等差數(shù)列、等比數(shù)列知識點梳理

1、等差數(shù)列和等比數(shù)列知識點梳理第1節(jié) ：等差數(shù)列的公式和相關性質1、 等差數(shù)列的定義：對于一個數(shù)列，如果它的后一項減去前一項的差為一個定值，則稱這個數(shù)列為等差數(shù)列，記：（d為公差）（，）注：下面所有涉及，省略，你懂的。2、等差數(shù)列通項公式： ，為首項，為公差 推廣公式： 變形推廣：3、等差中項（1）如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項即：或（2）等差中項：數(shù)列是等差數(shù)列4、等差數(shù)列的前n項和公式： （其中A、B是常數(shù)，所以當d0時，Sn是關于n的二次式且常數(shù)項為0）特別地，當項數(shù)為奇數(shù)時，是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項）5、等差數(shù)列的判定方法

2、 （1） 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列 （2）等差中項：數(shù)列是等差數(shù)列 （3）數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。6、等差數(shù)列的證明方法 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列7、等差數(shù)列相關技巧：（1）等差數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）設項技巧：一般可設通項奇數(shù)個數(shù)成等差，可設為，（公差為）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設為，,（注意；公差為2）8、等差數(shù)列的性質：（1）當公差時，等差數(shù)列的通項公式是關于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關于的二次函數(shù)且常數(shù)項

3、為0。（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當時,則有，特別地，當時，則有。（注：，）當然擴充到3項、4項都是可以的，但要保證等號兩邊項數(shù)相同，下標系數(shù)之和相等。 （4）、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列 (5) 若是等差數(shù)列，則 ，也成等差數(shù)列 (6) 數(shù)列為等差數(shù)列,每隔k(k)項取出一項()仍為等差數(shù)列 （7）、的前和分別為、，則 （8）等差數(shù)列的前n項和，前m項和，則前m+n項和，當然也有，則 (9)求的最值法一：因等差數(shù)列前項和是關于的二次函數(shù)，故可轉化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大

4、值是所有非負項之和即當 由可得達到最大值時的值 （2） “首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。即 當 由可得達到最小值時的值或求中正負分界項法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項和的圖像是過原點的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時，取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為注意：，對于任何數(shù)列都適用，但求通項時記住討論當?shù)那闆r。解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：基本量法：即運用條件轉化為關于和的方程；巧妙運用等差數(shù)列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量。（以上加上藍色的性質希望讀者能夠自己證明，不是很難，并能夠學會運用）第2節(jié)

5、 ：等比數(shù)列的相關公式和性質1、 等比數(shù)列的定義：，為公比2、 通項公式：，為首項，為公比推廣公式：， 從而得3、等比中項（1）如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等差中項即：或注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數(shù)）（2）數(shù)列是等比數(shù)列4、等比數(shù)列的前n項和公式：(1) 當時， (2) 當時， （為常數(shù)）5、等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對任意的n,都有為等比數(shù)列 （2） 等比中項：（0）為等比數(shù)列（3） 通項公式：為等比數(shù)列（4） 前n項和公式：為等比數(shù)列6、 等比數(shù)列的證明方法依據(jù)定義：若或為等比數(shù)列7、等比數(shù)列相關技巧：（1）等比數(shù)列的通項公式及前和

6、公式中，涉及到5個元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設項的技巧，一般可設為通項：如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設為，（公比為，中間項用表示）；注意隱含條件公比的正負8、等比數(shù)列的性質：(1) 當時等比數(shù)列通項公式是關于的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比前項和，系數(shù)和常數(shù)項是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比(2) 對任何m,n,在等比數(shù)列中,有,特別的,當m=1時,便得到等比數(shù)列的通項公式。因此,此公式比等比數(shù)列的通項公式更具有一般性。(3) 若(),則。特別的,當時,得注：(4) 列,為等比數(shù)列,則數(shù)列, (k為非

7、零常數(shù)) 均為等比數(shù)列。(5) 數(shù)列為等比數(shù)列,每隔k(k)項取出一項()仍為等比數(shù)列(6) 如果是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列(7) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列，成等比數(shù)列(8) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列, 成等比數(shù)列(9) 當時， 當時，, 當q=1時,該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列）; 當q<0時,該數(shù)列為擺動數(shù)列。(10)在等比數(shù)列中, 當項數(shù)為2n (n)時,。 (11)若是公比為q的等比數(shù)列,則注意：在含有參數(shù)的數(shù)列時，若是等比數(shù)列，一定要考慮到公比的特殊情況。解決等比數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：基本量法：即運用條件轉化為關于和的方程；巧妙運用等比數(shù)列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量。關于等差、等比兩個引申：模式（其中為常數(shù)，）；模式（其中為常數(shù)，）在這里我們以具體的例子給出，使其更容易理解：例1 已知數(shù)列，有（），則求該數(shù)列的通項公式 解題大致思路：先設，則對于，那么我們就可以構造數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比的相關性質去解決，注意：構造新數(shù)列的首項