橢圓離心率求法經(jīng)典全面

1、離心率的五種求法橢圓的商心率0<0<1, 雙曲線的商心率丘>1,拋物線的離心率e = .一、直接求出“、 J 求解4、 e 易求時(shí)，可利用率心率公式 0 =上來解決。a例1：已知雙曲線Ay-y2 =1 (d>0)的一條港線與拋物線 y2 =-6x的準(zhǔn)線重合,則該雙曲線的離心率為 ()B. 2A?迺2 2X =解：拋物線y2 =-6x 的準(zhǔn)線是 X = -, 即雙曲線的右準(zhǔn)線22c2 3c 2 = 0 > 解得 c = 2 , a = -x/3 ， e = = , 故選 r> a 3變式練習(xí) 1： 若橢圓通過原點(diǎn)，且核心為仟(1,0) 、竹 ( 3,0) ,則

2、其商心率為()A. -B. -C. -D4324解：由片(1,0)、F2(3,0)知 2c = 3 1, ? ? c =1，又 T 橢圓過原點(diǎn)，？a_c = l,a + c = 3 >? ? a = 2 , c = 1 ,所以離心率e = = ?故選C?a 2變式練習(xí)2:若是雙曲線的實(shí)半軸長為2,焦距為6,那么雙曲線的離心率為()A. B. C. -D 22 2 2 c 3 解：由題設(shè)a = 2, 2 C = 69 則 c = 3, A =-=-, 因此選 Ca 2變式練習(xí)3:點(diǎn)P (-3, 1)在橢圓一+二=1 (a>b>0)的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P且方向a2 b2為 a =(

3、2,-5) 的光線，經(jīng)直線$ = -2反射后通過橢圓的左核心，則這個(gè)橢圓的離心率為()B! Di 232解：由題意知，入射光線為y-l=-(x + 3 ) ,關(guān)于 y = 2 的反射光線(對稱關(guān)系 )為 2尤“ c J35x-2y+ 5 = 0, 貝 ij< c解得 a = 39 c = 1, 則 e = =?故選A云+ 5 = 0"3二、構(gòu)造 " 、。的齊次式，解出 f按照題設(shè)條件，借助、b、C之間的關(guān)系，構(gòu)造"、e的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而 取得 關(guān)于0的一元方程，從而解得離心率2 2例2:已知片、化是雙曲線二一匚=1 （o >00> 0

4、）的兩核心，以線段片化為邊作cr lr正三角形F “若邊MR的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A. 4 + 2A3 B. V3-1 C.解：如圖，設(shè)MFJ的中點(diǎn)為P,則P的橫坐標(biāo)為-匕，E2用二-勺-c / c / 2 / 得 2;2 = 0,解得即 c = x 一 一"V 2 J 心 Ja）e = = + y3（1-JJ 舍去），故選 DaD. A3 + 1變式練習(xí)設(shè)雙曲線乂一二=1 （0<a<b）的半焦距為c,直線公過（匕0） , （0,方）兩crA. 2B. V3D.點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（）2V3解：由已知，直線公的方程為 bx +

5、ay-ab = 0,由點(diǎn)到直線的距離公式，得ab x/3又c2=a2+h :兩邊平方，得6a2（c2 -a 2）=3c4 9整理得3/12+16 = 0,42 L I L| Z得 e2 = 4 或 e2 = - 9 又 0 <b , ?/= 乂 ="=1 + A >2, A e2 = 4 93cr crcr.*?<? = 2，故選 A變式練習(xí)2:雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,兩個(gè)核心為林、F2, ZFMF = 120 °,則雙曲線的離心率為（）A V3B總c總D匣17 /233.?> 2 U 1?: b = c" ci" f :.;

6、=9 :.2c2 -a 12三、采用離心率的概念和橢圓的概念求解解：如圖所示，不妨設(shè) M （0"） , F!（-c,O） , F2 （GO）,則|Mf ; | = |Mf ; | = Vc2+/72，又冏？=在站濟(jì)2中，由余弦泄理，得"皿處四需需罟即，（:）+ ）（"）&2 （c2 +b）b2 +c2例3:設(shè)橢圓的兩個(gè)核心別離為林、竹，過耳作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若AFAF,為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 o解：-£ =蘭二 2.#a =-=血一U 2d PF + PF 22 V2C + 2c、屬 + 1四、按照圓錐曲線的統(tǒng)一概念求解例

7、4:設(shè)橢圓二一二=1 （&>0上>0）的右核心為人，右準(zhǔn)線為，若過仟 crr且垂直于x軸的弦的長等于點(diǎn)林到公的距離，則橢圓的離心率是解：如圖所示，A3 是過人且垂直于x軸的弦，-ADL公于D,為仟到準(zhǔn)線公的廠_, _AFj aab1距離，按照橢圓的第二概念，A = FA7= -t-7T = T2變式練習(xí)：任給左橢圓中，過核心且垂直于長軸的弦長為、伍，核心到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該橢圓的離心率為（）B ±2解：心|_、2運(yùn)，則二次曲線FcotO - y? tan& = 1的離心率的取值范圍為（五、構(gòu)建關(guān)于e的不等式，求e的取值范圍蘭、4；1 A.- 21 V

8、2 B.C.D. (2,例6:如圖，已知梯形ABCW, |4沖二2|CD|,點(diǎn)E分有向線段猶所成的比為八 雙曲線過C、D E三點(diǎn)，且以A、B為核心.當(dāng)時(shí)，求雙曲線禽心率e的取值范圍。解：以AB的垂直平分線為y軸，直線人3為x軸，成立如圖所示的直角坐標(biāo)系另：ill a 2 cot 0 v2 tan = 10 e 0.,得/廠=cot。.I 4 J=工廠 = tan0 + cot。.:（廠=- cCtan £ +cot。 ,= - = 1+cor 0 landV<9e 0,- L ?cot2&>l,? ./>2,:? e> 邁，故選 D 4;由雙曲線xoy

9、,則CQy軸？因?yàn)殡p曲線通過點(diǎn) C、D,且以A、3為核心,的對稱性知C、£關(guān)于y軸對稱.依題意，記A （一c,0）其中c = 11ABi為雙曲線的半焦距，力是梯形的高=1,則離心率八=-,由點(diǎn)C、E在雙曲線上，所以,線方程得上二佯二14cr lr將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入雙曲cr將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入雙曲線方程得上1百?1十幾Jh2b2 kl +A由立比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得兒）再將e =、得匚一佯=1,.? " a 4 rCH'l_U-2k2（1 +幾） y（）=一，設(shè)雙曲線的方程為1 + 2*>211二1將式代入式，整理得務(wù)（4-4心+ 2 ？?？ 一-是，由題設(shè)令兄§

10、得解得IS 55屈,所以雙曲線的離心率的取值范圍為“ /血配套練習(xí)1-設(shè)雙曲線務(wù)譯"（">0E>0 ） 的離心率為且它的一條準(zhǔn)線與拋物線y1 2 3 = 4x 的準(zhǔn)線重合, 則此雙曲線的方程為（A尸24 B i_%=1V D.2. 已知橢圓的長軸長是短軸長的 2 倍 , 則橢圓的離心率等于（1C.23. 已知雙曲線汁汁吩條漸近線方程為尸亍, 則雙曲線的離心率為（）d|4. 在給左橢圓中 . 過核心且垂直于長軸的眩長為、耳核心到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 1,則該橢圓的離心率為 A 逅5. 在給左雙曲線中，過核心垂直于實(shí)軸的弦長為核心到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為F 則該1A. 3雙曲

11、線的離心率為(C V2 D 2、伍r- v*6.如圖，仟和屬別離是雙曲線一 =1 ( ">0,b»)的兩個(gè)核心，A和B是以O(shè)則雙為圓心，以|0斥|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且公F2AB是等邊三角形,曲線的離心率為()ABC A D、>EE +1V2v2(c為7?設(shè)片、竹別離是橢圓一+ yv = l (a>b> 0)的左、右核心，P是K右準(zhǔn)線上縱坐 標(biāo)為岳半焦距)的點(diǎn)，且FF2=F2P,則橢圓的離心率是 ()V3-128?設(shè)尺、化別離是雙曲線乂 -二二1的左.右核心，若雙曲線上存在點(diǎn) A,使a Zr=90 ；且仍用二31A劭 則雙曲線離心率為

12、()哼 溟9.已知雙曲線乂 一二二1 (o >0上>0)的右核心為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的cr 直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是()A 1,2B (1,2)C 2,+oc)D (2,RD)2 210 ?橢圓二十二二1 (a>b> 0)的核心為片、F"兩條準(zhǔn)線與兀軸的交點(diǎn)別離為M、 cr ZrN ,若MN<2FiF2,則該橢圓離心率的取值范用是()00B.C.隙寸D.答案：1?由-=八一=1可得a = A.b = *,c = 3?故選Da cr行2?已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，？?？ a = 2b.橢圓的

13、11心率6A =-=一，選D。 a 2h 4c x/32 + 423?雙曲線核心在x軸，由漸近線方程可得一二三，可得e =-= 亍故選A a 3a 3322ci 22hz4?不妨設(shè)橢圓方程為一+=1(" >b>0則fj = A/2.1 L - c = l,據(jù)此求出e=cr b"ac25?不妨設(shè)雙曲線方程為* 一？ =1 ( ">0, b>0)，有一二V2Kc- = 1,據(jù)此解得c cr r a c 2 =迥, 選 cX2 r26?解析：如圖，F(xiàn) 和化別離是雙曲線=一= l(aAO,bAO) 的兩個(gè)核心， A 和 3 是以 0cr /?-為圓

14、心，以。百|(zhì)為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn) .且HF?AEM等邊三角形，連接AFi ， ZAF2F1=30°, lAFjhc, IAF 2l=V3c, /. 2d = (JJ-l)c, 雙曲線的離心率為 1 + J5,7.由已知P （V3c ）,所以2C=八'（八-C）2+（A-）2化簡得2_2 2=00 = a 2A,使 ZF|AF2=90。，cr2 2&設(shè)Fi, F?別離是雙曲線一二=1的左、右核心。若雙曲線上存在點(diǎn)2a=AFx- AF 21= 2 ,且 IAFil=3IAF 2I ,設(shè) IAF 2I=1 , IAFil=3 , 雙曲線2c = j AF、口+

15、IA 竹口 =頂,.？.離心率 e =，選 B。 229?雙曲線二一？ 二1（ >0小>0）的右核心為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為6（T的直線與雙曲線 CTb二的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率-> Aa a2 2 12氐離心率 c?A="I M4, ? C$2選 C CT CT2 210 ?橢圓2+匚=1>">0）的核心為斤，F(xiàn)”兩條準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)別曾為 M, M cr Zr 若 IMNI=2 IF 遲 l=2c, |MV|W2 也 I， 則 2c , 該橢圓離心率心耳，選D橢圓離心率-£的求法a221?

16、橢圓方程C: 2 + L = 1（"M>O ）的右核心為F,過F的直線/與橢圓C相交于A3兩cr少點(diǎn)，直線/的傾斜角為60。，AF = 2FB,求橢圓的離心率？（焦半徑公式PF=a + ex x.PF2 =a-ex 2的應(yīng) 用左加右減， 弦長公式 d = yl+k 2x -x2k 為直線的斜率）2 22?橢圓方程C:二十二=1（? >b>0）的右核心為F,其右71線與x軸的交點(diǎn)為A ?在橢圓上cr Z?存在點(diǎn)p知足線段qp的垂直平分線過點(diǎn)F,則橢圓的離心率的范用？（焦準(zhǔn)距的應(yīng)用）C3 .若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是？（關(guān)于“，

17、酌二元二次方 程川 / +HUC+P4 C=0 解法）4 .已知F是橢圓C的一個(gè)核心，B是短軸上的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長線交C于D.且 麗=2而，則 C 的離心率為？ （相似三角形性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例的應(yīng)用）2 24 212 ?已知橢圓C: ? + ? = l>b>0）的左右核心別離為斥遲，若橢圓上存在點(diǎn)P使5?過橢圓C:4+二=>方> 0）的左核心F,右極點(diǎn)為A點(diǎn)B在橢圓上，且BF，兀軸,cr Zr直線AB交>，軸于點(diǎn)P若AP = 2PB,則橢圓的離心率為？（相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用）2 26 ?過橢圓C:二十二=1 （?>b>0）的左核心片作x軸的垂線交橢

18、圓于點(diǎn) P,只為右核心.cr b若Zf; PF,=60°,則橢圓的離心率為？（橢圓焦三角形面積 S才tan- （a = Z7APf;）7 . 已知橢圓的長軸長是短軸長的 2 倍，貝 IJ 橢圓的離心率？ （橢圓大體性質(zhì)/ =b2+c2 的應(yīng)用）8 .橢圓A-2 +4于=I的離心率為？（橢圓大體性質(zhì)a2 =b2+c2的應(yīng)用）2 29 ?橢圓C:二+二=1>>0）的核心為 、F兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為 M N，若 cr lrMN<2FF2, 則該橢圓的離心率的取值范囤是？ （橢圓大體性質(zhì)a2=b2+c2 的應(yīng)用）2 210?設(shè)5、F、別離是橢圓C:二+二=1 >/7

19、>0）的左.右核心，若在其右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P ,cr? 2使線段PF,的中垂線過點(diǎn)F,則橢圓的離心率的取值范圍是？（焦準(zhǔn)麗-:垂直平分線性c質(zhì)：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩頭距離相等：三角形性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊應(yīng)用）11?在給左橢圓中，過核心且垂直于長軸的弦長為、邁，核心到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 1， 則該橢圓的離心率為？ （通 徑匹， 焦準(zhǔn) 距乞）acsin PFXF2 sin PFaF、則該橢圓的離心率的取值范用是？ （正弦圮理 - = = - =2R, 第一概念 斥 | + |P 用 =2a ）sin A siii B sin C13?在平面直角坐標(biāo)系中，A,A2,BpB2為橢圓的四個(gè)極點(diǎn)，F(xiàn)為其右核心，宜線與直 線妨尸相交于點(diǎn) 線段 OT 與橢圓的交點(diǎn) M 恰為線段 OT 的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為？（宜線方程交點(diǎn)坐標(biāo)）714?在 AABC 中， AB = BC,cosB = ?若以人 3為核心的橢圓通過點(diǎn) C ,則該橢圓的離18心率為？ （余弦定理a2=b2+c2-217ccosA, 第一概念）15 .已知正方形ABCD則以A,3為核心，且過兩點(diǎn) C,D的橢圓的離心率為？（通徑巴）16 .已知橢圓的焦距為2c,以點(diǎn)0為圓心，a為半徑作圓Mo若過點(diǎn)P 一,0作圓M的 I c J兩條切線彼此垂直，則該橢圓的離心率為？ （大體性質(zhì)）17