例1求一可逆矩陣P把ppt課件

1、例例1 求一可逆矩陣求一可逆矩陣P,把把314020112A化成對(duì)角矩陣. 解 由|AE|=0,求A的全部特征值.314020112EA3412)2()2)(2(22)2)(1(. 2, 132的特征值為所以A., 0)(的特征向量求由AxEA由解方程時(shí)當(dāng). 0)(,11xEA414030111EA000010101由解方程時(shí)當(dāng). 0)2(,232xEA1140001142EA000000114.1011P得基礎(chǔ)解系.401,110 32PP得基礎(chǔ)解系即拼成矩陣把,321PPPP,411010101P.2000200011APP則 例例2 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A與與B類似類似,其中其中,1132200

2、2xA A.00020001yB B1求x和y的值, 解 (1)由于AB,所以B的主對(duì)角線元素是A的特征值.因此有02112E EA AE E- -A Ayx .,21BAPPP使求可逆矩陣(2) 由于AB,所以A的特征值為. 2, 2, 1321., 0的特征值求由A AE E- -A Ax時(shí)當(dāng)11220113120E EA A020100100得根底解系:,1201P P, 02xyx整理得. 20yx解得,010100100得根底解系:,1102P P時(shí)當(dāng)233200213220E EA A,001100100得根底解系:,1013P P1220421320E EA A當(dāng)2 2時(shí)，令可逆

3、矩陣111012100),(321PPPP即為所求.例例3 設(shè)矩陣設(shè)矩陣3241223kkA A問(wèn)當(dāng)k為何值時(shí),存在可逆矩陣P,使得P-1AP為對(duì)角陣，并求出 P和相應(yīng)的對(duì)角陣。解解 由由3241223kkE E- -A A10010221k0) 1() 1(2. 1, 1 :321的特征值為得A A有時(shí)對(duì)于,1 210000224 kk當(dāng)k = 0 時(shí),上式變?yōu)?00000224 00000021211 對(duì)應(yīng)特征向量可取為:422(0422AE )kk12112,0 .02pp 有時(shí)對(duì)于,1 34242222)( kkE EA A0202111 kk000010101 對(duì)應(yīng)特征向量可取為:.1013P P 因此,當(dāng) k = 0 時(shí),令 從上面的討論和例題可知, A沒(méi)有重特征值,那么A必可對(duì)角化,而當(dāng) A有重特征值時(shí),就不一定有n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 ,從而不一定能對(duì)角化 .上次課講的二重特征值不能對(duì)應(yīng)兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 ,所以該方陣不能對(duì)角化 .而在本節(jié)例1中A也有二重特征值,但卻能找到 3個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量.所以例1中A能對(duì)角化.例3的討論也闡明不是一切方陣都能對(duì)角化.1111200021111000000A AP PP P, ,P P則一個(gè)方陣詳細(xì)什么條件才干