mathmatic教程——入門(mén)級(jí)別一看就會(huì)

1、Mathematica5教程第1章Mathematica概述1.1 運(yùn)行和啟動(dòng)：介紹如何啟動(dòng)Mathematica軟件，如何輸入并運(yùn)行命令 1.2 表達(dá)式的輸入：介紹如何使用表達(dá)式 1.3 幫助的使用：如何在mathematica中尋求幫助 第2章Mathematica的基本量2.1 數(shù)據(jù)類型和常量：mathematica中的數(shù)據(jù)類型和基本常量 2.2 變量：變量的定義，變量的替換，變量的清除等 2.3 函數(shù)：函數(shù)的概念，系統(tǒng)函數(shù)，自定義函數(shù)的方法 2.4 表：表的創(chuàng)建，表元素的操作，表的應(yīng)用 2.5 表達(dá)式：表達(dá)式的操作 2.6 常用符號(hào)：經(jīng)常使用的一些符號(hào)的意義 第3章Mathematic

2、a的基本運(yùn)算3.1 多項(xiàng)式運(yùn)算：多項(xiàng)的四則運(yùn)算，多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)等 3.2 方程求解：求解一般方程，條件方程，方程數(shù)值解以及方程組的求解 3.3 求積求和：求積與求和第4章 函數(shù)作圖4.1 二維函數(shù)作圖：一般函數(shù)的作圖，參數(shù)方程的繪圖 4.2 二維圖形元素：點(diǎn)，線等圖形元素的使用 4.3 圖形樣式：圖形的樣式，對(duì)圖形進(jìn)行設(shè)置 4.4 圖形的重繪和組合：重新顯示所繪圖形，將多個(gè)圖形組合在一起 4.5 三維圖形的繪制：三維圖形的繪制，三維參數(shù)方程的圖形，三維圖形的設(shè)置 第5章 微積分的基本操作5.1 函數(shù)的極限：如何求函數(shù)的極限 5.2 導(dǎo)數(shù)與微分：如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，微分 5.3 定積分與不定積分：如

3、何求函數(shù)的不定積分和定積分，以及數(shù)值積分 5.4 多變量函數(shù)的微分：如何求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，微分 5.5 多變量函數(shù)的積分：如何計(jì)算重積分 5.6 無(wú)窮級(jí)數(shù)：無(wú)窮級(jí)數(shù)的計(jì)算，斂散性的判斷 第6章 微分方程的求解6.1 微分方程的解：微分方程的求解 6.2 微分方程的數(shù)值解：如何求微分方程的數(shù)值解 第7章 Mathematica程序設(shè)計(jì)7.1 模塊：模塊的概念和定義方法 7.2 條件結(jié)構(gòu)：條件結(jié)構(gòu)的使用和定義方法 7.3 循環(huán)結(jié)構(gòu)：循環(huán)結(jié)構(gòu)的使用 7.4 流程控制第8章 Mathematica中的常用函數(shù)8.1 運(yùn)算符和一些特殊符號(hào)：常用的和不常用一些運(yùn)算符號(hào)8.2 系統(tǒng)常數(shù)：系統(tǒng)定義的一些常量

4、及其意義 8.3 代數(shù)運(yùn)算：表達(dá)式相關(guān)的一些運(yùn)算函數(shù) 8.4 解方程：和方程求解有關(guān)的一些操作 8.5 微積分相關(guān)函數(shù)：關(guān)于求導(dǎo)，積分，泰勒展開(kāi)等相關(guān)的函數(shù) 8.6 多項(xiàng)式函數(shù)：多項(xiàng)式的相關(guān)函數(shù) 8.7 隨機(jī)函數(shù)：能產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù)函數(shù) 8.8 數(shù)值函數(shù)：和數(shù)值處理相關(guān)的函數(shù)，包括一些常用的數(shù)值算法 8.9 表相關(guān)函數(shù)：創(chuàng)建表，表元素的操作，表的操作函數(shù) 8.10 繪圖函數(shù)：二維繪圖，三維繪圖，繪圖設(shè)置，密度圖，圖元，著色，圖形顯示等函數(shù) 8.11 流程控制函數(shù)第1章Mathematica概述1.1 Mathematica的啟動(dòng)和運(yùn)行Mathematica是美國(guó)Wolfram研究公司生產(chǎn)的一種

5、數(shù)學(xué)分析型的軟件，以符號(hào)計(jì)算見(jiàn)長(zhǎng)，也具有高精度的數(shù)值計(jì)算功能和強(qiáng)大的圖形功能。假設(shè)在Windows環(huán)境下已安裝好Mathematica5.0，啟動(dòng)Windows后，在“開(kāi)始”菜單的“程序”中單擊，就啟動(dòng)了Mathematica5.0，在屏幕上顯示如圖1的Notebook窗口，系統(tǒng)暫時(shí)取名Untitled-1，直到用戶保存時(shí)重新命名為止。圖1輸入1+1，然后按下Shif+Enter鍵，這時(shí)系統(tǒng)開(kāi)始計(jì)算并輸出計(jì)算結(jié)果，并給輸入和輸出附上次序標(biāo)識(shí)In1和Out1，注意In1是計(jì)算后才出現(xiàn)的；再輸入第二個(gè)表達(dá)式，要求系統(tǒng)將一個(gè)二項(xiàng)式x5 + y5展開(kāi)，按Shift+Enter輸出計(jì)算結(jié)果后，系統(tǒng)分別將

6、其標(biāo)識(shí)為In2和Out2，如圖2。圖2在Mathematica的Notebook界面下，可以用這種交互方式完成各種運(yùn)算，如函數(shù)作圖，求極限、解方程等，也可以用它編寫(xiě)像C那樣的結(jié)構(gòu)化程序。在Mathematica系統(tǒng)中定義了許多功能強(qiáng)大的函數(shù)，我們稱之為內(nèi)建函數(shù)(built-in function), 直接調(diào)用這些函數(shù)可以取到事半功倍的效果。這些函數(shù)分為兩類，一類是數(shù)學(xué)意義上的函數(shù)，如：絕對(duì)值函數(shù)Absx，正弦函數(shù)Sinx，余弦函數(shù)Cosx，以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)Logx，以a為底的對(duì)數(shù)函數(shù)Loga,x等；第二類是命令意義上的函數(shù)，如作函數(shù)圖形的函數(shù)Plotfx,x,xmin,xmax，解方程函數(shù)S

7、olveeqn,x，求導(dǎo)函數(shù)Dfx,x等。必須注意的是:Mathematica 嚴(yán)格區(qū)分大小寫(xiě)，一般地，內(nèi)建函數(shù)的首寫(xiě)字母必須大寫(xiě)，有時(shí)一個(gè)函數(shù)名是由幾個(gè)單詞構(gòu)成，則每個(gè)單詞的首寫(xiě)字母也必須大寫(xiě)，如：求局部極小值函數(shù)FindMinimumfx,x,x0等。第二點(diǎn)要注意的是，在Mathematica中，函數(shù)名和自變量之間的分隔符是用方括號(hào)“ ”，而不是一般數(shù)學(xué)書(shū)上用的圓括號(hào)“( )”，初學(xué)者很容易犯這類錯(cuò)誤。如果輸入了不合語(yǔ)法規(guī)則的表達(dá)式，系統(tǒng)會(huì)顯示出錯(cuò)信息，并且不給出計(jì)算結(jié)果，例如：要畫(huà)正弦函數(shù)在區(qū)間-10，10上的圖形，輸入plotSinx,x,-10,10，則系統(tǒng)提示“可能有拼寫(xiě)錯(cuò)誤， 新

8、符號(hào)plot 很像已經(jīng)存在的符號(hào)Plot”， 實(shí)際上，系統(tǒng)作圖命令“Plot”第一個(gè)字母必須大寫(xiě)，一般地，系統(tǒng)內(nèi)建函數(shù)首寫(xiě)字母都要大寫(xiě)。再輸入PlotSinx,x,-10,10 ，系統(tǒng)又提示缺少右方括號(hào)，并且將不配對(duì)的括號(hào)用紫色顯示，如圖3。圖3一個(gè)表達(dá)式只有準(zhǔn)確無(wú)誤，方能得出正確結(jié)果。學(xué)會(huì)看系統(tǒng)出錯(cuò)信息能幫助我們較快找出錯(cuò)誤，提高工作效率。 完成各種計(jì)算后，點(diǎn)擊“文件”“退出” 退出，如果文件未存盤(pán)，系統(tǒng)提示用戶存盤(pán)，文件名以“.nb”作為后綴，稱為Notebook文件。以后想使用本次保存的結(jié)果時(shí)可以通過(guò)“文件”“打開(kāi)”菜單讀入，也可以直接雙擊它，系統(tǒng)自動(dòng)調(diào)用Mathematica將它打開(kāi)。

9、1.2表達(dá)式的輸入Mathematica 提供了多種輸入數(shù)學(xué)表達(dá)式的方法。除了用鍵盤(pán)輸入外， 還可以使用工具樣或者快捷方式健入運(yùn)算符、矩陣或數(shù)學(xué)表達(dá)式。1. 數(shù)學(xué)表達(dá)式二維格式的輸入Mathematic擔(dān)提供了兩種格式的數(shù)學(xué)表達(dá)式。形如x/(2+3x)+y*(x-w)的稱為一維格式，形如的稱為二維格式。你可以使用快捷方式輸入二維格式，也可用基本輸入工具欄輸入二維格式。下面列出了用快捷方式輸入二維格式的方法:數(shù)學(xué)運(yùn)算 數(shù)學(xué)表達(dá)式 按鍵 分式 x Ctrl+/ 2 n 次方 x n x Ctrl+ n 開(kāi) 2次方 Ctrl +2 x 下標(biāo) x2 x Ctrl+_ 2例如輸入數(shù)學(xué)表達(dá)式，可以按如下順

10、序輸入按鍵：(,x,+,1,),Ctrl+ ,+,4，Ctrl+/,Ctrl+2,2,x,+,y另外也可從“文件”菜單中激活“控制面板”“Basic Input”工具欄，也可輸入，并且使用工具欄可輸入更復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如下圖4。圖4 圖52.特殊字符的輸入MathemMatica 還提供了用以輸入各種特殊符號(hào)的工具欄。基本輸入工具欄包含了常用的特殊字符(上圖)，只要單擊這些字符按鈕即可輸入。若要輸入其它的特殊字符或運(yùn)算符號(hào)，必須使用從“文件”菜單中激活“控制面板”“Complete Characters”工具欄,如上圖5，單擊符號(hào)后即可輸入。1.3 Mathematica的聯(lián)機(jī)幫助系統(tǒng)用Ma

11、thematica的過(guò)程中，常常需要了解一個(gè)命令的詳細(xì)用法，或者想知系統(tǒng)中是否有完成某一計(jì)算的命令，聯(lián)機(jī)幫助系統(tǒng)永遠(yuǎn)是最詳細(xì)、最方便的資料庫(kù)。1.獲取函數(shù)和命令的幫助在Notebook界面下，用 ？或 ? 可向系統(tǒng)查詢運(yùn)算符、函數(shù)和命令的定義和用法，獲取簡(jiǎn)單而直接的幫助信息。 例如，向系統(tǒng)查詢作圖函數(shù)Plot命令的用法 ？Plot 系統(tǒng)將給出調(diào)用 Plot 的格式以及 Plot 命令的功能(如果用兩個(gè)問(wèn)號(hào) “?”， 則信息會(huì)更詳細(xì)一些)。? Plot* 給出所有以Plot這四個(gè)字母開(kāi)頭的命令。2.Help菜單 任何時(shí)候都可以通過(guò)按shift+F1鍵或點(diǎn)擊“幫助”菜單項(xiàng)“幫助瀏覽”，調(diào)出幫助菜單

12、，如圖6所示。圖6其中的各按鈕用途如下：Built-in Function 內(nèi)建函數(shù)，按數(shù)值計(jì)算、代數(shù)計(jì)算、圖形和編程分類存放 Add-ons & Links 程序包附件和鏈接 The Mathematica Book 一本完整的Mathematica使用手冊(cè) Getting Started/Demos 初學(xué)者入門(mén)指南/多種演示Tour 漫游MathematicFront End 菜單命令的快捷鍵，二維輸入格式等 Master Index 按字母命令給出命令、函數(shù)和選項(xiàng)的索引表如果要查找Mathematica中具有某個(gè)功能的函數(shù)，可以通過(guò)幫助菜單中的Mahematica使用手冊(cè)，通過(guò)其

13、目錄索引可以快速定位到自己要找的幫助信息。例如：需要查找Mathematica中有關(guān)解方程的命令，單擊“The Mathematica Book”按鈕，再單擊“Contents”，在目錄中找到有關(guān)解方程的節(jié)次，點(diǎn)擊相應(yīng)的超鏈接，有關(guān)內(nèi)容的詳細(xì)說(shuō)明就馬上調(diào)出來(lái)了。如果知道具體的函數(shù)名，但不知其詳細(xì)使用說(shuō)明，可以在命令按鈕 Goto 右邊的文本框中鍵入函數(shù)名，按回車鍵后就顯示有關(guān)函數(shù)的定義、例題和相關(guān)聯(lián)的章節(jié)。例如，要查找函數(shù)Plot的用法，只要在文本框中鍵入Plot，按回車鍵后顯示Plot函數(shù)的詳細(xì)用法和例題的窗口，如圖7。圖7如果已經(jīng)確知Mathematica 中有具有某個(gè)功能的函數(shù)，但不知具

14、體函數(shù)名，可以點(diǎn)擊Built-in Functions按鈕，再按功能分類從粗到細(xì)一步一步找到具體的函數(shù)，例如，要找畫(huà)一元函數(shù)圖形的函數(shù)，點(diǎn)擊Built-in Functions Graphics and Sound2D PlotsPlot，找到Plot的幫助信息(如圖7)。第2章Mathematica的基本量2.1數(shù)據(jù)類型和常數(shù)1.數(shù)值類型在Mathematic中，基本的數(shù)值類型有四種：整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)。如果你的計(jì)算機(jī)的內(nèi)存足夠大，Mathemateic可以表示任意長(zhǎng)度的精確實(shí)數(shù)，而不受所用的計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的影響。整數(shù)與整數(shù)的計(jì)算結(jié)果仍是精確的整數(shù)或是有理數(shù)。例如2的100次方是一個(gè)31位

15、的整數(shù)：ln1:=2100在Mathematica中允許使用分?jǐn)?shù)，也就是用有理數(shù)表示化簡(jiǎn)過(guò)的分?jǐn)?shù)。當(dāng)兩個(gè)整數(shù)相除而又不能整除時(shí)，系統(tǒng)就用有理數(shù)來(lái)表示，即有理數(shù)是由兩個(gè)整數(shù)的比來(lái)組成如：In2:=12345/5555Out2=實(shí)數(shù)是用浮點(diǎn)數(shù)表示的，Mathematica實(shí)數(shù)的有效位可取任意位數(shù)，是一種具有任意精確度的近似實(shí)數(shù)，當(dāng)然在計(jì)算的時(shí)候也可以控制實(shí)數(shù)的精度。實(shí)數(shù)有兩種表示方法：一種是小數(shù)，另外一種是用指數(shù)方法表示的。如：In3:=0.239998Out3=0.23998In4:=0.12*1011Out4=0.12*1011實(shí)數(shù)也可以與整數(shù)，有理數(shù)進(jìn)行混合運(yùn)算，結(jié)果還是一個(gè)實(shí)數(shù)。In5:=

16、2+1/4+0.5Out5=2.75 小數(shù)表示復(fù)數(shù)是由實(shí)部和虛部組成，實(shí)部和虛部可以用整數(shù)、實(shí)數(shù)、有理數(shù)表示。在Mathematica中，用I 表示虛數(shù)單位如：In6:=3+0.7IOut6=3+0.7i2.不同類型數(shù)的轉(zhuǎn)換在Mathematica的不同應(yīng)用中，通常對(duì)數(shù)字的類型要求是不同的。例如在公式推導(dǎo)中的數(shù)字常用整數(shù)或有理數(shù)表示，而在數(shù)值計(jì)算中的數(shù)字常用實(shí)數(shù)表示。在一般情況下在輸出行Outn中，系統(tǒng)根據(jù)輸入行Inn的數(shù)字類型對(duì)計(jì)算結(jié)果做出相應(yīng)的處理。如果有一些特殊的要求，就要進(jìn)行數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換。在Mathematica中的提供以下幾個(gè)函數(shù)達(dá)到轉(zhuǎn)換的目的：Nx 將x轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)Nx,n 將x轉(zhuǎn)換

17、成近似實(shí)數(shù)，精度為nRationalizex 給出x的有理數(shù)近似值Rationalizex,dx 給出x的有理數(shù)近似值，誤差小于dx舉例:In1:=N5/3,20Out1=1.6666666666666666667In2:=N%,10 表示上一輸出結(jié)果，即=1.6666666666666666667。Out2=1.666666667 第二個(gè)輸出是把上面計(jì)算的結(jié)果變?yōu)?0位精度的數(shù)字。In3:=Rationalize%Out3=3.數(shù)學(xué)常數(shù)Mathematica 中定義了一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)常數(shù)，這些數(shù)學(xué)常數(shù)都是精確數(shù)。Pi 表示3.14159E 自然對(duì)數(shù)的底e2.71828Degree 1度，/18

18、0弧度I 虛數(shù)單位iInfinity 無(wú)窮大infinity 負(fù)無(wú)窮大 GondenRatio 黃金分割數(shù)0.61803 數(shù)學(xué)常數(shù)可用在公式推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算中，在數(shù)值計(jì)算中表示精確值。如：In1:=Pi2Out1=2In2:=Pi2/NOut2=9.86964.數(shù)的輸出形式在數(shù)的輸出中可以使用轉(zhuǎn)換函數(shù)進(jìn)行不同數(shù)據(jù)類型和精度的轉(zhuǎn)換。另外對(duì)一些特殊要求的格式還可以使用如下的格式函數(shù)：NumberFormexpr,n 以n位精度的實(shí)數(shù)形式輸出實(shí)數(shù)exprScientificFormatexpr 以科學(xué)記數(shù)法輸出實(shí)數(shù)exprEngineergFormexpr 以工程記數(shù)法輸出實(shí)數(shù)expr例如：In1:=

19、NPi30,30Out1=×1014In2:=NumberForm%,10Out2/NumberForm=8.212893304×1014下面的函數(shù)輸出按工程記數(shù)法表示的指數(shù)可被3整除的實(shí)數(shù)In3=EngineeringForm% %表示上兩步的輸出結(jié)果，即Out1Out3/EngineeringForm=821.×10122.2變量1變量的命名 Mathematica中內(nèi)部函數(shù)和命令都是以大寫(xiě)字母開(kāi)始的標(biāo)示符，為了不會(huì)與它們混淆，我們自定義的變量應(yīng)該是以小寫(xiě)字母開(kāi)始，后跟數(shù)字和字母的組合，長(zhǎng)度不限。例如：a12,ast,aST都是合法的，而12a，z*a，a b

20、(中間有空格)是非法的。另外在Mathematica中的變量是區(qū)分大小寫(xiě)的。在Mathematica中，變量不僅可以存放一個(gè)數(shù)值，還可以存放表達(dá)式或復(fù)雜的算式。 2給變量賦值在Mathmatica中用等號(hào)為變量賦值。同一個(gè)變量可以表示一個(gè)數(shù)值，一個(gè)數(shù)組，一個(gè)表達(dá)式，甚至一個(gè)圖形。如： In1:=x=3Out1=3In2:=x2+2*xOut2=15In3:=x=%+1Out3=16對(duì)不同的變量可同時(shí)賦不同的值，例如： In4:=u,v,w=1,2,3 Out4=1,2,3In5:=2u+3v+wOut5=11對(duì)于已定義的變量，當(dāng)你不再使用它是，為防止變量值的混淆，可以隨時(shí)用.清除它的值，如果變

21、量本身也要清除用函數(shù)Clearvar，例如:In6:=u=. In7:=2u+v (上面已定義了u,v的值)Out7=2+2u3.變量的替換在給定一個(gè)表達(dá)式時(shí)其中的變量可能取不同的值，這是可用變量替換來(lái)計(jì)算表達(dá)式的不同值。方法為用expr/.x->xval，例如： In1:=f=x/2+1Out1= 1+In2:=f/.x->1Out2= In3:=f/.x->2Out3=3如果表達(dá)式中有多個(gè)變量，也可同時(shí)替換，方法為：expr/.x->xval,y->yval,.In4:=(x+y)(x-y)2/.x->3,y->1-aOut4=(4-a)(2+a)

22、22.3 函數(shù) 1系統(tǒng)函數(shù)在Mathmatic中定義了大量的數(shù)學(xué)函數(shù)可以直接調(diào)用，這些函數(shù)其名稱一般表達(dá)了一定的意義，可以幫助我們理解。下面是幾個(gè)常用的函數(shù)：Floorx 不比x大的最大整數(shù)Ceilingx 不比x小的最小整數(shù)Signx 符號(hào)函數(shù)Roundx 接近x的整數(shù)Absx x絕對(duì)值Maxx1,x2,x3. x1 ,x2,x3.中的最大值 Minx1,x2,x3. x1,x2,x3.中的最小值 Random 01之間的隨機(jī)函數(shù) RandomR,xmax 0xmax之間的隨機(jī)函數(shù)(R為Real,Integer,Complex之一)RandomR,xmin,xmax xminxmax之間的隨

23、機(jī)函數(shù)(R為Real,Integer,Complex之一)Expx 指數(shù)函數(shù)e x Logx 自然對(duì)數(shù)函數(shù)lnx Logb,x 以b為底的對(duì)數(shù)函數(shù) Sinx,Cosx,Tanx,Cscx,Secx,Cotx 三角函數(shù)(變量是以弧度為單位的)ArcSinx,ArcCosx,ArcTanx,ArcCscx,ArcSecx,ArcCotx 反三角函數(shù)Sinhx,Coshx,Tanhxx,Cschx,Sechx,Cothx 雙曲函數(shù) ArcSinhx, ArcCoshx, ArcTanhxx, ArcCschx,ArcSechx,ArcCothx 反雙曲函數(shù)Modm,n m被n整除的余數(shù)，余數(shù)與n同號(hào)

24、Quotientm,n m/n的整數(shù)部分GCDn1,n2,n3或GCDs n1,n2, 或s的最大公約數(shù)，s為數(shù)據(jù)集合LCMn1,n2或LCMs n1,n2 或s的最小公倍數(shù)，s為數(shù)據(jù)集合N! N的階程N(yùn)! N的雙階程Mathematica中的函數(shù)與數(shù)學(xué)上的函數(shù)有些不同的地方，Mathematica中函數(shù)是一個(gè)具有獨(dú)立功能的程序模塊，可以直接被調(diào)用。同時(shí)每一函數(shù)也可以包括一個(gè)或多個(gè)參數(shù)，也可以沒(méi)有參數(shù)。參數(shù)的的數(shù)據(jù)類型也比較復(fù)雜。更加詳細(xì)的可以參看系統(tǒng)的幫助，了解各個(gè)函數(shù)的功能和使用方法是學(xué)習(xí)Mathematica軟件的基礎(chǔ)。2函數(shù)的定義(1) 函數(shù)的立即定義 立即定義函數(shù)的語(yǔ)法如下fx_=e

25、xpr函數(shù)名為f,自變量為x，expr是表達(dá)式。在執(zhí)行時(shí)會(huì)把expr 中的x都換為f的自變量x (不是x_ )。函數(shù)的自變量具有局部性，只對(duì)所在的函數(shù)起作用。函數(shù)執(zhí)行結(jié)束后也就沒(méi)有了，不會(huì)改變其它全局定義的同名變量的值。請(qǐng)看下面的例子，定義函數(shù)f(x)=xsinx+x2，對(duì)定義的函數(shù)我們可以求函數(shù)值，也可繪制它的圖形。In1:=fx_=x*Sinx+x2Out1=x 2 +xSinxIn2:=f1Out2=1+Sin1In3:=Plotfx,x,-3,3Out3= -Graphics-對(duì)于定義的函數(shù)我們可以使用命令Clearf清除掉，而Removef則從系統(tǒng)中刪除該函數(shù)。(2) 多變量函數(shù)的定

26、義也可以定義多個(gè)變量的函數(shù)，格式為fx_,y_,z_,=expr自變量為x,y,z，相應(yīng)的expr中的自變量會(huì)被替換。例如定義函數(shù)f(x,y)=xy+ycosx。In1:=fx_,y_ =x*y+y*CosxOut1=xy+yCosxIn2:=f2,3Out2=6+3Cos2(3) 延遲定義函數(shù)延遲定義函數(shù)從定義方法上與即時(shí)定義的區(qū)別為 “=” 與“：=”延遲定義的格式為fx_：=expr其他操作基本相同。那么延遲定義和即時(shí)定義的主要區(qū)別是什么？即時(shí)定義函數(shù)在輸入函數(shù)后立即定義函數(shù)并存放在內(nèi)存中并可直接調(diào)用。延時(shí)定義只是在調(diào)用函數(shù)時(shí)才真正定義函數(shù)。(4) 使用條件運(yùn)算符定義和If命令定義函數(shù)如

27、果要定義如：這樣的分段函數(shù)應(yīng)該如何定義，顯然要根據(jù)x 的不同值給出不同的表達(dá)式。一種辦法是使用條件運(yùn)算符，基本格式為：fx_:=expr/;condition ，當(dāng)condition條件滿足時(shí)才把expr賦給f(x) 。下面定義方法，通過(guò)圖形可以驗(yàn)證所定義函數(shù)的正確性。In1:=fx_:=x-1/;x>=0 fx_:=x2/;(x>-1)&&(x<0) fx_:=x-1/;x<= -1In4:=Plotfx,x,-2,2Out4= -Graphics-當(dāng)然使用If命令也可以定義上面的函數(shù)，If語(yǔ)句的格式為If條件，值1，值2，如果條件成立取“值1”，否則

28、取“值2”，用If語(yǔ)句的定義結(jié)果如下：In5:=gx_:=Ifx>=0,x-1,Ifx<= -1,Sinx,x2In6:=Plotgx,x,-2,2Out6= -Graphics-可以看出用If定義的函數(shù)g(x)和前面函數(shù)f(x)相同，這里使用了兩個(gè)If嵌套，邏輯性比較強(qiáng)。關(guān)于其他的條件命令的進(jìn)一步討論請(qǐng)看后面的章節(jié)。2.4 表將一些相互關(guān)聯(lián)的元素放在一起，使它們成為一個(gè)整體。既可以對(duì)整體操作，也可以對(duì)整體中的一個(gè)元素單獨(dú)進(jìn)行操作。在Mathematica中這樣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就稱作表(List)。表a,b,c表示一個(gè)向量；表a,b,c,d表示一個(gè)矩陣。1建表在表中元素較少時(shí)，可以采取直

29、接列表的方式列出表中的元素，如1,2,3，請(qǐng)看下面的操作：In1:=1,2,3Out1=1,2,3下面是符號(hào)表達(dá)式的列表：In2:=1+%x+x% Out2=1+2x,1+2x+x2,1+3x+x3下面是把Out2列表中的表達(dá)式對(duì)x求導(dǎo)：In3:=D%,x Out3=2,2+2x,3+3x2In4:=%/.x->1Out4=2,4,6如果表中的元素較多時(shí)，可以用建表函數(shù)進(jìn)行建表：Tablef,i,min,max,step 以step為步長(zhǎng)給出f的數(shù)值表，i由min變到maxTablef,min,max 給出f的數(shù)值表，i由min變到max 步長(zhǎng)為1Tablef,max 給出max個(gè)f的表

30、Tablef,i,imin,imax,j,jmin,jmax,. 生成一個(gè)多維表TableFormlist 或list/TableForm 以表格格式顯示一個(gè)表Rangen 生成一個(gè)1,2,n的列表Rangen1,n2,d 生成n1,n1+d,n1+d,.,n2的列表下面給出x乘i的值的表，i的變化范圍為2,6：In1:=Tablex*i,i,2,6 Out1=2x,3x,4x,5x,6xIn2:=Tablex2,4Out2=x2,x2,x2,x2用Range函數(shù)生成一個(gè)序列數(shù)：In3:=Range10 Out3=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10下面這個(gè)序列是以步長(zhǎng)為2，范圍從8到20

31、：In4:=Range8,20,2 Out4=8,10,12,14,16,18,20上面的參數(shù)變化都是只有一個(gè)，也可制成包括多個(gè)參數(shù)的表，下面生成一個(gè)多維表：In5:=Table2i+j,i,1,3,j,3,5Out5=5,6,7,7,8,9,9,10,11使用函數(shù)TableForm可以以表格的方式輸出In6:=%/TableFormOut6/TableForm=5 6 77 8 99 10 112表的元素的操作當(dāng)t表示一個(gè)表時(shí)，ti表示t中的第i個(gè)子表。如果t=1,2,a,b那么t3表示“a”。In1:=t=TableI+2,jI,1,3,j,3,5Out1=7,9,11,8,10,12,9

32、,11,13In2:=t2Out2=8,10,12對(duì)于表的操作Mathematica提供了豐富的函數(shù)，詳細(xì)的可以查閱后面的附錄或者系統(tǒng)幫助。25 表達(dá)式1.表達(dá)式的含義Mathematica 能處理數(shù)學(xué)公式，表以及圖形等多種數(shù)據(jù)形式。盡管他們從形式上看起來(lái)不一樣，但在Mathematica內(nèi)部都被看成同種類型，即都把他們當(dāng)作表達(dá)式的形式。Mathematica 中的表達(dá)式是由常量、變量、函數(shù)、命令、運(yùn)算符和括號(hào)等組成，它最典型的形式是fx,y。2表達(dá)式的表示形式在顯示表達(dá)式時(shí)，由于需要的不同，有時(shí)我們需要表達(dá)式的展開(kāi)形式，有時(shí)又需要其因子乘積的形式。在我們計(jì)算過(guò)程中可能得到很復(fù)雜的表達(dá)式，這時(shí)

33、我們又需要對(duì)它們進(jìn)行化簡(jiǎn)。常用的處理這種情況的函數(shù)就是變換表達(dá)式表示形式函數(shù)。Expandexpr 按冪次升高的順序展開(kāi)表達(dá)式Factorexpr 以因子乘積的形式表示表達(dá)式Simplifyexpr 進(jìn)行最佳的代數(shù)運(yùn)算，并給出表達(dá)式的最少項(xiàng)形式表達(dá)式(x+y) 4 (x+y 2 ) 展開(kāi)：In1:=Expand(x+y)4*(x+y2)Out1=x 5 +4x 4 y+6x 3 y 2 +x 4 y 2 +4x 2 y 3 +4x 3 y 3 +xy 4 +6x 2 y 4 +4xy5 +y 6還原上面的表達(dá)式為因子乘積的形式：In2:=Factor%Out2=(x+y) 4 (x+y 2 )

34、多項(xiàng)式表達(dá)式的項(xiàng)數(shù)較多，比較復(fù)雜，在顯示時(shí)顯得比較雜亂，而且在計(jì)算過(guò)程中沒(méi)有必要知道全部的內(nèi)容；或表達(dá)式的項(xiàng)很有規(guī)律，沒(méi)有必要打印全部的表達(dá)式的結(jié)果，Mathematica提供了一些命令，可將它縮短輸出或不輸出。expr/Short 或 Shortexpr 顯示表達(dá)式的一行形式Shortexpr,n 顯示表達(dá)式的n行形式，命令后加一分號(hào)“；” 不輸出結(jié)果將表達(dá)式(1+x) 30展開(kāi)，并僅顯示一行有代表項(xiàng)的式子：In3:=Expand(1+ x)30/ShortOut3=1+30x+435x 2 +4060x 3 +<<23>>+4060x 2 7 +435x 2 8 +

35、30x 2 9 +x 3 0將上式分成三行的形式展開(kāi)：In4:=ShortExpand(1+ x)30,3Out4=1+30x+435x 2 +4060x 3 +27405x 4 +142506x 5 +<<19>>+142506x 2 5 +27405x 2 6 +4060x 2 7 +435x 2 8 +30x 2 9 +x 3 0把代數(shù)表達(dá)式變換到你所需要的形式?jīng)]有一種固定的模式，一般情況下，最好的辦法是進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，嘗試不同的變換并觀察其結(jié)果，再挑出你滿意的表示形式。3關(guān)系表達(dá)式與邏輯表達(dá)式我們已經(jīng)知道“”表示給變量賦值?，F(xiàn)在我們來(lái)學(xué)習(xí)一些其它的邏輯與關(guān)系算子。

36、關(guān)系表達(dá)式是最簡(jiǎn)單的邏輯表達(dá)式，我們常用關(guān)系表達(dá)式表示一個(gè)判別條件。例如：x>0,y=0。關(guān)系表達(dá)式的一般形式是：表達(dá)式關(guān)系算子表達(dá)式。其中表達(dá)式可為數(shù)字表達(dá)式、字符表達(dá)式或意義更廣泛的表達(dá)式，如一個(gè)圖形表達(dá)式等。在我們實(shí)際運(yùn)用中，這里的表達(dá)式常常是數(shù)字表達(dá)式或字符表達(dá)式。下面出Mathematica中的各種關(guān)系算子：x=y 相等x!=y 不相等x>y 大于x>=y 大于等于x<y 小于x<=y 小于等于x=y=z 都相等x!=y!=z 都不相等x>y>z 嚴(yán)格遞減x<y<z 嚴(yán)格遞增給變量x，y賦值，輸出后一變量的值，如：In1:=x=2

37、;y=9 Out1=9In2:=x>yOut2=False下面是比較兩個(gè)表達(dá)式的大?。篒n3:=32>y+1 上面已設(shè)y=9Out3= False用一個(gè)關(guān)系式只能表示一個(gè)判定條件，要表示幾個(gè)判定條件胡組合，必須用邏輯運(yùn)算符將關(guān)系表達(dá)式組織在一起，我們稱表示判定條件的表達(dá)式為邏輯表達(dá)式。下面是常用的邏輯運(yùn)算和它們的意義：！ 非 && 并 | 或 Xor 異或 If 條件 LogicalExpandexpr 展開(kāi)邏輯表達(dá)式例如下面的例子說(shuō)明它們的應(yīng)用：In4:=3*x2<y+1&&32=y (前面已給x,y賦值，x=2,y=9)Out4=False

38、In5:=3*x2<y+1|32=yOut5=True2.6 常用的符號(hào)(term) 圓括號(hào)用于組合運(yùn)算fx 方括號(hào)用于函數(shù) 花括號(hào)用于列表i 雙括號(hào)用于排序% 代表最后產(chǎn)生的結(jié)果% 倒數(shù)第二次的算結(jié)果%(k) 倒數(shù)第k次的計(jì)算結(jié)果%n 例出行Outn的結(jié)果(用時(shí)要小心)第3章Mathematica的基本運(yùn)算3.1 多項(xiàng)式的表示形式可認(rèn)為多項(xiàng)式是表達(dá)式的一種特殊的形式，所以多項(xiàng)式的運(yùn)算與表達(dá)式的運(yùn)算基本一樣，表達(dá)式中的各種輸出形式也可用于多項(xiàng)式的輸出。Mathematica提供一組按不同形式表示代數(shù)式的函數(shù)。 Expandploy 按冪次展開(kāi)多項(xiàng)式ployExpandAllploy 全部

39、展開(kāi)多項(xiàng)式ployFactorploy 對(duì)多項(xiàng)式poly 進(jìn)行因式分解FactorTermsploy，x,y, 按變量 x,y,進(jìn)行分解Simplifypoly 把多項(xiàng)式化為最簡(jiǎn)形式FullSimplifyploy 把多項(xiàng)式化簡(jiǎn)Collectpoly,x 把多項(xiàng)式poly按x冪展開(kāi)Collectpoly,x,y 把多項(xiàng)式poly按x,y.的冪次展開(kāi)1.下面是一些例子(1) 對(duì)x 8 -1 進(jìn)行分解In1:=Factorx8-1Out1=(-1+x)(1+x)(1+x 2)(1+x4)(2) 展開(kāi)多項(xiàng)式 (1+x) 5In2:= Expand(1+x)5Out2=1+5x+10x 2+10x 3

40、+5x 4+x5(3) 展開(kāi)多項(xiàng)式 (1+x+3y) 4In3:= Expand(1+x+3y)4Out3=1+4x+6x 2+4x 3+x 4+12y+36xy+36x 2y+12x 3y+54y 2+108xy 2+54x 2y 2+108y 3+108xy 3+81y 4(4) 展開(kāi)并化簡(jiǎn)(2+x) 4 (1+x) 4 (3+x) 3In4:= SimplifyExpand(2+x)4(1+x)4(3+x)3Out4=(3+x) 3 (2+3x+x 2 ) 42.多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算多項(xiàng)式的運(yùn)算有加、減、乘、除運(yùn)算：+，-，*，/ 下面通過(guò)例子說(shuō)明。(1) 多項(xiàng)式的加運(yùn)算a 2 +3a+2與

41、a+1相加(后面例子中也使用這兩個(gè)多項(xiàng)式運(yùn)算)In5:=(a2+3*a+2)+(a+1) 括號(hào)可以不要Out5= 3+4a+ a 2或者In5:=p1= a2+3*a+2;p2= a+1;p1+p2Out5= 3+4a+ a 2(2) 多項(xiàng)式相減In6:=(a2+3*a+2)-(a+1)Out6= 1+2a+ a 2或者In6:=p1-p2Out6= 1+2a+ a 2(3) 多項(xiàng)式相乘In7:=(a2+3*a+2)*(a+1)Out7= (1+ a) (2+3a+ a2)或者In7:=p1*p2Out7= (1+ a) (2+3a+ a2)In8:=Expandp1*p2Out8=2+5a+

42、4a 2+a 3(4) 多項(xiàng)式相除In9:=(a2+3*a+2)/(a+1)Out9=或者In9:=p1/p2Out9=(5) 另外使用Cancel函數(shù)可以約去公因式In10:=Cancelp1/p2Out10=2+a兩個(gè)多項(xiàng)式相除，總能寫(xiě)成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)有理式相加Mathematic中提供兩個(gè)函數(shù)PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分別返商式和余式。例如：In11:=PolynomialQuotientx2, 1+2x,xOut11= 商的整式部分In12:= PolynomialRemainderx2, 1+2x,xOut12= 商的余式部分3.2

43、方程及其根的表示 因?yàn)镸athematica把方程看作邏輯語(yǔ)句。在數(shù)學(xué)方程式表示為形如“x 2 -2x -3=0”的形式。在Mathematica中“=”用作賦值語(yǔ)句，這樣在Mathematica中用“=”(兩個(gè)等號(hào)中間沒(méi)有空格)表示邏輯等號(hào)，則方程應(yīng)表示為“x2 -2x -3=0” 。方程的解同原方程一樣被看作是邏輯語(yǔ)句。例如用Rootslhs=rhs,vars求方程x 2-3x+2=0的根顯示為：In1:=Rootsx2-3x+3=0,xOut1=x=1|x=2 這種表示形式說(shuō)明x取1或2均可而用Solvelhs=rhs,vars可得解集形式：In2:=Solvex2-3x+3=0,xOu

44、t2=x1,x21 求解一元代數(shù)方程下面是常用的一些方程求解函數(shù)：Solvelhs=rhs,vars 給出方程的解集NSolvelhs=rhs,vars 直接給出方程的數(shù)值解集Rootslhs=rhs,vars 求表達(dá)式的根FindRootlhs=rhs,x,x 0 求x在x 0附近的方程的數(shù)值解先看Solve函數(shù)例子：In3:=Solvex2-2x-3=0,xOut3= x-1,x3Solve函數(shù)可處理的主要方程是多項(xiàng)式方程。Mathematica總能對(duì)不高于四次的方程進(jìn)行精確求解，對(duì)于三次或四次方程，解的形式可能很復(fù)雜。例如求x 3 +5x+3=0In4:=Solvex3+5x+3=0,x

45、這時(shí)可用N函數(shù)近似數(shù)值解：In5:=N%Out5= x-0.5641,x0.28205-2.28881i,x0.28205+2.28881i當(dāng)方程中有一些復(fù)雜的函數(shù)時(shí)，Mathematica可能無(wú)法直接給出解來(lái)。在這種情況下我們可用FindRoot來(lái)求解，但要給出起始條件。例如求3Cosx=lnx的解：In6:=FindRoot3*Cosx=Logx,x,1Out6= x1.44726但只能求出x=1附近的解，如果方程有幾個(gè)不同的解，當(dāng)給定不同的條件時(shí)，將給出不同的解。如上例若求x=10附近的解命令為：In7:=FindRoot3*Cosx=Logx,x,10Out7= x13.1064因此確

46、定解的起始位置是比較關(guān)鍵，一種常用的方法是，先繪制圖形觀察后再解。In8:=Plot3*Cosx,Logx,x,1,15Out8= - Graphics -如上例通過(guò)圖形可斷定在x=5附近有另一根：In9:=FindRoot3*Cosx=Logx,x,5Out9= x5.301992.求方程組的根 使用Solve，NSolve和FindRoot也可求方程組的解，只是使用時(shí)格式略有不同，下面給出一個(gè)Solve函數(shù)的例子：求解In10:=Slove2*x+3*y=9,x-2*y=1,x,yOut10= x3, y13求方程的全解如果我們求ax 2 +bx+c=0的根，我們用Solve函數(shù)解的結(jié)果是

47、：In11:=Solvea*x2+b*x+c=0,xOut11= x, x這顯然是不合理的，因?yàn)閷?duì)不同的a,b,c方程的解有不同的情況，而上面只是給出部分解如果要解決這個(gè)問(wèn)題可用Reduce命令，它可根據(jù)a,b,c的取值給出全部值。In12:=Reducea*x2+b*x+c=0,xOut12= a0 && (x=| x=|a=0 && b0 && x=|c=0 && b=0 && a=0因此Solve，Roots只給出方程的一般解，而Reduce函數(shù)數(shù)可以給出方程的全部可能解。4.解條件方程 在作方程計(jì)算時(shí)，可以把一個(gè)方程看作你要處理的主要方程，而把其他方程作為必須滿足的輔助條件，你將會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣處理很方便。譬如在求解像x 4 + bx 2 +c = 0這