高中數(shù)學(xué)48條秒殺公式

1、高中數(shù)學(xué)48條秒殺公式1.適用條件：直線過焦點(diǎn)，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A為直線與焦點(diǎn)所在軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大于1。注上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點(diǎn)內(nèi)分(指的是焦點(diǎn)在所截線段上)，用該公式;如果外分(焦點(diǎn)在所截線段延長(zhǎng)線上)，右邊為(x+1)/(x-1)，其他不變。2.函數(shù)的周期性問題(記憶三個(gè))：(1)若f(x)=-f(x+k)，則T=2k；(2)若f(x)=m/(x+k)(m不為0)，則T=2k；(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，則T=6k。注意點(diǎn)：a.周期函數(shù)，周期必?zé)o限b.周期函數(shù)未必存在最小周期，如：常數(shù)函數(shù)。c.周期函數(shù)加周期函數(shù)未

2、必是周期函數(shù)，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函數(shù)。3.關(guān)于對(duì)稱問題(無數(shù)人搞不懂的問題)總結(jié)如下：(1)若在R上(下同)滿足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，對(duì)稱軸為x=(a+b)/2;(2)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于x=(b-a)/2對(duì)稱;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，則f(x)圖像關(guān)于(a，b)中心對(duì)稱4.函數(shù)奇偶性：(1)對(duì)于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0;(2)對(duì)于含參函數(shù)，奇函數(shù)沒有偶次方項(xiàng)，偶函數(shù)沒有奇次方項(xiàng)(3)奇偶性作用不大，一般用于選擇填空5.數(shù)列爆強(qiáng)定律：(1)等差數(shù)列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7為下角標(biāo))

3、;(2)等差數(shù)列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比數(shù)列中，上述2中各項(xiàng)在公比不為負(fù)一時(shí)成等比，在q=-1時(shí)，未必成立4，等比數(shù)列爆強(qiáng)公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6.數(shù)列的終極利器，特征根方程。(如果看不懂就算了)。首先介紹公式：對(duì)于an+1=pan+q(n+1為下角標(biāo)，n為下角標(biāo))，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，則數(shù)列通項(xiàng)公式為an=(a1-x)p²(n-1)+x，這是一階特征根方程的運(yùn)用。二階有點(diǎn)麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學(xué)們牢記上述公式。當(dāng)然這種類型的數(shù)列可以構(gòu)造(兩邊同時(shí)加數(shù))7.函

4、數(shù)詳解補(bǔ)充：(1)復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減(3)重點(diǎn)知識(shí)關(guān)于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)曲線其實(shí)是中心對(duì)稱圖形。它有一個(gè)對(duì)稱中心，求法為二階導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)為0，根x即為中心橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)可以用x帶入原函數(shù)界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。8.常用數(shù)列bn=n×(2²n)求和Sn=(n-1)×(2²(n+1)+2記憶方法：前面減去一個(gè)1，后面加一個(gè)，再整體加一個(gè)29.適用于標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在x軸)爆強(qiáng)公式：k橢=-(b²)xo/(a²)yok雙=(b²)xo/(a

5、8;)yok拋=p/yo注：(xo，yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點(diǎn)。10.強(qiáng)烈推薦一個(gè)兩直線垂直或平行的必殺技：已知直線L1：a1x+b1y+c1=0直線L2：a2x+b2y+c2=0若它們垂直：(充要條件)a1a2+b1b2=0；若它們平行：(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2a2c1這個(gè)條件為了防止兩直線重合)注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺!11.經(jīng)典中的經(jīng)典：相信鄰項(xiàng)相消大家都知道。下面看隔項(xiàng)相消：對(duì)于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+1/n(n+2)=1/21+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)注：隔項(xiàng)相

6、加保留四項(xiàng)，即首兩項(xiàng)，尾兩項(xiàng)。自己把式子寫在草稿紙上，那樣看起來會(huì)很清爽以及整潔!12.爆強(qiáng)面積公式：S=1/2mq-np其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)注：這個(gè)公式可以解決已知三角形三點(diǎn)坐標(biāo)求面積的問題！13.你知道嗎?空間立體幾何中，以下命題均錯(cuò)：(1)空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面；(2)垂直同一直線的兩直線平行；(3)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(4)如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則直線垂直平面；(5)有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；(6)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐注：對(duì)初中生不適用。14.一個(gè)小知識(shí)點(diǎn)：所有棱

7、長(zhǎng)均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。15.求f(x)=x-1+x-2+x-3+x-n(n為正整數(shù))的最小值。答案為：當(dāng)n為奇數(shù)，最小值為(n²-1)/4，在x=(n+1)/2時(shí)取到;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，最小值為n²/4，在x=n/2或n/2+1時(shí)取到。16.(a²+b²)/2(a+b)/2ab2ab/(a+b)(a、b為正數(shù)，是統(tǒng)一定義域)17.橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式：S=b²tan(A/2)在雙曲線中：S=b²/tan(A/2)說明：適用于焦點(diǎn)在x軸，且標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。18.爆強(qiáng)定理：空間向量三公式解決所有題目：cos

8、A=|向量a.向量b/向量a的模×向量b的模|A為線線夾角；A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)；A為面面夾角注：以上角范圍均為0，派/2。19.爆強(qiáng)公式1²+2²+3²+n²=1/6(n)(n+1)(2n+1)；1²3+2²3+3²3+n²3=1/4(n²)(n+1)²20.爆強(qiáng)切線方程記憶方法：寫成對(duì)稱形式，換一個(gè)x，換一個(gè)y。舉例說明：對(duì)于y²=2px可以寫成y×y=px+px再把(xo，yo)帶入其中一個(gè)得：y×yo=pxo+px21.爆強(qiáng)定

9、理：(a+b+c)²n的展開式合并之后的項(xiàng)數(shù)為：Cn+22，n+2在下，2在上22.轉(zhuǎn)化思想切線長(zhǎng)l=(d²-r²)d表示圓外一點(diǎn)到圓心得距離，r為圓半徑，而d最小為圓心到直線的距離。23.對(duì)于y²=2px，過焦點(diǎn)的互相垂直的兩弦AB、CD，它們的和最小為8p。爆強(qiáng)定理的證明：對(duì)于y²=2px，設(shè)過焦點(diǎn)的弦傾斜角為A.那么弦長(zhǎng)可表示為2p/(sinA)²，所以與之垂直的弦長(zhǎng)為2p/(cosA)²，所以求和再據(jù)三角知識(shí)可知。(題目的意思就是弦AB過焦點(diǎn)，CD過焦點(diǎn)，且AB垂直于CD)24.關(guān)于一個(gè)重要絕對(duì)值不等式的介紹爆強(qiáng)：|

10、a|-|b|a±ba+b25.關(guān)于解決證明含ln的不等式的一種思路：舉例說明：證明1+1/2+1/3+1/n>ln(n+1)把左邊看成是1/n求和，右邊看成是Sn。解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，則bn=ln(n+1)-lnn，那么只需證an>bn即可，根據(jù)定積分知識(shí)畫出y=1/x的圖。an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當(dāng)然前面要證明1>ln2。注：僅供有能力的童鞋參考!另外對(duì)于這種方法可以推廣，就是把左邊、右邊看成是數(shù)列求和，證面積大小即可。說明：前提是含ln。26.爆強(qiáng)簡(jiǎn)潔公式：向量a在向量b上的射影是：向量a×

11、向量b的數(shù)量積/向量b的模。記憶方法：在哪投影除以哪個(gè)的模27.說明一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：若f(x+a)a任意為奇函數(shù)，那么得到的結(jié)論是f(x+a)=-f(-x+a)等式右邊不是-f(-x-a)，同理如果f(x+a)為偶函數(shù)，可得f(x+a)=f(-x+a)牢記！28.離心率爆強(qiáng)公式：e=sinA/(sinM+sinN)注：P為橢圓上一點(diǎn)，其中A為角F1PF2，兩腰角為M，N29.橢圓的參數(shù)方程也是一個(gè)很好的東西，它可以解決一些最值問題。比如x²/4+y²=1求z=x+y的最值。解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍！30.僅供有能力的童鞋參考爆

12、強(qiáng)公式：和差化積sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2積化和差sinsin=cos(-)-cos(+)/2coscos=cos(+)+cos(-)/2sincos=sin(+)+sin(-)/2cossin=sin(+)-sin(-)/231.爆強(qiáng)定理：直觀圖的面積是原圖的2/4倍。32.三角形垂心爆強(qiáng)定理：(1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O為三角形外心，H為垂心)(2)若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)y=1/x的圖象上，則

13、它的垂心也在這個(gè)函數(shù)圖象上。33.維維安尼定理(不是很重要(僅供娛樂)，正三角形內(nèi)(或邊界上)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值，這定值等于該三角形的高。34.爆強(qiáng)思路：如果出現(xiàn)兩根之積x1x2=m，兩根之和x1+x2=n，我們應(yīng)當(dāng)形成一種思路，那就是返回去構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)，再利用大于等于0，可以得到m、n范圍。35.常用結(jié)論：過(2p，0)的直線交拋物線y²=2px于A、B兩點(diǎn)。O為原點(diǎn)，連接AO.BO。必有角AOB=90度36.爆強(qiáng)公式：ln(x+1)x(x>-1)該式能有效解決不等式的證明問題。舉例說明：ln(1/(2²)+1)+ln(1/(3²)+1)+l

14、n(1/(n²)+1)<1(n2)。證明如下：令x=1/(n²)，根據(jù)ln(x+1)x有左右累和右邊再放縮得：左和<1-1/n<1證畢!37.函數(shù)y=(sinx)/x是偶函數(shù)。在(0，派)上它單調(diào)遞減，(-派，0)上單調(diào)遞增。利用上述性質(zhì)可以比較大小。38.函數(shù)y=(lnx)/x在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，+無窮)上單調(diào)遞減。另外y=x²(1/x)與該函數(shù)的單調(diào)性一致。39.幾個(gè)數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)f(x)<0是函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件；(2)在研究函數(shù)奇偶性時(shí)，忽略最開始的也是最重要的一步：考慮定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱！(3

15、)不等式的運(yùn)用過程中，千萬要考慮"="號(hào)是否取到！(4)研究數(shù)列問題不考慮分項(xiàng)，就是說有時(shí)第一項(xiàng)并不符合通項(xiàng)公式，所以應(yīng)當(dāng)極度注意：數(shù)列問題一定要考慮是否需要分項(xiàng)！40.提高計(jì)算能力五步曲：(1)扔掉計(jì)算器；(2)仔細(xì)審題(提倡看題慢，解題快)，要知道沒有看清楚題目，你算多少都沒用；(3)熟記常用數(shù)據(jù)，掌握一些速算技巧；(4)加強(qiáng)心算，估算能力；(5)檢驗(yàn)！41.一個(gè)美妙的公式：爆強(qiáng)!已知三角形中AB=a，AC=b，O為三角形的外心，則向量AO×向量BC(即數(shù)量積)=(1/2)b²-a²強(qiáng)烈推薦！證明：過O作BC垂線，轉(zhuǎn)化到已知邊上。42.(1

16、)函數(shù)單調(diào)性的含義：大多數(shù)同學(xué)都知道若函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)，則函數(shù)值隨著自變量的增大(減小)而增大(減小)，但有些意思可能有些人還不是很清楚，若函數(shù)在D上單調(diào)，則函數(shù)必連續(xù)(分段函數(shù)另當(dāng)別論)這也說明了為什么不能說y=tanx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)樗膱D像被無窮多條漸近線擋住，換而言之，不連續(xù)。還有，如果函數(shù)在D上單調(diào)，則函數(shù)在D上y與x一一對(duì)應(yīng)。這個(gè)可以用來解一些方程。至于例子不舉了。(2)函數(shù)周期性：這里主要總結(jié)一些函數(shù)方程式所要表達(dá)的周期設(shè)f(x)為R上的函數(shù)，對(duì)任意xR：f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加絕對(duì)值，下同)f(a±x)=-f(b

17、77;x)T=2(b-a)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a設(shè)T0，有f(x+T)=Mf(x)其中M(x)滿足MM(x)=x,且M(x)x則函數(shù)的周期為243.奇偶函數(shù)概念的推廣：(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a，使得f(a-x)=f(a+x)，則稱f(x)為廣義()型偶函數(shù)，且當(dāng)有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)a，b滿足時(shí)，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a)(2)若f(a-x)=-f(a+x)，則f(x)是廣義()型奇函數(shù)，當(dāng)有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)a，b滿足時(shí)，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a)(3)有兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b滿足廣義奇偶函數(shù)的方程式時(shí)，就稱f(x)是廣義()型的奇，偶函數(shù)。且若f(x)是廣義()

18、型偶函數(shù)，那么當(dāng)f在a+b/2，)上為增函數(shù)時(shí)，有f(x1)<f(x2)等價(jià)于絕對(duì)值x1-(a+b p="" <="" 2)<絕對(duì)值x2-(a+b)="">44.函數(shù)對(duì)稱性：(1)若f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c則函數(shù)關(guān)于(a+b/2，c/2)成中心對(duì)稱(2)若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)則函數(shù)關(guān)于直線x=a+b/2成軸對(duì)稱柯西函數(shù)方程：若f(x)連續(xù)或單調(diào)：(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),則f(x)=ax(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>

19、;0,y>0),則f(x)=x²u(u由初值給出)(3)f(x+y)=f(x)f(y)則f(x)=a²x(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax+b特別的若f(x)+f(y)=f(x+y)，則f(x)=kx45.與三角形有關(guān)的定理或結(jié)論中學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何最基本的圖形就是三角形(1)正切定理(我自己取的，因?yàn)椴恢烂?：在非Rt中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(2)任意三角形射影定理(又稱第一余弦定理)：在ABC中a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA(3)任意三角形內(nèi)切圓半徑r=2S/a+b+c(S為面積)，外接圓半徑應(yīng)該都知道了吧(4)梅涅勞斯定理：設(shè)A1,B1，C1分別是ABC三邊BC，CA，AB所在直線的上的點(diǎn)，則A1，B1，C1共線的充要條件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=146.易錯(cuò)點(diǎn)：(1)函數(shù)的各類性質(zhì)綜合運(yùn)用不靈活，比如奇偶性與單調(diào)性常用來配合解決抽象函數(shù)不等式問題。(2)三角函數(shù)恒等變換不清楚，誘導(dǎo)