彈性力學(xué)第十一章彈性力學(xué)的變分原理

1、第十一章 彈性力學(xué)的變分原理知識(shí)點(diǎn)靜力可能的應(yīng)力 彈性體的功能關(guān)系 功的互等定理 彈性體的總勢(shì)能 虛應(yīng)力 應(yīng)變余能函數(shù) 應(yīng)力變分方程 最小余能原理的近似解法 扭轉(zhuǎn)問(wèn)題最小余能近似解 有限元原理與變分原理 有限元原理的基本概念 有限元整體分析幾何可能的位移虛位移虛功原理最小勢(shì)能原理瑞利 -里茨 (Rayleigh-Ritz) 法伽遼金(anQp K法h最小余能原理平面問(wèn)題最小余能近似解 基于最小勢(shì)能原理的近似計(jì)算方法 基于最小余能原理的近似計(jì)算方法 有限元單元分析一、內(nèi)容介紹由于偏微分方程邊值問(wèn)題的求解在數(shù)學(xué)上的困難，因此對(duì)于彈性力學(xué)問(wèn)題， 只能采用半逆解方法得到個(gè)別問(wèn)題解答。 一般問(wèn)題的求解是

2、十分困難的， 甚至是 不可能的。因此，開(kāi)發(fā)彈性力學(xué)的數(shù)值或者近似解法就具有極為重要的作用。變分原理就是一種最有成效的近似解法，就其本質(zhì)而言，是把彈性力學(xué)的基 本方程的定解問(wèn)題， 轉(zhuǎn)換為求解泛函的極值或者駐值問(wèn)題， 這樣就將基本方程由 偏微分方程的邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為線性代數(shù)方程組。 變分原理不僅是彈性力學(xué)近似解 法的基礎(chǔ)，而且也是數(shù)值計(jì)算方法，例如有限元方法等的理論基礎(chǔ)。本章將系統(tǒng)地介紹最小勢(shì)能原理和最小余能原理， 并且應(yīng)用變分原理求解彈 性力學(xué)問(wèn)題。最后，將介紹有限元方法的基本概念。本章內(nèi)容要求學(xué)習(xí)變分法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，如果你沒(méi)有學(xué)過(guò)上述課程，請(qǐng)學(xué)習(xí) 附錄3或者查閱參考資料。二、重點(diǎn)1幾何可能的位移

3、和靜力可能的應(yīng)力； 2、彈性體的虛功原理；3、 最小勢(shì)能原理及其應(yīng)用；4、最小余能原理及其應(yīng)用；5、有限元原理 的基本概念。§1.1彈性變形體的功能原理學(xué)習(xí)思路：本節(jié)討論彈性體的功能原理。能量原理為彈性力學(xué)開(kāi)拓了新的求解思路，使 得基本方程由數(shù)學(xué)上求解困難的偏微分方程邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。而功能關(guān)系是能量原理的基礎(chǔ)。首先建立靜力可能的應(yīng)力：，和幾何可能的位移概念；靜力可能的應(yīng)力和幾何可能的位移：可以是同一彈性體中的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀 態(tài)，二者彼此獨(dú)立而且無(wú)任何關(guān)系。建立彈性體的功能關(guān)系。功能關(guān)系可以描述為：對(duì)于彈性體，外力在任意一 組幾何可能的位移上所做的功，等于任意一組

4、靜力可能的應(yīng)力在與上述幾何可能 的位移對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量上所做的功。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、靜力可能的應(yīng)力；2、幾何可能的位移；3、彈性體的功能關(guān)系；4、真實(shí)應(yīng)力和位移分量表達(dá)的功能關(guān)系。1、靜力可能的應(yīng)力假設(shè)彈性變形體的體積為 V，包圍此體積的表面積為S。表面積為S可以分 為兩部分所組成：一部分是表面積的位移給定，稱為Su；另外一部分是表面積的 面力給定，稱為S 0如圖所示顯然S=Su+Sc假設(shè)有一組應(yīng)力分量 刁 在彈性體內(nèi)部滿足平衡微分方程在面力已知的邊界S；，滿足面力邊界條件這一組應(yīng)力分量稱為靜力可能的應(yīng)力。靜力可能的應(yīng)力未必是真實(shí)的應(yīng)力， 因?yàn)檎鎸?shí)的應(yīng)力還必須滿足應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程，但是真實(shí)的應(yīng)

5、力分量必然 是靜力可能的應(yīng)力。為了區(qū)別于真實(shí)的應(yīng)力分量，我們用），表示靜力可能的應(yīng)力分量。2、幾何可能的位移假設(shè)有一組位移分量Ui和與其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量；ij，它們?cè)趶椥泽w內(nèi)部滿足幾 何方程在位移已知的邊界Su上，滿足位移邊界條件這一組位移稱為幾何可能的位移。幾何可能的位移未必是真實(shí)的位移，因?yàn)?真實(shí)的位移還必須在彈性體內(nèi)部滿足位移表示的平衡微分方程；在面力已知的邊界S匚上，必須滿足以位移表示的面力邊界條件。但是，真實(shí)的位移必然是幾何 可能的。為了區(qū)別于真實(shí)的位移，用 ；表示幾何可能的位移。幾何可能的位移產(chǎn)生的應(yīng)變分量記作二。3、彈性體的功能關(guān)系對(duì)于上述的靜力可能的應(yīng)力，、幾何可能的位移以及其對(duì)

6、應(yīng)的應(yīng)變分 量顯，設(shè)Fbi和Fs分別表示物體單位體積的體力和單位面積的面力（面力也 包括在位移邊界Su的約束反力）。則不難證明，有以下恒等式證明：由于-，和二滿足幾何方程，而且應(yīng)力是對(duì)稱的，所以 將上式代入等式的右邊，并且利用高斯積分公式，可得 由于滿足面力邊界條件，上式的第一個(gè)積分為 由于滿足平衡微分方程，所以第二個(gè)積分為 將上述結(jié)果回代，可以證明公式為恒等式。4、真實(shí)應(yīng)力和位移分量表達(dá)的功能關(guān)系公式 jjj恥w叩恥:吐寓少 揭示了彈性體的功能關(guān)系。功能關(guān)系可以描述為：對(duì)于彈性體，外力在任意一組幾何可能位移上所做的 功，等于任意一組靜力可能應(yīng)力在上述幾何可能位移對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量上所做的 功。這

7、里需要強(qiáng)調(diào)指出的是：對(duì)于功能關(guān)系的證明，沒(méi)有涉及材料的性質(zhì)，因此 適用于任何材料。當(dāng)然，證明時(shí)使用了小變形假設(shè)，因此必須是滿足小變形條件。其次，功能關(guān)系中，靜力可能的應(yīng)力二八幾何可能的位移；以及其對(duì)應(yīng)的 應(yīng)變分量*，可以是同一彈性體中的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，二者彼 此獨(dú)立而且無(wú)任何關(guān)系。假如靜力可能的應(yīng)力和幾何可能的應(yīng)變分量二滿足材料本構(gòu)方程時(shí)，則 對(duì)應(yīng)的靜力可能的應(yīng)力二、和幾何可能的位移：以及其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量二均成 為真實(shí)的應(yīng)力，位移和應(yīng)變分量。對(duì)于真實(shí)的應(yīng)力，位移和應(yīng)變分量，功能關(guān)系 為顯然這是應(yīng)變能表達(dá)式。不過(guò)在應(yīng)變能公式中，假設(shè)外力，即體力和面力是 由零緩慢地增加到最后的數(shù)值的

8、，因此應(yīng)變能關(guān)系式中有1/2。而在功能關(guān)系公式的推導(dǎo)中，并沒(méi)有這一加載限制。功能關(guān)系是彈性力學(xué)中的一個(gè)普遍的能量關(guān)系，這一原理將用于推導(dǎo)其它的 彈性力學(xué)變分原理。§1.2變形體的虛功原理學(xué)習(xí)思路：本節(jié)討論的重點(diǎn)是彈性體的虛功原理。首先定義虛位移概念，通過(guò)將幾何可能的位移定義為真實(shí)位移與虛位移的 和，可以確定虛位移是位移邊界條件所容許的位移微小改變量。對(duì)于虛位移所產(chǎn)生的虛應(yīng)變，記作-Tj。根據(jù)彈性體的功能關(guān)系，可以得到虛功方程表達(dá)式W = U。虛功方程的意義為：如果彈性體是處于靜力平衡狀態(tài)的，外力在虛位移上所 做的虛功，等于真實(shí)應(yīng)力分量在對(duì)應(yīng)的虛應(yīng)變上所做的虛功，即虛應(yīng)變能。這就是虛功

9、原理。虛功原理等價(jià)于平衡微分方程和面力邊界條件，它滿足了靜力平衡的要求。學(xué)習(xí)要點(diǎn):1、虛位移與虛應(yīng)變；2、虛功原理；3、虛功原理的意義1、虛位移與虛應(yīng)變功是指力與力作用點(diǎn)處沿力方向位移的乘積。顯然，功包括力和位移兩個(gè)基 本量。如果力或者應(yīng)力在其自身引起的真實(shí)位移或者應(yīng)變上作功，這種功稱為實(shí)功；如果力或者應(yīng)力在其他某種原因引起的微小位移或者應(yīng)變上作功，這種功稱為虛功。設(shè)幾何可能的位移為這里Ui為真實(shí)位移，稱為虛位移。虛位移是位移邊界條件所容許的位移 的微小改變量。由于幾何可能的位移在邊界 Su上，應(yīng)該滿足位移邊界條件，因 此，邊界Su,有d ui=0將幾何可能位移公式代入幾何方程顯然，上式右邊的

10、第一項(xiàng)是真實(shí)應(yīng)變，而第二項(xiàng)是虛位移所產(chǎn)生的虛應(yīng)變， 記作：帀。因此，上式可以寫(xiě)作幾何可能的位移對(duì)應(yīng)的應(yīng)變可以用真實(shí)應(yīng)變與虛位移所產(chǎn)生的虛應(yīng)變之和 表示。2、虛功原理如果用虛位移表達(dá)的幾何可能位移二譏；丄、和真實(shí)應(yīng)力作為靜力可 能應(yīng)力代入功能關(guān)系表達(dá)式 jjj恥W + jJ恥訂0罔少，注意到¥ $ ¥真實(shí)應(yīng)力和位移是滿足功能關(guān)系的，因此可以得到用虛位移 Ui和虛應(yīng)變；ij表 達(dá)的虛功方程上式中應(yīng)力分量為實(shí)際應(yīng)力。注意到在位移邊界Su上，虛位移是恒等于零的， 所以在上述面積分中僅需要在面力邊界 S；：.上完成。就力學(xué)意義而言，虛功原理表達(dá)式的等號(hào)的左邊為外力在虛位移中所做的 功

11、，稱為外力虛功 W ;右邊為應(yīng)力分量在虛位移對(duì)應(yīng)的虛應(yīng)變上產(chǎn)生的應(yīng)變能， 稱為虛應(yīng)變能 U 。即、W = U根據(jù)上述分析，可以得出結(jié)論：如果彈性體是處于靜力平衡狀態(tài)的，對(duì)于滿足變形連續(xù)條件的虛位移及其虛應(yīng)變而言， 外力在虛位移上所做的虛功，等于真實(shí)應(yīng)力分量在對(duì)應(yīng)的虛應(yīng)變上所做的虛功，即虛應(yīng)變能。這就是虛功原理 3、虛功原理的意義對(duì)于虛功方程.-，其右邊的積分可以寫(xiě)作上式在推導(dǎo)中應(yīng)用了在位移邊界 S 上，- ui二0的邊界條件?，F(xiàn)在將上式回 代到虛功方程，整理可得 因?yàn)樘撐灰芔i是任意的，因此上式的成立，要求在彈性體內(nèi) 在位移已知邊界Su上，有顯然，虛功原理等價(jià)于平衡微分方程和面力邊界條件，它滿

12、足了靜力平衡的 要求。應(yīng)該指出：虛功原理的推導(dǎo)并沒(méi)有涉及任何材料性質(zhì)，因此適用于任何材 料。當(dāng)然，由于使用了小變形假設(shè)，即線性的幾何方程，因此虛功原理必須是在 小變形條件下適用于任何材料。除此以外應(yīng)力和應(yīng)變分量之間不需要滿足任何關(guān) 系。§11.3功的互等定理學(xué)習(xí)思路：本節(jié)討論功的互等定理。定理的證明比較簡(jiǎn)單，將功能方程應(yīng)用于同一彈性 體的兩種不同的受力和變形狀態(tài)，則可以得到功的互等定理。它是彈性體功能原 理的另一種應(yīng)用形式。功的互等定理可以描述為：作用在彈性體上的第一種狀態(tài)的外力，包括體力 和面力，在第二種狀態(tài)外力對(duì)應(yīng)的位移上所做的功為例，等于第二種狀態(tài)的外力在第一種狀態(tài)對(duì)應(yīng)的位移上

13、所做的功。功的互等定理是一個(gè)十分重要的力學(xué)概念。 它的應(yīng)用可以幫助我們推導(dǎo)和理 解有關(guān)的有關(guān)的力學(xué)公式和概念，同時(shí)也可以直接用于求解某些彈性力學(xué)問(wèn)題。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、功的互等定理1、功的互等定理如果將功能方程工附Jd!|丁宀丄,應(yīng)用于同一彈性體 的兩種不同的受力和變形狀態(tài)，貝冋以得到功的互等定理。假設(shè)第一種狀態(tài)的體力為 .，在面力邊界s；：上的面力為 ,在位移已知的 邊界Su的位移為匚，彈性體內(nèi)部的應(yīng)力，應(yīng)變和位移分別為久匚 亠； 第二種狀態(tài)的體力，面力，應(yīng)力，應(yīng)變和位移分別為，.， 丁 1。由于兩種狀態(tài)的應(yīng)力和應(yīng)變分量都是真實(shí)解，所以它們當(dāng)然也就是靜力可能的和幾何可能的?，F(xiàn)在把第一種狀態(tài)的應(yīng)力

14、作為靜力可能的應(yīng)力，而把第二種狀態(tài)的位移和應(yīng) 變作為幾何可能的位移和應(yīng)變。將上述兩種狀態(tài)的應(yīng)力和位移分別代入功能方 程，有同理，把第二種狀態(tài)的應(yīng)力取為靜力可能的應(yīng)力，而把第一種狀態(tài)的位移和 應(yīng)變作為幾何可能的位移和應(yīng)變分別代入功能方程，有 對(duì)于上述公式的右邊，由于所以上式稱為功的互等定理。功的互等定理可以敘述為：作用在彈性體上的第一 種狀態(tài)的外力，包括體力和面力，在第二種狀態(tài)對(duì)應(yīng)的位移上所做的功等于第二 種狀態(tài)的外力在第一種狀態(tài)對(duì)應(yīng)的位移上所做的功。功的互等定理是一個(gè)十分重要的力學(xué)概念。主要用于推導(dǎo)有關(guān)的力學(xué)公式， 也可以直接用于求解力學(xué)問(wèn)題。§11.4位移變分方程-最小勢(shì)能原理學(xué)習(xí)

15、要點(diǎn)：本節(jié)討論最小勢(shì)能原理。首先根據(jù)虛功原理推導(dǎo)應(yīng)變能的一階變分表達(dá)式， 然后根據(jù)任意幾何可能位移場(chǎng)與真實(shí)位移場(chǎng)的總勢(shì)能的關(guān)系，得到真實(shí)位移場(chǎng)的 總勢(shì)能取最小值的結(jié)論。最小勢(shì)能原理用數(shù)學(xué)方程描述：總勢(shì)能的一階變分為零，而且二階變分大于 零。最小勢(shì)能原理等價(jià)于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力邊界 條件，所以，對(duì)于一些按實(shí)際情況簡(jiǎn)化后的彈性力學(xué)問(wèn)題，可以通過(guò)最小勢(shì)能原理推導(dǎo)出其對(duì)應(yīng)的平衡微分方程和面力邊界條件。本節(jié)通過(guò)例題對(duì)此作了說(shuō) 明。推導(dǎo)中設(shè)應(yīng)變能密度函數(shù)是應(yīng)變分量的函數(shù)，因此最小勢(shì)能原理是位移解法 在變分原理中的應(yīng)用。進(jìn)入本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)之前，應(yīng)該首先學(xué)習(xí)有關(guān)泛函和變分的基礎(chǔ)知識(shí)。學(xué)習(xí)

16、思路：1、總勢(shì)能；2、總勢(shì)能的變分；3、最小勢(shì)能原理；4、最小勢(shì)能原理推導(dǎo)彎曲問(wèn)題的平衡微分方程和面力邊界條件； 5、最小勢(shì)能原理推導(dǎo)扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的平衡微分方程和面力邊界條件 。1、總勢(shì)能下面根據(jù)虛功方程推導(dǎo)僅應(yīng)用于彈性體的最小勢(shì)能原理。設(shè)應(yīng)變能密度函數(shù)是應(yīng)變分量的函數(shù)，則應(yīng)變能密度函數(shù)的一階變分為 上式推導(dǎo)中，應(yīng)用了格林公式，將上式代入虛功方程，則上式表示外力虛功等于彈性體應(yīng)變能的一階變分。定義外力勢(shì)能為注意到虛位移與真實(shí)的應(yīng)力無(wú)關(guān)，因此在虛位移過(guò)程中外力保持不變，即變 分與外力無(wú)關(guān)。而且積分和變分兩種運(yùn)算次序可以交換的，所以外力勢(shì)能的一階 變分可以寫(xiě)作 回代可得其中Et稱為總勢(shì)能，它是應(yīng)變分量

17、的泛函。由于應(yīng)變分量通過(guò)幾何方程可 以用位移分量表示，所以總勢(shì)能又是位移分量的泛函。公式表明，在所有幾何可能的位移中，真實(shí)位移將使彈性體總勢(shì)能的一階變 分為零，因此真實(shí)位移使總勢(shì)能取駐值。2、總勢(shì)能的變分以下證明：對(duì)于彈性體的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，總勢(shì)能將取最小值。將幾何可能位移對(duì)應(yīng)的應(yīng)變代入總勢(shì)能表達(dá)式，可以得到幾何可能位移對(duì)應(yīng) 的總勢(shì)能 將上式減去真實(shí)應(yīng)變分量的總勢(shì)能，可得將-按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并略去二階以上的小量，有回代可得由于總勢(shì)能的一階變分為零，因此3、最小勢(shì)能原理總勢(shì)能的二階變分為由于由于應(yīng)變能密度函數(shù)為正定函數(shù)，即只有在所有的應(yīng)變分量全部為零時(shí)其才可能 為零，否則總是大于零的，因此所以以上

18、證明了在所有的可能位移場(chǎng)中，真實(shí)位移場(chǎng)的總勢(shì)能取最小值。所以這 一原理稱為最小勢(shì)能原理。數(shù)學(xué)描述即總勢(shì)能的一階變分為零，而且二階變分是 正定的(大于零)。必須強(qiáng)調(diào)指出的是，真實(shí)位移與其他的可能位移之間的差別在于是否滿足靜 力平衡條件，所以說(shuō)最小勢(shì)能原理是用變分形式表達(dá)的平衡條件。通過(guò)總勢(shì)能的一階變分為零，可以推導(dǎo)出平衡微分方程和面力邊界條件，這 和虛功原理是相同的，即最小勢(shì)能原理也等價(jià)于平衡微分方程和面力邊界條件。虛功原理和最小勢(shì)能原理之間的差別在于：虛功原理不涉及本構(gòu)關(guān)系，適用 于任何材料，只要滿足小變形條件；最小勢(shì)能原理除了小變形條件之外， 還需要 滿足應(yīng)變能密度函數(shù)表達(dá)的本構(gòu)關(guān)系，因此僅

19、限于線性和非線性彈性體。最后，將最小勢(shì)能原理完整的敘述為：在所有幾何可能位移中，真實(shí)位移使 得總勢(shì)能取最小值。該方法是以位移函數(shù)作為基本未知量求解彈性力學(xué)問(wèn)題的。 當(dāng)然，選擇的位移函數(shù)必須是在位移已知的邊界上滿足位移邊界條件，對(duì)于面力邊界是不需要考慮的，因?yàn)槊媪吔鐥l件是會(huì)自動(dòng)滿足的。4、最小勢(shì)能原理推導(dǎo)彎曲問(wèn)題的平衡微分方程和面力邊界條件例2：圖示直梁，分布載荷q(x)作用在軸線所在的鉛垂平面內(nèi)。用最小勢(shì)能 原理推導(dǎo)問(wèn)題的平衡微分方程和面力邊界條件。解：該梁為超靜定結(jié)構(gòu)。在梁的端面，施加適當(dāng)?shù)募s束使梁不能產(chǎn)生剛體位 移，施加適當(dāng)?shù)募袅蛷澗?，使梁保持平衡。設(shè)w(x)表示梁的撓度，表示梁軸線變

20、形后的曲率半徑，則梁的應(yīng)變能為由于，并且注意到對(duì)于小變形問(wèn)題，所以上式可以寫(xiě)作本問(wèn)題的面力邊界為梁的上下表面，作用分布載荷 q(x)，則外力功為 梁的總勢(shì)能為對(duì)上式作一階變分并且令其為零，有整理可得因此上述關(guān)系式的第1式即問(wèn)題的平衡方程，第2, 3和4式為梁邊界條件。 以上根據(jù)最小勢(shì)能原理推導(dǎo)出梁的彎曲問(wèn)題對(duì)應(yīng)的平衡微分方程和面力邊 界條件。5、最小勢(shì)能原理推導(dǎo)扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的平衡微分方程和面力邊界條件。例3：應(yīng)用最小勢(shì)能原理推導(dǎo)柱體扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的基本方程和邊界條件。解：對(duì)于柱體扭轉(zhuǎn)的位移解法，位移分量用扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)表示為 與上述位移分量對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為由于其他的應(yīng)力分量全部為零，所以柱體的應(yīng)變能為令則

21、由于柱體的側(cè)表面不受外力的作用，不存在外力功的問(wèn)題。在端面上，作用 有扭矩T,產(chǎn)生扭矩的是x和y方向的面力Fsx和Fsy,而z方向的面力Fsz為零 根據(jù)柱體扭轉(zhuǎn)的位移表達(dá)式，本問(wèn)題的虛位移為、u=0,、v=0,、w='碎因此，柱體所有表面的外力虛功均為零。根據(jù)最小勢(shì)能原理所以即爲(wèi)=2口 （器卩疋孵）+（器七疋（畀吐®¥dx dyoy=2JI礙K讐 刃呦*專"罟 5網(wǎng)地如 川 滬勵(lì)沁二0利用高斯積分公式，上式簡(jiǎn)化為由于從是任意的，所以上式成立的條件為顯然，這和第九章中導(dǎo)出的扭轉(zhuǎn)函數(shù)所要滿足的平衡微分方程和面力邊界條 件是相同的。§1.5最小勢(shì)能原理

22、的應(yīng)用學(xué)習(xí)要點(diǎn) :最小勢(shì)能原理是彈性力學(xué)問(wèn)題近似解法的基礎(chǔ)。這一原理要應(yīng)用于實(shí)際問(wèn) 題，必須有對(duì)應(yīng)的求解方法。首先建立以級(jí)數(shù)形式表達(dá)的位移試函數(shù)， 選擇的位移試函數(shù)必須滿足位移邊 界條件，它是幾何可能的。根據(jù)位移試函數(shù)可以確定應(yīng)變分量以及總勢(shì)能Et 的表達(dá)式。注意到總勢(shì)能Et原為位移的泛函，寫(xiě)作成為待定系數(shù) Am,Bm和Cm的二 次函數(shù)。這樣就把求解泛函的駐值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成為求解函數(shù)的極值問(wèn)題。根據(jù)上述原則推導(dǎo)的近似解法稱為瑞利 -里茨法。 如果選擇的位移試函數(shù)不僅滿足位移邊界條件，而且滿足面力邊界條件，則 求解公式將進(jìn)一步簡(jiǎn)化。稱為伽遼金法最后舉例說(shuō)明瑞利 -里茨法和伽遼金法的應(yīng)用。學(xué)習(xí)思路：

23、1、位移試函數(shù)； 2、瑞利-里茨法； 3、伽遼金法； 4、簡(jiǎn)支梁彎曲問(wèn) 題； 5、矩形板； 6、扭轉(zhuǎn)問(wèn)題。1、位移試函數(shù)最小勢(shì)能原理的主要用途并非推導(dǎo)平衡微分方程和面力邊界條件， 它是彈性 力學(xué)問(wèn)題近似解法的基礎(chǔ)。 如果要使得某個(gè)原理要應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題， 必須有對(duì)應(yīng) 的求解方法。 本節(jié)介紹基于最小勢(shì)能原理的兩種近似解法：瑞利-里茨 (Rayleigh-Ritz)法和伽遼金(ranep 法u h根據(jù)最小勢(shì)能原理，如果能夠列出所有的幾何可能位移，那么使總勢(shì)能ni取最小值的那一組位移就是真實(shí)位移。 問(wèn)題是列出所有幾何可能的位移是非常困 難的，甚至是不可能的。因此，對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算，只能憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)

24、縮小尋找范圍，在這個(gè)范 圍內(nèi)的一族幾何可能的位移中，找到一組位移使得總勢(shì)能Et 最小。雖然這一組位移一般的說(shuō)并不是真實(shí)的，但是可以肯定，它是在這個(gè)縮小的 給定范圍內(nèi)部，與真實(shí)位移最為接近的一組位移，由此解答可以作為近似解。從上述思想出發(fā)，在一般情況下，可以將位移分量選擇為如下的形式其中，Am ,Bm和Cm均為任意的常數(shù)；UO,V0和W0以及Um ,Vm和Wm都是坐標(biāo)的已知函數(shù)，并且在位移邊界 Su上，有這樣構(gòu)造的位移試函數(shù)，不論系數(shù) Am, Bm和Cm取何值，總是滿足位移邊界 條件的。而且對(duì)于連續(xù)函數(shù)，必然滿足幾何方程。因此滿足幾何可能位移的條件。2、瑞利-里茨法現(xiàn)在的問(wèn)題是將要如何選擇待定系

25、數(shù) Am, Bm和Cm,使得總勢(shì)能口1在位移 表達(dá)式表示的這一族位移中取最小值。為此，將位移表達(dá)式代入幾何方程求得應(yīng)變分量，然后代入總勢(shì)能ni的表達(dá)式，注意到應(yīng)變能密度函數(shù)是應(yīng)變分量的齊二次函數(shù)，因此總勢(shì)能ni表達(dá)式的第一個(gè)積分成為待定系數(shù) Am，Bm和Cm的齊二次函數(shù)，而第二和第三個(gè)積分 為Am，Bm和Cm的一次函數(shù)。于是，總勢(shì)能 Et原本是自變函數(shù)的泛函，現(xiàn)在成 為待定系數(shù)Am， Bm和Cm的二次函數(shù)。這樣就把求解泛函的極值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成為求解函數(shù)的極值問(wèn)題?？倓?shì)能Et取極值的條件為總勢(shì)能Et取極值的條件又可以寫(xiě)作上述公式是一組以Am，Bm和Cm (m=1，2, 3)為未知數(shù)的線性非齊次代

26、數(shù)方程組，求解方程可得待定系數(shù)，回代就可以得到近似位移解答。 這一方法稱 為瑞利一里茨法。3、伽遼金法下面討論伽遼金(ranep)k法。h注意到應(yīng)變能的一階變分可以寫(xiě)作 將上式回代最小勢(shì)能原理，整理可得如果選擇的位移試函數(shù)不僅在位移邊界上滿足位移邊界條件， 而且在面力邊界上 滿足面力邊界條件，即位移試函數(shù)滿足全部的邊界條件， 則上式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化 為上式展開(kāi)可以寫(xiě)作將位移函數(shù)表達(dá)式代入幾何方程求得應(yīng)變分量，再根據(jù)物理方程求出應(yīng)力分量代 入上式，并且注意到將上述結(jié)果代入虛功方程，可得由于-Am，'Bm和'Cm彼此獨(dú)立而且是完全任意的，所以上式成立的條件為由于應(yīng)力分量為 Am， B

27、m和Cm的線性函數(shù)，所以上述公式為 Am， Bm和Cm 的線性非齊次代數(shù)方程組。解出待定系數(shù)代入公式就得到位移函數(shù)的近似解答， 這種方法稱為伽遼金法。4、簡(jiǎn)支梁彎曲問(wèn)題例4:兩端簡(jiǎn)支的等截面梁，受均勻分布載荷q作用如圖所示。試求解梁的撓度w（ X）。解：首先使用瑞利一里茨法求解。為了滿足梁的位移邊界條件，即簡(jiǎn)支梁兩端的約束條件 ：在x=0和I處， w=0,取位移試函數(shù)，即撓曲線方程為問(wèn)題的總勢(shì)能為即 _根據(jù)-：，所以所以回代到位移公式，可得撓曲線表達(dá)式是無(wú)窮級(jí)數(shù)，它給出了本問(wèn)題的精確解答。這個(gè)級(jí)數(shù)收斂很快， 只要取少數(shù)幾項(xiàng)就可以得到足夠的精度。最大撓度在梁的中點(diǎn)，即' 處，因此如果取一

28、項(xiàng)，有。這一結(jié)果與精確值十分接近。由于上述位移試函數(shù)表示的撓曲線方程在求二階導(dǎo)數(shù)后仍為正弦函數(shù)，所以二階導(dǎo)數(shù)在x=0和x=l處仍舊為零。本問(wèn)題的靜力邊界條件是梁的絞支處彎矩為 0,所以該表達(dá)式也滿足面力邊 界條件，因此這一試函數(shù)也可以應(yīng)用于伽遼金法求解。注意到將位移試函數(shù)公式代入上式并且積分，可以得到與瑞利一里茨法相同的結(jié)果。5、矩形板例5:圖示矩形薄板，四邊固定，受有平行于板面的體力作用。設(shè)坐標(biāo)軸如 圖所示，試用瑞利一里茨法求解。解：設(shè)位移試函數(shù)為上式中m和n為正整數(shù)，在邊界x=0， a，和y=0， b上, u=v=0，所以試函數(shù)滿 足位移邊界條件。由于問(wèn)題屬于平面應(yīng)力問(wèn)題，所以 因此將位移

29、試函數(shù)代入上述公式求導(dǎo)數(shù)后再積分，并且注意到方程a Q.-va b由此可見(jiàn)，只要體力的分布是已知的，通過(guò)積分即可以求得待定系數(shù)Amn和Bmn，從而位移分量可以求解，根據(jù)幾何方程可以得到應(yīng)變分量，再由物理方程 求出應(yīng)力分量。例6 :圖示矩形薄，板，三邊固定，而另外一條邊的位移給定為 u = 0, v = -?7sin ，a受有平行于板面的體力作用。設(shè)坐標(biāo)軸如圖所示，試用伽遼金法求解。解：設(shè)位移試函數(shù)為位移試函數(shù)滿足位移邊界條件。由于問(wèn)題沒(méi)有面力邊界條件，因此我們可以認(rèn)為位移試函數(shù)滿足面力邊界條件，即可以采用伽遼金方法求解。由于問(wèn)題屬于 平面應(yīng)力問(wèn)題，有將位移試函數(shù)代入上式，積分后可得積分后，求解

30、關(guān)于 Amn和Bmn的線性方程組則問(wèn)題可解。如果=0，則問(wèn)題與例5完全相同。本問(wèn)題當(dāng)然可以采用瑞利一里茨法求解。但是，一般的講，使用伽遼金法求 解相對(duì)的工作量要小一些。6、扭轉(zhuǎn)問(wèn)題例7：應(yīng)用瑞利一里茨法求解橢圓截面柱體和矩形截面柱體的扭轉(zhuǎn)函數(shù)x,y）。解：柱體的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題歸結(jié)為求解變分方程，其中Io由公式確定。對(duì)于橢圓截面柱體，根據(jù)其扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面的翹曲情況，設(shè)扭轉(zhuǎn)函數(shù)為：-；J（X，y）=Axy。其中A為任意常數(shù)。將上式代入公式，積分后可得4。Io本來(lái)是泛函，它取極值的必要條件是一階變分為零， 但現(xiàn)在Io是A的函數(shù)， 其取極值的必要條件為所以因此 對(duì)于矩形截面桿，同樣根據(jù)橫截面的翹曲，設(shè)扭轉(zhuǎn)函數(shù)

31、為將上式代入公式，積分后可得所以 求解可得 將上述待定系數(shù)代入公式，可得扭矩為16GV105(a4 +&*) + 1234a26a45(? +i2)7(a4 +i4) +1007?df最大切應(yīng)力發(fā)生在長(zhǎng)邊的中點(diǎn)，即 上述結(jié)果與精確解很接近。§11.6應(yīng)力變分方程-最小余能原理學(xué)習(xí)思路:如果設(shè)能量為應(yīng)力分量的泛函，則可以得到應(yīng)變余能的定義。將靜力可能的應(yīng)力表示為真實(shí)應(yīng)力與虛應(yīng)力、或者說(shuō)應(yīng)力變分之和。根據(jù)定義，虛應(yīng)力滿足無(wú)體力的平衡微分方程和無(wú)面力的面力邊界條件。 將應(yīng)力試函數(shù) 代入功能方程，并且用真實(shí)位移替代幾何可能的位移，就可以得到應(yīng)力變分方程 -最小余能原理。對(duì)于穩(wěn)定的平衡

32、狀態(tài)，真實(shí)應(yīng)力使總余能取最小值。這一關(guān)系稱為最小余能 原理。應(yīng)力變分方程或者最小余能原理應(yīng)該是等價(jià)于以應(yīng)力分量表示的變形協(xié)調(diào) 方程和位移邊界條件。應(yīng)力變分的實(shí)質(zhì)就是引入應(yīng)力解法于能量原理，因此對(duì)于多連域問(wèn)題，還有 位移單值連續(xù)條件需要考慮，這將導(dǎo)致問(wèn)題十分復(fù)雜。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、應(yīng)變余能函數(shù)；2、虛應(yīng)力；3、應(yīng)力變分方程；4、最小余能原理1、應(yīng)變余能函數(shù)首先介紹有關(guān)應(yīng)變余能的概念。以單向拉伸為例，設(shè)單向拉伸應(yīng)力為應(yīng) 變?yōu)開(kāi)x。對(duì)于線彈性問(wèn)題，應(yīng)力與應(yīng)變曲線是一條直線，對(duì)于一般的彈性體，它 是一條曲線。當(dāng)彈性體受到拉伸，應(yīng)變達(dá)到；X時(shí)，彈性體內(nèi)部存儲(chǔ)的應(yīng)變能密度 相當(dāng)于應(yīng)力應(yīng)變曲線與X軸所圍的面積，

33、有而應(yīng)力應(yīng)變曲線與應(yīng)力-x軸所圍的面積定義為應(yīng)變余能密度，有（6）= f Eg0 。對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)變能和應(yīng)變余能密度函數(shù)分別定義為閃（氣）=J少沁氣U （爲(wèi)）=J叼d樂(lè)0和0對(duì)于應(yīng)變能和應(yīng)變余能，顯然1 一込匚。這里定義應(yīng)變能密度是應(yīng)變分量的泛函，而應(yīng)變余能密度是應(yīng)力分量的泛函。對(duì)于上式作變分，有即根據(jù)格林公式，上式的右邊為零。而-Vj是任意的，所以可以證明對(duì)于應(yīng)變余能密度函數(shù)»。2、虛應(yīng)力以下通過(guò)虛功方程推導(dǎo)最小余能原理，設(shè)靜力可能的應(yīng)力為其中，同為真實(shí)應(yīng)力，-Cj為真實(shí)應(yīng)力鄰近的應(yīng)力的微小改變量，通常稱為 虛應(yīng)力。將上式代入微分平衡方程和面力邊界條件，則和.，I （在）由于

34、刁為真實(shí)應(yīng)力，必然滿足平衡微分方程和面力邊界條件，所以虛應(yīng)力ij必然滿足（在）上式表明，如果應(yīng)力試函數(shù)表示的應(yīng)力是靜力可能的，則虛應(yīng)力應(yīng)該滿足無(wú) 體力的平衡微分方程和無(wú)面力的面力邊界條件。3、應(yīng)力變分方程現(xiàn)在將應(yīng)力勢(shì)函數(shù)LL-.代入功能方程 并且用真實(shí)位移替代幾何可能的位移，則注意到公式 則上式簡(jiǎn)化為應(yīng)該注意的是，虛應(yīng)力與虛位移、即位移變分方程不同，表面面力是有增量：Fsi的。即虛應(yīng)力Zj在位移邊界S將引起的面力，稱為虛面力。有（在 Su）將虛面力表達(dá)式回代公式可得上式稱為虛應(yīng)力方程，又稱為應(yīng)力變分方程。它表示在已知位移的邊界上， 虛面力在真實(shí)位移上所作的功整個(gè)彈性體內(nèi)部的虛應(yīng)力在真實(shí)變形中所

35、作的功。4、最小余能原理譽(yù)=%jf二込®山=jyj <i卩將公式代入虛應(yīng)力方程，的右邊，有由于在位移邊界Su上的位移是給定的，所以上式左邊的變分符號(hào)可以提到積分符號(hào)的外邊，則應(yīng)力變分方程還可以寫(xiě)作以下形式令則這里，Et （刁）稱為總余能，它是應(yīng)力分量的泛函。上述公式表示，當(dāng)應(yīng)力 分量從真實(shí)應(yīng)力Cij變化到靜力可能的應(yīng)力Gj + Yj時(shí)，總余能的一階變分為零， 即真實(shí)應(yīng)力使得總余能取駐值。因此這一關(guān)系稱為最小余能原理。和最小勢(shì)能原理相同，可以證明，對(duì)于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，真實(shí)應(yīng)力使總余能 取最小值。這一關(guān)系稱為最小余能原理。它可以敘述為：在所有靜力可能的應(yīng)力 中，真實(shí)應(yīng)力使得總余能取

36、最小值。如果彈性體的全部邊界面力已知，最小余能原理可以簡(jiǎn)化為上式稱為最小功原理，它是最小余能原理的特殊形式。根據(jù)彈性力學(xué)的分析方法，真實(shí)應(yīng)力除了滿足平衡微分方程和面力邊界條件 以外，還必須滿足用應(yīng)力分量表示的變形協(xié)調(diào)方程。而根據(jù)能量變分的原理，真 實(shí)應(yīng)力除了滿足平衡微分方程和面力邊界條件以外， 還要滿足應(yīng)力變分方程或者 總余能的極值條件。 因此，應(yīng)力變分方程或者最小余能原理應(yīng)該是等價(jià)于以應(yīng)力 分量表示的變形協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件。應(yīng)力變分方程是應(yīng)力解法在能量原理中的應(yīng)用，因此對(duì)于多連域問(wèn)題，同樣 需要考慮位移單值連續(xù)條件，這將是十分復(fù)雜的。§11.7 基于最小余能原理的近似計(jì)算方法學(xué)

37、習(xí)思路 :最小余能原理近似解法的基礎(chǔ)是首先選擇以級(jí)數(shù)形式表達(dá)的應(yīng)力試函數(shù)。 試 函數(shù)滿足滿足平衡微分方程和面力邊界條件， 它是靜力可能的應(yīng)力。 問(wèn)題的求解 級(jí)數(shù)確定試函數(shù)的待定系數(shù)。將應(yīng)力試函數(shù)代入總余能的表達(dá)式，于是總余能 E't成為待定系數(shù)Am的二次 函數(shù)， 這樣就把求解泛函的駐值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成為求解函數(shù)的極值問(wèn)題。在利用最小余能原理求解彈性力學(xué)問(wèn)題的近似解時(shí)， 最困難的問(wèn)題是應(yīng)力試 函數(shù)的選擇必須同時(shí)滿足平衡微分方程和面力邊界條件。 對(duì)于能夠應(yīng)用應(yīng)力函數(shù) 的平面和扭轉(zhuǎn)問(wèn)題， 需要考慮的僅是應(yīng)力試函數(shù)滿足面力邊界條件， 比較容易得 到解答。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、應(yīng)力試函數(shù)； 2、最小余能近似

38、解； 3、平面問(wèn)題最小余能近似解； 4、扭轉(zhuǎn)問(wèn)題最小余能近似解； 5、矩形薄板。1、應(yīng)力試函數(shù)本節(jié)討論的近似計(jì)算方法僅限于線彈性問(wèn)題。 因此應(yīng)變能與應(yīng)變余能是相等 的。根據(jù)最小余能原理，如果可以將所有靜力可能的應(yīng)力全部列出，則其中使總 余能取最小值的那一組應(yīng)力分量就是真實(shí)應(yīng)力。對(duì)于實(shí)際的計(jì)算問(wèn)題，列出所有的靜力可能的應(yīng)力是困難的。但是我們可以 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和感覺(jué)在一定的范圍內(nèi)部列出一族靜力可能的應(yīng)力，并在此找出一組應(yīng)力分量使得總余能取最小值。雖然這一組應(yīng)力分量一般并不是問(wèn)題的真實(shí)應(yīng)力， 但是可以肯定的是它在這一族應(yīng)力中是最接近真實(shí)應(yīng)力的。因此這一組應(yīng)力分量就是冋題的近似解。nanko(BU普考維奇

39、)建議，將應(yīng)力分量的表達(dá)成如下形式 其中，匚是平衡微分方程的特解，并且滿足面力邊界條件，當(dāng)然，如果它 還滿足變形協(xié)調(diào)方程，則它就是問(wèn)題的真解，這里不妨假設(shè)其是不滿足變形協(xié)調(diào) 方程的。滿足無(wú)體力的平衡微分方程和無(wú)面力的面力邊界條件，當(dāng)然，它也是 不滿足變形協(xié)調(diào)方程的。Am(m=1,2,3,)為任意常數(shù)。顯然，應(yīng)力試函數(shù)給出的應(yīng)力分量是靜力可能的。2、最小余能近似解將應(yīng)力試函數(shù)代入總余能的表達(dá)式，于是原為應(yīng)力泛函的總余能E't成為關(guān)于待定系數(shù)Am(m=1,2,3,)的二次函數(shù)，求解泛函極值的條件轉(zhuǎn)換為dE八=0叫 (m=1,2,3,)上式為關(guān)于待定系數(shù)Am(m=1,2,3,)的線性非齊次方

40、程組，求解線性方程組可 以得到全部待定系數(shù)?；卮綉?yīng)力應(yīng)力試函數(shù)表達(dá)式即可得到問(wèn)題的近似解。最小余能原理求解彈性力學(xué)問(wèn)題的近似解時(shí)，最困難的問(wèn)題是應(yīng)力試函數(shù)的 選擇必須同時(shí)滿足平衡微分方程和面力邊界條件。對(duì)于一般問(wèn)題，構(gòu)造同時(shí)滿足面力邊界條件和平衡微分方程的應(yīng)力試函數(shù)是 十分可能的。但是對(duì)于彈性力學(xué)的平面問(wèn)題和柱體的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題，由于應(yīng)力函數(shù)的應(yīng)用，使得應(yīng)力分量自然滿足平衡微分方程。因此，只需要考慮應(yīng)力試函數(shù)的表達(dá)式滿足面力邊界條件。這將使得困難大為減少。以下將分別介紹最小余能原理在平面問(wèn)題和扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用。對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，設(shè)板的厚度為1,由于只有應(yīng)力分量 二 丁存在，而且這些應(yīng)力分量均為x，

41、y的函數(shù)，與坐標(biāo)z無(wú)關(guān)。則彈性體的應(yīng)變余能 表達(dá)式為(對(duì)于線彈性問(wèn)題，應(yīng)變能和應(yīng)變余能是相等的)對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只要將上式中的 E和分別用 代即可3、平面問(wèn)題最小余能近似解如果討論的平面問(wèn)題是單連通的，應(yīng)力分量和彈性常數(shù)是無(wú)關(guān)的，因此可以 設(shè)泊松比=0，這樣應(yīng)變余能表達(dá)式可以簡(jiǎn)化為將應(yīng)力分量用應(yīng)力函數(shù)表達(dá)，在不計(jì)體力時(shí)，有則假如平面物體全部邊界上的面力都是已知的，則根據(jù)最小功原理，有不難證明，上述變分方程等價(jià)于。設(shè)應(yīng)力函數(shù)為工二。為了使面力邊界條件得到滿足，設(shè)由廠I給出的應(yīng)力分量滿足實(shí)際的面力邊 界條件，而由給出的應(yīng)力分量應(yīng)該滿足面力為零的面力邊界條件。 Am(m=1,2,3,)為任意常數(shù)，

42、于是彈性體的余能成為關(guān)于Am(m=1,2,3,)的二次函數(shù)，其取極值的條件為dUf嚴(yán)二 0日禮(m=1,2,3,)上式為關(guān)于Am(m=1,2,3,)的線性代數(shù)方程組。求解即可得到問(wèn)題的近似解。4、扭轉(zhuǎn)問(wèn)題最小余能近似解以下介紹最小余能原理在柱體扭轉(zhuǎn)中的應(yīng)用。扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)變余能表達(dá)式為其中I為桿的長(zhǎng)度。按應(yīng)力法求解，橫截面上的切應(yīng)力可以表示為應(yīng)力函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)，則應(yīng)變余能可以寫(xiě)作為了建立適用于扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的變分方程，需要計(jì)算面力在實(shí)際位移上做的功。 在柱體的側(cè)面，由于沒(méi)有面力作用，因此也沒(méi)有面力的功。在柱體的兩端，面力 合成為方向相反的兩個(gè)扭 T,而兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為I，端面是位移已知的邊界。因此面

43、力在實(shí)際位移上做的功就等于所以。將上述結(jié)果代入總余能公式，則柱體扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的總余能為求一階變分，可得上式即為柱體扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力變分方程。在實(shí)際計(jì)算中，可以將應(yīng)力函數(shù)'(x,y)定義為其中，Am(m=1,2,3,)為互相獨(dú)立的m個(gè)待定系數(shù)。為了使應(yīng)力函數(shù)5滿足 邊界條件，即應(yīng)力函數(shù)' (x,y)在橫截面的邊界上等于零，必須設(shè)定'-'m在橫截面的 邊界上等于零。對(duì)于泛函總余能的一階變分，即求解總余能的最小值的條件轉(zhuǎn)換成為 通過(guò)上式可以確定待定系數(shù)Am(m=1,2,3,)。5、矩形薄板例&圖示矩形薄板，其兩端受拋物線分布的拉力作用，求應(yīng)力分量。解：本問(wèn)題的邊界條

44、件為 為了滿足邊界條件，設(shè)顯然以上假設(shè)滿足面力邊界條件?，F(xiàn)在適當(dāng)?shù)倪x取 ''' - ，并且使與之對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量在邊界為零。為達(dá)到這一目的，設(shè)各個(gè)函數(shù)中 都包括 這些因子，則這些函數(shù)對(duì)x, y的二階偏導(dǎo)數(shù)在x= ±，y= ± 為零。所以設(shè)由于對(duì)稱性，上式中僅取x和y的偶次幕，為了使得待定系數(shù) Ai，A2Am 成為無(wú)因次的，所以上式中布置了因子qb2,并且使x和y分別除以a和b等，如果在上式中僅取一項(xiàng)，即 Ai 一個(gè)系數(shù)，則 將上式代入公式，則對(duì)于正方形薄板，即a= b，可得Ai=0.0425。因此，問(wèn)題的應(yīng)力分量近似解 為在薄板的中心，x=y=0，可得

45、-x=0.830qo如果取Ai, A2，A3三項(xiàng)，通過(guò)同樣的運(yùn)算，可得 Ai=0.0414, A2=A3=0.0117, 在薄板的中心，x=y=0，可得二x=0.862q。為了得到更為精確的解答，應(yīng)力試函數(shù)應(yīng)該選取更多的項(xiàng)數(shù)。§i.8有限元原理基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)思路：有限元原理是目前工程上應(yīng)用最為廣泛的結(jié)構(gòu)數(shù)值分析方法，它的理論基礎(chǔ)仍然是彈性力學(xué)的變分原理。在有限元方法中，試函數(shù)的選取不是整體的，而是 在彈性體內(nèi)分區(qū)(單元)完成的，因此試函數(shù)形式簡(jiǎn)單統(tǒng)一。有限元原理將單元內(nèi)部位移用節(jié)點(diǎn)位移表示，這可以使用插值函數(shù)構(gòu)造單元 位移函數(shù)。并且通過(guò)單元位移描述單元的應(yīng)力和應(yīng)變分量。通過(guò)最小勢(shì)能原理

46、建 立單元位移與單元節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系， 構(gòu)造單元平衡方程。 對(duì)于由單元集合得到的彈 性體整體，應(yīng)用最小勢(shì)能原理構(gòu)造整體平衡方程。這個(gè)方程是一個(gè)線性方程組， 求解可以得到彈性體的位移，以及單元的應(yīng)力和應(yīng)變分量。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使得以有限元原理為代表 的計(jì)算力學(xué)的迅速發(fā)展， 改變了彈性力學(xué)理論在工程應(yīng)用領(lǐng)域的處境。 特別是以 計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大計(jì)算能力為后盾開(kāi)發(fā)的大型通用有限元程序， 目前已經(jīng)成為工程技 術(shù)人員手中強(qiáng)大的結(jié)構(gòu)分析工具。如果你需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)有限元方法的理論和應(yīng)用，請(qǐng)查閱參考資料。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、有限元原理與變分原理的關(guān)系； 2、有限元原理的基本概念； 3、 單元與單元

47、位移確定； 4、有限元單元分析； 5、有限元整體分析。1、有限元原理與變分原理的關(guān)系彈性力學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)是求解偏微分方程的邊值問(wèn)題。 由于偏微分方程邊值問(wèn) 題的復(fù)雜性， 只能采取各種近似方法或者漸近方法求解。 變分原理就是將彈性力 學(xué)的基本方程偏微分方程的邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程求解的一種方法。有限元原理是目前工程上應(yīng)用最為廣泛的結(jié)構(gòu)數(shù)值分析方法， 它的理論基礎(chǔ) 仍然是彈性力學(xué)的變分原理。 那么， 為什么變分原理在工程上的應(yīng)用有限， 而有 限元原理卻應(yīng)用廣泛。 有限元原理與一般的變分原理求解方法有什么不同呢。 問(wèn) 題在于變分原理用于彈性體分析時(shí)，不論是瑞利 -里茨法還是伽遼金法，采用整 體建立位移

48、試函數(shù)或者應(yīng)力試函數(shù)的方法。 由于試函數(shù)要滿足一定的條件， 導(dǎo)致 對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題求解仍然困難重重。有限元方法選取的試函數(shù)不是整體的， 而是在彈性體內(nèi)分區(qū) （單元） 完成的， 因此試函數(shù)形式簡(jiǎn)單統(tǒng)一。當(dāng)然，這使得轉(zhuǎn)換的代數(shù)方程階數(shù)比較高。但是，面 對(duì)強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)處理能力， 線性方程組的求解不再有任何困難。 因此，有限元原 理成為目前工程結(jié)構(gòu)分析的重要工具。近年來(lái)，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng) 用，使得有限元方法首先在彈性力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域發(fā)展起來(lái)。 以有限元方法為 代表的計(jì)算力學(xué)的發(fā)展，迅速改變了彈性力學(xué)理論和方法在工程應(yīng)用領(lǐng)域的處 境。以計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大計(jì)算能力為后盾開(kāi)發(fā)的大型通用有限元程序， 可以求解數(shù)十 萬(wàn)自由度的線性代數(shù)方程組， 目前已經(jīng)成為工程技術(shù)人員手中強(qiáng)大的結(jié)構(gòu)分析工具。在此基礎(chǔ)之上，CAD、CAE等技術(shù)的應(yīng)用使得計(jì)算機(jī)不僅成為數(shù)值分析的 工具，而且成為設(shè)計(jì)分析的工具。2、