對坐標的曲線積分2ppt課件

1、 第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用 一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑二、平面上曲線積分與路徑 無關(guān)的等價條件無關(guān)的等價條件 三、內(nèi)容與小結(jié)三、內(nèi)容與小結(jié)LD區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域 ( 無“洞區(qū)域 )多連通區(qū)域 ( 有“洞區(qū)域 )域 D 邊界L 的正向: 域的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線是由分段光滑正向曲線 L 圍成圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),LDyxyQxPyxQPdddd或一、 格林公式證明:1) 若D 既是 X - 型區(qū)域 , 又是

2、 Y - 型區(qū)域 , 且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21那么yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD即yxxQDddLyyxQd),(同理可證yxyPDddLxyxPd),(、兩式相加得:LDyQxPyxyPxQddddyxoL2) 若D不滿足以上條件, 則可通過加輔助線將其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd為有限個上述形式的區(qū)域 , 如圖)(的正向

3、邊界表示kkDD證畢推論: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 橢圓橢圓20,sincos:byaxL所圍面積LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab例1. 設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明0dd22yxxyxL證證: : 令令,22xQyxP那么yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyxdd00例2. 計算,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點的三角形閉域 . 解解: : 令令, 那么2, 0yexQPyPxQ利用

4、格林公式 , 有Dyyxedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye例3. 計算,dd22Lyxxyyx其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解解: : 令令,022時則當(dāng) yx22222)(yxxyxQ設(shè) L 所圍區(qū)域為D,)0 , 0(時當(dāng)D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoLdsincos2022222rrr2,)0 , 0(時當(dāng)D在D 內(nèi)作圓周,:222ryxl取逆時針方向,1D, 對區(qū)域1D應(yīng)用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx

5、22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx記 L 和 l 所圍的區(qū)域為林公式 , 得二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理定理2. 2. 設(shè)設(shè)D D 是單連通域是單連通域 , ,),(),(yxQyxP在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 內(nèi)每一點都有.xQyPLyQxPdd與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān). 函數(shù)則以下四個條件等價:在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 說明說明: : 積

6、分與路徑無關(guān)時積分與路徑無關(guān)時, , 曲線積分可記為曲線積分可記為 證明: (1) (2)設(shè)21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲線, 那么(根據(jù)條件(1)BAyQxPddAByQxPdd證明: (2) (3) 在D內(nèi)取定點),(00yxA因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux那么),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPx

7、yxxP),(同理可證yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一點B( x, y ),與路徑無關(guān),),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數(shù) 證明: (3) (4)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得yQxPuddd那么),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),xyuyxu22所以從而在D內(nèi)每一點都有xQyPxyuxQyxuyP22,證明: (4) (1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖) ,上因此在DxQyP利用格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所圍區(qū)域為證畢yx說明:根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),xQyP那么2)

8、求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):Dyx),(00及動點,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點1) 計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;yA xoL例4.計算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: : 為了使用格林公式為了使用格林

9、公式, , 添加輔助線添加輔助線段段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周區(qū)域為D , 那么3648 例5.驗證yyxxyxdd22是某個函數(shù)的全微分, 并求出這個函數(shù). 證證: : 設(shè)設(shè),22yxQyxP那么xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx例6.驗證22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù)

10、 , 并求出它. 證證: : 令令2222,yxxQyxyP那么)0()(22222xyQyxxyxP由定理 2 可知存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxoxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy例7.設(shè)質(zhì)點在力場作用下沿曲線 L :xycos2由)2, 0(A移動到, )0,2

11、(B求力場所作的功W解解: :)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP則有)0()(22422yxryxkyPxQ可見, 在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān). )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd:AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2考慮考慮: : 積分路徑是否可以取積分路徑是否可以取?OBAO取圓弧LBAyox為什么？注意注意, 本題只在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑本題只在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān) !三、內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式LyQxPdd2. 等價條件在 D 內(nèi)與路徑無關(guān).yPxQ在 D 內(nèi)有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd對 D 內(nèi)任意閉曲線 L 有0ddLyQxP在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有CCCDyxoaaC 練習(xí)題1. 設(shè)C為沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx從點), 0(a依逆時針), 0(a的半圓, 計算解解: : 添加輔助線如圖添加輔助線如圖 , ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到點D2. 質(zhì)點M 沿著以AB為直徑的半圓, 從 A(1,2) 運動到Dy