最新《數(shù)理金融學(xué)》題庫(kù)答案

1、數(shù)理金融學(xué)題庫(kù)（含）答案第一章練習(xí)及參考答案1. 假設(shè)1期有兩個(gè)概率相等的狀態(tài)a和b。1期的兩個(gè)可能狀態(tài) 的狀態(tài)價(jià)格分別為a和b?？紤]一個(gè)參與者，他的稟賦為（eoga&b）。 其效用函數(shù)是對(duì)數(shù)形式1U（Co；Cia；Gb） log Co 2（l°gGa logGb）問：他的最優(yōu)消費(fèi)/組合選擇是什么？解答：給定狀態(tài)價(jià)格和他的稟賦，他的總財(cái)富是w eo aea be1b 他的最優(yōu)化問題是1maxC0,C1a,C1blogc。-(loga logGb)s.t.W GaC1abClb)0G , Ga ,C1b0其一階條件為:1/Co1-(1/C!a)2b bbC1b w0,a,b1

2、匚(1/務(wù))2C0aC1aiC o,i給定效用函數(shù)的形式，當(dāng)消費(fèi)水平趨近于0時(shí)，邊際效用趨近于無窮。因此，參與者選擇的最優(yōu)消費(fèi)在每一時(shí)期每一狀態(tài)都嚴(yán)格為正，即所有狀態(tài)價(jià)格嚴(yán)格為正。在這種情況下，我們可以在一階條件中去掉這 些約束（以及對(duì)應(yīng)的乘子）而直接求解最優(yōu)。因此，iCi 0（i 0,a,b）。對(duì)于c我們立即得到如下解:1 c ,1 1 c1a,1 1c2b2 1a2 1b把c的解代人預(yù)算約束，我們可以得到的解:2最后，我們有11 w1 wcw,G a,c1b24a4a可以看出，參與者把一半財(cái)富用作現(xiàn)在的消費(fèi)，把另外一半財(cái)富作為 未來的消費(fèi)。某一狀態(tài)下的消費(fèi)與對(duì)應(yīng)的狀態(tài)價(jià)格負(fù)相關(guān)。 狀態(tài)價(jià)格

3、 高的狀態(tài)下的消費(fèi)更昂貴。結(jié)果，參與者在這些狀態(tài)下選擇較低的消 費(fèi)。2. 考慮一個(gè)經(jīng)濟(jì)，在1期有兩個(gè)概率相等的狀態(tài)a和b。經(jīng)濟(jì)的 參與者有1和2,他們具有的稟賦分別為：0 200 e ： 100， e?: 00'50兩個(gè)參與者都具有如下形式的對(duì)數(shù)效用函數(shù)：1U(c) logcg -(log ca log Cd)在市場(chǎng)上存在一組完全的狀態(tài)或有證券可以交易。因?yàn)橛袃蓚€(gè)狀態(tài)， 因而只有兩個(gè)狀態(tài)或有證券。試分析這個(gè)經(jīng)濟(jì)的均衡。解答：考慮一個(gè)經(jīng)濟(jì)，在1期有兩個(gè)概率相等的狀態(tài)a和b。經(jīng) 濟(jì)中 有參與者1和2,他們具有的稟賦分別為：e: 100e,: 020050兩個(gè)參與者都具有如下形式的對(duì)數(shù)效用函

4、數(shù):1U(c) logc。- (log Ca log Cb)在市場(chǎng)上存在一組完全的狀態(tài)或有證券可以交易。因?yàn)橛袃蓚€(gè)狀態(tài)， 因而只有兩個(gè)狀態(tài)或有證券?，F(xiàn)在我們開始分析這個(gè)經(jīng)濟(jì)的均衡。從給定交易證券價(jià)格下參與者 的最優(yōu)化問題開始。記a； a為狀態(tài)價(jià)格（向量），即兩個(gè)狀態(tài)或有證券的價(jià)格。我們可以定義每個(gè)參與者的財(cái)富為 w $Te，這里$ 1； 而e是他的稟賦。這時(shí)，最優(yōu)化問題變成了：logcb)1max log c0 -(log ca c 2bCbS.t.c0aca該問題的解為1q,0Wk,ck,a1 wk4 a這里w-i 100而w2200 a50 b。均衡由市場(chǎng)出清決定。有兩個(gè)交易證券，每一市場(chǎng)

5、都應(yīng)該出清:1 1001 200 a 50 bc1,a c2,a'''4a4a1 1001 200 a 50 bc1,bc2,b4b420050均衡價(jià)格的解為1/4和參與者2的財(cái)富為W2200(1/4) (50)(1)100因此，參與者2和參與者1的財(cái)富相同，盡管他們的稟賦非常不同均衡配置是 Gc 50;100;25。這并不奇怪。給定他們具有相同的偏好和財(cái)富，他們的消費(fèi)計(jì)劃也應(yīng)該相同。現(xiàn)在讓我們來看看均衡配置。對(duì)于每個(gè)參與者，他的相對(duì)邊際效用為1wU k(ck) °U k(Ck)2(1/Ck，w)Ck,0wk/2(1/Ck,0)2Ck,w2Wk /(4 w)1

6、/4,aw1,b這對(duì)于兩個(gè)參與者來說是一樣的3. 個(gè)投資者有本金x，可以投資的錢數(shù)在0到x之間，如果投 資了 y，則會(huì)以概率p獲益y，以1 p損失y。如果p 12，投資者的 效用函數(shù)是對(duì)數(shù)的，則投資者應(yīng)該投入多少？解：設(shè)投入金額是ax，0 a 1，投資者的投資結(jié)果記為X，它等 于x ax或x ax，出現(xiàn)這兩種結(jié)果的概率分別是 p，1 p，它們的期 望效用為：plog(1 a)x) (1 p)log(1a)x)a) (1 p)log( x)plog(1 a) plog(x) (1 p)log(1 log(x) plog(1 a) (1 p)log(1 a)。為求出a的最優(yōu)值，對(duì)上式關(guān)于a求導(dǎo)pl

7、og(1 a) (1 p)log(1 a)得:dda(plog(1 a) (1p)log(1 a)令上式等于0,得:p ap 1 p a apa 2p 1。所以投資者每次都應(yīng)投資他現(xiàn)有財(cái)富的100(2 p 1)%。例如，如果獲利的概率P 0.6，則投資者應(yīng)該投資全部財(cái)富的20%。如果p 0.7 ,他應(yīng)該投資40%。(當(dāng)p 1/2時(shí)，容易證明最優(yōu)投資數(shù)量為 0。)第二章練習(xí)及參考答案1. 設(shè)當(dāng)前無風(fēng)險(xiǎn)利率為6%，市場(chǎng)回報(bào)率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.10, 0.20。如果給定股票的回報(bào)率與市場(chǎng)回報(bào)率的協(xié)方差為0.05,求該股票回報(bào)率的期望值。解：由于0.05(0.20)21.25，所以ri 0.06

8、 1.25(0.10 0.06)0.11。即股票的期望回報(bào)率為11%。第三章練習(xí)及參考答案1.考慮用100的資本投資兩種證券，它們回報(bào)率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：r1 0.15, v 0.20 ; r20.18 , v20.25。若兩個(gè)回報(bào)率的相關(guān)系數(shù)0.4，投資者的效用函數(shù)為:U(x)0.005x e求這兩個(gè)證券的最優(yōu)組合解：設(shè)w1 y , w2 100 y，由式nEW wWi rii 1得:EW1000.15y 0.18(100 y) 118 0.03y。又由于c(1,2)V1V20.02，由式Var(W)2 2Wi Vii 1WiWjC(i, j)i得:Var(W) y2 (0.04)(10

9、0y)2(0.0625)2y(100y)(0.02)20.1425y 16.5y 625。所以我們應(yīng)該選擇y，使下式的值達(dá)到最大:118 0.03y 0.005(0.1425 y2 16.5y 625)/2或等價(jià)的，最大化20.01125 y 0.0007125 y /2。簡(jiǎn)單計(jì)算后得知y取下值時(shí)，上式達(dá)到最大:y衛(wèi)咤伍789。0.0007125即，當(dāng)投資15.789于證券1,投資84.211于證券2時(shí)，期末財(cái)富的期望效用達(dá)到最大。將y 15.789代入前面等式，得EW 117.526，Var(W) 400.006，最大期望效用等于:1 exp 0.005(117.526 0.005(400.

10、006) /2)0.4416。這可以和下述投資組合的效用比較一下：將100全部投資到證券1時(shí), 期望效用為0.3904；當(dāng)100全部投資到證券2時(shí)，期望效用為0.4413c2. 給投資人一個(gè)機(jī)會(huì)，他可以在 6年之后取得20 000美元。假 如他能取得10%的回報(bào)，那么現(xiàn)在他最多愿意付多少錢來取得這個(gè) 機(jī)會(huì)?解答：為了回答這一問題，必須以 10%的折現(xiàn)率計(jì)算6年之后 收到的20 000美元的現(xiàn)值。F6為20 000, i為10%, 即卩0. 1, n為6 年。PVIF10Q為 0. 564。1美元的現(xiàn)值(PVIF)1P $20000 6$ 20 000 (PVIF106)1 0.1$ 20 00

11、0 (0.564) $11280既然這兩個(gè)值在考慮了時(shí)間因素后是等價(jià)的，那么這意味著對(duì)能夠從她的投資中取得10%的回報(bào)來說，選擇現(xiàn)在收到11 280美元還是 選擇6年之后得到20 000美元并沒什么不同。換句話說，投資人可 以在今天以10%的利率投資11 280美元，那么在6年之后就會(huì)得到 20 000美元。3. 計(jì)算利率為4%時(shí)，750美元6個(gè)月的單利終值是多少？解答：其中，P 750,r0.04，且t 1。于是I Prt 750 (0.04)2$15并且S P I 750 15 $7654. 如果你借款1000美元，并以年利率8%按每季度計(jì)息1次的復(fù) 利形式支付利息，借期1年，那么1年后你

12、欠了多少錢？解：每季度計(jì)息一次的8%的年復(fù)合利率，等價(jià)于每個(gè)季度以 2%的單利利率支付一次利息，而每個(gè)季度索要的利息，不僅要考慮 原有的本金，而且還要加上累計(jì)到該時(shí)刻的利息。因此，一個(gè)季度后 你的欠款為：1000(1+0.02)；兩個(gè)季度后你的欠款為：21000(1+0.02)(1+0.02) 1000(1+0.02)；三個(gè)季度后你的欠款為：1000(1+0.02) 2(1 0.02) 1000(1+0.02)3 ；四個(gè)季度后你的欠款為：341000(1+0.02) (1 0.02)1000(1+0.02)1082.40。5. 許多信用卡公司均是按每月計(jì)息 1次的18%的年復(fù)合利率索 要利息的

13、。如果在1年的年初支付金額為P，而在這1年中并沒有發(fā) 生支付，那么在這1年的年末欠款將是什么？解：這樣的復(fù)合利率相當(dāng)于每個(gè)月以月利率18 12% 1.5%支付利息，而累計(jì)的利息將加到下一個(gè)月所欠的本金中。因此，一年后你的 欠款為：P(1+0.015)121.1956P。6 .如果一家銀行所提供的利息是以名義利率5%連續(xù)地計(jì)算利 息，那么每年的有效利率應(yīng)該是多少？解：有效利率應(yīng)為：0.05reff 亠 - e0.05 10.05127。-即有效利率是每年5.127%。7.一家公司在未來的5年中需要一種特定型號(hào)的機(jī)器。這家公司當(dāng)前有1臺(tái)這種機(jī)器，價(jià)值6000美元，未來3年內(nèi)每年折舊2000 美元，

14、在第三年年末報(bào)廢。該機(jī)器開始使用后第一年運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用在該年年初值為9000美元，之后在此基礎(chǔ)上每年增加2000美元。在每年的 年初可以按固定價(jià)格22000美元購(gòu)買1臺(tái)新機(jī)器。1臺(tái)新機(jī)器的壽命 是6年，在最初使用的兩年中每年折舊 3000美元，這之后每年折舊 4000美元。新機(jī)器在第一年的運(yùn)轉(zhuǎn)成本是 6000美元，在隨后的每年 中將增加1000美元。如果利率為10%，公司應(yīng)在何時(shí)購(gòu)買新機(jī)器？解：這家公司可以在第1、2、3、4年的年初購(gòu)買新機(jī)器，其對(duì)應(yīng) 的六年現(xiàn)金流如下（以1000美元為單位）：在第一年的年初購(gòu)買新機(jī)器：22, 7, 8, 9, 10,-4;在第二年的年初購(gòu)買新機(jī)器：9, 24, 7,

15、 8, 9, -8;在第三年的年初購(gòu)買新機(jī)器：9, 11, 26, 7, 8, -12;在第四年的年初購(gòu)買新機(jī)器：9, 11, 13, 28, 7,-16。為了驗(yàn)證上面所列現(xiàn)金流的正確性，假設(shè)公司將在第三年的年初 購(gòu)買新機(jī)器，則公司在第一年的成本為舊機(jī)器 9000美元的運(yùn)轉(zhuǎn)成本； 在第二年的成本為舊機(jī)器11000的運(yùn)轉(zhuǎn)成本；在第三年的成本為新機(jī) 器22000的購(gòu)買成本，加上6000美元的運(yùn)轉(zhuǎn)成本，再減去從替換機(jī) 器中得到的2000美元；在第四年的成本是7000美元的運(yùn)轉(zhuǎn)成本；在 第五年的成本是8000美元的運(yùn)轉(zhuǎn)成本；在第六年的成本是-12000美 元，它是已經(jīng)使用了三年的機(jī)器價(jià)值的負(fù)值。 其他

16、的三個(gè)現(xiàn)金流序列 可以通過相似的方法推得。對(duì)于年利率r=0.10，第一個(gè)現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值為46.083。22+Z 二二.壬1.1 (1.1)2 (1.1)3 (1.1)4 (1.1)5其他現(xiàn)金流的現(xiàn)值可用同樣的方法計(jì)算出。 這四個(gè)現(xiàn)金流的現(xiàn)值分別是46.083, 43.794，43.760, 45.627.因此，公司應(yīng)在兩年后購(gòu)買新機(jī)器。8. 一個(gè)打算在20年后退休的人，決定在今后240個(gè)月的每月月 初在銀行存款A(yù)，使得他可以在隨后的360個(gè)月的每月月初提款1000 美元。假設(shè)每月計(jì)息1次的名義年利率為6%,那么A的值應(yīng)該為多 少？解：r=0.06 12=0.005是月利率。令，他所有存款的現(xiàn)

17、值為1 r22391240A A A L A A 。1類似地，如果W是在隨后的360個(gè)月中每月的提款額，那么所有的提款額的現(xiàn)值為240241W W L599W240 1360這樣，如果滿足以下等式，中也不再有任何錢）：他就可以實(shí)現(xiàn)所有的提款（同時(shí)他的賬戶240 360"1240 1AW-1 11O對(duì)于 W 1000 ,1.1.005，可以得到A 360.99。這就是說，在240個(gè)月中每月存款361美元，就可以使得他在隨后的360個(gè)月中每月提取1000美元。注 在這個(gè)例子中，我們使用了以下的代數(shù)恒等式:n+121+b+b Lbn1 b1 b為了證明這個(gè)等式，我們令x=1+b+b2 L

18、bn注意到x-仁 b+b2 Lbnn1b(1+b L b ) b(x bn)因此,(1-b)x1 bn 1，這就證明了該等式。利用相同的方法，或者令 n趨向于無窮，可以證明當(dāng) b 1時(shí)有1+b+b2 L9 .終身年金給其持有者在未來每一年年末領(lǐng)取數(shù)額c款項(xiàng)的權(quán)利。這就是說，對(duì)于每一個(gè)i 12L，在第i年的年末要向持有者支付c。如果利率為r，每年計(jì)息1次，那么這個(gè)現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值是多少？解：該現(xiàn)金流可以被復(fù)制為初始時(shí)刻在銀行存入本金c r，并在每一年的年末提取所得的利息（保留本金不動(dòng)），但是在初始階段存 入任何少于c r的金額都無法復(fù)制這個(gè)現(xiàn)金流，因此這個(gè)無限期現(xiàn)金 流的現(xiàn)值為c r。這個(gè)結(jié)論可

19、以由下式推得：PV=c1+rc(1 r)2c(1 r)3r1第四章練習(xí)及參考答案1. 考慮3個(gè)資產(chǎn)A、B以及C。它們具有如下的風(fēng)險(xiǎn)特征：它們 年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為50%; 值分別為0、1.5以及-1.5。另外，市場(chǎng) 年收益率的均值為rM 12%，標(biāo)準(zhǔn)差為M 20%，無風(fēng)險(xiǎn)利率為4%。由CAPM，這三個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是多少？解答：首先，市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是rM * 0.12 0.04 8%。我們有rA rF (0)(0.08)0rB rF (1.5)(0.08) 12% re rF ( 1.5)(0.08)12%盡管資產(chǎn)A有相對(duì)較高的波動(dòng)率，但它全是剩余風(fēng)險(xiǎn)，因而沒有 溢價(jià)。它的期望收益將和無風(fēng)險(xiǎn)

20、利率一樣，都是4%。資產(chǎn)B和C的資產(chǎn)收益波動(dòng)率有很大一部分來自市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。特別地，市場(chǎng)回歸的R2都是(1.5)2 (0.2)2 /(0.5)20.36。然而，它們的溢價(jià)卻不相同。資產(chǎn) A有正的12%的溢價(jià)，而資產(chǎn)B有負(fù)的12%的溢價(jià)。如用收益的方差來度量，盡管三個(gè)資產(chǎn)有完全相同的總風(fēng)險(xiǎn)，但是風(fēng)險(xiǎn)的構(gòu)成是不一樣的。資產(chǎn)A的風(fēng)險(xiǎn)與市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)完全無關(guān)。因此， 它沒有風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。資產(chǎn)B和C都有很大的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。但是，它們的風(fēng) 險(xiǎn)溢價(jià)不同。資產(chǎn)B的 值為正，因而它的收益與市場(chǎng)收益正相關(guān)。 給定參與者都持有市場(chǎng)組合，資產(chǎn)B的風(fēng)險(xiǎn)是不受歡迎的。因此，它 有正的溢價(jià)。資產(chǎn)C的值為負(fù)，即它的收益與市場(chǎng)收益負(fù)相關(guān)。也 就

21、是說，當(dāng)市場(chǎng)表現(xiàn)好時(shí)它的收益較低，但市場(chǎng)表現(xiàn)差時(shí)它的收益反 而較高。對(duì)于一個(gè)持有市場(chǎng)組合的參與者來說，資產(chǎn)C實(shí)際上提供了一個(gè)保險(xiǎn)。因此，它有負(fù)的溢價(jià)。也就是說，參與者愿意為了持有它 而付出一個(gè)溢價(jià)。事實(shí)上，資產(chǎn)C的期望收益是7c 4% 12%8% ,它是負(fù)的。也就是說，排除了不確定性，資產(chǎn) C得到的平均回報(bào)是每 年8%，而市場(chǎng)中的無風(fēng)險(xiǎn)收益率是 4%。如果理解了資產(chǎn)C提供的 實(shí)質(zhì)上是對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)保險(xiǎn)，那么這個(gè)結(jié)論就不足為奇了。2. 計(jì)算在超常增長(zhǎng)時(shí)期末股票的價(jià)格。如果股票第3年的股利為：D3 D1(1 g )$3.125 (1 0.05)$3.28其中g(shù) 5%，試求3年期末股票的價(jià)格。解答

22、：股利的現(xiàn)值D1D2$2.50$3.1251 2 2(1 r) (1 r) (1 0.12)(1 0.12)$2.05 (PVIF12%,J $3.125 (PVIF12%,2)$2.50 (1.25) $3.125 (0.797)$2.23 $2.49$4.72因?yàn)楣善钡膬r(jià)格為：D3$3.28F23$46.86r g 0.120.05所以股票價(jià)格的現(xiàn)值$46.86 (PVIF12%,2)$46.86 (0.797)$37.35將得到的這兩個(gè)現(xiàn)值相加得到普通股的價(jià)值。F0$4.72 $37.35 $42.073. (股票定價(jià))企業(yè)1在時(shí)期t 1將發(fā)行100股股票，該種股票 在時(shí)期t 2的價(jià)值為

23、隨機(jī)變量V1(2)。企業(yè)的資金都是通過發(fā)行這種股 票而籌集的，以至于股票持有者有資格獲得完全的收益流。最后給出 的有關(guān)數(shù)據(jù)是11000, P -y(2)2 , Cov(XX2)0.045 ,、var(XM)0.3.800,P-2r 0.10 , E(Xm ) 0.20試用資本資產(chǎn)基本定價(jià)方程求出該股票的合理價(jià)值。0.100.20 0.1000.045 0.15$。即普通股所需的收益率為15%，這就意味著市場(chǎng)將以15%的貼現(xiàn)EM(2)，以確定股票在時(shí)期1的市場(chǎng)價(jià)格，于是我們有解：應(yīng)用證券市場(chǎng)線性方程E(X-) r (”；)、rcov(Xi,XM)(X M )11EM(2) 1000 800 90

24、0$。22以15%貼現(xiàn)，V(1) 900/1.15$，因有100股，故每股價(jià)值為7.83$第五章練習(xí)及參考答案1.二項(xiàng)分布的期望值。一個(gè)三期的二叉樹，股價(jià)的參數(shù)為S。20,u 1.1, d 0.9, q 0.8,如果期權(quán)在到期日的收益為：(S321)求其期望值。解答：S3的可能值為26.62、21.78、17.82、14.58,分別對(duì)應(yīng)于X 取值3、2、1、0.將這些值代人公式(518)求得概率為0.512、0.374、 0.096、0.008.到期時(shí)期權(quán)的收益分別為 5.62、0.78、0、0,因此期望收益是5.62(0.512)0.78(0.374)03.17(美元)2.考慮一個(gè)普通股，在

25、開始的兩年內(nèi)其股利預(yù)期增長(zhǎng)率為 25%, 隨后，預(yù)期增長(zhǎng)率下降到5%。上期支付股利為2美元。投資者希望 取得12%的回報(bào)。計(jì)算該股票的價(jià)值。解答：考慮一個(gè)普通股，在開始的兩年內(nèi)其股利預(yù)期增長(zhǎng)率為25%,隨后，預(yù)期增長(zhǎng)率下降到5%。上期支付股利為2美元。投資 者希望取得12%的回報(bào)。為了計(jì)算該股票的價(jià)值，可采用如下步驟： 第一步，計(jì)算在超常增長(zhǎng)時(shí)期的股利，并求出其現(xiàn)值。假定Do為2美元，g為15%, r為12%:D1 Do(1 g) $2 (1 0.25) $2.50D2 D°(1 g)2$2 (1.563) $3.125或 D2 D1(1 g) $2.50 (1.25)$3.125股

26、利的現(xiàn)值D1 D2$2.50$3.125(1 r)1 (1 r)2(1 0.12) (1 0.12)2$2.05 (PVIF12%,1) $3.125 (PVIF12%,2)$2.50 (1.25) $3.125 (0.797)$2.23 $2.49$4.72第二步，計(jì)算在超常增長(zhǎng)時(shí)期末股票的價(jià)格。第三年的股利為：D3 D1(1 g )$3.125 (1 0.05)$3.28其中，g 5%因此股票的價(jià)格為:D3r g$3.280.120.05$46.86股票價(jià)格的現(xiàn)值$46.86 (PVIFi2%,2)$46.86 (0.797)$37.35第三步，將從步驟1和步驟2得到的這兩個(gè)現(xiàn)值相加得到普

27、通股的 價(jià)值。F0$4.72 $37.35$42.073 .股票現(xiàn)在的價(jià)值是50元。一年后，它的價(jià)值可能是 55元或 40元。一年期利率是4%。假設(shè)希望計(jì)算兩種看漲期權(quán)的價(jià)格，一種 的執(zhí)行價(jià)為48元，另一種的執(zhí)行價(jià)為53元。我們也希望一執(zhí)行價(jià)為 45元的看漲期權(quán)。問，應(yīng)該如何用V。 e rtPU (1 P)D e"EpVi求出這三個(gè)價(jià)格？其中的P、U和D如圖I I解答：股票現(xiàn)在的價(jià)值為50美元。一年后，它的價(jià)值可能是 55 美元或40美元。一年期利率為4%。假設(shè)我們希望計(jì)算兩種看漲期權(quán) 的價(jià)格，一種執(zhí)行價(jià)格為48美元，另一種執(zhí)行價(jià)為53美元。我們也 希望為一種執(zhí)行價(jià)為45美元的看漲(

28、書中是“漲”字)期權(quán)定價(jià)。第1步：從股票二叉圖得到q551.04 50 55q 40(1 q)從52 55q 40(1 q)我們得到由于1255q40q15q40所以12150.8第2步：對(duì)衍生產(chǎn)品價(jià)值U和D求平均。1.如果看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)為48美元，那么U 7以及D 0，看漲期權(quán)的價(jià)格為:2.3.1而q 7 (1 q) 05.61.04B5.3(美元)如果看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)為53美元，那么U 2，看漲期權(quán)的價(jià)格為：1 1 6仙©8 2 0)1.04B1.54(美元)如果看跌期權(quán)執(zhí)行價(jià)為45美元，那么U0以及D 5 ,看跌期權(quán)的價(jià)格為:11.04(0 0.2 5)1.01.04B0.96

29、(美元)4. 我們考慮這樣的期權(quán)定價(jià)問題：股票的初始價(jià)格是 100并且 假設(shè)一段時(shí)間后股票的價(jià)格只可能是 200或者50。如果在0時(shí)刻我 們能以每股C的價(jià)格買入一個(gè)期權(quán)，這個(gè)期權(quán)使我們?cè)跁r(shí)刻1能以每股150的價(jià)格購(gòu)買股票，那么當(dāng)C的值為多少時(shí)穩(wěn)贏的賭博不可能存 在？解：在本章的背景下，試驗(yàn)的結(jié)果是時(shí)刻1時(shí)的股票價(jià)格，因此, 有兩種可能的結(jié)果。與此同時(shí)也存在兩種不同的賭博：買(或者賣) 股票和買(或者賣)期權(quán)。由套利定理我們知道，如果在結(jié)果集上存 在概率(P,1 P)使得這兩種賭博的期望收益現(xiàn)值為零，那么就不會(huì)有 穩(wěn)贏的情況出現(xiàn)。購(gòu)買一股該股票收益的現(xiàn)值為：200(1 r)C如果在時(shí)刻1時(shí)的價(jià)格

30、是 100如果在時(shí)刻1時(shí)的價(jià)格是收益=円200， I50(1 r) 1 100如果在時(shí)刻1時(shí)的價(jià)格是50。因此，若在時(shí)刻1時(shí)股票價(jià)格是200的概率為p，那么E收益p Z00100(1 p) 50 1001 r1 r1501 r501 r100。令這個(gè)式子等于零，我們就得到:1 2r3由此可見，若賭博為購(gòu)買股票，那么使得該賭博的期望收益是零的概 率向量(P,1 P)只可能是P (1 2r)/3此外，購(gòu)買一個(gè)期權(quán)收益的現(xiàn)值為：50(1 r) 1 C 如果在時(shí)刻1時(shí)的價(jià)格是200,收益=“50。因此，當(dāng)p (1 2r)/3時(shí)，購(gòu)買一個(gè)期權(quán)的期望收益是:E收益1 2r 503 Tr根據(jù)套利定理，我們就

31、得到了不可能存在穩(wěn)贏策略時(shí)C的唯一值是:1 2r 503 Vr，即,50 100r3(1 r)5. 假設(shè)一個(gè)證券現(xiàn)在的售價(jià)是 30,名義利率是8% (單位時(shí)間 為1年)，這種證券的波動(dòng)率是0.20。求一個(gè)3個(gè)月后到期且執(zhí)行價(jià) 為34的買入期權(quán)的無套利價(jià)格。解：本題中的參數(shù)是：t 0.25,r 0.08,0.20,K 34,S(0)30 ,所以我們就有0.02 0.005 log(34/30)1 0016(0.2)(0.5).。由此得到C 30 ( 1.0016) 34e0.02 ( 1.1016)30(0.15827)34(0.9802)(0.13532)0.2383。這個(gè)期權(quán)合適的價(jià)格就應(yīng)該

32、是24美分6.函數(shù)f(x)稱為是凸的是指，如果對(duì)所有的x和y ,以及01 ,都有f( x (1)y) f(x) (1)f(y)函數(shù)凸性的幾何解釋是，f (x) (1 )f (y)是f(x)和f (y)連線上的點(diǎn)，它給f (x)的權(quán)重與在x和y的連線上的點(diǎn) x (1 )y所給予點(diǎn)x的權(quán) 重是相同的。因此，凸性的幾何解釋又是，連接曲線 f(x)上任意兩點(diǎn) 的直線總在這段曲線之上。試證明下面的結(jié)論。命題 令C(K,t)是以某種特定證券為標(biāo)的買入期權(quán)的價(jià)格，這個(gè)期權(quán)的敲定價(jià)為K,到期日為t。(a) 對(duì)于固定的到期日t，C(K,t)關(guān)于K是凸的非增函數(shù)。(b) 對(duì)于任意的 s 0，有 C(K,t) C(

33、K s,t) s。f( x (1)y)解：凸函數(shù)的幾何意義如下圖所示 f(y)x x (1 )y凸函數(shù)的幾何意義如果用S(t)來表示標(biāo)的證券在t時(shí)刻的價(jià)格，那么在t時(shí)刻買入期權(quán)的回報(bào)是：S(t) K 若 S(t) K，期權(quán)的回報(bào)=I。若 S(t) K。這就是說，期權(quán)的回報(bào)=(S(t) K)，其中，x (稱為x的正部)定義為：當(dāng)x 0時(shí)取值x，當(dāng)x 0時(shí)取值 0。對(duì)于固定的S(t)，從回報(bào)函數(shù)(S(t) K)的圖像，它是關(guān)于K的凸函 數(shù)。函數(shù)(S(t) K)的圖像為了證明C(K,t)是關(guān)于K的凸函數(shù)，假設(shè)KKi (1)K2，01?，F(xiàn)在考慮以下兩個(gè)投資:1) 購(gòu)買1(K,t)買入期權(quán)。2) 購(gòu)買

34、(K1,t) 買入期權(quán)和 (1 )(K2,t) 買入期權(quán)。因?yàn)橥顿Y1)在t時(shí)刻的回報(bào)為(S(t) K)，而投資2)在t時(shí)刻的 回報(bào)為(S(t) K1) (1 )(S(t) K2) ，由函數(shù) (S(t) K) 的凸性可知，投資 2) 的回報(bào)至少應(yīng)該和投資 1)的回報(bào)一樣大。因此，由廣義一價(jià)律，要 么投資 2)的成本至少和投資 1)的成本相等，要么存在套利。這就 是說，要么C(K,t)C(K1,t) (1 )C(K2,t)要么存在套利。這證明了函數(shù) C(K,t)的凸性。對(duì)于C(K,t)關(guān)于K的非 增函數(shù)的證明，作為練習(xí)留給讀者。要證明b)部分，應(yīng)該注意到，如果 C(K,t) C(K s,t) s，

35、那么通 過賣出一個(gè)t時(shí)刻到期、敲定價(jià)為K的買入期權(quán)，并買入一個(gè)t時(shí)刻到 期、敲定價(jià)為K s的買入期權(quán)，就可以得到套利機(jī)會(huì)。因?yàn)榍枚▋r(jià)為 K的期權(quán)的回報(bào)比敲定價(jià)為K s的期權(quán)的回報(bào)，最多多出s，因此從 這個(gè)投資組合總會(huì)得到正的利潤(rùn)。第六章練習(xí)及答案1. 計(jì)算與每月按復(fù)利計(jì)息的 5的利率等價(jià)的有效利率 r 。解答：在一年中， 有效利率為 r 的 1 期終值為 1 r ，按 5的利率 每月計(jì)息的復(fù)利終值為 (1 0.05/12) 12 。令1 r (1 0.05/12)12得出r (1 0.05/12)12 11.05116190 1 0.05116190或 5.116%2.假設(shè)我們對(duì)債券市場(chǎng)建立模

36、型.選擇a 0.005和b 0.03,我們知道今天的利率是r 0.052 .那么5年和10年的零息券的今日價(jià)格分別是多少？這些債券的當(dāng)前收益率是多少？解答：價(jià)格只受到到期日的影響，我們?nèi) t 5和T t 10。5年債券:5 0.052遊 52 瞠 530.303752 6所以P(t,t0.303755) e0.738。就是說，一張面值為1000美元的5年債券今天的價(jià)格應(yīng)該是738美元.它的當(dāng)前收益率是 0.30375/5=0.0607,持有至到期日的年收益率是6.07%.10年債券:2310 0.052 0.0025 100.00015 100.62所以P(t,t 10) e 0.62 0.

37、538 .就是說，一張面值為1000美元的10 年債券今天 的價(jià)格應(yīng)該是538美元.它的當(dāng)前收益率是0.62/10, 持有至到期目的年收益率是6.2%.3.計(jì)算等價(jià)于5%的有效利率的按復(fù)利每季計(jì)息的名義利率j解答：在一年中，按j的利率每季計(jì)息的復(fù)利終值為(1 j/4)4 ,并且有效利率為5%的1其終值為1.05。令(1j/4)41.05得到于是或 4.909%11j/4(1.05)41j 4(1.05尸 14(0.01227223) 0.049088924.已知r(s)sFT2求出收益曲線和現(xiàn)值函數(shù)。解：改寫r(s)為r(s)a r2s則可以給出以下的收益曲線r(t)互 iog(1 t)。因此

38、，現(xiàn)值函數(shù)為P(t)exp atexplog(1 t)q ")exp at(1 t)r1 r2。5.(債券定價(jià))有一個(gè)面值為100元的債券，約定到期付息8%, 假定在債券有效期內(nèi)有 70 %的時(shí)間可以贖回本金并獲得利息，30% 的時(shí)間不能還本付息，但將制伏 0元的承保金，即可將債券在時(shí)期 2 的價(jià)值表示為108,P0.7050,P 0.30設(shè)cov(B,Xm) 7，其它數(shù)據(jù)如上題，試確定債券在時(shí)期1的合理價(jià)值解由證券市場(chǎng)線性方程可得確定等價(jià)定價(jià)公式P。E(Pe)cov(Pe, Xm)1 r由此結(jié)果得債券在時(shí)期1的合理價(jià)值PbE(B) E(Xm) r 2(Xm) cov(B,Xm)1

39、r90.60(0.200.10) 0.0971.1090.60 7.78 82.821.10 1.1075.29$。市場(chǎng)所需的期望收益率為E(Xb)90.60 75.2975.2915.3175.2920.33%第七章練習(xí)及參考答案1. 某公司在時(shí)期1的市場(chǎng)價(jià)值為900元。現(xiàn)有一項(xiàng)目，其在時(shí)期2的期望收益為E(V) 1000 , E(Xm)0.15 , r 0.05公司現(xiàn)在考慮一個(gè)新的投資項(xiàng)目，其單位成本為 60元。在時(shí)期2的現(xiàn)金收益流為E(F) 130，cov(F,Xm)J 2(Xm) 250，試回答，該公司管理者應(yīng)該怎樣考慮這個(gè)項(xiàng)目？解由確定等價(jià)定價(jià)公式E(Vi) E；：)covMXm)

40、(X m )1 r得求解上式得又故又9001000 0.10cov(y, Xm )""2(Xm)1.05COV(Vj, Xm )2(Xm)550$。cov(Vi Fi,XM ) cov(Vi,Xm ) cov(R,Xm)，CO理(腫)550 250 800$E(%F%1000 1301130，假如投資新項(xiàng)目，那么公司在時(shí)期1的總收入(不考慮投資成本)是廠(V F) COv(Vi Fi , X M )(廠(丫 ) r ) E(Vi Fi)2(E(Xm) r)(X m )1 r1130 800 0.1010501.051.051000$。因?yàn)楣臼袌?chǎng)價(jià)值Po比原來的F0上漲了

41、100$,而投資成本為 60$,故可以得到補(bǔ)償，所以可以投資新項(xiàng)目2. 一家企業(yè)面臨一項(xiàng)確定性的投資項(xiàng)目，現(xiàn)在投資的資金流出和未來的收入現(xiàn)金流都是確定的。假如這個(gè)項(xiàng)目是1階段的，在t 0時(shí)期需要投資10 000元，到t 1時(shí)期（1年后）便可以確定性地收入13 000元?，F(xiàn)在金融市場(chǎng)上1年期的無風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率是 15%。問： 如何做出投資決策？解答：記現(xiàn)在的投資現(xiàn)金流出為CF。 10 000元，1年后的收入現(xiàn) 金流為CF1 13 000元。這個(gè)項(xiàng)目的投資是無風(fēng)險(xiǎn)的，因?yàn)閷戆l(fā)生的 現(xiàn)金流是確定的。所以，機(jī)會(huì)成本應(yīng)該是1年期無風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率15%。下面分別計(jì)算所發(fā)生的現(xiàn)金流的現(xiàn)值和凈現(xiàn)值:FV

42、 (CF。)10 000 (元),FV (CF1)130001.1511300 (元)NFVFV(CF0,CF1) FV(CF0) FV(CF1)10000 11300 1300結(jié)論是：此項(xiàng)投資可行，投資結(jié)果將使企業(yè)價(jià)值增大1 300元。顯而易見，現(xiàn)值的計(jì)算與現(xiàn)金流發(fā)生的時(shí)點(diǎn)有緊密的聯(lián)系。 因此, 對(duì)于資產(chǎn)估值與定價(jià)來說，時(shí)間是金融決策的一項(xiàng)基本要素。3. 如果上題的項(xiàng)目未來t 1時(shí)期（1年后）發(fā)生的收入現(xiàn)金流是不確定的（有風(fēng)險(xiǎn)的），其預(yù)期值（概率平均值）為13 000元，問：如何做 出投資決策？解答：此時(shí)需要測(cè)算該項(xiàng)目的機(jī)會(huì)成本，假設(shè)測(cè)得機(jī)會(huì)成本為35%,則可計(jì)算所發(fā)生的現(xiàn)值和凈現(xiàn)值為:PV

43、 （CF。）10 000 （元）,PV （CFJ 13000 9 630 （元）1.35NPVPV（CF0,CF1） PV（CF0） PV（CF1）10000 9 630370結(jié)論是：此項(xiàng)投資不可行，如果進(jìn)行投資，企業(yè)的價(jià)值 （請(qǐng)注意: 企業(yè)的價(jià)值是市場(chǎng)價(jià)值，即企業(yè)的現(xiàn)值）將會(huì)減少370元。因此，現(xiàn)值的計(jì)算取決于現(xiàn)金流的風(fēng)險(xiǎn)。 對(duì)于資產(chǎn)估值與定價(jià)來 說，風(fēng)險(xiǎn)是金融決策的另一項(xiàng)基本要素。 的研究發(fā)現(xiàn)凈現(xiàn)值法判據(jù)的 不足之處，從而作為重大的改進(jìn)提出了實(shí)物期權(quán)方法。第八章練習(xí)及參考答案1假設(shè)你向銀行借款100000美元買房，負(fù)責(zé)貸款的經(jīng)理告訴你 可以以0.6%的月利率貸款15年，每月分期償還。如果銀行要收取貸 款初始費(fèi)用600美元，房屋檢驗(yàn)費(fèi)400美元，以及貸款額的1個(gè)百分 點(diǎn)，