一元函數(shù)積分學(xué)

1、第四章 一元函數(shù)積分學(xué)§1 定積分的概念（求總量的數(shù)學(xué)模型） 一、定積分問(wèn)題的引例引例1 曲邊梯形的面積曲邊梯形由連續(xù)曲線和直線以及x軸所圍成的平面圖形 (圖5-1).我們會(huì)求直邊梯形或矩形的面積：底×高，如何利用已知知識(shí)？即如何將曲邊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直邊問(wèn)題？整體進(jìn)行誤差太大，可先在局部上考慮問(wèn)題.第一步 (分割) 在曲邊梯形的底邊所在的區(qū)間a , b內(nèi)任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，并令，則有 ，這些分點(diǎn)將區(qū)間a , b分割成個(gè)小區(qū)間 ，過(guò)這n個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線，就將區(qū)間a , b上的曲邊梯形分為個(gè)小曲邊梯形（圖5-1）； 圖5-1第二步 (近似替代) 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn) ，記 ，

2、則在小曲邊梯形很小時(shí)，可用以和為邊長(zhǎng)的小矩形的面積近似替代小曲邊梯形的面積，即 ；第三步 (作和) 所求曲邊梯形的面積近似地等于這個(gè)小曲邊梯形的面積之和，即；第四步 (取極限) 將區(qū)間a, b無(wú)限細(xì)分，使每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于零，對(duì)于區(qū)間a, b的任一個(gè)分割，令，則將a, b細(xì)分的過(guò)程就是的過(guò)程，若當(dāng)時(shí)，上式右端的極限存在，就定義這個(gè)極限為曲邊梯形的面積A，即. 注 , 但反之不真, 即.2、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度是時(shí)間間隔T1 ,T2上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且，計(jì)算這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程s.由物理學(xué)知識(shí)知，對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)有公式：路程 = 速度 ´ 時(shí)間.

3、但這里是變速直線運(yùn)動(dòng)，速度是隨時(shí)間t ÎT1 ,T2連續(xù)變化的函數(shù),因而不能直接利用上述公式來(lái)計(jì)算路程, 得進(jìn)行轉(zhuǎn)化.第一步 (分割) 在時(shí)間間隔T1 ,T2任意插入n -1個(gè)分點(diǎn)：，時(shí)間間隔T1 ,T2就被分成了n個(gè)小時(shí)間段，各小時(shí)間段的長(zhǎng)度為 ，相應(yīng)于各小時(shí)間段物體所走過(guò)的路程分別為 ；第二步 (近似替代) 在每個(gè)小時(shí)間段上任取一個(gè)時(shí)刻，以時(shí)刻的瞬時(shí)速度來(lái)近似地替代上的平均速度，即可得到的近似值： ，第三步 (作和) 所求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程s近似地等于這n個(gè)小時(shí)段內(nèi)所走過(guò)路程近似值的和： ；第四步 (取極限) 對(duì)時(shí)間段T1 ,T2無(wú)限細(xì)分，使每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于零，對(duì)于區(qū)間T1

4、 ,T2的任一個(gè)分割，令，則將T1 ,T2細(xì)分的過(guò)程就是的過(guò)程。若當(dāng)時(shí)，上式右端的極限存在，就定義這個(gè)極限為變速直線運(yùn)動(dòng)的路程s的精確值： .盡管上面兩個(gè)引例問(wèn)題的所屬范疇不同，但解決問(wèn)題的方法是相同的，都是經(jīng)過(guò)了“分割、近似替代、作和、取極限”這四個(gè)步驟將問(wèn)題歸結(jié)為求一種特定結(jié)構(gòu)和式的極限. 撇開(kāi)問(wèn)題的實(shí)際背景，抽象出其數(shù)量關(guān)系的共同特征，就引出了下述定積分的概念：二、定積分的定義定義 設(shè)是定義在區(qū)間上的有界函數(shù)，在中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)： ,將區(qū)間分成長(zhǎng)度分別為 的n個(gè)小區(qū)間：.任取，作和 ，記. 如果不論對(duì)區(qū)間怎樣分法，也不論怎樣在小區(qū)間上選取，當(dāng)時(shí)，和式總趨于確定的常數(shù)J，則稱函數(shù)f(

5、x)在區(qū)間上是可積的，稱J為函數(shù)f(x)在區(qū)間上的定積分，記作，即 ,其中f (x) 稱為被積函數(shù)，f (x) d x稱為積分表達(dá)式，x稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，a, b分別稱為這個(gè)定積分的下限和上限.注 所謂函數(shù)在上可積是指極限存在, 而極限存在就必唯一, 且由定義還可看出, 這個(gè)極限的存在與對(duì)區(qū)間的劃分和點(diǎn)的取法均無(wú)關(guān). 定積分表示的是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的存在是由被積函數(shù)和積分區(qū)間確定的（如曲邊梯形問(wèn)題），與積分變量用那個(gè)字母來(lái)表示沒(méi)有關(guān)系，即 由于函數(shù)在上可積 Û 積分和的極限 存在，所以可以給出定積分嚴(yán)格的“d ”型定義(P.147) 若極限不存在，則稱函數(shù)在上不可積. 對(duì)照定積

6、分定義可知引例中的曲邊梯形的面積A =，即曲邊函數(shù)在底邊區(qū)間上的定積分；變速直線運(yùn)動(dòng)的路程s，即速度函數(shù)在時(shí)間間隔區(qū)間T1 ,T2上的定積分. 按照定積分定義，記號(hào)中的a , b應(yīng)滿足a < b，為了研究上的方便我們規(guī)定： (1) 當(dāng)a < b時(shí)，；（因?yàn)榉e分和中的）(2) 當(dāng)a = b時(shí)，= 0. 三、定積分的幾何意義(1) 當(dāng)f(x) ³ 0且a < b時(shí)，由引例及定積分定義知 在幾何上表示由曲線與直線x = a，x = b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A.(2) 當(dāng)f(x) 0且a < b時(shí)， 因?yàn)?-³ 0 Þ =-A,即在幾何上表

7、示曲線與直線x = a，x = b以及x軸所圍成的曲邊梯形面積A的負(fù)值. (3) 一般地，當(dāng)在上的值有正也有負(fù)時(shí)，在幾何上表示曲線與直線x = a，x = b以及x軸所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，即 x軸上方所有曲邊梯形的面積之和 減去 x軸下方所有曲邊梯形的面積之和（圖5-2）. 圖5-2在微分學(xué)中，導(dǎo)數(shù)和微分依據(jù)極限思想，通過(guò)對(duì)小增量的分析，揭示出一系列的局部性質(zhì). 和微分學(xué)相輔相成的是微積分的另一半積分學(xué). 因?yàn)榇罅康膶?shí)際問(wèn)題還要求人們從整體上考察變量變化過(guò)程的某些積累效應(yīng). 例如曲邊區(qū)域的面積、作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過(guò)的路程等，在這個(gè)方向上，從古希臘時(shí)期到16世紀(jì)，歷史上不乏用各種復(fù)雜

8、的技巧解決特殊問(wèn)題的實(shí)例. 當(dāng)大量的經(jīng)驗(yàn)終于使人們領(lǐng)悟到這類問(wèn)題的實(shí)質(zhì)都在于求一列小增量之和的極限時(shí)， 積分學(xué)就應(yīng)運(yùn)而生了. 微分和積分的基本思想最初均系獨(dú)立產(chǎn)生，并無(wú)緊密關(guān)聯(lián). 直至它們各自取得相當(dāng)進(jìn)展，數(shù)學(xué)表述逐漸清晰，才發(fā)現(xiàn)兩者存在著深刻的聯(lián)系：它們的基本課題是無(wú)窮小分析中兩個(gè)互逆的問(wèn)題. 這一思想大大推動(dòng)了微積分的飛速發(fā)展，使之從個(gè)別問(wèn)題求解的探討，轉(zhuǎn)向創(chuàng)立充分強(qiáng)大而有效的基本方法.給出概念了一般要問(wèn)三個(gè)問(wèn)題：存在性？唯一性？如何求？ 由于定積分是用極限概念給出定義的，所以顯然有結(jié)論：若存在必唯一. 關(guān)于存在性，我們有下面的結(jié)論.四、可積條件定理1 若在上連續(xù)，則在上可積.這個(gè)結(jié)論與不

9、定積分的存在性完全一致，但定積分時(shí)可積的條件還可放寬為定理2 若在上有界，且只有有限多個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積.這兩個(gè)結(jié)論的證明現(xiàn)在無(wú)法給出，先略去.注 立即可有結(jié)論：初等函數(shù)在其閉的定義區(qū)間上都是可積的. 例1 用定義計(jì)算 .解 因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù), 所以定積分I存在, 從而積分I與區(qū)間的分法和的取法無(wú)關(guān), 就用盡量簡(jiǎn)單的分法和取法. 先將區(qū)間分成n等份, 記第個(gè)分點(diǎn)為 , , 則每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為 , 再取, 且可得和式,所以 . 由此例可見(jiàn), 用定義來(lái)計(jì)算定積分是很困難的. 一是積分和式的整理一般是相當(dāng)困難的, 大多甚至得不到結(jié)果的；二是即便能整理出一個(gè)公式, 極限的計(jì)算往往也很困難. 因此

10、有必要尋找新的計(jì)算方法, 這就首先需要了解定積分的性質(zhì)，先考察最基本的性質(zhì). §2 定積分的性質(zhì)假定函數(shù)f(x)、g (x) 在所定義的區(qū)間上都是可積的，則定積分有如下六個(gè)重要性質(zhì)：性質(zhì)1 (線性性) 對(duì)任意兩個(gè)常數(shù)k1，k2，恒有.（線性運(yùn)算的積分 = 積分的線性運(yùn)算）證 左端右端.注 取,即有“差的積分 = 積分的差”；取,即有“常數(shù)可提到積分號(hào)外面來(lái)”.性質(zhì)2 (積分區(qū)間可加性) 設(shè)，則有.（整個(gè)區(qū)間上的積分 = 各部分區(qū)間上積分的和）證 因?yàn)樵谏峡煞e，從而積分與分法、取法無(wú)關(guān)，所以不論把怎樣分割，積分的極限總是不變的，我們?cè)诜指顣r(shí)，讓c永遠(yuǎn)是一個(gè)分點(diǎn)，則有 ,令，上式兩端同取

11、極限即得結(jié)論成立. 注 利用定積分的第一個(gè)規(guī)定，可得到更一般的結(jié)論：無(wú)論a，b，c三者的大小關(guān)系如何，總有.性質(zhì)3 (常數(shù)的積分) 若(常數(shù))，則 .（以k和b-a為邊長(zhǎng)的矩形面積）證 由常數(shù)可提到求和號(hào)和極限號(hào)外面來(lái)即得.注 我們特別指出，以上三個(gè)性質(zhì)的成立與a，b的大小無(wú)關(guān).性質(zhì)4 (保號(hào)性) 若在區(qū)間 上³ 0，則 ³ 0.證 由³ 0， Þ ，由極限的保號(hào)性知結(jié)論成立.推論1 (保序性) 若在區(qū)間 上³ 0，則 .（性質(zhì)4是其推掄1的特例）證 （分析：轉(zhuǎn)化為特殊情形即可得證） 因?yàn)椋尚再|(zhì)4 ，對(duì)上述不等式左端應(yīng)用性質(zhì)1后移項(xiàng)整理，即得

12、結(jié)論.推論2 (絕對(duì)值性質(zhì)) .證 因?yàn)?，由推論1得 ，Þ 結(jié)論成立.性質(zhì)5 (基本估值不等式) 設(shè)M、m分別為函數(shù)在區(qū)間 上的最大值和最小值，則 .證 由Mm，以及性質(zhì)4的推論1即得.例1 估計(jì)積分的值.解 設(shè) ， 令 Þ x = 0， 而 ，所以 ，由性質(zhì)5知 .性質(zhì)6 (積分中值定理) 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)x，使得 .證 因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在a, b上必取得最大值M和最小值m，Mm，由性質(zhì)5得M (a -b ) m (a - b )，即 ，由介值定理可知，對(duì)于介于最大值和最小值之間的數(shù)值 ，必存在點(diǎn)x Î a, b，使得 ， 即 .

13、注 我們特別指出,積分中值定理的成立與a，b的大小無(wú)關(guān). 從幾何上理解，即 曲邊梯形的面積 等于 曲邊上某點(diǎn)為高的矩形的面積（圖5-3）. 圖5-3將稱為是函數(shù)在區(qū)間a, b上的“平均”是恰如其分的或說(shuō)是準(zhǔn)確的，它就是有限多個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值公式 的推廣. §3 微積分學(xué)基本定理由于定積分概念是利用極限工具給出的，所以利用定積分的定義計(jì)算定積分是十分困難的，有時(shí)甚至是不可能的. 為了讓定積分概念能得到實(shí)際應(yīng)用，必須尋找簡(jiǎn)便有效的計(jì)算定積分的方法，那么我們必須探求定積分更加深刻的性質(zhì). 本節(jié)將介紹兩個(gè)重要的定理，通過(guò)溝通定積分與不定積分的關(guān)系，給出了一個(gè)解決定積分計(jì)算問(wèn)題的有效途徑.一、

14、積分與微分的聯(lián)系定積分有一個(gè)十分特殊而重要的性質(zhì)，它對(duì)進(jìn)一步考察微分和積分的關(guān)系起十分關(guān)鍵的作用。但需要先介紹一個(gè)概念：設(shè)函數(shù)在a, b上連續(xù)，則對(duì)任意的x Îa, b，函數(shù)在a, x上連續(xù)，從而函數(shù)在a, x上在上可積，顯然這個(gè)積分是x的函數(shù)（參見(jiàn)圖5-4），我們稱此函數(shù)為積分上限的函數(shù)或變上限的定積分，記為 0 a x b x Îa, b. 圖5-4下面給出積分上限函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，定理1 若函數(shù)在a, b上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) 在a, b上可微，且， x Îa, b.證 ，任取，且，則，由積分中值定理知，存在x 介于x與x+Dx之間，使得 ,由于，再由導(dǎo)

15、數(shù)定義及的連續(xù)性知 .注 等式 表明積分上限的函數(shù)就是的一個(gè)原函數(shù)，即連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)，因此定理1又稱原函數(shù)存在定理. 積分上限的函數(shù)與分段函數(shù)有點(diǎn)類似，是一個(gè)難點(diǎn)，從而也是一個(gè)考試的熱點(diǎn)，它常與極限、求導(dǎo)、最值等知識(shí)結(jié)合出現(xiàn)形成綜合性的題目，應(yīng)與重視。我們將這里拓寬一下.若可導(dǎo)，則與積分上限函數(shù)構(gòu)成了復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知 ，例1 設(shè)，求.解 ，.注 一般地有公式： ； .例2 設(shè)在0,+內(nèi)連續(xù),且> 0，求證函數(shù)在0,+內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)。證 "x>0，由>0，得，所以在(0,+)內(nèi)有定義，且," t Î 0, x，Þ，且不

16、恒為零， Þ Þ .二、牛頓萊布尼茲公式(微分學(xué)基本定理)由定積分的物理意義我們知道：在時(shí)間間隔內(nèi)，作勻速運(yùn)動(dòng)的物體所走過(guò)的路程s就是速度函數(shù)在時(shí)間間隔上的定積分： ； 另一方面由物理知識(shí)我們知道，路程s就是該物體的位移: .即有等式： . 注意到是的原函數(shù)。 問(wèn)題是這個(gè)公式在一般情形下成立嗎？即若是的一個(gè)原函數(shù)時(shí)，公式成立嗎？牛頓和萊布尼茲各自獨(dú)立地給出了這個(gè)問(wèn)題的答案.定理2 若函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a, b上的一個(gè)原函數(shù)，則 . (3)公式(3)稱為牛頓萊布尼茲公式，引入記號(hào)：，則(3)式即為 .證 由原函數(shù)存在定理及原函數(shù)性質(zhì)可知 , xÎa,b.令x =

17、a ，得； 代入得, 令x = b Þ .注 牛頓萊布尼茲公式揭示了函數(shù)與其原函數(shù)之間的關(guān)系，從而溝通了定積分與不定積分的關(guān)系，故又稱其為微積分基本公式. 她為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)簡(jiǎn)單有效的方法轉(zhuǎn)化為計(jì)算其原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量.例1 求 .解 原式.例2 求 .解 原式.例3 求 .解 原式.注 應(yīng)特別注意絕對(duì)值函數(shù)在積分區(qū)間上的符號(hào)問(wèn)題，例如 . 再就是分段函數(shù)的定積分，若被積函數(shù)在積分區(qū)間的不同區(qū)段上的表達(dá)式不一致時(shí)，應(yīng)按表達(dá)式的一致性分開(kāi)段來(lái)積分，例如習(xí)題（P.162）7(8).§5/ 定積分的基本積分法則 由牛頓萊布尼茲公式可知，計(jì)算定積分的關(guān)鍵是求被積函數(shù)的

18、一個(gè)原函數(shù)，這只需計(jì)算不定積分，例如計(jì)算 . 在不定積分的計(jì)算中我們介紹了不少的計(jì)算方法，如基本的換元法、分部法. 我們的想法是能否不轉(zhuǎn)化為求其不定積分，而將計(jì)算不定積分的基本方法移植到定積分的計(jì)算中來(lái)，直接計(jì)算定積分. 對(duì)此有下述結(jié)果:一、 定積分的換元積分法(P. 183)定理1(定積分換元積分法P. 183 Th3 ) 若函數(shù)在上連續(xù)，在以a ,b 為端點(diǎn)的區(qū)間上函數(shù)滿足(1) ，；(2) 有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；(3) 其值域不超出, 則有定積分換元公式： .證 函數(shù)、都是連續(xù)的，它們的原函數(shù)都存在，設(shè)是在a, b上的一個(gè)原函數(shù)，即考察 ，這表明是的一個(gè)原函數(shù)，由牛頓萊布尼茲公式即得 .注 定積

19、分換元公式實(shí)際上就是不定積分的第二換元法在定積分中的移植表現(xiàn). 條件(3)與條件(2) 則表明換元后的積分( 即公式右端)必須a對(duì)應(yīng)的值 a 作新下限，b對(duì)應(yīng)的值 b 作新上限，即原下限對(duì)應(yīng)值作新下限，原上限對(duì)應(yīng)值作新上限，不必管a與b的大小關(guān)系. 實(shí)際上，積分換元公式當(dāng)a> b時(shí)仍成立，且仍是原下(上)限對(duì)應(yīng)值作新下(上)限. 與不定積分一樣，在積分中的dx，本來(lái)是整個(gè)積分記號(hào)中不可分割的一部分，但由換元公式可知，在一定條件下，它確實(shí)可作為微分記號(hào)來(lái)對(duì)待. 應(yīng)用換元公式時(shí)，如果把中的換成，則就換成，這正好是的微分.例1 計(jì)算.解 令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 于是.注 應(yīng)用定積分換元公式計(jì)

20、算定積分時(shí)應(yīng)注意不同于不定積分的兩點(diǎn)：(1) 用把原來(lái)變量代換成新變量時(shí)，積分限一定要換成相應(yīng)于新變量的新積分限； (2) 求出的一個(gè)原函數(shù)后，不必像計(jì)算不定積分那樣再把還原成原來(lái)變量的函數(shù)，而只要把新變量的上、下限a、b 分別代入中然后相減就行了.例2 計(jì)算 .解 原式.例3 計(jì)算 .解 原式.注 逆向使用換元公式就有相應(yīng)于不定積分的第一換元公式定積分的湊微法(P.176). 例4 計(jì)算 .解 此積分若是不定積分, 則應(yīng)利用第一換元法湊微法, 將湊為, 即 原式 .例5 計(jì)算.解 原式.例6 計(jì)算.解 原式 .例7 設(shè)在上連續(xù)，證明： (1)若為偶函數(shù)，則有 ；(2)若為奇函數(shù)，則有= 0.

21、證 ， 對(duì)積分作代換，得，于是=.（1） 若為偶函數(shù)，即，則 ；（2） 若為奇函數(shù)，即，則.注 此題的結(jié)論在今后定積分計(jì)算中可以直接應(yīng)用簡(jiǎn)化計(jì)算偶、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分. 由此題我們可以體會(huì)到除了與不定積分換元法相同的計(jì)算作用外，定積分換元法在關(guān)于積分等式的一些證明題中具有奇妙的作用.例8 設(shè)在上連續(xù)，證明= ，并利用此結(jié)果計(jì)算定積分.證 令，則，且，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)于是 ， ，將上式移項(xiàng)后兩邊同除以2，得.利用上述結(jié)論，有.注 該定積分的被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得，但利用換元法卻方便的計(jì)算出了它的結(jié)果.二、 定積分的分部積分法(P. 193)定理2(定積分的分部積分法 P. 193 ) 若函數(shù)

22、在區(qū)間a, b上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有定積分分部積分公式：.證 是在a, b上的一個(gè)原函數(shù)，移項(xiàng)后即得. 注 定積分分部積分法與不定積分分部積分法使用范圍無(wú)差異，也就是說(shuō)，在不定積分中需要用分部法的函數(shù)在定積分中仍要使用，它們僅在形式上有差異，即應(yīng)用定積分分部法時(shí)，應(yīng)注意積出部分要隨時(shí)代入上、下限，以化簡(jiǎn)計(jì)算.例9 求.解 與不定積分中的情形一樣，令，則有原式.例10 求.解 令則，且當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，,所以原式2.對(duì)有的積分，常常將換元法與分部積分法結(jié)合起來(lái)使用，更易見(jiàn)效。例11 證明定積分公式：證 令，所以 .當(dāng)時(shí)，設(shè)， 則，由分部積分公式得.右端第一項(xiàng)等于零。 將第二項(xiàng)里的 寫成 ， 并把積分分

23、成兩個(gè)，得,由此得 . (1)在遞推公式中把n換成n-2，則得,同樣地依次進(jìn)行下去，直到的下標(biāo)遞減到0或1為止. 于是 ， ，而 ，因此 例如 求, 原式.§6 廣義積分前面所討論的定積分，其積分區(qū)間都是有限閉區(qū)間且被積函數(shù)在該區(qū)間上有界. 但在一些實(shí)際問(wèn)題中，常會(huì)遇到積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間，或者被積函數(shù)為無(wú)界函數(shù)的積分，它們已經(jīng)不屬于前面所說(shuō)的定積分了. 因此，我們將再次借用極限的思想，對(duì)定積分作如下兩種推廣，從而形成廣義積分的概念.一、無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分定義1 設(shè)在上有定義，且對(duì)任意的>，在a,b上可積，極限稱為在無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分，記作，即.若上式右端的極限存在，則稱此無(wú)

24、窮區(qū)間上的積分收斂，否則稱之發(fā)散.類似地，定義在無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分為.若上式等號(hào)右端的極限存在，則稱之收斂，否則稱之發(fā)散.函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分定義為 .（即右端兩個(gè)廣義積分中有一個(gè)發(fā)散，左端廣義積分就是發(fā)散的）其中為任意實(shí)數(shù)。當(dāng)上式右端兩個(gè)積分都收斂時(shí)，則稱之收斂；否則稱之發(fā)散。無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分也簡(jiǎn)稱為無(wú)窮積分.例1 計(jì)算無(wú)窮積分.解 =.注 這個(gè)廣義積分值的幾何意義是：當(dāng) , 時(shí)，雖然右圖中陰影部分向左、右無(wú)限延伸，但其面積卻有極限值. 它是位于曲線的下方，軸上方圖形的面積. 圖5-19 為書寫方便，在計(jì)算過(guò)程中可不寫極限符號(hào)，用記號(hào)表示. 如上式中.例2 計(jì)算無(wú)窮積分 ( p是

25、常數(shù)，且p>0).解 .注 上式中極限可由冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的比較看出此極限，也可用洛必達(dá)法則確定.例3 討論無(wú)窮積分的收斂性.解 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 因此，當(dāng)時(shí)，該積分發(fā)散；當(dāng)時(shí)，該積分收斂，其值為 .二、無(wú)界函數(shù)的積分定義2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，對(duì)任意小的，在上可積，且（即端點(diǎn)是的無(wú)窮間斷點(diǎn)），極限稱為無(wú)界函數(shù)在上的廣義積分，記為， .若上式右端極限存在，則稱此無(wú)界函數(shù)的廣義積分收斂；否則，稱之發(fā)散.類似地，若函數(shù)在區(qū)間上有定義，對(duì)任意小的，在上可積，且（即為函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)），定義無(wú)界函數(shù)在上的廣義積分為 ，若上式右端極限存在，則稱之收斂；否則稱之發(fā)散.若對(duì)任意小的，在上可積，而，則

26、定義在區(qū)間上的廣義積分為 ，當(dāng)上式右端兩個(gè)極限都存在時(shí)，則稱廣義積分收斂；否則，稱之發(fā)散.此外，如果均為的無(wú)窮間斷點(diǎn)，則在上的無(wú)界函數(shù)的積分定義為上式中為與之間的任意實(shí)數(shù)，當(dāng)右端的兩個(gè)極限都存在時(shí)，則稱之收斂，否則稱之發(fā)散.注 無(wú)界函數(shù)的廣義積分也稱為瑕積分，函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)也稱為其瑕點(diǎn)，即若在區(qū)間()上連續(xù)，且()，則a(b) 必為f (x)的瑕點(diǎn). 瑕積分與一般定積分（亦稱常義積分）的含義不同, 但形式一樣，特容易被忽視, 因此，在計(jì)算定積分時(shí)，應(yīng)該首先考察是常義積分還是瑕積分，若是瑕積分，則要按瑕積分的計(jì)算方法處理.例1 討論瑕積分的收斂性.解 是瑕點(diǎn)，于是. 圖5-20注 這個(gè)瑕積分值

27、的幾何意義：位于曲線 之下、軸之上，直線與之間的圖形面積（見(jiàn)圖5-20）.例2 計(jì)算瑕積分 ( > 0 )解 是瑕點(diǎn)，于是 原式，由于 ， 所以 發(fā)散.注 瑕點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)部時(shí)最容易被忽視，即把它和定積分混淆了。本例如果疏忽了是瑕點(diǎn)，就會(huì)得到錯(cuò)誤結(jié)果： =.例6 證明瑕積分 當(dāng)<1 時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散.證 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 所以，當(dāng) 時(shí)，瑕積分收斂，其值為 ； 當(dāng) 時(shí)，瑕積分發(fā)散. §4 不定積分預(yù)備知識(shí)原函數(shù) 定義1( P. 155 定義1 ) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義，若存在可微函數(shù), 使得則稱為在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù). 例如，因?yàn)?， 所以sin x是cos x在 (-, +

28、) 上的一個(gè)原函數(shù)， 因?yàn)?，所以ln | x | 是 在 (0, +) 上的一個(gè)原函數(shù)， 都是3 x2 在 (-, +) 上的原函數(shù)。 每提出一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念后，自然都要問(wèn)三個(gè)基本的問(wèn)題：存在性？唯一性？如何求？這里即問(wèn)：滿足什么條件的函數(shù)存在原函數(shù)？若存在原函數(shù)是否唯一？知道存在如何求出？本章余下的內(nèi)容就是解決這三個(gè)問(wèn)題. 先給出存在性的一個(gè)充分條件：定理1 若函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，則在I上存在原函數(shù). 即區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。這個(gè)結(jié)論實(shí)際上就是第三節(jié)定理2(P.157)所指出的事實(shí), 其證明用到定積分的概念，將在下學(xué)期的定積分相關(guān)內(nèi)容中解決.注 因?yàn)槌醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間內(nèi)部都是連續(xù)的

29、，所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都存在原函數(shù).關(guān)于唯一性我們有下述結(jié)論：定理2(P.157定理3) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有一個(gè)原函數(shù)，則(1) 若對(duì)于任意常數(shù)C，函數(shù)+C也是的原函數(shù)；(2) 在I上的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù).證 (1) 因?yàn)?, (2) 設(shè)和是在I上任意兩個(gè)原函數(shù)，則有 ，由拉格朗日中值定理的推論知，是常值函數(shù)，即存在常數(shù)C，使得.定理2表明： 只要存在原函數(shù)，就存在無(wú)窮多個(gè)；只要知道的一個(gè)原函數(shù)，就知道其所有的原函數(shù)，其中C為任意常數(shù), 稱為原函數(shù)的一般表達(dá)式.只剩下最后一個(gè)問(wèn)題： 如何求函數(shù)的原函數(shù)？計(jì)算問(wèn)題是極為重要地，微分的成功也正在于提供了一套完整、簡(jiǎn)潔可行的計(jì)算方

30、法. 為了解決原函數(shù)的求法問(wèn)題，我們先引入一個(gè)概念：一、不定積分的概念定義2 函數(shù)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)叫做在區(qū)間I上的不定積分，記為 .顯然，其中是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，C是常數(shù).上述記號(hào)中的符號(hào) 稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為積分表達(dá)式，x稱為積分變量，C稱為積分常數(shù) .注 不定積分與原函數(shù)的關(guān)系是整體與個(gè)體之間的關(guān)系， 求的不定積分只要求得的一個(gè)原函數(shù)再加上一個(gè)任意常數(shù)C即可. 例如.例1 已知某曲線上任意一點(diǎn)P (x , y) 處的切線斜率為該點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍，且該曲線過(guò)點(diǎn)(1,2)，求此曲線方程。解 設(shè)所求曲線的方程為 ， 由題意可知 ， 所以 ，又 ，得 2 = 1 + C 

31、2; C = 1,所以所求曲線為 .從幾何的角度說(shuō)，我們稱是函數(shù)的一條積分曲線，而不定積分則表示積分曲線族，其方程為, 圖4-1其中C為任意常數(shù).由于 ，所以積分曲線族中橫坐標(biāo)相同點(diǎn)處的切線都是平行的(圖4-1). 不定積分有下列基本性質(zhì)：(1) ， 或 ；(2) ， 或 .由此可見(jiàn), 求不定積分與求導(dǎo)運(yùn)算在相差一個(gè)常數(shù)的意義下互為逆運(yùn)算. 類似于除法的計(jì)算是利用其逆運(yùn)算乘法運(yùn)算進(jìn)行的, 基于求不定積分與求導(dǎo)運(yùn)算逆運(yùn)算的關(guān)系，不定積分的各種計(jì)算方法都源于求導(dǎo)的相應(yīng)方法. 首先我們可以根據(jù)已知的求導(dǎo)公式，列出一些基本積分公式；還可以根據(jù)求導(dǎo)運(yùn)算的線性性給出積分的線性性；根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)出積

32、分的變量代換；根據(jù)乘積求導(dǎo)法則導(dǎo)出分部積分法. 這樣就可以對(duì)較為廣泛的函數(shù)類，求得其不定積分.下面先由基本函數(shù)求導(dǎo)公式給出相應(yīng)的基本積分表：二、不定積分的基本公式 (P.164)由基本求導(dǎo)公式相應(yīng)地可得下列基本的積分公式： (1) (k為常數(shù))； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ； (7) ；(8) ； (9) ；(10) ； (11) ；(12) ； (13) ；(14) ； (15) ；由于其他函數(shù)的不定積分經(jīng)運(yùn)算變形后，可將其歸結(jié)為上述基本的不定積分. 作為積分運(yùn)算的基礎(chǔ)，上面的基本積分公式必須掌握. 下面由微分的線性性給出不定積分的線性性：三、不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)

33、性質(zhì) ， 其中a、b 為不同時(shí)為零的常數(shù).證 只需證 是 a f (x) + b g (x) 帶有任意常數(shù)項(xiàng)的的原函數(shù). 首先，已帶有任意常數(shù)項(xiàng)； 又因?yàn)?所以性質(zhì)成立. 即 線性運(yùn)算的不定積分等于不定積分的線性運(yùn)算, 稱為不定積分的線性性.利用積分的線性運(yùn)算性質(zhì)，可計(jì)算一些比較簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分，例如例2 求 .解 原式 .例3 求 .解 原式 .例4 求 .解 原式.例5 求 .解 原式.例6 求 .解 原式 . 例7 求 .解 原式 .例8 求 .解 原式 .注 由上可見(jiàn)，利用代數(shù)或三角的恒等變形以及不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)，可將一些函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本積分表中的積分形式的線性運(yùn)算，從而得到它們

34、的不定積分.§5 基本積分法則 顯然，只利用不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)求積分是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須繼續(xù)尋找不定積分的求解方法。下面就給出由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得到的不定積分的換元法, 和由乘積求導(dǎo)公式得到的分布積分法：一、第一換元積分法 定理1 設(shè)被積函數(shù)形如, 其中有原函數(shù)，具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則 . (1)證 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得， 所以是的一個(gè)原函數(shù)，因而 . 注 稱公式(1)為第一換元公式. 常簡(jiǎn)記第一換元法為 . 其應(yīng)用步驟為：關(guān)鍵是變形到湊微分這一步，它實(shí)現(xiàn)了從未知向已知的轉(zhuǎn)化，故第一換元法又簡(jiǎn)稱“湊微法”.例1 求.解 原式.例2 求.解 原式.注 一般地, . 湊微運(yùn)算熟練后，可

35、不寫出中間變量u.例3 求 .解 原式.例4 求 .解 原式例5 求.解 原式.類似可得 .例6 求 .解 原式 .例7 求.解 原式 . 例8 求 .解 原式.注 可推廣到.例9(P.164) 求 .解 原式.類似可得 注 例5例9實(shí)際上時(shí)常用的積分，故應(yīng)補(bǔ)充到基本積分公式表中， (16) ； (17) ； (18) ； (19) ；(20) ； (21) ；(22) .注 湊微法是計(jì)算不定積分時(shí)使用頻率最高的一種技巧，使用它的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的微分形式，常用的可參見(jiàn)P.137，也可只記微分形式：， ， ， ， ， , ， ，, ,還有一些常用，但難度較大的，如 ， ， ， ，例10 求.

36、解 原式 .例11 求.解 原式.例12 求.解 原式.例13 求.解 原式 .例14 求.解 原式.例15 求.解 原式.例16 求.解 原式.例17 求.解 原式.例18 求.解 原式.二、第二換元法第一換元法雖然應(yīng)用相當(dāng)廣泛，但對(duì)于某些積分就不適用，如， ，等，為此介紹第二換元法。先看一個(gè)引例. 例1 求. 解 此積分的困難是分母含有根式，能否通過(guò)變換把根式去掉? 如果設(shè)，則，于是，=.回顧一下上面的解題過(guò)程: 對(duì)不能用基本公式及第一換元法求解的不定積分， 選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q， 將變成，而后者可用基本公式或第一換元法求得換元； 求出積分后，再以的反函數(shù)回代成原積分變量x, 即得所求積分的結(jié)果

37、還原.這就是第二換元積分法，用定理表述如下定理2 設(shè) 是單調(diào)可微的函數(shù)，并且，又設(shè)具有原函數(shù)，則是的原函數(shù)，且有換元公式=.證 設(shè)的原函數(shù)為, 由條件可知有反函數(shù). 由復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)求導(dǎo)公式得復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 =.這表明 是的原函數(shù)，所以. 注 上式表明 ， 故又稱“拆微法”. 第二換元法的應(yīng)用步驟： .例2 求 .解 將被積函數(shù)有理化，為此消去根式，設(shè)，則，于是原式.例3 求.解 利用三角變換去根式：令，則 ，于是 原式，為把t回代成x的函數(shù)，根據(jù)作一輔助直角三角形如圖4-2，可知 ，代入上式得 . 圖4-2例4 求. 解 類似上例，根據(jù)令，則，于是 原式， 圖4-3為代回原積分變量，由作

38、輔助三角形如圖4-3，可得 ，代入上式得.例5 求 . 解 被積函數(shù)的定義域?yàn)?(-, a )( a, +)， 當(dāng)x >時(shí)，令 ，則，于是， 由 ，作輔助三角形如圖4-4，得 原式. 圖4-4當(dāng)x < -時(shí)，可作同樣代換，只是/ 2 < t <，積分結(jié)果相同。注 使用第二換元法的關(guān)鍵是尋找積分變量x的一個(gè)合適的代換 ，常用的積分變量代換有 被積函數(shù)中含有 積分變量代換 ； 或； 或 ； 或 注 例2、例78、例1315作為公式記住會(huì)給計(jì)算不定積分帶來(lái)方便（參見(jiàn)P.147(14)(21)）； 當(dāng)被積函數(shù)中含有 時(shí)，可先配方化為上述類型，再作相應(yīng)的變量代換，也可直接用公式.

39、 如例6 求.解 原式.例7 求.解 原式 .例8 求.解 原式 . 例9 求.解 為去掉被積函數(shù)中的根式，取根次數(shù)2與3的最小公倍數(shù)6，令，則，原式.小結(jié) 實(shí)際上兩個(gè)換元法建立的是同一個(gè)公式，就是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則在不定積分中的相應(yīng)公式，將這個(gè)公式雙向使用分別就是兩個(gè)換元法：.三、 分部積分法類似地思想方法，利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則在不定積分中的對(duì)映公式可以得到另一個(gè)基本積分法分部積分法： 定理3 設(shè)函數(shù)、有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有或簡(jiǎn)記為 證 ， 移項(xiàng)得對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得 . 上式稱為分部積分公式，若不易積分，而易積分時(shí)，分部積分法達(dá)到了由不易到易的轉(zhuǎn)化，這就是它的意義或說(shuō)作用.例1 求

40、解 這個(gè)積分用換元積分法不易求得結(jié)果，現(xiàn)在試用分部積分法來(lái)求它。但是怎樣選取和呢？如果設(shè)，則，帶入分部積分公式，得原式而容易積出，所以 原式注 求這個(gè)積分時(shí)，如果設(shè)，, 則 , 于是 上式右端的積分比原積分更不容易求出.由此可見(jiàn)，如果和選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果，所以應(yīng)用分部積分法時(shí)，恰當(dāng)選取和是一個(gè)關(guān)鍵，選取和一般要考慮下面兩點(diǎn)：（1）要容易求得；（2）要比容易積分.例2 求解 設(shè)，,則，于是原式.例3 求.解 設(shè)， 則，于是原式.這里比容易積出，因?yàn)榍罢弑环e函數(shù)中的冪次比后者降低了一次，由例2可知，對(duì)再使用一次分部積分法就可以了. 于是原式.注 有些不定積分需要多次使用分部積分法才可得到結(jié)果。

41、 總結(jié)上面三例可知，如果被積函數(shù)是冪函數(shù)（假定冪指數(shù)是正整數(shù)）與正（余）弦函數(shù)或與指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)為，這樣用一次分部積分法可以使冪函數(shù)的冪次降低一次.例4 求.解 設(shè) ， 則 ， 于是.例5 求.解 設(shè) , 則 ， 于是 .注 對(duì)有的積分，常常將換元法與分部積分法結(jié)合起來(lái)使用，更易見(jiàn)效。 總結(jié)上面三個(gè)例子可以知道，如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或與反三角函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.例6 .解 設(shè)誰(shuí)是v和d u計(jì)算難度差不多。 設(shè)， 則， 于是 原式,上式左端的積分與等式右端的積分是同一典型的，如果繼續(xù)設(shè)再計(jì)算應(yīng)出現(xiàn)循環(huán)，循環(huán)

42、有兩個(gè)可能的結(jié)果：不定積分的系數(shù)等于不等。再嘗試用一次分部積分法： 設(shè)， 則， 于是由于上式右端含所求的積分，其系數(shù)為-1，把它移到等式左端，通除以2，再加任意常數(shù)項(xiàng)得.注 有時(shí)應(yīng)用分部積分法會(huì)得到一個(gè)關(guān)于所求積分的方程式（產(chǎn)生循環(huán)的結(jié)果），這個(gè)方程的解再加上任意常數(shù)項(xiàng)即為所求積分.例7 .解 設(shè) ， 則 ，于是=- =- =- =+，于是 .四、有理函數(shù)的積分上面介紹了積分學(xué)中兩種典型的積分方法，對(duì)于某些特殊類型的被積函數(shù)的積分，如有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式等，通過(guò)恒等變形，就可應(yīng)用上述方法進(jìn)行求解.1.有理函數(shù)的不定積分由兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商構(gòu)成的函數(shù)稱為有理函數(shù)，形如，其中為非負(fù)整數(shù)，都是