偏微分方程數(shù)值解(雙曲方程書稿)

1、雙曲型方程的有限差分法線性雙曲型方程定解問題：（a）一階線性雙曲型方程（b）一階常系數(shù)線性雙曲型方程組其中，階常數(shù)方程方陣，為未知向量函數(shù)。（c）二階線性雙曲型方程（波動(dòng)方程）為非負(fù)函數(shù)（d）二維，三維空間變量的波動(dòng)方程§1 波動(dòng)方程的差分逼近1.1 波動(dòng)方程及其特征線性雙曲型偏微方程的最簡(jiǎn)單模型是一維波動(dòng)方程：（1.1） 其中是常數(shù)。（1.1）可表示為：，進(jìn)一步有由于當(dāng)時(shí)為的全導(dǎo)數(shù)（）,故由此定出兩個(gè)方向（1.3） 解常微分方程（1.3）得到兩族直線（14） 和 稱其為特征。特征在研究波動(dòng)方程的各種定解問題時(shí)，起著非常重要的作用。比如，我們可通過特征給出（1.1）的通解。（行波法、

2、特征線法）將（1.4）視為與之間的變量替換。由復(fù)合函數(shù)的微分法則同理可得，將和代入（1.1）可得：即有 求其對(duì)的積分得： 其中是的任意可微函數(shù)。再求其對(duì)的積分得：（1.5） 其中和均為任意的二次連續(xù)可微函數(shù)。（1.5）為（1.1）的通解，即包含兩個(gè)任意函數(shù)的解。為了確定函數(shù)和的具體形式，給定在軸的初值（1.5） 將（1.5）式代入上式，則有（）注意；，有（）并對(duì)積分一次，得與（）式聯(lián)立求解，得將其回代到通解中，即得（1.1）在（1.5）條件下的解：（1.6） 即為法國(guó)數(shù)學(xué)家Jean Le Rond dAlembert (1717-1783)提出的著名的DAlembert公式。由DAlember

3、t公式還可以導(dǎo)出解的穩(wěn)定性，即當(dāng)初始條件（1.5）僅有微小的誤差時(shí)，其解也只有微小的改變。如有兩組初始條件：滿足 ，則 +即顯然，當(dāng)有限時(shí)，解是穩(wěn)定的。此外，由DAlembert公式可以看出，解在點(diǎn)，的值僅依賴于軸上區(qū)間內(nèi)的初始值，與其他點(diǎn)上的初始條件無關(guān)。故稱區(qū)間為點(diǎn)的依存域。它是過點(diǎn)的兩條斜率分別為的直線在軸上截得的區(qū)間。對(duì)于初始軸上的區(qū)間，過點(diǎn)作斜率為的直線；過點(diǎn)作斜率為的直線。它們和區(qū)間一起構(gòu)成一個(gè)三角區(qū)域。此三角區(qū)域中任意點(diǎn)的依存區(qū)間都落在內(nèi)部。所以解在此三角形區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間上的初始條件確定，而與區(qū)間外的初始條件無關(guān)。這個(gè)三角形區(qū)域稱為區(qū)間的決定域。在上給定初始條件，就可以在

4、其決定域中確定初值問題的解。1.2顯格式現(xiàn)在構(gòu)造（1.1）的差分逼近。取空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)，用兩族平行直線，作矩形網(wǎng)絡(luò)。于網(wǎng)點(diǎn)處Taylor展開成代入（1.1）,并略去截?cái)嗾`差，則得差分格式：（1.7） ，這里表示于網(wǎng)點(diǎn)處的近似值。初值條件（1.5）用下列差分方程近似：（1.8） （1.9） 注意：（1.7）的截?cái)嗾`差階是，而（1.9）的截?cái)嗾`差階僅是。為此需要提高（1.9）的精度，可用中心差商代替，即（1.10） 為了處理，在（1.7）中令，得進(jìn)一步，其中。并用（1.10）式的代入上式得即（1.11） 這樣，利用（1.8） (1.11)，可以由初始層的已知值，算出第一層各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值。然后

5、利用（1.7）或顯式三層格式（1.12） 可以逐層求出任意網(wǎng)點(diǎn)值。以上顯式三層格式也可用于求解混合問題：（1.13）取，。除（1.7）（1.9）外。再補(bǔ)充邊值條件（1.14） ，1 3穩(wěn)定性分析下面我們要討論（1.7）的穩(wěn)定性。為引用Fourier方法，我們把波動(dòng)方程（1.1）化成一階偏微分方程組，相應(yīng)地把顯式三層格式（1.7）化成二層格式。一種簡(jiǎn)單的做法是引進(jìn)變量，于是（1.1）化為，這樣會(huì)使得初值與不適定（不唯一），更合理的方法是再引進(jìn)一個(gè)變量，將(1.1)化為（1.15） ，注意到：；若令，則(1.5)可寫成(1.16) 相應(yīng)地，將（1.7）寫成等價(jià)的雙層格式：(1.17) 即 其中，。

6、可直接驗(yàn)證之。記為網(wǎng)比。用Fourier方法可以證明，差分方程(1.17)穩(wěn)定的必要條件是網(wǎng)比（1.19） 。充分條件是網(wǎng)比（1.19） 。Courant等證明，時(shí)，差分解仍穩(wěn)定，收斂。但是要求有更光滑的初值。習(xí)慣上也稱為Courant條件或C-F-L（Courant-Fridrichs-Lewy）條件。穩(wěn)定性條件（1.19）有直觀的幾何解釋。從方程（1.12）可看出，依賴于前兩層的值：，而這四個(gè)值由依賴于，依賴于：，依賴于：，依賴于：，依賴于：，以此類推，可知，最終依賴于初始層上的下列值：， ， ，因此，稱軸上含于區(qū)間的網(wǎng)點(diǎn)為差分解的依存域，它是軸上被過和以及和的兩條直線所切割下來的區(qū)間所覆

7、蓋的網(wǎng)域。而過的兩條特征線為：。差分格式穩(wěn)定的必要條件為：或，并且進(jìn)而?？梢姴罘指袷椒€(wěn)定的必要條件是：差分解的依存域必須包含微分方程解的依存域，否則差分格式不穩(wěn)定。用依存域的概念容易證明：當(dāng)時(shí)，差分解不收斂。1.4 隱式為了得到絕對(duì)穩(wěn)定的差分格式，用第層、層、層的中心差商的加權(quán)平均去逼近得到下列差分格式： 或 其中是參數(shù)。 可以證明，對(duì)于時(shí)，差分格式絕對(duì)穩(wěn)定；時(shí)，差分格式的充要條件是：。當(dāng)就是顯格式（1.7），一個(gè)常用的隱式格式是取此時(shí)，差分格式為：或 高維波動(dòng)方程！§3 一階雙曲方程雙曲方程與橢圓方程和拋物方程的一個(gè)重要區(qū)別是，雙曲方程具有特征和特征關(guān)系，其解對(duì)初值有局部依賴性質(zhì)。

8、初值的函數(shù)性質(zhì)（如間斷、弱間斷等）也沿著特征傳播，因而其解一般沒有光滑性質(zhì)。我們?cè)跇?gòu)造雙曲方程的差分逼近時(shí)，應(yīng)充分注意這些特性。下面對(duì)于一階雙曲方程，介紹幾種常見的差分格式3.1 迎風(fēng)格式首先考慮一階線性常系數(shù)雙曲方程（3.1） 此方程雖簡(jiǎn)單，但是對(duì)我們構(gòu)造差分格式很有啟發(fā)。我們的主要的目的是構(gòu)造差分格式，因此只限于考慮純初值問題。對(duì)于（3.1）按照用差商代替微商的方法，自然有如下三種格式： （左偏心格式） （右偏心格式） （中心格式）其中和的截?cái)嗾`差的階為，的截?cái)嗾`差的階為。記（3.3） 將式改寫為： 用Fourier方法分析穩(wěn)定性可知，絕對(duì)不穩(wěn)定。時(shí)，不穩(wěn)定，而當(dāng)穩(wěn)定，；時(shí)， 不穩(wěn)定，而當(dāng)

9、穩(wěn)定。這兩個(gè)穩(wěn)定條件意味著差分方程的依存域必須包含微分方程的依存域。同樣的思想可用于構(gòu)造變系數(shù)方程的差分格式。此時(shí)可能變號(hào)，因此相應(yīng)的格式為：（3.6） 其中。穩(wěn)定性條件為（3.7） 由（3.7），并取，則知和右端的系數(shù)非負(fù)。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，其中是以為分量的的向量?？傊?，。這說明（3.6）穩(wěn)定，按氣體力學(xué)的含義（表示氣流速度），稱（3.6）為迎風(fēng)格式。初邊值問題：邊值條件應(yīng)該在迎風(fēng)方向給出! 3.2 積分守恒的差分格式 迎風(fēng)格式是根據(jù)特征走向構(gòu)造出來的向前或向后差分格式?，F(xiàn)在以積分守恒方程出發(fā)構(gòu)造差分格式。所謂守恒方程是指如下散度型偏微分方程（3.13） 設(shè)是平面中任意有界域，由Green公式其中。于是可將（3.13）寫成積分守恒方程（3.14） 0 1. Lax格式首先，我們從（3.14）出發(fā)構(gòu)造所謂Lax格式。取為，和為頂點(diǎn)的開矩形。為其邊界，則（3.15） +右端第一積分用梯形公式，第二積分用中矩形公式即 ，第三、第四積分用如下矩形公式計(jì)算：，從而有兩端同除以得Lax格式（3.16）