二階微分方程及其模型ppt課件

1、二階微分方程一、可降階的二階微分方程一、可降階的二階微分方程二、二階線性微分方程二、二階線性微分方程三、幾個(gè)典型模型三、幾個(gè)典型模型一、幾種可降階的二階方程),(yyxfy 設(shè)設(shè)),()()1(yyxfy 方方程程的的右右端端不不顯顯含含,)( dxxfdxyy.)(21CdxCdxxfdxyy .1xxey 解解方方程程例例1Cexedxxeyxxx 解解：.)(211CxCeexeCexeyxxxxx )( ),()2(yyxfy方方程程右右端端不不顯顯含含 ).,(,),(pxfdxdpdxdpyxpy 得得令令.),(),(11dxCxpdxdxyyCxp 則則設(shè)設(shè)解解為為.12xxe

2、yxy 解解方方程程例例（一一解解線線性性方方程程）解解：令令xxepxdxdppy 1,1111xCxedxCdxexeepyxdxxxdxx .2)1(2211CxCexdxxCxeyxx )(),()3(xyyfy方方程程右右端端不不顯顯含含 ,),(dydppdxdydydpyypy 則則令令),(pyfdydpp 得：得：.),(1),(211CdyCyyCypdxdy 則則設(shè)設(shè)解解為為的解。的解。求初值問題求初值問題例例2)0(, 1)0(,33 yyyy,3,),(ydydppdydppyypy 原原方方程程化化為為則則解解：令令1232221,3Cypdyypdp , 02)0

3、(, 1)0(1 Cyy由由,243ypy 號號。取取由由 , 02)0(y,243yy ,24,224143Cxydxdyy , 41)0(2 Cy由由.)21(4xy 二階線性微分方程二階線性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf線性齊次微分方程線性齊次微分方程時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf線性非齊次微分方程線性非齊次微分方程n階線性微分方程階線性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn )()(xfyxPdxdy一階線性微分方程一階線性微分方程二、二階線性微分方程二階齊次方程解的構(gòu)造二階齊次方程解的構(gòu)造: :定理定理 1

4、 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個(gè)的兩個(gè)解解, ,那末那末2211yCyCy 也是也是(1)(1)的解的解. .（21, CC是常是常數(shù)）數(shù)）問題問題: :一定是通解嗎？一定是通解嗎？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy1.解的根本性質(zhì)定義：設(shè)定義：設(shè)nyyy,21為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的n個(gè)函數(shù)如果存在個(gè)函數(shù)如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)，使得個(gè)不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)當(dāng)x在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立 02211 nnykykyk，那么稱這那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間個(gè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)線性相關(guān)線性相關(guān)否則否則稱稱線性無關(guān)

5、線性無關(guān)例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，線性無關(guān)線性無關(guān)線性相關(guān)線性相關(guān)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)),( x特別地特別地: 若在若在 I 上有上有常數(shù)，常數(shù)， )()(21xyxy則函數(shù)則函數(shù))(1xy與與)(2xy在在 I 上上線性無關(guān)線性無關(guān).定理定理 2 2：如果：如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個(gè)線的兩個(gè)線性無關(guān)的特解性無關(guān)的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xCxCy 2.2.二階非齊次線性方程的解的構(gòu)

6、造二階非齊次線性方程的解的構(gòu)造: :定定理理 3 3 設(shè)設(shè)*y是是二二階階非非齊齊次次線線性性方方程程)2()()()(xfyxQyxPy 的的一一個(gè)個(gè)特特解解, , Y是是與與( (2 2) )對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程( (1 1) )的的通通解解, , 那那么么*yYy 是是二二階階非非齊齊次次線線性性微微分分方方程程( (2 2) )的的通通解解. .2. 二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程特征方程,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy1 1

7、有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個(gè)線性無關(guān)的特解兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 特征根為特征根為特征方程法: 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解.2 2 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey

8、 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為3 3有一對共軛復(fù)根有一對共軛復(fù)根,1 jr ,2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey )0( 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例1 1.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 r

9、r解得解得,2121jr ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2)(xfqyypy 類型一類型一對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解構(gòu)造通解構(gòu)造, yYy 常見類型常見類型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 難點(diǎn)：如何求特解？難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法方法：待定系數(shù)法.)()(xPexfmx 3.3.二階常系數(shù)非其次線性微分方程二階常系數(shù)非其次線性微分方程設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為xexQy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的

10、根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可設(shè)設(shè)是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可可設(shè)設(shè);)(xmexQy ;)(xmexxQy 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可設(shè)可設(shè)綜上討論綜上討論, )(xQexymxk 設(shè)設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系數(shù)非齊次線性微分方程微分方程k是重根次數(shù)是重根次數(shù).)(2xmexQxy 特別地特別地xAeqy

11、ypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的單根是特征方程的單根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececY 是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy 設(shè)設(shè)代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1型sin)(cos)()(xxPxxPexfnlxsincos)(xPx

12、Pexfnlx 22jeePeePexjxjnxjxjlx xjnlxjnlejPPejPP)()()22()22( ,)()()()(xjxjexPexP ,)()(xjexPqyypy 設(shè)設(shè),)(1xjmkeQxy 利用歐拉公式利用歐拉公式類型二類型二,)()(xjexPqyypy 設(shè)設(shè),)(1xjmkeQxy xjmxjmxkeQeQexy ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是單根是單根不是根不是根jjk注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方

13、程階常系數(shù)非齊次線性微分方程.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解對應(yīng)齊方通解對應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4jxeyy ,是單根是單根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式, 42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy 原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy 取虛部取虛部例例2 2.2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 解解對應(yīng)齊方通解對應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,2 jxxeyy ,2 不是特征方程的根

14、不是特征方程的根j ,)(2*jxeBAxy 設(shè)設(shè)代入輔助方程代入輔助方程 13034ABAj,9431jBA ，,)9431(2*jxejxy 例例3 3)2sin2)(cos9431(xjxjx 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,2sin942cos31xxxy 原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx 取實(shí)部取實(shí)部注意注意xAexAexx sin,cos.)(的的實(shí)實(shí)部部和和虛虛部部分分別別是是xjAe 衛(wèi)星發(fā)射過程的描繪深海運(yùn)動過程擺鐘運(yùn)動的描繪水面浮標(biāo)的上下振動三、運(yùn)動

15、學(xué)和機(jī)械振動學(xué)上的微分方程建模及其方法關(guān)于描繪運(yùn)動規(guī)律的知識準(zhǔn)備設(shè)物體做直線變速運(yùn)動，其位置函數(shù)s=s(t)，與速度 函數(shù)v=v(t)，加速度函數(shù)a=a(t)的關(guān)系為： v(t)=s(t); a(t)=v (t) = s(t).牛頓第二定律：物體的加速度同作用在它上面的合力F成正比，即 F=ma. 由此可利用受力分析，求得合力F，并與 m s(t)或m v(t)建立等式，即微分方程。進(jìn)而求解并分析結(jié)果，從而對物體的運(yùn)動規(guī)律進(jìn)展大致描繪。關(guān)于力的知識，常用的有：壓力、浮力、重力和萬有引力、阻力、彈簧力、電磁場力等計(jì)算公式。問題的提出 在發(fā)射人造地球衛(wèi)星時(shí)，通常要求運(yùn)載火箭分開地面時(shí)具有足夠大的初

16、始速度，從而就可保證衛(wèi)星在發(fā)射過程中不會下墜，這與一般的上拋運(yùn)動有所不同。 試建立衛(wèi)星發(fā)射過程中的數(shù)學(xué)模型來描繪其運(yùn)動規(guī)律，并求出在理論上所需的最小速度稱 第二宇宙速度。 模型的建立假設(shè)：衛(wèi)星發(fā)射過程中只受到物體間引力的作用，空氣阻力或其它作用力影響不大而忽略。 設(shè)M和m分別表示地球和衛(wèi)星的質(zhì)量，如圖，衛(wèi)星分開地面的時(shí)刻記t=0，s=R(地球半徑，s(t)表示衛(wèi)星重心和地球中心的間隔 ，加速度a(t)=s(t)。 由萬有引力定律，引力F為 F=kmM / s2 在任意時(shí)刻t，利用牛頓第二定律，可得微分方程：ms=-kmM / s2 ，即 s=-kM / s2 ， (1) 且滿足s(0)=R,s

17、(0)=V. 模型的求解和分析 求解下面微分方程 s=-kM / s2 ， (1)且滿足s(0)=R,s(0)=V. 利用降階法，設(shè)v=ds/dt，那么 v dv / ds = -kM / s2 ，解得 v2 = 2k M / s + C由初始條件s=R時(shí)，v=V，代入 C = V2 /2 - k M / R，所以 v2 = 2k M / s +C， (2) 不難看出，假設(shè)保證C0，衛(wèi)星的運(yùn)動速度始終不會為零，即它不會下墜。 這與我們在地面上上拋物體時(shí)，會由于地球重力影響，在某時(shí)刻速度會減為0，而后下落有所不同利用上述模型的結(jié)果，不難解釋。 要保證C0，即C = V2 /2 - k M / R

18、 0 ,V (2k M / R)1/2因?yàn)?g=kM / R2，所以 V (2gR)1/2 =11200 m/s。也就是我們通常所說的第二宇宙速度= 11200 m/s 過去一段時(shí)間，美國原子能委員會為了處置濃縮的放射性廢物，他們把廢物密封在圓桶后，扔到水深100米以上的海中。為此，許多科學(xué)家表示擔(dān)憂，特別是圓桶在運(yùn)動過程中與海底碰撞，是否會因速度過快而破裂，從而導(dǎo)致放射性廢物對大海的污染。這種擔(dān)憂是否會發(fā)生呢？首先需要描繪圓桶在深海中運(yùn)動的過程。 請建立描繪該運(yùn)動過程的數(shù)學(xué)模型。問題的提出 模型一 無阻力運(yùn)動假設(shè)：圓桶運(yùn)動過程中，所受阻力忽略不計(jì)，圓桶在水中進(jìn)展直線運(yùn)動，不產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，即圓

19、桶只受重力G和浮力e影響。 在上述假設(shè)條件下，圓桶所受合力F=G-e。 由牛頓第二定律：F=ma 如圖，設(shè)圓桶入海時(shí)記t=0，位移s=0。假設(shè)s(t)為t時(shí)刻對應(yīng)的位置函數(shù)，那么a(t)=s(t)。 由此可得微分方程1： m s(t)= mg-pgV 且滿足 s(0)=0, v(0)=v0 . 模型二 阻力運(yùn)動假設(shè)：圓桶運(yùn)動過程中，假設(shè)圓桶除受重力G和浮力e以外，還受阻力 f影響(和速度成正比) ，其它情況同模型一。 在此假設(shè)條件下，圓桶所受合力F=G-e-f。 由牛頓第二定律：F=ma 如圖，設(shè)圓桶入海時(shí)計(jì)t=0，位移s=0。假設(shè)s(t)為t時(shí)刻對應(yīng)的位置函數(shù)，那么 v(t)=s(t), a

20、(t)=s(t)。 由此可得微分方程2： m s(t)= mg-pgV-ks(t) 且滿足s(0)=0, v(0)=v0 . 模型求解并分析 假設(shè)我們已測得下面數(shù)據(jù)，試?yán)盟⒌哪Ｐ?，求解微分方程并分析結(jié)果，從而判斷圓桶是否會因碰撞海底而發(fā)生破裂。 測得圓桶質(zhì)量m240kg，體積V 0.2立方米，海水比重p 1025kg/立方米。 通過大量科學(xué)試驗(yàn)說明：當(dāng)圓桶的速度超越12m/s，與海底碰撞就容易破裂；另外，當(dāng)圓桶在水中運(yùn)動時(shí)，所受阻力和速度成正比，比例常數(shù)k約為0.08g0.12 g 牛 米/秒，即f= kv。模型一的求解 s(t)= g-pgV/m 1 且滿足s(0)=0, v(0)=v

21、0利用積分，可求解方程(1)s(t)=Kt+c，K=g-pgV/m.由v(0)=s(0)=v0,v(t)=s(t)=Kt+v0,再次積分，s(t)=Kt2/2 +v0 t+ c由s(0)=0, c=0, 即解為s(t)= Kt2/2 +v0 t，K1.43s(t)=0.72t2 +v0 t. 設(shè)v0=0， s(t)=0.72 t2 .當(dāng)s=100米時(shí)，t =11.8秒， 而v(t)=s(t)=1.43 t v=1.43*11.8=16.8 m/s. 即當(dāng)圓桶到達(dá)100處的海底時(shí)，其速度將超越12m/s，因而容易破裂。 由速度函數(shù)v(t)=s(t)=Kt+v0 ，海底愈深，其速度愈大。假設(shè)v00，可得圓桶到達(dá)海底的速度更大，也就愈容易破裂。 模型二的求解s(t)= mg-pgV-k s(t) (2) 且滿足s(0)=0, v(0)=0. 利用降階法，設(shè) v=s(t) v=mg-pg V-k v再利用變量分別法或常數(shù)變易法，可求得： v(t)=s(t)= 1-exp(-kt/m) *(m-pV)g/k 再求積分，s(t)=.。 同模型一，先求出到達(dá)海