小二乘法的多項式擬合(matlab實現(xiàn))

1、小二乘法的多項式擬合 實現(xiàn)）(matlab作者:日期:用最小二乘法進行多項式擬合（matlab實現(xiàn)）西安交通大學(xué)徐彬華算法分析：對給定數(shù)據(jù)（也.（i=0,1,2,3,.,m）, 共m+1個數(shù)據(jù)點，取多項式P（x）,使mm審二工幽）-訂二】山J-0?'-0函數(shù)p（x）稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，令似妁仇（巧二£ %上使得Jt-cu 口以耳）-kF = X-兀=ininf0 /其中，aO, a1,a2,an為待求未知數(shù)，n為多項式的最高次幕，由此，該問題化 為求/二/（坷衛(wèi)“）的極值問題。由多元函數(shù)求極值的必要條件：J "YE；/注0i«0=0j=0,1,n得到

2、:nmmf=0 2=01=0j=0,1,n這是一個關(guān)于a0，a1,a2,an的線性方程組，用矩陣表示如下:rn1=QJF/f/=omZ<+1/=0mZ-0mD嚴(yán)t=Q3.mT = 0ntJ=Omr=0因此，只要給出數(shù)據(jù)點及其個數(shù)m,再給出所要擬合的參數(shù)n,則即可求出未知數(shù)矩陣(aO, a1,a2,an)試驗題1編制以函數(shù)/口；=0為基的多項式最小二乘擬合程序，并用于對F列數(shù)據(jù)作三次多項式最小二乘擬合(取權(quán)函數(shù)wM 1)xi-10-0.50.00.51.01.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552總共有7個數(shù)據(jù)點，令m=6第一步：畫出已知數(shù)

3、據(jù)的的散點圖，確定擬合參數(shù)n;x=-1.0:0.5:2.0;y=-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552; plot(x,y,'*')xlabel 'x 軸'ylabel 'y 軸'title '散點圖'hold on散點圖0-1-40.50.6x軸因此將擬合參數(shù)n設(shè)為3.第二步：計算矩陣A=!)J + 1J=O1 =0f=0rJflT1=0*1-aFJ.n+i"J=o曾41moK1/-ojW多項式的幕跟行、列坐標(biāo) 素，程序如下：注意到該矩陣為（n+1） *（n+1）矩陣，

4、i,j）的關(guān)系為i+j-2,由此可建立循環(huán)來求矩陣的各個元m=6;n=3;A=zeros( n+1);for j=1: n+1for i=1: n+1for k=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(kF(j+i-2)endendend;再來求矩陣Yv.B=j-3B=0 0 0 0; for j=1: n+1 for i=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(i)A(j-1) endend第三步：寫出正規(guī)方程，求出a0,a1,an.B=B'a=i nv (A)*B;第四步：畫出擬合曲線x=-1.0:0.0001:2.0;z=a(1)+a (2)*x+a (3)*x.A2+a

5、*x.A3;plot(x,z)lege nd('離散點','y=a(1)+a (2)*x+a (3) *x.A2+a *x.A3') title('擬合圖')擬合圖薜由總程序附下：x=-1.0:0.5:2.0;y=-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552;plot(x,y,'*')xlabel 'x 軸'ylabel 'y 軸'title '散點圖'hold onm=6;n=3;A=zeros( n+1);for j=1: n+1for i=1: n+1for k=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(k)A(j+i-2)endendend;B=0 0 0 0;for j=1: n+1for i=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(iF(j-1)endendB=B'a=i nv (A)*B;x=-1.0:0.0001:2.0;z=a(1)+a (2)*x+a (3)*x.A2+a *x.A3;plot(x,z