概率統(tǒng)計教學(xué)資料-第3章隨機變量的數(shù)字特征2-4節(jié)ppt課件

1、2022-1-311 它反映隨機變量取值的平均程度，是隨機變量的一個重要它反映隨機變量取值的平均程度，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征的數(shù)字特征.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望1,kkkEXx pX離散型( ),x f x dxXEX連續(xù)型1(), ()( ) ( ),kkkg xpXEYE g Xg x f x dxX離散型連續(xù)型2022-1-312根本內(nèi)容：根本內(nèi)容： 一、方差的定義一、方差的定義 二、方差的性質(zhì)二、方差的性質(zhì)第二節(jié)第二節(jié) 方差方差2022-1-313一、方差一、方差 (Variance)1. 問題的導(dǎo)入問題的導(dǎo)入X 8 9 10P 0.1 0.8 0.1 Y 8 9 10 P

2、 0.4 0.2 0.4引例引例 比較甲乙兩個射手的射擊程度比較甲乙兩個射手的射擊程度分析分析31()8 0.19 0.810 0.1iiiE Xx p 31( )8 0.49 0.210 0.4iiiE Yx p 9.0乙9.0甲但是乙射手的動搖性較大, 不夠穩(wěn)定.2022-1-314為了數(shù)學(xué)上的方便，如何描畫這種差別呢？如何描畫這種差別呢？2()iiixE XpP(X=xi)=pi ( i=1,2, )其平均射擊程度為E(X)， 那么他每次射擊的動搖性為或 | xi - E(X) |以 xi-E(X) 2 替代 | xi-E(X) |那么該射手的平均射擊動搖為2)(XEXExi - E(X

3、)設(shè)某射手擊中的環(huán)數(shù)為隨機變量X，其分布律為2022-1-315 稱為 X 的均方差或規(guī)范差。2.方差方差 (Variance 或或 Dispersion).XEXEXD2)()()(XVar)(XD定義定義. 設(shè)X是一隨機變量，那么稱EX-E(X)2稱為X的方差, 記作D(X)即方差的算術(shù)平方根.X)(有相同的量綱。與XD假設(shè)EXE(X)2存在，)Var(X或2022-1-316注注:(2) 方差D(X) 用來表達隨機變量X取值分散的程度,反映了X偏離其數(shù)學(xué)期望E(X)的程度.(3) 假設(shè)D(X)值越大(小)， 表示X取值越分散(集中),以E(X)作為隨機變量X的代表性越差好.0 ;(1)

4、由定義知，D(X)=EX-E(X)22()()D XE XE X方方差差2022-1-3173. 方差的計算方差的計算 kkkpXExXD2)()(, 2 , 1,)(kpxXPXkk的分布列為其中dxxfXExXD)()()(2(1)利用隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式離散隨機變量的方差延續(xù)隨機變量的方差).(的概率密度為其中xfX2022-1-318(2)利用方差公式利用方差公式.22)()()(XEXEXD)(XD)(2XEXE且且E(X2)也存在也存在, 那那么么由于由于)()(222XEXXEXE22)()()(2)(XEXEXEXE.)()(22XEXE定理：設(shè)隨機變量定理：設(shè)隨機變量X

5、的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E(X)存在，存在，2022-1-319),(X解解:,)(XE) 1( . .例例1. 假設(shè)假設(shè))(2XE02!kkekk12!kkekk求求D(X).11)!1(kkkke01!) 1(mmkmmme!00mmmmmeemm)(XD22)()(XEXE2) 1(已求得已求得=E(X),其中其中X ( )2022-1-3110已求得,2)(baXE.322baba.12)(2ab例例2.假設(shè)假設(shè)XU (a, b), 求求D(X).)(2XEdxabxba12)(XD解:22)()(XEXE222)2(3bababa2022-1-3111),exp(X解解:,)(XE22.

6、2例例3. 假設(shè)假設(shè))(2XEdxexx0/12dtettxt022/求D(X).已求得tdet022)2(0022dte tettt)(XD22)()(XEXE222=E(X),其中Xe( 1)2022-1-3112補充：01)(dxexx函數(shù)：函數(shù)有下列結(jié)論);() 1() 1 (; !1)(2)nn.)21(, 1)2() 1 () 3(),(eX例例)(2XEdtettxt022/求D(X).2222! 2)3(2022-1-3113數(shù)；為常CCD, 0)() 1 ().()(D),()(C)2(2XDCXXDCCXD則,是常數(shù)設(shè)二、方差的性質(zhì)二、方差的性質(zhì)(設(shè)以下隨機變量的方差都存在

7、設(shè)以下隨機變量的方差都存在)(CD)(2XECE2CCE證證:. 0證證:)(CXD)(2CXECXE)(2XCECXE)(22XEXCE)(22XEXEC).(2XDC)()()(2CXECXECXD)()(2XDXEXE2022-1-3114證證:)()()(2YXEYXEYXD)()(2YEYXEXE)()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE則與若是兩個隨機變量，YX)3()()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD)()(2)()(YEYXEXEYDXD2022-1-3115則相互獨立與，特別地，若YX. )()()(YDXDYXD證證:)()(2)()()()(YEY

8、XEXEYDXDYDXD)()(2YEYXEXE. )()()(YDXDYXD故)()()()()()()(2YEXEXEYEYEXEXYE0)()()(2YEXEXYE1)(P)(E1X0)()4(XEXXXD，即取常數(shù)以概率的充要條件是2022-1-3116故故 DXi = EXi 2 -(EXi )2 EXi =1p + 0(1-p ) = p,且且 EXi2 = p,那么那么 是是n 次實驗中次實驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，出現(xiàn)的次數(shù)， 1niiXX= p p 2 = p (1 -p) = p q， i=1, 2, n因因 X1, , Xn 相互獨立，相互獨立，1niiDXDX= np q. 顯

9、然顯然 P(Xi=1)= p, P(Xi=0)=1-p, = n p; 1niiEXEX求求E(X)、D(X).解解:例例4. 設(shè)設(shè)X服從二項分布服從二項分布B(n,p),), 2 , 1(., 0, 1niXi不不出出現(xiàn)現(xiàn)A A次次試試驗驗中中i i在在第第出出現(xiàn)現(xiàn)A A次次試試驗驗中中i i在在第第；設(shè)設(shè)Xi為第為第i次實驗中事件次實驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，即出現(xiàn)的次數(shù)，即2022-1-3117U(a, b) exp(exp( ) ) 其其它它,0;,1)(bxaabxf( ) 2a b2()12b a!)(kekXPk B(n, p) (01) (01) p pq np npqkkqpkX

10、P1)(knknkqpCkXP )(1,10,1 , 0qppk1, 10, 1 , 0qppnk, 1 , 0,0k1,0;( )0,0.xexf xx 常用隨機變量的期望與方差常用隨機變量的期望與方差分布分布分布列或密度函數(shù)分布列或密度函數(shù)期望期望方差方差 22022-1-3118例例5.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X有期望有期望E(X)=,方差方差令隨機變量0)(2XDXX*試求)(),(*XDXE*解：解：. 1(規(guī)范化變量)(*XEXEXE)(XE)(*XDXD2XD)()(XDXD. 0一一 、協(xié)方差及其性質(zhì)、協(xié)方差及其性質(zhì) 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)

11、及其性質(zhì)我們先看一個例子。我們先看一個例子。在研討子女與父母的相象程度時，有一項為哪一在研討子女與父母的相象程度時，有一項為哪一項關(guān)于項關(guān)于父親的身高和其成年兒子身高的關(guān)系父親的身高和其成年兒子身高的關(guān)系. .搜集了搜集了10781078個父親及其成年兒子身高的數(shù)據(jù)個父親及其成年兒子身高的數(shù)據(jù), , 畫出了畫出了這里有兩個變量：這里有兩個變量：一個是父親的身高，一個是父親的身高，一個是成一個是成年兒子身高年兒子身高. . 為了研討二者關(guān)系為了研討二者關(guān)系. .英國統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜英國統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜一張散點圖一張散點圖. .從圖上看出從圖上看出: :父親及其父親及其成年兒子身高有關(guān)系成年兒子身高有

12、關(guān)系, ,但沒有明確的函數(shù)關(guān)系但沒有明確的函數(shù)關(guān)系. .特征中，最重要的就是本講要討論的特征中，最重要的就是本講要討論的 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)前面我們引見了隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差，前面我們引見了隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差，數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量在概率意義下的平均值，數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量在概率意義下的平均值，方差那么反映了隨機變量相對于其均值的離散程度，方差那么反映了隨機變量相對于其均值的離散程度，這對我們了解隨機變量有一定的協(xié)助，這對我們了解隨機變量有一定的協(xié)助，YX,隨機變量隨機變量 ，但對于二維但對于二維YX,我們除了關(guān)懷我們除了關(guān)懷 的期望和方差外，的期望和方差外，還希望知

13、道他們的關(guān)系，還希望知道他們的關(guān)系， 在反映分量之間關(guān)系的數(shù)字在反映分量之間關(guān)系的數(shù)字2022-1-3123定義定義.隨機變量隨機變量X與與Y的函數(shù)的函數(shù)X-E(X)Y-E(Y)cov X,YEXE XYE Y()()( ).的數(shù)學(xué)期望存在，的數(shù)學(xué)期望存在， 那么稱其為那么稱其為X與與Y的協(xié)方的協(xié)方差差,cov (X, Y), 即即記作記作EXE XYE Y()( ) = 0假設(shè)兩個隨機變量假設(shè)兩個隨機變量X和和Y是相互獨立的，那么是相互獨立的，那么意味著當(dāng)意味著當(dāng) 時時, X和和Y不獨立。不獨立。EXE XYE Y()( )024 假設(shè)假設(shè)X取值比較大取值比較大(XE(X),Y也較大也較大(

14、YE(Y), 假設(shè)假設(shè)X取值比較小取值比較小(XE(X),Y也較小也較小(Y0;這時這時Cov(X,Y)0;那么那么Cov(X,Y)0. 協(xié)方差協(xié)方差cov(X, Y)=EX-E(X)(Y-E(Y)可了解兩個變量之間變化的關(guān)系可了解兩個變量之間變化的關(guān)系(變化趨變化趨勢在平均意義上而言勢在平均意義上而言): 正的協(xié)方差表示兩個隨機變量傾向于同時取較正的協(xié)方差表示兩個隨機變量傾向于同時取較大值或同時取較小值大值或同時取較小值,負的協(xié)方差反映兩個隨機變量負的協(xié)方差反映兩個隨機變量有相反方向變化的趨勢有相反方向變化的趨勢.2022-1-3125協(xié)方差的簡便計算方法：協(xié)方差的簡便計算方法：)()(YE

15、YXEXE.YEXEXYE)()()()(X,Ycov)()()()(YEXEXYEYXEXYE2022-1-3126協(xié)方差的性質(zhì)1cov(X,Y)=cov(Y,X);2cov(X,c)=0; cov(X,X)=D(X);3cov(aX,bY)=abcov(X,Y) ，a，b為常數(shù)4cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z);5()()( )2cov(, )D XYD XD YX Y但它還受但它還受X X 與與Y Y 本身度量單位的影響本身度量單位的影響. . Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)為了抑制這一缺陷，將為了抑制這一

16、缺陷，將X X與與Y Y規(guī)范化規(guī)范化: :)()()()(),(YDXDYEYXEXEYXR即：即：協(xié)方差的大小在一定程度上反映了協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X X 和和Y Y 相互相互間的關(guān)系，間的關(guān)系，例如：例如：*()( ) ()( )XE XYE YXYD XD Y與協(xié)方差協(xié)方差cov(X*,Y*)稱為稱為X與與Y的相關(guān)系數(shù)，記作的相關(guān)系數(shù)，記作R(X,Y)，)()(),(YDXDYXCov2022-1-3128相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) Correlation coefficientu定義定義 u)0)Y(0)()()(),(DXDYDXDYXCovXY，其中u不相關(guān)不相關(guān) 假假設(shè)假假設(shè) X

17、Y=0，那么稱，那么稱X,Y不相關(guān)。不相關(guān)。u性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè)XY是隨機變量是隨機變量X,Y的相關(guān)系數(shù)，那么有的相關(guān)系數(shù)，那么有 u1|10XY1)(1YX1|20bXaYPXY存在線性關(guān)系以概率與的充要條件是 即Cov(X,Y)=029 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)X與與Y之間有線性關(guān)系時之間有線性關(guān)系時,等號成立等號成立即即 |=1a,b,使使PY=aX+b=1闡明闡明: XY刻劃刻劃X,Y之間的線性相關(guān)程之間的線性相關(guān)程度度|XY|1,那么那么X,Y越接近線性關(guān)系越接近線性關(guān)系|XY|=1,那么那么X,Y存在線性關(guān)系存在線性關(guān)系 當(dāng)當(dāng)XY=0時時,稱稱X與與Y不相關(guān)不相關(guān),那么那么X,Y沒沒有線性關(guān)系

18、有線性關(guān)系2022-1-3130假設(shè)假設(shè)X與與Y相互獨立，那么相互獨立，那么X與與Y一定不一定不相關(guān)相關(guān);分析分析: 假設(shè)假設(shè)X與與Y相互獨立相互獨立)()()(),cov(YEXEXYEYX兩個隨機變量獨立與不相關(guān)的關(guān)系兩個隨機變量獨立與不相關(guān)的關(guān)系不一定成立不一定成立.X與與Y不相關(guān)不相關(guān).反之反之,X與與Y不相關(guān)不相關(guān) cov(X,Y)=0. 0)()()()(YEXEYEXE假設(shè)假設(shè)X與與Y不相關(guān)，不相關(guān)，那么那么0)()()(),cov(YEXEXYEYX)()()(YEXEXYE例例將一枚硬幣反復(fù)擲 n 次，以 分別表示XY與正面向上和反面向上的次數(shù)，求XY與的相關(guān)系數(shù)。解解:XY

19、nYnXXY與滿足故(, )(,)Cov X YCov X nX(, )(,)()Cov X nCov X XD X (, )()1()()( )XYCov X YD XD XD XD Y 2022-1-3132假設(shè)假設(shè) 存在，稱它為存在，稱它為X的的k階中心矩階中心矩.第第4 4節(jié)節(jié) 隨機變量的另幾個數(shù)字特征隨機變量的另幾個數(shù)字特征定義定義. 設(shè)設(shè)X是隨機變量，假設(shè)是隨機變量，假設(shè) 存在，存在，稱它為稱它為X的的k階原點矩階原點矩.kE Xk =(),1, 2,1,2,kE XE Xk( ) ,k=2, EX-E(X)2為方差.特別地，k=1, EX-E(X) =0. .E XD XE X2

20、2()()()特別地，k=1,E(X)為數(shù)學(xué)期望.k=2,E(X2)為2階原點矩,其計算公式分位數(shù)：設(shè)延續(xù)隨機變量分位數(shù)：設(shè)延續(xù)隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x),概率密度為概率密度為f(x),對于恣意正數(shù)(0 1)，假設(shè)2022-1-3133()( )P XxF x( )xf t dt那么稱那么稱x為此分布的下為此分布的下分位數(shù)，記分位數(shù)，記為為_x假設(shè)()1( )P XxF x 那么稱那么稱x為此分布的上為此分布的上分位數(shù)，記分位數(shù)，記為為x( )xf t dt特別地，當(dāng)=0.5時，_0.50.5()()0.5P XxP Xx0.5x則稱為此分布的中位數(shù)。變異系數(shù)變異系數(shù)2022-

21、1-3134D(X)XX()D(X),=.()XXE XE X定義： 設(shè) 是隨機變量，若存在，稱它為 的變異系數(shù)，記為(CV) 即(CV)2022-1-31351. 了解方差的定義：.)()(2XEXEXD2. 熟習(xí)方差的性質(zhì):；為常量CCD, 0)() 1 (；為常量則存在,若CXDCCXDXD),()()()2(2則存在與且相互獨立與若，)()()3(YDXDYX. )()()(YDXDYXD內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)2022-1-3136則為常量,相互獨立,若n2C,C,121,)3(CXXXn. )()(121niiiniiiXDCXCD(|- ( )|)PX E X(5) 假設(shè)E(X) 與 D

22、(X) 存在，對于恣意的正數(shù)2().D X，(4) 對于恣意實數(shù)CR，有E ( X-C )2D( X )當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X)時, E ( X-C )2獲得最小值D(X).有(|- ( )|)PX E X或2()1.D X 2022-1-31373.熟習(xí)一些常見分布的方差 假設(shè)XB(n, p), D(X) = npq;)(),(XDPX 假設(shè) 假設(shè)XU(a, b), ;12)()(2abXD;1)(),(2XDeX 假設(shè)2022-1-31384. 方差的計算方法;)()()(22XEXEXD.)()(2XEXEXD 利用方差的定義: 利用方差的簡化公式： 利用方差的性質(zhì)； 利用常見分布的方差

23、.連續(xù)型離散型,)()(),()()(22dxxfXExxpXExXDiii相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)的意義.,的的線線性性相相關(guān)關(guān)程程度度較較高高較較大大時時當(dāng)當(dāng)YXXY.,的的線線性性相相關(guān)關(guān)程程度度較較差差較較小小時時當(dāng)當(dāng)YXXY.,0不不相相關(guān)關(guān)YXXY和和時時當(dāng)當(dāng) 2022-1-3140習(xí)題三習(xí)題三( P96) : 16、18、191、22、23、25 作業(yè)作業(yè)2022-1-3141備用題備用題1. 判別正誤：判別正誤：(1) 任何隨機變量X都能其計算期望和方差. ( )(2)期望反映的是隨機變量取值的集中位置，方差反映的是隨機變量取值的分散程度。( )(3) 隨機變量X的方差越小，X取

24、值越集中，方差越大，X取值越分散。( )答案: (1) X; (2) ; (3) .2022-1-31422.選擇題 (2)( ),(1)(2)1()XPE XX設(shè)，則且12(3),nXXX設(shè)隨變獨從，機量立，且服同一分布201,niiXXn數(shù)學(xué)為 ，為，令則期望方差(1)( ,),2.4,1.44,XB n pEXDXn p則為( ) A. 4, 0.6 ； B. 6, 0.4； C. 8, 0.3； D. 24, 0.1 A. -1； B. 2； C. 1； D. 3(),()E XD X別為( )分2222.,;.,;.,;.,AB nCD nnn 2022-1-3143(4) 3 ,

25、2 , 1( , 1)(, 1)(,321iXDXEXXXii，相互獨立設(shè))有(則對于任意給定的，02311)| 1(|.iiXPA2311)|131(|.iiXPB2311)|3(|.iiXPC23131)|3(|.iiXPD2022-1-3144分析分析44. 1)(4 . 2)(npqXDnpXE222()() ().E XD XE X22(1)(2)32()3 ()2E XXE XXE XE X(1) 由 XB(n, p)得：解方程組得 n=6, p=0.4, 應(yīng)選B.(2)( ),()().XPE XD X由2022-1-314522322212(1)0,即1.應(yīng)選 C.2022-1-3146321122221111()()()11().nniiiinniiiD XDXDXnnD Xnnn_111111()()()11();nniiiinniiiE XEXEXnnE Xnn應(yīng)選 C.2022-1-3147(4)由題3知：23111().333iiDX311()1;3iiEX321()33.iiDX31()33;iiEX且根據(jù)切比雪夫不等式，應(yīng)選D2022-1-3148 3.假設(shè)有十只同種電器元件,其中只需兩只廢品,裝配儀器時，從這批元件中任取一只，如是廢品,那么扔掉重新任取一只; 如依然是廢品, 那么扔掉再取一只. 試求在取到正品之