2020新課標高考數(shù)學(xué)二輪講義：第二部分專題六第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

1、第 2 講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程做鬲考真題G明命題趨向做真題題型一指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.(2019 高考全國卷I)已知 a= log20.2, b= 20.2, c= 0.20.3，則()A. abcB. acbC. cabD. bca解析：選 B.因為 a= log20.21, c= 0.20.3 (0 , 1),所以 acb.故選 B.4212.(2016 高考全國卷 川)已知 a=2= b = 45, c= 251 2 3,則()A.bvavcB.avbvcC.bvcvaD.cvavb412111解析：選 A.因為 a=丈=163, b = 45= 165, c= 253,且幕函數(shù) y=

2、 x3在 R 上單調(diào)遞增，指 數(shù)函數(shù) y= 16x在 R 上單調(diào)遞增，所以 bvavc.3._ (一題多解)(2019 高考全國卷 n )已知 f(x)是奇函數(shù)，且當 x0 可得一 x0 時，f(x) = - f( x) = - ea(-x) = e-ax,則 f(ln 2) = e-aln 2= 8,所以一 aln 2 = ln 8 = 3ln 2 ,所以 a =- 3.法二：由 f(x)是奇函數(shù)可知 f( x) = - f(x),1所以 aln 2= ln 8 = 3ln 2 ,所以 a= 3.答案：3題型二對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(一題多解)(2016 高考全國卷I)若 a b 1, 0vcv1,

3、則()A.acvbcB.abcvbacC.alogbcvblogacD.logacvlogbc解析：選 C.法一：由 ab1, 0cbc, A 錯;11所以 f(ln 2) = f ln 2 = ( ealn 2)= 8,因為 0c1 ,所以1c 1ac1,又 ab0,所以 ab bc-1abac1,即 abcbac, B 錯；易知 y= logcx 是減函數(shù)，所以 0logcblogca, D 錯；由 logbclogac logac0,又 ab10,所以alogbc blogac0 ,所以alogbcblogac,故 C 正確.1法二：依題意，不妨取 a= 4, b= 2, c= 2.易驗

4、證 A、B、D 均是錯誤的，只有 C 正確.題型三函數(shù)的零點問題1.(2017 高考全國卷 川)已知函數(shù) f(x) = x2 2x+ a(ex1+ ex+1)有唯一零點，則 a =()11A.2B. 31C. 2D. 1解析：選 C.由 f(x)= x2 2x+ a(exi+ ex+1),得 f(2 x)= (2 x)2 2(2 x) + ae2x1+ e(2x)+1 = x2 4x+ 4 4 + 2x+ a(e1x+ ex1) = x2 2x+ a(ex1+ ex+1),所以 f(2 x)= f(x),即 x=1 為 f(x)圖象的對稱軸.由題意，f(x)有唯一零點，所以 f(x)的零點只能

5、為 x= 1,即 f(1) = 1212X1+ a(e11+ e1+1) = 0,解得 a=故選 C.ex, x0則 a 的取值范圍是()A.1,0)B.0,+s)C.1,+s)D.1,+s)解析：選 C.函數(shù) g(x)= f(x) + x+ a 存在 2 個零點，即關(guān)于 x 的方程 f(x) = x a 有 2 個不同的實根，即函數(shù) f(x)的圖象與直線 y= x a 有 2 個交點，作出直線 y = x a 與函數(shù) f(x)n3. (2018 高考全國卷 川)函數(shù) f(x)= cos 3x + -在0 ,n的零點個數(shù)為 _.解析：由題意知，cos 3x+云=0,所以 3x+云=+ knk

6、Z ,所以 x=+石，k Z,當66293k= 0 時，x=n；當 k= 1 時，x =甘；當 k= 2 時，x= 79n,均滿足題意，所以函數(shù) f(x)在 0,n的零點個數(shù)為 3.答案：3山東省學(xué)習(xí)指導(dǎo)意見1 .指數(shù)函數(shù)(1) 通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.(2) 理解有理指數(shù)幕的含義，了解實數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握幕的運算.(3) 理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索 并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.2. 對數(shù)函數(shù)(1) 理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，會用換底公式，并能進行運算.(2) 通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解

7、對數(shù)函數(shù)的概念， 利用對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.知道指數(shù)函數(shù) y= ax與對數(shù)函數(shù) y= logax 互為反函數(shù)(a0 ,1).3. 幕函數(shù)1了解幕函數(shù)的概念：結(jié)合函數(shù)y= x, y = x2, y= x3, y=1y= x2的圖象，了解它們的變化x情況.4. 函數(shù)與方程(1) 結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零 點與方程根的聯(lián)系.(2) 了解二分法求方程近似解的圖象，如圖所示,由圖可知，aw1,解得 a1,故選 C.5. 函數(shù)模型及其應(yīng)用(1) 會比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及幕函數(shù)增長差異；結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、 對數(shù)

8、增長等不同函數(shù)類型增長的含義.(2) 了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函數(shù)等)典型例題(1)對于幕函數(shù) y = xa,當 o0 時，y =乂“在(0, +m)上單調(diào)遞增，當a0,且 a 1),X當 0a1 時，y= ax在(-, + )上單調(diào)遞增，1x而選項 B 中的函數(shù) y= 2-x可轉(zhuǎn)化為 y=,因此函數(shù) y= 2-x在(0,+m)上單調(diào)遞減，故選項 B 不符合題意；對于對數(shù)函數(shù) y= logax(a0,且 a* 1),當 0a1 時，y= logax 在(0,+m)上單調(diào)遞增，因此選項 C 中的函數(shù) y= logx 在(0,2+m)上單調(diào)遞減，故選項 C 不符合

9、題意，故選 A.(2)因為 a = Iog27log24= 2, b= log381, c= 0.30.21,所以 cba.故 選 A.1 1 1通解：若 0a1,則 y=r是減函數(shù)，而 y= logax+ 2 是增函數(shù)且其a21圖象過點 2 0 ,結(jié)合選項可知，沒有符合的圖象.故選D.B. y = 2-xC. y=log1X1D.y= X（2） （2019 高考天津卷）已知 a= log27, b = Iog38,c= 0.30.2，則 a, b, c 的大小關(guān)系為(A. cbaB. abcC. bcaD. ca0，且 a豐1）的圖象可能是(【解1C. bcaD. cab優(yōu)解：分別取 a =

10、 2 和 a = 2,在同一坐標系內(nèi)畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象(圖略),通過對比可知選 D.【答案】(1)A (2)A (3)D基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)的取值 ，當?shù)讛?shù) a 的值不確定時，要注 意分 a1和 0a1 時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)；當 0a0 和 亦 0 兩種情況的不同.對點訓(xùn)練1X 沖1 .(一題多解)若函數(shù) f(x)與 g(x)的圖象關(guān)于直線 y= x 對稱，函數(shù) f(x)= 2，則 f(2) + g(4)=( )A . 3B . 4C. 5D. 61x解析：選 D.法一：因為函數(shù) f(x)與 g(x)的圖象關(guān)于直線 y= x

11、 對稱，又 f(x)= -= 2x,所以 g(x)= log2X,所以 f(2) + g(4) = 22+ log24 = 6.1x法二：因為 f(x) = 2.所以 f(2) = 4,即函數(shù) f(x)的圖象經(jīng)過點(2,4),因為函數(shù) f(x)與 g(x)的圖象關(guān)于直線 y= x 對稱，所以函數(shù) g(x)的圖象經(jīng)過點(4, 2),所以 f(2) + g(4) = 4 + 2= 6.71112. (2019 福建五校第二次聯(lián)考)已知 a = log3, b= - , c= log，則 a, b, c 的大小關(guān) 系為()1C. bcaD. cabA. abcB. bac71解析：選 D.a= lo

12、g32, c= log5= log35,由對數(shù)函數(shù) y = log3X 在(0 , +)上單調(diào)遞增，可71x1；得 log35log3log33,所以 ca1.借助指數(shù)函數(shù) y= 4 的圖象易知 b = 4 (0, 1)，故 cab,選 D.83.(2019 貴州教學(xué)質(zhì)量測評改編)已知函數(shù) y= loga(x+ 3) (a0,a豐1)的圖象恒過定點 A,則點 A 的坐標為 _ ;若點 A 也在函數(shù) f(x) = 3x+ b 的圖象上，貝 U f(log32) =_88解析：令 x+ 3 = 1 可得 x=- 2，此時 y= logal 9=- 8，可知定點 A 的坐標為 一 2,8點 A 也在

13、函數(shù) f(x) = 3x+ b 的圖象上，故一 9 = 32+ b，解得 b= 1所以 f(x) = 3x 1，則 f(log32)=3log32 1 = 2 1 = 1.典型例題命題角度一確定函數(shù)零點的個數(shù)或其存在情況0b1 , 0b1 , f(x)= ax+ x b,1所以 f( 1)= 1 b0, a所以 f( 1) f(0)1,答案：一 2,函數(shù)與=1 對稱當 x 0 , 1時，f(x)= x3,所以 f(x)在1, 2上的圖象如圖.令 g(x)= |cosn| f(x) = 0,得 |cosn|= f(x),兩函數(shù) y= f(x)與 y = |cos 的圖象在 上的交點有 5 個.【

14、答案】(1)B (2)C判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1) 直接求零點：令 f(x)= 0,則方程解的個數(shù)即為零點的個數(shù).(2) 利用零點存在性定理：利用該定理還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點.(3) 數(shù)形結(jié)合法：對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形時，常會通過分解轉(zhuǎn)化為兩個能畫出圖象的函數(shù)交點問題.1 32，2命題角度二 已知函數(shù)零點的個數(shù)或存在情況求參數(shù)的取值范圍斑 U (1)(2019 合肥市第二次質(zhì)量檢測|ln x|, x0, )設(shè)函數(shù)f(x)= ex”)，若函數(shù)xW0,g(x)=f(x) b 有三個零點，則實數(shù)A.(1,+s)b 的取值范圍2,C.0U(1,+

15、s)D.(0,1(2)(2019 濟陽模擬)若關(guān)于 x 的方程 ex+ ax a= 0 沒有實數(shù)根，則實數(shù) a 的取值范圍是( )A . ( e2, 0C. ( e, 0B. 0, e2)D. 0, e)【解析】(1)當 x0,得函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一 2, 0,由 fx)0,得函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(m, 2),且易知 x 1 時，f(x)0 成立，a 可以是任意實數(shù);單調(diào)遞減，當 x (2,)時,f x)0 , f(x)單調(diào)遞增，所以當 x= 2 時，f(x)取得極小值，也是最小值 e2,即有a e2.綜上，實數(shù) a 的取值范圍是(e2, 0,故選 A.【答案】(1)D

16、(2)A利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解.轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.對點訓(xùn)練x 11.(2019 長春市質(zhì)量監(jiān)測(一)已知函數(shù) f(x)=與 g(x)=1sinnc,則函數(shù) F(x)=f(x)x 2當 xexx1,令 f(x)=旦,則 f x)=x 1ex(x 2)、20,則 f(x)單調(diào)遞減,即有 f(x)1 時,eQXa-,令 f(x)=-,貝 V f x)=x 1x 1(x 1)ex(x 2)2，當 x (1, 2)時，fx)0 恒成立，即證 ex a(

17、x 1).C. 12D. 16g(x)在區(qū)間2, 6上所有零點的和為()A . 4B . 8解析：選 D.令 F(x) = f(x) g(x)= 0,得 f(x) = g(x),在同一平面直角坐標系中分別畫出函數(shù)1f(x)= 1 + 與 g(x) = 1 sin nc 的圖象，如圖所示,又 f(x), g(x)的圖象都關(guān)于點(2, 1)對稱，x 2結(jié)合圖象可知 f(x)與 g(x)的圖象在2, 6上共有 8 個交點，交點的橫坐標即的零點，且這些交點關(guān)于直線 x = 2 成對出現(xiàn)，由對稱性可得所有零點之和為4X2X2= 16,故選 D.:i V JF J-2 -1 (/1 13456 x2.已知

18、函數(shù) f(x) =蘭kx(e 為自然對數(shù)的底數(shù))有且只有一個零點，則實數(shù) k 的取值范圍x是_.解析：由題意，知 XM0，函數(shù) f(x)有且只有一個零點等價于方程手kx= 0 只有一個根，即方程等=k 只有一個根，設(shè) g(x)QX&=尹，貝V函數(shù) g(x)=二的圖象與直線 y= k 只有一個交點.(2，+O)上為增函數(shù)，g(x)的極小值 g(2)= ，且 XT0時，g(X) +o，XT O時，g(x)T0，X+O時，g(x)T+O，則 g(x)的圖象如圖所示e2答案：0，Q4函數(shù)的實際應(yīng)用典型例題1 4(1)(2019 高考全國卷II)2019 年 1 月 3 日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)

19、人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān) 鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”， 鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上設(shè)因為 gx)=(x 2) ex，所以函數(shù) g(x)在(一OO0)上為增函數(shù)，在(0，2)上為減函數(shù)，在F(x) = f(x) g(x)e2，由圖易知0k0，且 a豐1)的圖象恒過的點是()金 130萬元，在此基12%，則該公司全年投入的研(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05 , lg 1.3 0.11, lg 20.30)A. 2021 年B

20、. 2022 年C. 2023 年D. 2024 年解析：選 B.根據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長的百分率相同，所以，從 2018 年起,每年投入的研發(fā)資金組成一個等比數(shù)列an,其中，首項 ai= 130,公比 q = 1 + 12% = 1.12,所以 an= 130X1.12n1 由 130X1.12n1200 ,兩邊同時取對數(shù)lg 2 - lg 1.3廠，得n1 lg 1.12，又lg 2 lg 1.3 0.30 0.11lg 1.12005=3.8,則 n4.8,即 as開始超過 200,所以 2022 年投入的研發(fā)資金開A . (0, 0)B . (0, 1)C. ( 2, 0)D

21、 . ( 2, 1)100.A. a+ b0B. a+ b1解析：選 C.令 x + 2= 0，得 x= 2,所以當 x= 2 時，y= a0 1 = 0，所以 y= ax+2 1(a0,且 a豐1)的圖象恒過點(一 2, 0).n)B. bacD. cabn解析：選 B.因為 0丄30，所以 0ae0= 1，所n3存n31-3n3 .若 a = log13, b= e , c= Iog3cos ，貝 U (nA. bcaC. abcnn以 b1.因為所以 cac,選 B.24 .已知函數(shù) f(x)= lg +a是奇函數(shù)，且在I xx= 0 處有意義，則該函數(shù)為A.( m,+m)上的減函數(shù) B

22、.( m,+m)上的增函數(shù)C. ( 1 , 1)上的減函數(shù)D . ( 1, 1)上的增函數(shù)2解析：選 D.由題意知，f(0) = lg(2 + a)= 0,所以 a = 1,所以 f(x) = lg11 xx + 1=lg1 xx+ 12令 0,則1x1，排除 A、B，又 y= 1 在(1, 1)上是增函數(shù)，所以f(x)在(1,1 x1 x1)上是增函數(shù)，選 D.5. 20 世紀 30 年代，為了防范地震帶來的災(zāi)害，里克特(C.F.Richter)制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大， 這就是我們常說的里氏震級 M

23、,其計算公式為 M = lg A lg A0，其中 A 是 被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅.已知 5 級地震給人的震感已經(jīng)比較明顯， 則 7 級地震的最大振幅是 5 級地震的最大振幅的()A. 10 倍B . 20 倍C. 50 倍D . 100 倍解析：選 D.根據(jù)題意有 lg A= lg A0+ lg 10Mlg (A0WM).所以 A= A010M,則A0X107A0X105故選 D.6.已知 f(x) = |ln(x+ 1)|,若 f(a) = f(b)(a0D. 2a+ b1解析：選 A.作出函數(shù) f(x)= |ln(x+ 1)|的圖象如圖所示，由 f(a) = f(b

24、)(ab).得一 ln(a + 1) = ln(b+ 1)，即 ab+ a + b= 0,所以 0= ab+ a + b0，又易知一 1a0.所以 a + b + 40，所以 a + b0.故選 A.7 .已知 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)， 且 x0 時，f(x) = In x x+ 1, 為自然對數(shù)的底數(shù))的零點個數(shù)是()則函數(shù) g(x) = f(x) ex(eC. 21 解析：選 C.當 x0 時，f(x)= In x x+ 1, f(x) = -1 =xxx(0,1)時時 f(x)單調(diào)遞減.因此，當x0 時，f(x)max= f(1) = In 1 1 + 1 = 0.根據(jù)J/-1

25、 0-1函數(shù) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)作出函數(shù)y= f(x)與 y= ex的大致圖象如圖所示，觀察到函數(shù)y=f(x)與y= ex的2 + x18. (2019 重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)已知函數(shù) f(x)= 2x+ Iog32，若不等式 f m 3 成立，則實數(shù) m 的取值范圍是()A . (1，+ )1C.0，2B.( 31)2 + x2 + x解析：選 D.由 0 得 x ( 2，2)，又 y= 2x 在(一 2, 2)上單調(diào)遞增，y= Iog3= Iog32 x2 xx 2 + 4=IOg32 x41二 在(2, 2)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)x 2f(x)為增函數(shù)，又 f(1) = 3，所

26、以不1 1等式 f m 3 成立等價于不等式 f m f(1)成立，所以-2m11解得 2m0 時，函數(shù)值 f( 1), f(1), f(2), f(5)中，最小的是 f(2);當 a1 時，方程有兩個實根C.當 k= 0 時，方程有一個實根D .當 k 1 時，方程有實根解析：選 ABD.方程 f(x) = k 化為 exi= k |x|,設(shè) yu e|x|, y2= k |x|.y2= k兇表示斜率為 1 或一1 的直線，折線與曲線y1= e|x|恰好有一個公共點時，k= 1.如圖，若關(guān)于 x 的方程 f(x) = k11.(多選)已知函數(shù)A. 1X12C. x1+ X2X2)，則下列結(jié)論

27、正確的B . X1+ x21解析：選 AC.函數(shù) f(x) = |2x 2|+ b 有兩個零點，即 y=|2x 2|的圖象與直線 y= b 有兩個交點，交點的橫坐標就是X1, X2(X1X2)，在同一平面直角坐標系中畫出y= |2X 2|與 y= b 的圖象如圖所示，可知 1X12 , 2x1X2x2 =2 :2x1 + x2,所以 2x1 + x24，所以 X1+ X2 0 時，有 f(x+ 1) =- f(x),且當 x 0 ,1)時，f(x) = Iog2(x+ 1).下列命題正確的有()A . f(2 016) + f( 2 017) = 0B .函數(shù) f(x)在定義域上是周期為2 的

28、周期函數(shù)C.直線 y= x 與函數(shù) f(x)的圖象有 1 個交點D .函數(shù) f(x)的值域為(一 1 , 1)解析：選 ACD.根據(jù)題意，可在同一平面直角坐標系中畫出直線y= x 和函數(shù) f(x)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象可知，A , f(2 016) + f( 2 017) = 0 正確；B,函數(shù) f(x)在定義域上不是周期函數(shù),所以 B 不正確；C,根據(jù)圖象可知 y= x 與 f(x)的圖象有 1 個交點，所以 C 正確；D，根據(jù)圖象,函數(shù) f(x)的值域是(1, 1)，所以 D 正確.、填空題1 1log261 1所以 f log26 = 2= 2log26= 6,故 f 4 + f Iog26 = 8.答案：814 .已知函數(shù)f(x)是定義在R 上的奇函