常微分方程主要內容復習ppt課件

1、微分方程的基本概念微分方程的基本概念含未知函數(shù)的導數(shù)含未知函數(shù)的導數(shù)(或微分或微分)的方程稱為微分方程；的方程稱為微分方程；未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程;未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程；微分方程中未知函數(shù)的導數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分微分方程中未知函數(shù)的導數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階方程的階. 能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解的解. .微分方程的解、通解與特解微分方程的解、通解與特解 如果微分方程的解中含任意常數(shù)如果微分方

2、程的解中含任意常數(shù), ,且獨立的且獨立的( (即即不可合并而使個數(shù)減少的不可合并而使個數(shù)減少的) )任意常數(shù)的個數(shù)與微分任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解為微分方程的通解方程的階數(shù)相同，這樣的解為微分方程的通解. .不包含任意常數(shù)的解為微分方程特解不包含任意常數(shù)的解為微分方程特解. .可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程1定義 形如 (1)dyf x g ydx的方程稱為可分離變量的方程. 特點 - 等式右端可以分解成兩個函數(shù)之積，其中一個只是x的函數(shù)，另一個只是y的函數(shù)2解法: 10dyf x dxg yg y分離變量得兩端積分得通解: 1dyfx dxg y齊次方程齊次方程如

3、果一階微分方程 可以化成的形式，則稱此方程為齊次微分方程這類方程的求解分三步進行：（1將原方程化為方程 的形式（2作變量代換以 為新的未知函數(shù)留意， 仍是 的函數(shù)），就可以把齊次微分方程化為可分離變量的微分方程來求解d( , )dyf x yxddyyxxddyyxxyuxuuxv由 ，得 v兩端求導，得v代入方程中，得 yuxdyduuxdxdx)(udxduxu這是變量可分離的微分方程分離變量并積分，得（3求出積分后，再以 代回，便得到所求齊次方程的通解 dd( )uxuuxyuxyux一階線性微分方程一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性微分方程，其中P(x)，Q(x)是連續(xù)函數(shù)，且方程

4、關于y及 是一次的，Q(x)是自由項.xydd為一階線性非齊次方程，則稱如果0)(xQ，即如果0)(xQ為一階線性齊次方程.d( )( ) (1)dyP x y Qxxd( )( )dyP x yQ xxd( )0 (2)dyP x yx一階線性非齊次微分方程的求解步驟如下:1.先求(2) 0)(ddyxPxy的通解：分離變量后得xxPyyd)(d，的形式，得任意常數(shù)寫成CxxPyClnd)(ln ln化簡后，方程(2)的通解為其中C為任意常數(shù).( )dxe (3)P xy C，2.利用“常數(shù)變易法求線性非齊次方程(1)的通解：設(4) e )()d(，xxPxCy是方程(1)的解，其中C(x

5、)為待定常數(shù),將(4)式求其對x的導數(shù)，得，xxPxxPxCxPxCxy)d()d(e )()(e )(dd 代入方程(1)中，得，)(e )()( e )()(e )()d()d()d(xQxCxPxCxPxCxxPxxPxxP化簡后，得，xxPxQxCd)(e )()(5) de )()(d)(，CxxQxCxxP將上式積分，得其中C為任意常數(shù).把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解為 通過把對應的線性齊次方程的通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)，然后求出線性非齊次方程的通解，這種方法稱為常數(shù)變易法.( )d( )de( )ed). (6)P xxP xxyQ xx C二階常系數(shù)線性微

6、分方程二階常系數(shù)線性微分方程 一、二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)線性微分方程 二、二、 常系數(shù)線性齊次微分方程解的結構常系數(shù)線性齊次微分方程解的結構 三、三、 二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法 的方程，稱為二階線性微分方程.當 時，方程(1)成為0)(xf稱為二階線性齊次微分方程，當 時，方程(1)稱為二階線性非齊次微分方程.0)(xf/形如 當系數(shù)P(x)、Q(x)分別為常數(shù)p、q時，則稱方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，稱方程/為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程.( )( )( ) (1)y Px y Qx yf x( )( )0 (2)yP x y Q

7、x y0 (3)y py qy ( ) ( ( ) 0) (4)y py qy f xf x定理 設y1(x)， y2(x)是二階常系數(shù)線性齊次微分方程(3)的兩個解，那么 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常數(shù).)()(2211xyCxyCy一、二階常系數(shù)線性齊次微分方程解的性質與通解結構一、二階常系數(shù)線性齊次微分方程解的性質與通解結構定理 如果函數(shù)y1(x) 與y2(x)是二階常系數(shù)線性齊次微分方程(3)的兩個線性無關的特解，那么就是方程(3)的通解.1 12 212( )( ) ( ,)y Cy xCy xC C為 任 意 常 數(shù)求二階常系數(shù)齊次線性微分方程(3)的通解步驟：1.

8、寫出特征方程，并求出特征方程的兩個根；2 .根據(jù)兩個特征根的不同情況，按照公式(6)、(7)或(8)寫出微分方程的通解.可使用下表:0qypyy02qprr兩個不相等的實根21rr 特征方程:微分方程:兩個相等的實根21rr 一對共軛復根)0(,21irxrxrCCy21ee21xrxCCy1e )(21) sin cos(e21xCxCyx的兩個根r1,r2的通解二階常系數(shù)非齊次線形微分方程v二階常系數(shù)非齊次線形微分方程的一般形式為：v當 時，二階常系數(shù)非齊次線形v微分方程具有形如 v的特解，其中 是與 同次m次的多項式，而k按 是不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0

9、、1或2。( )ypyqyfx( )( )xmf xpx e*( )kxmyx Qx e( )mQx()mPxv當 或 時，v由歐拉公式知道， 和 v分別是 的實部和虛部。v而方程 具有形如v 的特解，其中 是與 同次m次的多項式，而k按 是不是特征方程的根、是特征方程的單根依次取0或1。v方程 和 v的特解分別是9式的特解的實部和虛部。 ( )( )cosxmf xP x ex( )sinxmP x ex( )cosxmP x ex( )( )sinxmf xP x ex()( )( )(cossin)ixxmmP xeP xex ix ()( )(9)ixmypy qy P xe *()( )kixmyx Qx e( )mQx()mPx( )cosxmypy qy P xex( )sinxmypy qy P xex 歐拉方程v形如v的方程稱為歐拉方程，其中 為常數(shù)。v歐拉方程的特點是：方程中各項未知函數(shù)導數(shù)的階數(shù)與其乘積因子自變量的冪次相同。v解法：作變量替換 將自變量x換成t，則有 ( )1 (1)11( )nnnnnnx ypx yp xyp yf x12,npppln ,txetx或22222332333211,()1(32)dydy dtdy d yd ydydxdt dxx dtdxxdtdtd yd yd ydydxxdt