)明 例1定義的沒(méi)有交換律，計(jì)算中不得將前后的數(shù)交換。例2、對(duì)于兩個(gè)數(shù)a、b,規(guī)定ab表示3×a+2×b,試計(jì)算（56）7，5（67）。思路導(dǎo)航：先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算。解：（56）7=（5×3+6×2）7=277=27×3+7×2=95 5（67）=5（6×3+7×2）=532=5×3+32×2=79說(shuō)明 本題定義的運(yùn)算不滿足結(jié)合律。這是與常規(guī)的運(yùn)算有

34、區(qū)別的。例3、已知23=2×3×4，42=4×5，一般地，對(duì)自然數(shù)a、b，ab 表示a×(a+1)×（a+b-1）.計(jì)算（63）-（52）。思路導(dǎo)航：原式=6×7-5×6 =336-30規(guī)定：a=a+(a+1)+(a+2)+（a+b-1）,其中a,b表示自然數(shù)。例4、已知13=1+2+3=6，求1100的值。已知x10=75,求x.思路導(dǎo)航：（1）原式=1+2+3+100=（1+100）×100÷2=5050（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以： 10X+(1+2+3+9)=75

35、 10x+45=75 10x=30 x=3例5、定義運(yùn)算：ab=3a+5ab+kb，其中a，b 為任意兩個(gè)數(shù)，k 為常數(shù)。比如：27=3×2+5×2×7+7k。（1）已知52=73。問(wèn)：85 與58 的值相等嗎？（2）當(dāng)k 取什么值時(shí)，對(duì)于任何不同的數(shù)a，b，都有ab=ba，即新運(yùn)算“”符合交換律？分析與解：（1）首先應(yīng)當(dāng)確定新運(yùn)算中的常數(shù)k。因?yàn)?2=3×5+5×5×2+k×2=65+2k，所以由已知52=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定義的新運(yùn)算是：ab=3a+5ab+4b。85=3

36、×8+5×8×5+4×5=244，58=3×5+5×5×8+4×8=247。因?yàn)?44247，所以8558。（2）要使ab=ba，由新運(yùn)算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。對(duì)于兩個(gè)任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。當(dāng)新運(yùn)算是ab=3a+5ab+3b 時(shí)，具有交換律，即ab=ba。例6、對(duì)任意的數(shù)a，b，定義：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。（1）求f（5）-g（3）

37、的值；（2）求f（g（2）+g（f（2）的值；（3）已知f（x+1）=21，求x 的值。解：（1） f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2； （2）f（g（2）+g（f（2） =f（2×2）+g（2×2+1） =f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34； （3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3， 由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。2、 鞏固訓(xùn)練1、 若對(duì)所有b,ab =a×x,x是一個(gè)與b無(wú)關(guān)的常數(shù)；ab=(a+b)÷2,且 （13）3=1（33）。求（

38、14）2的值。2、如果規(guī)定：=2×3×4，=3×4×5，=4×5×6，=8×9×10，求+-+-+-的值。3、對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)a 和b，規(guī)定a*b=3×a-b÷3。求8*9 的值。4、對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)P， Q，規(guī)定PQ=（P×Q）÷4。例如：28=（2×8）÷4。已知x（85）=10，求x 的值。5、 定義：定義： ab=ab-3b，ab=4a-b/a。計(jì)算：（43）（24）。6、已知： 23=2×3×4，45=4×5

39、5;6×7×8， 求（44）÷（33）的值。7、 定義兩種運(yùn)算“”和“”如下：ab 表示a，b 兩數(shù)中較小的數(shù)的3 倍，ab 表示a，b 兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5 倍。比如：45=4×3=12，45=5×2.5=12.5。計(jì)算：(0.60.5)+(0.30.8)÷(1.20.7)-(0.640.2)。8、設(shè)m，n 是任意的自然數(shù)，A 是常數(shù)，定義運(yùn)算mn=（A×m-n）÷4，并且23=0.75。試確定常數(shù)A，并計(jì)算：（57）×（22）÷（32）。9、對(duì)任意兩個(gè)不同的自然數(shù)a 和b，較大的數(shù)除以較小

40、的數(shù)，余數(shù)記為a b。比如73=1，529=4，420=0。（1）計(jì)算：19982000，（519）19，5（195）；（2）已知11x=4，x 小于20，求x 的值。10、對(duì)于任意的自然數(shù)a，b，定義：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。 （1）求f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知f（g（x）=8，求x 的值。奧數(shù)第五講 周期性問(wèn)題在日常生活中，有一些現(xiàn)象按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)。如：人調(diào)查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬；一年有春夏秋冬四個(gè)季節(jié)；一個(gè)星期有七天等。像這樣日常生活中常碰到的有一定周期的問(wèn)題，我們稱(chēng)為簡(jiǎn)單周期問(wèn)題。這

41、類(lèi)問(wèn)題一般要利用余數(shù)的知識(shí)來(lái)解決。    在研究這些簡(jiǎn)單周期問(wèn)題時(shí)，我們首先要仔細(xì)審題，判斷其不斷重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律，也就是找出循環(huán)的固定數(shù)，如果正好有個(gè)整數(shù)周期，結(jié)果為周期里的最后一個(gè)；如果不是從第一個(gè)開(kāi)始循環(huán)，利用除法算式求出余數(shù)，最后根據(jù)余數(shù)的大小得出正確的結(jié)果。1、 例題與方法指導(dǎo)例1、某年的二月份有五個(gè)星期日，這年六月一日是星期_.思路導(dǎo)航：因?yàn)?4=28，由某年二月份有五個(gè)星期日，所以這年二月份應(yīng)是29天，且2月1日與2月29日均為星期日，3月1日是星期一，所以從這年3月1日起到這年6月1日共經(jīng)過(guò)了 31+30+31+1=93(天).因?yàn)?3¸7

42、=132，所以這年6月1日是星期二.例2、1989年12月5日是星期二,那么再過(guò)十年的12月5日是星期_.思路導(dǎo)航：依題意知，這十年中1992年、1996年都是閏年，因此，這十年之中共有36510+2=3652（天）因?yàn)椋?652+1）7=5216，所以再過(guò)十年的12月5日是星期日.注上述兩題(題1題2)都是推斷若干天、若干月或若干年后某一天為星期幾，解答這類(lèi)問(wèn)題主要依據(jù)每周為七天循環(huán)的規(guī)律，運(yùn)用周期性解答.在計(jì)算天數(shù)時(shí),要根據(jù)“四年一閏，整百不閏，四百年才又一閏”的規(guī)定，即公歷年份不是整百數(shù)時(shí)，只要是4的倍數(shù)就是閏年，公歷年數(shù)為整百數(shù)時(shí)，必須是400的倍數(shù)才是閏年.例3、按下面擺法擺80個(gè)三

43、角形,有_個(gè)白色的. 思路導(dǎo)航：從圖中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的規(guī)律重復(fù)排列，也就是這一排列的周期為6，并且每一周期有3個(gè)白色三角形.因?yàn)?06=132，而第十四期中前兩個(gè)三角形都是黑色的，所以共有白色三角形133=39（個(gè)）.例4、節(jié)日的校園內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看出每?jī)蓚€(gè)白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈.也就是說(shuō),從第一盞白燈起,每一盞白燈后面都緊接著有3盞彩燈,小明想第73盞燈是_燈.思路導(dǎo)航：依題意知,電燈的安裝排列如下:白,紅,黃,綠,白,紅,黃,綠,白,這一排列是按“白，紅，黃，綠”交替循環(huán)出現(xiàn)的，也就是這一排列的周期為4.由734=181,可知第73盞燈是白燈.例

44、5、時(shí)針現(xiàn)在表示的時(shí)間是14時(shí)正,那么分針旋轉(zhuǎn)1991周后,時(shí)針表示的時(shí)間 是_.思路導(dǎo)航：分針旋轉(zhuǎn)一周為1小時(shí),旋轉(zhuǎn)1991周為1991小時(shí).一天24小時(shí),=8223，1991小時(shí)共82天又23小時(shí).現(xiàn)在是14時(shí)正,經(jīng)過(guò)82天仍然是14時(shí)正,再過(guò)23小時(shí),正好是13時(shí).注在圓面上,沿著圓周把1到12的整數(shù)等距排成一個(gè)圈,再加上一根長(zhǎng)針和一根短針,就組成了我們天天見(jiàn)到的鐘面.鐘面雖然是那么的簡(jiǎn)單平常,但在鐘面上卻包含著十分有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題,周期現(xiàn)象就是其中的一個(gè)重要方面.例6、在100 米地跑道兩側(cè)每隔2 米站著一個(gè)同學(xué)。這些同學(xué)從一端開(kāi)始，按兩 女生，再一男生地規(guī)律站立著。問(wèn)這些同學(xué)中共有多少

45、個(gè)女生？解：一側(cè)：100÷2=50（人） 50+1=51（人）51÷（2+1）=17 組一組里有2 個(gè)女生，女生2×17=34（人）兩側(cè)共有女生34×2=68（人）答：共有女生68 人。2、 鞏固訓(xùn)練1. 把自然數(shù)1,2,3,4,5如表依次排列成5列，那么數(shù)“1992”在_列.第一列第二列第三列第四列第五列1234598761011121314181716152. 把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)第110位上的數(shù)字是_.3. 循環(huán)小數(shù)與.這兩個(gè)循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點(diǎn)后第_位,首次同時(shí)出現(xiàn)在該位中的數(shù)字都是7.4. 一串?dāng)?shù): 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1

46、,4,1,4,1,9,9,1,4,共有1991個(gè)數(shù). (1)其中共有_個(gè)1,_個(gè)9_個(gè)4； (2)這些數(shù)字的總和是_.5、 7777所得積末位數(shù)是_. 50個(gè)答案：1、3仔細(xì)觀察題中數(shù)表. 1 2 3 4 5 (奇數(shù)排) 第一組 9 8 7 6 (偶數(shù)排) 10 11 12 13 14 (奇數(shù)排) 第二組 18 17 16 15 (偶數(shù)排) 19 20 21 22 23 (奇數(shù)排) 第三組 27 26 25 24 (偶數(shù)排)可發(fā)現(xiàn)規(guī)律如下:(1)連續(xù)自然數(shù)按每組9個(gè)數(shù),且奇數(shù)排自左往右五個(gè)數(shù),偶數(shù)排自右往左四個(gè)數(shù)的規(guī)律循環(huán)排列；(2)觀察第二組,第三組,發(fā)現(xiàn)奇數(shù)排的數(shù)如果用9除有如下規(guī)律:第1

47、列用9除余數(shù)為1,第2列用9除余數(shù)為2,，第5列用9除余數(shù)為5.(3)109=11，10在1+1組，第1列 199=21，19在2+1組，第1列因?yàn)?9929=2213，所以1992應(yīng)排列在（221+1）=222組中奇數(shù)排第3列數(shù)的位置上.2、7=0.它的循環(huán)周期是6，具體地六個(gè)數(shù)依次是5，7，1，4，2，81106=182因?yàn)橛?，第110個(gè)數(shù)字是上面列出的六個(gè)數(shù)中的第2個(gè)，就是7.3、35因?yàn)?.的循環(huán)周期是7,0.34567的循環(huán)周期為5,又5和7的最小公倍數(shù)是35,所以兩個(gè)循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點(diǎn)后第35位,首次同時(shí)出現(xiàn)在該位上的數(shù)字都是7.4、853,570,568,8255.不難看出,這串

48、數(shù)每7個(gè)數(shù)即1,9,9,1,4,1,4為一個(gè)循環(huán),即周期為7,且每個(gè)周期中有3個(gè)1,2個(gè)9,2個(gè)4.因?yàn)?991¸7=2843，所以這串?dāng)?shù)中有284個(gè)周期，加上第285個(gè)周期中的前三個(gè)數(shù)1，9，9.其中1的個(gè)數(shù)是:3´284+1=853(個(gè)),9的個(gè)數(shù)是2´284+2=570(個(gè)),4的個(gè)數(shù)是2´284=568(個(gè)).這些數(shù)字的總和為1´853+9´570+4´568=8255.3、 拓展提升1. 緊接著1989后面一串?dāng)?shù)字，寫(xiě)下的每個(gè)數(shù)字都是它前面兩個(gè)數(shù)字的乘積的個(gè)位數(shù).例如89=72,在9后面寫(xiě)2,92=18,在2后面寫(xiě)

49、8,得到一串?dāng)?shù)字: 1 9 8 9 2 8 6這串?dāng)?shù)字從1開(kāi)始往右數(shù)，第1989個(gè)數(shù)字是什么？2. 1991個(gè)1990相乘所得的積與1990個(gè)1991相乘所得的積，再相加的和末兩位數(shù)是多少？3. 設(shè)n=2222，那么n的末兩位數(shù)字是多少？ 1991個(gè)4在一根長(zhǎng)100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個(gè)紅點(diǎn)，同時(shí)自右至左每隔5厘米也染一個(gè)紅點(diǎn)，然后沿紅點(diǎn)處將木棍逐段鋸開(kāi)，那么長(zhǎng)度是1厘米的短木棍有多少根？答案：1、 依照題述規(guī)則多寫(xiě)幾個(gè)數(shù)字: 86884可見(jiàn)1989后面的數(shù)總是不斷循環(huán)重復(fù)出現(xiàn)，每6個(gè)一組，即循環(huán)周期為6.因?yàn)?1989-4)6=3305，所以所求數(shù)字是8.2、1991個(gè)199

50、0相乘所得的積末兩位是0,我們只需考察1990個(gè)1991相乘的積末兩位數(shù)即可.1個(gè)1991末兩位數(shù)是91,2個(gè)1991相乘的積末兩位數(shù)是81,3個(gè)1991相乘的積末兩位數(shù)是71,4個(gè)至10個(gè)1991相乘的積的末兩位數(shù)分別是61,51,41,31,21,11,01,11個(gè)1991相乘積的末兩位數(shù)字是91，由此可見(jiàn)，每10個(gè)1991相乘的末兩位數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，即周期為10.因?yàn)?199,所以1990個(gè)1991相乘積的末兩位數(shù)是01,即所求結(jié)果是01.3、n是1991個(gè)2的連乘積,可記為n=21991,首先從2的較低次冪入手尋找規(guī)律,列表如下:nn的十位數(shù)字n的個(gè)位數(shù)字nn的十位數(shù)字n的個(gè)位數(shù)字210

51、22129622042139223082148424162156825322163626642177227282184428562198829122207621024221522114822204觀察上表,容易發(fā)現(xiàn)自22開(kāi)始每隔20個(gè)2的連乘積,末兩位數(shù)字就重復(fù)出現(xiàn),周期為20.因?yàn)?9910，所以21991與211的末兩位數(shù)字相同，由上表知211的十位數(shù)字是4，個(gè)位數(shù)字是8.所以,n的末兩位數(shù)字是48.4、 因?yàn)?00能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我們可以看作是從同一端點(diǎn)染色. 6與5的最小公倍數(shù)是30,即在30厘米的地方,同時(shí)染上紅色,這樣染色就會(huì)出現(xiàn)循環(huán),每一周的長(zhǎng)

52、度是30厘米,如下圖所示.6121824305101520259596100.90由圖示可知長(zhǎng)1厘米的短木棍,每一周期中有兩段,如第1周期中,6-5=1,55-64=1.剩余10厘米中有一段.所以鋸開(kāi)后長(zhǎng)1厘米的短木棍共有7段.綜合算式為:2(100-10)30+1=23+1=7(段)注解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)整除性把自右向左每隔5厘米的染色,轉(zhuǎn)化為自左向右的染色,便于利用最小公倍數(shù)發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象,化難為易.奧數(shù)第六講 行程問(wèn)題行程問(wèn)題是小學(xué)奧數(shù)中變化最多的一個(gè)專(zhuān)題，不論在奧數(shù)競(jìng)賽中還是在“小升初”的升學(xué)考試中，都擁有非常重要的地位。行程問(wèn)題中包括：火車(chē)過(guò)橋、流水行船、沿途數(shù)車(chē)、獵狗追兔、環(huán)形行

53、程、多人行程，等等。每一類(lèi)問(wèn)題都有自己的特點(diǎn)，解決方法也有所不同，但是，行程問(wèn)題無(wú)論怎么變化，都離不開(kāi)“三個(gè)量，三個(gè)關(guān)系”：這三個(gè)量是：路程(s)、速度(v)、時(shí)間(t)三個(gè)關(guān)系：1. 簡(jiǎn)單行程： 路程 = 速度 × 時(shí)間2. 相遇問(wèn)題： 路程和 = 速度和 × 時(shí)間3. 追擊問(wèn)題： 路程差 = 速度差 × 時(shí)間牢牢把握住這三個(gè)量以及它們之間的三種關(guān)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)解決行程問(wèn)題還是有很多方法可循的。追擊及相遇問(wèn)題1、 例題與方法指導(dǎo)例1.有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘

54、走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問(wèn)：這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是多少米？思路導(dǎo)航：這個(gè)三人行程的問(wèn)題由兩個(gè)相遇、一個(gè)追擊組成，題目中所給的條件只有三個(gè)人的速度，以及一個(gè)“3分鐘”的時(shí)間。第一個(gè)相遇：在3分鐘的時(shí)間里，甲、丙的路程和為（40+36）×3=228（米）第一個(gè)追擊：這228米是由于在開(kāi)始到甲、乙相遇的時(shí)間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過(guò)程，可求出甲、乙相遇的時(shí)間為228÷ （38-36）=114（分鐘）第二個(gè)相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長(zhǎng)為（40+38）×114=8892（米）我們把這樣一個(gè)抽象的三人行程問(wèn)題分解

55、為三個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，使解題思路更加清晰。例2.東西兩地間有一條公路長(zhǎng)217.5千米，甲車(chē)以每小時(shí)25千米的速度從東到西地，1.5小時(shí)后，乙車(chē)從西地出發(fā)，再經(jīng)過(guò)3小時(shí)兩車(chē)還相距15千米。乙車(chē)每小時(shí)行多少千米？思路導(dǎo)航：            從圖中可以看出，要求乙車(chē)每小時(shí)行多少千米，關(guān)鍵要知道乙車(chē)已經(jīng)行了多少路程和行這段路程所用的時(shí)間。解：（1）甲車(chē)一共行多少小時(shí)？1.5+3=4.5（小時(shí)）（2）甲車(chē)一共行多少千米路程？25×4.5=112.5（千米）（3）乙車(chē)一共行多少千米路程？217.

56、5-112.5=105（千米）（4）乙車(chē)每小時(shí)行多少千米？ (105-15)÷3=30（千米）答：乙車(chē)每小時(shí)行30千米。例3.兄妹二人同時(shí)從家里出發(fā)到學(xué)校去，家與學(xué)校相距1400米。哥哥騎自行車(chē)每分鐘行200米，妹妹每分鐘走80米。哥哥剛到學(xué)校就立即返回來(lái)在途中與妹妹相遇。從出發(fā)到相遇，妹妹走了幾分鐘？相遇處離學(xué)校有多少米？思路導(dǎo)航： 從圖中可以看出，哥與妹妹相遇時(shí)他們所走的路程的和相當(dāng)于從家到學(xué)校距離的2倍。因此本題可以轉(zhuǎn)化為“哥哥妹妹相距2800米，兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，哥哥每分鐘行200米，妹妹每分鐘行80米，經(jīng)過(guò)幾分鐘相遇？”的問(wèn)題，解答就容易了。解：（1）從家到學(xué)校的距離的2倍：140