極限、連續(xù)與間斷(優(yōu).選)

1、第一章極限、連續(xù)與間斷本章主要知識(shí)點(diǎn)求極限的幾類主要題型及方法 連續(xù)性分析間斷判別與分類連續(xù)函數(shù)的介值定理及應(yīng)用、求極限的七類題型求極限問(wèn)題歸納為七類主要題型，這里介紹前五類，后兩類在相應(yīng)的章節(jié)（洛必達(dá)法則，變限積分）再作相應(yīng)介紹。P x(1)題型 I lim -XPn方法：上下同除以54例 1.1 lim Xxx2X的最咼次冪1解：原式lim -XX丄3X丄X14X例 1.2 lim -3xX22x 33x4 12 23x 1 2x 32解：原式 limXlimXX例 1.3. lim 3X 1X3x 1解：原式=limx=3例 1.4. lim (、一 4x2 x 12x)x解：原式=li

2、mxX 1.4x2 x 1 2x=limx14例 1.5 .limx4x 3x 2x4x 3x 2x解：原式=limx(A1(1)x原式=例 1.6 .limco=x 1 x 1解：原式=1/2例 1.7. xm13x2xx sin x2x 1解：原式=Pn a 0Pn(a)0, Pm (a) 0Pn (a)Pm (a)0(2)題型 II lim Pmx a Pn(x)Pm (a) Pn(a)，J上下分解因式(或洛比達(dá))limx 1x2 2x 3解：原式=lim 心 1)= limx (u 1)(u 1) (x 1)(x 3) x 1例 1.9. lim -x 1 Vx 1解：令u31如，原式

3、=Hm1 U2(u 1)(u u 1)例 1.10.2ax lim 石 x 1 x22x b3x 2解：a+2+b=0.原式=limax2 2x (a 2)(x 1)( x 2)(x 1)( ax a 2)(x 1)(x 2)2a 22a=2,b=-4答案錯(cuò)誤(3)題型IIIlim f (x)g(x)0x a若 lim f (x)0 , g(x)有界x a例 1.11.limx2arccot(sin( x1)解：因?yàn)閍rccot(sin( x21)有界所以原式=0。2 2 例 1.12. limln(1tan x)cos ()x 0x2 2解：因?yàn)?ln(1 tanx) 0 ( x 0 ),

4、cos2()有界,x所以原式=0.例 1.13 .lim 亠sin2006(si n(2006x)解因?yàn)?limxx xlimx0, sin 2006(sin(2006 x)有界;所以原式=0。(4)題型 IV lim(1u 01uu)識(shí)別此類題型尤為重要,主要特征為lim(1 u)vlim(11uv1 u)u未定式.步驟如下:lim uve例 1.14. limxx 2)3x 21)(x解：原式=limx(1(3x 2)limx3x 1 T7(3x 2)33lim=ex3(3 x 2)x 1 例 1.15. limxx2 5x(_2x1)2x2x 3)解：原式=limx1 -3x2xx2 2

5、x3x 23x 2F(2x1)2x 3lim(x=e3x 2)(2x 1)x2 2x 3例 1-16. |xmo(11x2sin x)解：原式=limx 01(1 x2sin x)x2sinxx2 sin(x)1x1(5)題型V等價(jià)無(wú)窮小替換替換公式：(x 0)sin x x tan x x彳 1 21 cosx x2arcsinx xarctanx xx1 x 1 - xnln(1 x) x ex 1 x 替換原則：乘除可換，加減忌換。例 1.17 .xim0sin xx3錯(cuò)解:x x3x=0例 1.18.xim0ln(1 2x)si n(5x)x2eT 1解：原式2x 5x2 =-20x例

6、 1.19.xim0解：原式例 1.20 .31 2x21arcta nx2=!i叫1 23(2x)2x解：令x 8 u，則x 8(題目可能有誤 分子部分的9可能應(yīng)替換為 19)u原式=16 2u 43 27 u 311u 14 _82721 1u=lim - 2 8=u 0 3 1 u3.27答案錯(cuò)誤例 1.21 .limx 0tan x sin xtan3 xxlimx 0tan x(1 cosx) 解：原式=lim廠x 0x312例 1.22. lim (cosx)ln(1 2x)x 0解：原式=x叫（1cosx1cosx 1(cosx 1)_ln(1 2x2)1例 1.23.limxa

7、rcsinx1x2arcta n2x3x2xx(3x2-)lim廠x (2x 1)(1 x2)解：原式=lim -x 2x 13x2-32例 1.2-.tanxsi nx.e elimx 0 cos(x) sin(. 1 x31)解：原式=0。sin x tanx sin x_e (e _1)_cos(x) sin(. 1 x31)=0。tan x sin x e1x3tanx sinx（6）題型VI 洛必達(dá)法則（見導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容）（7）題型VII變上限積分有關(guān)積分（見積分相關(guān)內(nèi)容）、極限應(yīng)用一連續(xù)性分析定義：lim f (x)f (X0)x X)變形:f(X。0) f(Xo 0)f (Xo),

8、其中 f (Xo0）分別表示左、右極限。例 1.25 . f(X)解：lim f (x)x 0sin x,xtan(sin 2x)a,x 0sin x1 0 tan(sin 2x)0，若f (x)在x1-f(0) a ，故20處連續(xù)，求a。1 a2解：f(00)2 . 1 ax sin - xln(1 2x)sin 2xf(0 0)f(x)a lim x2x 0sin1limx 0 sin2xlimx)4 ce由 f(00)f(0 0)f(0)得：1ce 42 1 ln(1 2x)門ax sin, x 0x sin 2x例 1.26. f x b,x 0，若 f (x)在 x 0處連續(xù)，求 a

9、,b,c2/1 X；cc( )x,x 0故b 1,ce4, a為任意實(shí)數(shù)問(wèn)f (x)在x 0是否連續(xù)?例 1.27 f(x)g(X)Si nx,x 0，其中 g(x)為有界函數(shù),0, x 01解：因?yàn)?lim f (x) lim g()sin x 0 f (0)x 0x 0所以，f(x)在x 0處連續(xù)。解：f(1X 11X0)lim f(x)lim -x 1 0X 1limX 1X1X 1X1f(10)linp0f (x)limlimx 1 0x 1 0X 1X 1X1,sin x 1亠 一八亠,亠例1.28 f (x)在x 1可能連續(xù)嗎?x 1不論f (1)取何值，f (x)均不能連續(xù)。1，

10、1、極限應(yīng)用一間斷識(shí)別及分類識(shí)別方法：可能間斷點(diǎn)應(yīng)是其定義域中不能取值的端點(diǎn)或分段點(diǎn)。2 .分類方法：(a)f (x°0)f(x°0) , x0為可去間斷;(b)f (X°0)f (X°0) , X。為第一類間斷,或稱跳躍型間斷;(c)f(X00)、f (X00)至少有一個(gè)不存在,X°為第二類間斷;特別地，若左右極限中至少有一為x(x )tanx，則為第二類無(wú)窮間斷。例 1.29 f (x)解：間斷點(diǎn)為對(duì)于xlim f (x)0，所以X k2i為可去間斷。對(duì)于x，當(dāng)k0，即x0, lim江x 0ta n x0可去間斷;對(duì)于x k，當(dāng)k 1，即

11、xx(x)當(dāng) k 0,1,limX ktan xsin x11例 1.30 . f (x)ex 1x解：間斷點(diǎn)x1 , 0x(x ),lim,x可去間斷;x 0 tan xx k為第n類無(wú)窮間斷。f(10) sin (1)limex1 ex 1 01f(1 0) sin(1) limex 1 0f(x)在x 1為n類無(wú)窮間斷。lim f (x) e 1 , x=0 為可去間例 1.31 . f(x) 2 xln(1 x)(x 3)(x 1)(x 2)解：定義域?yàn)?x 1。間斷點(diǎn)為x 1,x2。因?yàn)榘⑿?，!im2f(x)所以 1, 2均為f(x)的n類無(wú)窮間斷。2 _x 丄例 1.32. f

12、(x)一e2 x解：定義域?yàn)?x2，間斷點(diǎn)為x 2,2對(duì)于x 2 , lim f (x), x 2為第n類無(wú)窮間斷；x 2 0 v 7丄對(duì)于 x 2, lim f(x) - lim 、2 xe2 x , x 2為第n類間斷。x 2 02 x 2 0例 1.33 . f (x)x 1 sin x 11e注：對(duì)x2,2僅考慮了其一個(gè)單側(cè)極限。,x 0,x 0,x 0.解：間斷點(diǎn)是：x k,kZ ,x2 , x=0是可能間斷點(diǎn)。對(duì)于x=0, f(0+0)= e12 ,f(0-0)=,x=0為第n類間斷；對(duì)于x k , k Z ,limf(x)x k,為第n類間斷；對(duì)于x=2,f(2-0)=0,f(2

13、+0)=，為第n類間斷。注：分段函數(shù)左右支分別識(shí)別，分段點(diǎn)單獨(dú)考慮。四、連續(xù)函數(shù)介值定理定理：f(x)在閉區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)，且f(a) f(b) 0，則f(x)在a,b至少有一零點(diǎn)，即存在 c (a,b)，使得f(c) 0。 應(yīng)用此定理需要注意以下幾點(diǎn)：(0)f (x)如何定義。(1) a,b區(qū)間的選擇，在證明題過(guò)程中，有明確的線索。(2) 驗(yàn)證f (x)在閉區(qū)間 a,b上的連續(xù)性，(3) 驗(yàn)證f (x)在兩端的符號(hào)。(4) 此定理不能確定 f (x)是否具有唯一零點(diǎn)，但有唯一性的要求時(shí)，應(yīng)驗(yàn)證f(x)在a,b內(nèi)的單調(diào)性(參見導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分)例1.34 證明：xex 2在0,1內(nèi)有一實(shí)根證：構(gòu)造

14、 f (x) xex 2, x 0,1易知 f(x)在 0,1 上連續(xù)，且 f(0)2 , f (1) e 20，故 f(0) f(1)0,由連續(xù)函數(shù)介值定理知， f(x) 0在0,1有實(shí)根，即命題得證。例1.35 .證明x4 3x2 x 2至少有一正根證明：令 f(x) x4 3x2 x 2 , xf (x)在0,2內(nèi)連續(xù)，且f (0)由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)介值定理得，0,22, f(2)4 , f(0)f (2)0f (x)在0,2至少有一根，即命題得證。五、數(shù)列極限定理：對(duì)充分大的 n成立，anbnCn ,如果lim annlim cn A,n那么limbn例 1.36.Iim(1n21解：因

15、為limlim所以，原式單元練習(xí)題1x a x1. lim ()x x a2.如果f(X)3.5.6.=1/2。2n22_1 n2-)nlimlimcos3x (xf(x) 11(x4.(x3 x1)(x 4)(x 2)12 nn21，n(n2 n)1)n(n 1)22(n1)0，在x 0處連續(xù)，則00)與mxn等價(jià)無(wú)窮小,0)與mxn是等價(jià)無(wú)窮小,的間斷點(diǎn)為2 .x ax b22，則 ax2 3x 2在下列極限中，正確的是(1A. lim xsin 0xx亠.ln(1 2x) C. limx 1 x 101limx 1xm12x xx2 3x 22x xx2 3x 28若 lim | f(x

16、)| |A|那么()x aA lim f (x) Ax aB. lim f(x) Ax aC lim . | f(x)|. |A|x a ''9.在下列極限中，不正確的是(D.以上都不正確A. lim x xin 2x100lim1C. lim x1 xx 1si n2x 2D. lim -x 0 tan3x 310 .計(jì)算下列極限(1)limx4x2 2x 1 2x(2)limx2003x2004 x2cos 2004x 100!(3)limx2x2x x2x2x 1(4)2x211 cosx(5) 011x23x 2ln2 1 2x(6) limx 0 tan xsin 2

17、x2x2(7)limx 23 4x2sin x(8)limxxsi n(x 1) (9) limx 2x2(10)In 1 x2 2x4 limx 0(11)(12)xm02 sin xln 2 xln 22? x13 1 2x211啊23x題目錯(cuò)誤 分子根號(hào)外部分應(yīng)為 -號(hào)而不是+號(hào)11 分析函數(shù)12 .分析f Xlimnx的間斷點(diǎn)，并指明其類型。sin x1 2n的間斷點(diǎn)，并指明其類型。1 x2n13 .分析f Xtan x的間斷點(diǎn)，并指明其類型。x 1 x 3 x14 .分析函數(shù)fsin x 1的間斷點(diǎn)，并指明其類型。415 .證明方程x3x1至少有一正根，有一負(fù)根。16 .證明：方程I

18、n3至少有一正根。17. lim(1. n_1"n218. lim(n22n32n)歷年真考題1、(2001 ) 1、下列極限正確的是( C )1 1 -A. lim(1 -)x e B. lim(1-)x ex 0 xx xC.lim xs in xxD.lim xs in x 0 x2、(2001 )求函數(shù) f(x)(x 1)sinx的間斷點(diǎn)，并指出其類型。1)3、(2002)下列極限中,正確的是(8、A. lim(1 tanx)cotxx 0B.C. lim(1 cosx)secx(2003)在下列極限中，正確的是sin2xA. limx x-lix2 4C. limx 2 x

19、 2D.lim(1nA )1xsi n1x1nf e(2003)(2003)(2003)B. limxlimQ(1已知證明:(2004)A.高階無(wú)窮小C.低階無(wú)窮小x2)1f(x)xxe(2004 )設(shè) f(X)10、( 2004)求函數(shù)1cosx0時(shí),sin (xxx11)，求其間斷點(diǎn)并判斷類型。2在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。2x sin x是關(guān)于x的 (B)B.同階但不是等價(jià)無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小x，則 lim f(x)xf (x)11、( 2005) x=0 是函數(shù)A.可去間斷點(diǎn)C.第二類間斷點(diǎn)x的間斷點(diǎn)并判斷類型。sin x1曲f (x) xsin 的()xB.跳躍間斷點(diǎn)D.連續(xù)點(diǎn)本

20、章測(cè)試題ry g4x x231lg(2x 3)的定義域是。f(x),4 x2 ,|x|2的定義域是,f()sin x,2 x321.2.3.4.5.6.7.&9.1011sin x limsi nx,lim,x 0 xx 2xsin x lim,lim xsin xxx 0x1lim xsin oxxf(x)x、x2 2x1的連續(xù)區(qū)間是:3間斷點(diǎn)是1 lim(- x 1 x 122 x1)若 f (x a) x(x a)，則 f (x)()A. x(xa)B. x(x a)C. (xa)(xa) D . (x a)2設(shè) f(x)ln x ,g(x) x 2，則fg(x)的定義域是(A.

21、 (-2,+)B . -2, + C.(-,2) D.(-,2)設(shè) f(x)xx 1，則當(dāng)x 0且x1時(shí)f1f(x)( )x 1A.BXC .1 xD .xxx 1當(dāng)x 0時(shí)與3x2 x4為同階無(wú)窮小量是()A. xB2.xC3.xD .4 x當(dāng)x 1時(shí)，下列變量中不是無(wú)窮小量的是()A. x21B. x(x 2)1C. 3x22x1 D . 4x 2x1.設(shè) lim(1n2 kn 一) n3e ,則 k ()A. 3/2B.3/2 C . -3/2D.-2/312 .函數(shù)y f (x)在x a點(diǎn)處連續(xù)是A.充要條件B .充分條件Cf (x)在 x.必要條件Da點(diǎn)有極限的(.無(wú)關(guān)條件13 .函

22、數(shù)f (x)廠x1,x21,2,314 .當(dāng)0時(shí),15 . limn3、n3nA. 3x 3 的間斷點(diǎn)是3x 2:BJ1.2xx 3.無(wú)間斷點(diǎn)x的等價(jià)無(wú)窮小量是(.2x29_481n8 1),16 .函數(shù) f(x)ln(x0,1,x1)1,x2,的連續(xù)區(qū)間是(A . 1,B .1,C .1,217.分析yx 3的間斷點(diǎn)并分類。(x4)(x 1)x2118.lim(ax b) 0 ,求 a, b。xx 119.limxG, (xp)(x q)x)2,20.D .1,22,21.22.04_2x_1_3x 22lim也x 0 tan2x23.2x)x24.設(shè) f (x)a x xsin3x2,x0

23、，求a使0f (x)在x 0處連續(xù)。25.設(shè) f(x)3xa,1,0 x 1，若f(x)在()內(nèi)連續(xù)，求a,b的值。26.求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并判別類型。(1) f(x)(2) f (x)2x 112x 1lim -2n(3)x(2x )2cosx 'x 0x1sin 2 x2 1,x 02n x27. 設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)且f (a) f()。28. 設(shè)f (x)在0,1上連續(xù),且0a , f (b) b。試證：在a,b內(nèi)至少存在一個(gè)f(x) 1。證明：在0,1上至少存在一個(gè)f()。29.證明 x5 3x 20在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。30.設(shè) f (x)在上連續(xù)，且 f f

24、(x) x，證明：存在一個(gè) 使得f()本章練習(xí)解答2a1c9c1、e4, aln 4 ln 2 ;2、a 0 ；3、m, n 2224、6、101m -,2a 4,1;43;5、(1)解:原式=limx4x2 2x 1. 4x22x 1(2)解:原式=0(3)解:原式=limx(4)解:原式= limx 0(5)解:原式01(6)解:原式limx(7)解:(8)原式(9 )令原式原式4x22xx2 xx1,28、x22x22x21cosx22x0 x 2x2，得x2u 4V4ux,sinsin，得x12uu，得sin u lim u 0 u(10)原式u24x 2x lim 2 x 0 x2l

25、n(1 x)(11)原式x叫產(chǎn)二limxX2limx2x 1.4x2 2x 12x20!x22limx 1 x 131sinlimu 0limx 0 3xln 22x2x2=e011:u1-u2Zu6ln 21u21u222X1 一 33In2XmoH X2X213 n叫IK(12)解：原式13、解：f x的定義域x 2，間斷點(diǎn)為x 0,1,k,k27 L °lim f xx 0.42 xxlimx 0 x 1 x 3x 3lim f xx 1f 1 01 , f 1 01x 0為可去間斷；當(dāng)k0，即x 0時(shí)，lim f (x) lim1， x 0為可去間斷;x 0x 0 x當(dāng)k0，

26、lim f xx k，x k為II類無(wú)窮間斷1x 10x 112、解：11x1，間斷點(diǎn)為 1,10x 11x 1f101， f 101，x1，I類跳躍間斷；11、解：間斷點(diǎn)為 x k , k Z 。x 1 , I類跳躍間斷。limf x，x k為II類無(wú)窮間斷。x k2214、解：x1為間斷點(diǎn)。sin x 1sin x 1 f1 0 lim1，f 1 0lim1，x 1 01 xx 1 0 x 1x1為1類跳躍間斷。x 1為II類無(wú)窮間斷;4215、證明：構(gòu)造 f (x) x 3x x 1,對(duì)于 x 0,2， f(x)在0,2上連續(xù)，且 f (0)1,f(2)16122110，據(jù)連續(xù)函數(shù)介質(zhì)定

27、理知,在(0,2)方程至少有一正根;同理，對(duì)于x 2,0,f ( 2)16 12 2 150, f (0)10,故在(2,0)方程 至少有一負(fù)根，命題得證。416、證明：構(gòu)造 f(x) xln(x 1) 3,x 0.e1，4f (x)在0,e1連續(xù)，且 f (0)3，f (e4 1) (e4 1)ln(e4) 3 4(e4 1) 3 0，據(jù)閉區(qū)間連續(xù)介值定理得知,在(0, e4 -1)內(nèi)f (x)至少有一正根，即命題得證。17、1 .18、1/3。1.3,222,32.2,3 , 42/423. 1, 0 , 0 , 14.1,33,x 315.26、B 7、A 8、C9、B10、D 11、C

28、12、B13、A14、16、D17.定義域x 3,間斷點(diǎn)為x 1且為第一類無(wú)窮斷點(diǎn)。18.lim x2 1 (ab)(x1) (a lim1)x2(a b)x 1 b 0測(cè)試答案x1,b1。Ax 1xx 1則 a 1,a b 0 ,即 a15、A19 .原式=limx(p q)x pq.(x P)(x q)3 lim2 u32 3_8u x 820 .原式lim 1 2 3 (U 8)u 021.原式=limx 4limx2、x 242,233x lim x 0 2x23.lim (1x 024.limx 025.11)ex x 1ex x 12 ex x 1lim ex 0 x2 ex 1 lim ex 0x2a,limx (sin 3xi0 x得,0 a, f 0 a, f 01, f 12, f 1由連續(xù)性可知f 00 f 01 a