常數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法ppt課件

1、第二講第二講 常數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法常數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1正項級數(shù)及其審斂法；正項級數(shù)及其審斂法； 2交錯級數(shù)判別方法；交錯級數(shù)判別方法； 3. 絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂. 教學(xué)要求教學(xué)要求 1掌握正項級數(shù)的比較判別法；掌握正項級數(shù)的比較判別法； 2熟悉比值判別法，了解根值判別法；熟悉比值判別法，了解根值判別法； 3掌握交錯級數(shù)判別方法；掌握交錯級數(shù)判別方法； 4. 判斷級數(shù)的絕對收斂與條件收斂判斷級數(shù)的絕對收斂與條件收斂.一、正項級數(shù)及其斂散性判別法一、正項級數(shù)及其斂散性判別法1.1.定義定義: :，中各項均有中各項均有如果級數(shù)如果級數(shù)01 nnnuu這

2、種級數(shù)稱為正項級數(shù)這種級數(shù)稱為正項級數(shù). . nsss212.2.正項級數(shù)收斂的充要條件正項級數(shù)收斂的充要條件: :定理定理.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂ns部分和數(shù)列部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列. .ns且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收收斂斂, ,則則 1nnu收收斂斂；反反之之，若若 1nnu發(fā)發(fā)散散，則則 1nnv發(fā)發(fā)散散. .證明證明nnuuus 21且且 1)1(nnv設(shè)設(shè),nnvu , 即部分和數(shù)列有界即部分和數(shù)列有界.1收斂收斂 nnu均為正項級數(shù)，均為正項級數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvu3.比較判別法比較判別

3、法nvvv 21nns 則則)()2( nsn設(shè)設(shè),nnvu 且且 不是有界數(shù)列不是有界數(shù)列.1發(fā)散發(fā)散 nnv推推論論: : 若若 1nnu收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )且且)(nnnnvkuNnkuv , ,則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .定理證畢定理證畢.比較判別法的不便比較判別法的不便: 須有參考級數(shù)須有參考級數(shù). 例例 1 1 討討論論 P P- -級級數(shù)數(shù) ppppn14131211的的收收斂斂性性. .)0( p解解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散則則 P, 1 p設(shè)設(shè)oyx)1(1 pxyp1234由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns1

4、31211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.級級數(shù)數(shù)收收斂斂則則 P 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng)級數(shù)級數(shù),1,1ppP重要參考級數(shù)重要參考級數(shù): : 幾何級數(shù)幾何級數(shù), P-, P-級數(shù)級數(shù), , 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù). .例例 2 2 證明級數(shù)證明級數(shù) 1)1(1nnn是發(fā)散的是發(fā)散的.證明證明,11)1(1 nnn,111 nn發(fā)發(fā)散散而而級級數(shù)數(shù).)1(11 nnn發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)4.4.比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式: :設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項級數(shù)都是正項級數(shù), , 假如假如那么那么(1) (1

5、) 當(dāng)當(dāng)時時, , 二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; ; (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時，假設(shè)時，假設(shè)收斂收斂, , 那么那么收斂收斂; ; (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時時, , 假設(shè)假設(shè) 1nnv發(fā)散發(fā)散, , 那么那么 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu證明證明lvunnn lim)1(由由, 02 l 對于對于,N ,時時當(dāng)當(dāng)Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證.設(shè)設(shè) 1nnu為為正正項項級級數(shù)數(shù), ,如果如果0lim lnunn ( (或或 nnnulim),),則級數(shù)則

6、級數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, ,則則級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂. .5 5. .極極限限判判別別法法： 例例 3 3 判判定定下下列列級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性: :(1) 11sinnn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂.6 6. .比比值值判判別別法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )

7、： 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù), ,如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. .證明證明,為有限數(shù)時為有限數(shù)時當(dāng)當(dāng) , 0 對對,N ,時時當(dāng)當(dāng)Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即,1時時當(dāng)當(dāng) ,1時時當(dāng)當(dāng) ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收斂收斂而級數(shù)而級數(shù),11收斂收斂 NnummNuu收斂收斂, 1 取取, 1 r使使,時時當(dāng)當(dāng)Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu發(fā)散發(fā)散比值判別法的優(yōu)點比值判別法

8、的優(yōu)點: 不必找參考級數(shù)不必找參考級數(shù). . 兩點注意兩點注意:1 1. .當(dāng)當(dāng)1 時時比比值值審審斂斂法法失失效效; ;,11發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)例例 nn,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn)1( ,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收斂收斂級數(shù)級數(shù) nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 2.2.條件是充分的條件是充分的, ,而非必要而非必要. .例例 4 4 判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1

9、nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nn),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值判別法失效比值判別法失效, 改用比較判別法改用比較判別法,12)12(12nnn ,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn.)12(211收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nnn7 7. .根根值值判判別別法法 ( (柯柯西西判判別別法法) )： 設(shè)設(shè) 1nnu是正項級數(shù)是正項級數(shù), ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或為數(shù)或 ,

10、,則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;,1 ,1 nnn設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)例例如如nnnnnu1 n1 )(0 n級數(shù)收斂級數(shù)收斂.1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. .二、交錯級數(shù)及其斂散性的判別法二、交錯級數(shù)及其斂散性的判別法定義定義: : 正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂, ,且其和且其和1us , ,其余項其余項nr的絕對值的絕

11、對值1 nnur. .)0( nu其其中中證明證明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns,2是是有有界界的的數(shù)數(shù)列列ns)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且級數(shù)收斂于和級數(shù)收斂于和),(21 nnnuur余余項項,21 nnnuur滿足收斂的兩個條件滿足收斂的兩個條件,.1 nnur定理證畢定理證畢.例例 5 5 判判別別級級數(shù)數(shù) 21)1(nnnn的的收收斂斂性性. .解解2)1(2

12、)1()1( xxxxx)2(0 x,1單單調(diào)調(diào)遞遞減減故故函函數(shù)數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂定義定義: : 正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù). .定定理理 若若 1nnu收收斂斂, ,則則 1nnu收收斂斂. .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯顯然然,nnuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收斂收斂.上定理的作用：上定理的作用：任意項級數(shù)任意項級數(shù)正項級數(shù)正項級數(shù)定義定義: :

13、若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發(fā)散發(fā)散, ,而而 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為條件收斂為條件收斂. .例例 6 6 判判別別級級數(shù)數(shù) 12sinnnn的的收收斂斂性性. .解解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂.小小 結(jié)結(jié)正正 項項 級級 數(shù)數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù)審審斂斂法法1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯級數(shù)交錯級數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂若若SSn;, 0,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)