第十二章習題課 ppt課件

1、第十二章第十二章 數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù) nnnuuuuu32111 1、數(shù)項級數(shù)、數(shù)項級數(shù) 常數(shù)項級數(shù)收斂常數(shù)項級數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) ). . niinnuuuus121級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和定義定義級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散)0(0aqann. 0lim nnu級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:收斂級數(shù)的基本性質收斂級數(shù)的基本性質 性質性質1 若級數(shù)若級數(shù)un 與與 vn 都收斂，則對任何常都收斂，則對任何常數(shù)數(shù) c , d 級數(shù)級數(shù)( cun + d vn ) 也收斂，且也收斂，且 ( cun + d vn ) =c un + d

2、vn 性質性質2 去掉、增加或改變級數(shù)的有限個項不改去掉、增加或改變級數(shù)的有限個項不改變變 級數(shù)的斂散性級數(shù)的斂散性 性質性質3 在收斂級數(shù)的項中任意加括號，不改變在收斂級數(shù)的項中任意加括號，不改變級數(shù)的斂散性，也不改變它的和級數(shù)的斂散性，也不改變它的和 定理定理12.6 12.6 設設 un un 和和vn vn 是兩個正項級數(shù)是兩個正項級數(shù), ,若存若存在在N 0, N 0, 使得對一切使得對一切 n N , n N , 都有都有 un vnun vn那么那么 若級數(shù)若級數(shù)vn 收斂，則級數(shù)收斂，則級數(shù)un 收斂；收斂； 若級數(shù)若級數(shù)un 發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)vn發(fā)散發(fā)散定義定義0,1

3、 nnnuu.有有界界部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列正正項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂ns2 2、正項級數(shù)及其斂散性判別法、正項級數(shù)及其斂散性判別法判別法判別法(1) (1) 比較判別法比較判別法(2) (2) 比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式設設 1nnu與與 1nnv都是正項級數(shù)都是正項級數(shù),如果如果lvunnn lim,則則(1) 當當 l0時時,二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當當0 l時，若時，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當當 l時時, 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散;(3) (3) 比式判別法的極限形式比式判別法的極限

4、形式 設設un un 為正項級數(shù)，為正項級數(shù)， 且且,lim1quunnn 假設假設 q 1 , 則級數(shù)則級數(shù)un 發(fā)散；發(fā)散； 假設假設 q = 1 , 則此判別法失則此判別法失效效(4) (4) 根式判別法的極限形式根式判別法的極限形式 設設un un 為正項級數(shù)，為正項級數(shù)， 且且,limlunnn 假設假設 l 1 , 則級數(shù)則級數(shù)un 發(fā)散；發(fā)散； 假設假設 l = 1 , 則此判別法失效則此判別法失效3 3、交錯級數(shù)及其判別法、交錯級數(shù)及其判別法定義：正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)定義：正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù) 定理定理( (萊布尼茨判別法萊布尼茨判別法) )如果交錯級數(shù)如果

5、交錯級數(shù) (-1)n-1 un (un 0) (-1)n-1 un (un 0) 滿足條件：滿足條件： 數(shù)列數(shù)列 un un 單調(diào)遞減；單調(diào)遞減； 0lim nnu則交錯級數(shù)收斂則交錯級數(shù)收斂并且余項滿足：并且余項滿足：.|1 nnuR定義定義 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為一般項級數(shù)正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為一般項級數(shù). .定定理理 若若 1nnu收收斂斂,則則 1nnu收收斂斂.定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 0nnu為為絕絕對對收收斂斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .4 4、一般項級數(shù)及其判

6、別法、一般項級數(shù)及其判別法 定理定理 ( (阿貝爾判別法阿貝爾判別法) ) 假設假設 an an 為單調(diào)有界為單調(diào)有界數(shù)列，且級數(shù)數(shù)列，且級數(shù)bn bn 收斂，則級數(shù)收斂，則級數(shù) anbn anbn 收斂收斂 定理定理 ( (狄利克雷判別法狄利克雷判別法) ) 若數(shù)列若數(shù)列 an an 單調(diào)單調(diào)遞減趨于零，又級數(shù)遞減趨于零，又級數(shù)bn bn 的部分和數(shù)列有界，那么的部分和數(shù)列有界，那么級數(shù)級數(shù) anbn anbn 收斂收斂21111111121222222( )( )()( )nnnSn 21132122( )()( )nnnSn 111111111112233411111()()()()()

7、nnnSnnn 1111222( ) pmm 021222 22()pmmmp 解解 因為因為202 sin( ),33nnn 而幾何級數(shù)而幾何級數(shù) 收斂，于是比較原則有收斂，于是比較原則有2( )3n 2 sin3nn 收斂收斂解解 由由11limlim1,1nnnnn nnn而級數(shù)而級數(shù) 發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù) 發(fā)散發(fā)散1n1nn n解解解因為不存在，所以原級數(shù)發(fā)散解因為不存在，所以原級數(shù)發(fā)散lim( 1)1nnnn所以原級數(shù)發(fā)散所以原級數(shù)發(fā)散解因為解因為 , 故故lim|( 1)| 11nnnnlim( 1)01nnnn解解 由而級數(shù)發(fā)散，由而級數(shù)發(fā)散，2|( 1) sin|lim

8、1,2nnnn2n所以級數(shù)所以級數(shù) 發(fā)散發(fā)散2|( 1) sin|nn當當 時，原級數(shù)發(fā)散；時，原級數(shù)發(fā)散；|xe當當 時，因時，因|xe1所以原級數(shù)發(fā)散；所以原級數(shù)發(fā)散；解解 對數(shù)列對數(shù)列 ，當，當 時，有時，有 1nnxx0 x 011nnxx又當又當 時，有時，有01x1111nnnnxxxx又當又當 時，有時，有1x 1111nnnnxxxx所以數(shù)列所以數(shù)列 單調(diào)有界，單調(diào)有界，1nnxx例例 級數(shù)級數(shù)21sin( 1)nnnn收斂但不絕對收斂收斂但不絕對收斂. . 解解 由于由于21sin( 1)nnnn的絕對值級數(shù)的絕對值級數(shù)211sin11cos2,2nnnnnnn111cos2,(3),nnnnn其其中中發(fā)發(fā)散散收收斂斂 根根據(jù)據(jù)例例 結結論論故故21sinnnn發(fā)發(fā)散散. .21sin(1cos2 ),2nn 又又因因得得211sin11cos2( 1)( 1)2nnnnnnnn