一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件

1、第二章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 本章簡介導(dǎo)數(shù)與微分是微分學(xué)中的兩個(gè)基本概念。其中導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)相對于自變量的變化的快慢程度，即函數(shù)的變化率；而微分則是指當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)改變量的近似值。本章重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與微分的概念；基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；求導(dǎo)法則。本章難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與微分的概念；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 一、兩個(gè)引例 二、導(dǎo)數(shù)的定義 三、求導(dǎo)舉例 四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 本節(jié)內(nèi)容提要本節(jié)重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念；左，右導(dǎo)數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。本節(jié)難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念的理解；可導(dǎo)的充要條件；利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線法線方程；判斷函數(shù)在一點(diǎn)處是否可導(dǎo)和

2、連續(xù)；利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)；教學(xué)方法啟發(fā)式教學(xué)手段多媒體課件和面授講解相結(jié)合教學(xué)課時(shí) 3課時(shí)一、兩個(gè)引例 1、變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t在某一直線上的位置坐標(biāo)為s，于是該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可由函數(shù)s= s (t) 確定。我們要求在某一t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度vt0）。 在時(shí)間段t0,t0+ 內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過的路程為 于是 即為該時(shí)間段內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的平均速度。它并不是t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度vt0），但是如果時(shí)間間隔 較短，那么有 。顯然，時(shí)間間隔 越短，平均速度 與瞬時(shí)速度vt0的近似程度就越好。也就是說，當(dāng) st00()( )ss tts t t0()sv tttsttt無限縮短時(shí)，平均速度 就會(huì)無限接近于瞬時(shí)速度

3、vt0），而運(yùn)用我們第一章所學(xué)的極限概念，就有這樣，該極限值就是t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度vt0）。 st00000()()()limlimtts tts tsv ttt 2、曲線的切線 設(shè)有曲線C及C上一點(diǎn)M，在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N做割線MN。當(dāng)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí)，如果割線MN的極限位置為MT，則稱直線MT為曲線C在點(diǎn)M處的切線。 設(shè)割線MN與X軸的夾角為 切線MT與X軸的夾角為 。曲線方程為y=f (x),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為 。于是，割線MN的斜率為： 。當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨向點(diǎn)M時(shí)，就有 ，割線的斜率 就會(huì)無限接近切線的斜率 ,又由極限的定義， 00(,)xx yy 00()

4、(tanfxxfxyxx ）0,x tantan有即為切線的斜率。 0000()(tanlimlimxxfxxfxykxx ）二、導(dǎo)數(shù)的定義 上面所討論的兩個(gè)問題，一個(gè)是物理問題，一個(gè)是幾何問題。但是當(dāng)我們拋開它們的具體意義而只考慮其中的數(shù)量關(guān)系時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上完全相同的一個(gè)極限 ：即因變量的改變量 與自變量的改變量 之比，當(dāng)自變量的改變量 趨于0時(shí)的極限。這就是導(dǎo)數(shù)。0000()(limlimxxfxxfxyxx ）。yxx1、定義 設(shè)函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量 時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)y取得增量 x0（ 點(diǎn) x +x仍 在 該 鄰 域 內(nèi) ）000

5、0000( ),()(limlim( ),xxxxxxyxxxyf xf xxf xyxxdydf xdxdx 0000 x=xx=x0如果與之比當(dāng)時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x 處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)x 處的導(dǎo)數(shù)，記作y即）y。也可記做f (x ),。00()();yf xxf x 在x0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，稱為x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。注：導(dǎo)數(shù)的定義也可取如下兩種形式：000000()()()lim()()()limhxxfxhfxfxhfxfxfx。0 x - x2、區(qū)間可導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)(1) 如果函數(shù)y = f (x) 在某個(gè)開區(qū)間a,b內(nèi)每一點(diǎn)x處均可導(dǎo)，則稱函數(shù)y = f (x)在區(qū)間

6、a,b內(nèi)可導(dǎo)。 (2) 若函數(shù)y=f(x)在某一范圍內(nèi)每一點(diǎn)均可導(dǎo)，則在該范圍內(nèi)每取一個(gè)自變量x的值，就可得到一個(gè)唯一對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，這就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，稱為原函數(shù)y =f (x)的導(dǎo)函數(shù)，記做 導(dǎo)函數(shù)往往簡稱為導(dǎo)數(shù)。用極限表示為：( ),( ),dydfxyfxdxdx。00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx 。3、左右導(dǎo)數(shù)(1)稱左極限 為函數(shù)f (x)在x0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)，記做 。 0000()()limlimxxf xxf xyxx 。0()fx(2) 稱右極限 為函數(shù)f (x)在x0點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)，記做 。 0000()()limlimxxf xxf xyxx 0()

7、fx4、可導(dǎo)的充要條件函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充要條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。三、求導(dǎo)舉例 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)，可分為如下三個(gè)步驟： 02022200200lim13()()(3)3662.63. limlim 66(3)6xxxyyxyxyxxyf xxf xxxxyxxxxxyxyx 第一步：求因變量的改變量；第二步：求比值；第三步：求比值的極限例 、根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在的導(dǎo)數(shù)值。 解： 1. （），即。02( )1.()( )002.03.lim0 xf xcyf xxf xccyxxyx 例 、求（c為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。解： ，故（c） =0。本題說明，常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0。1221

8、2112113( )()( )()(1).2(1)2.2(1)3.limlim.2nnnnnnnnnnnnnxxf xxyf xxf xxxxn nnxxxxxyn nnxxxxxyn nnxxxxnxx 例 、求函數(shù)（n為正整數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。解：1. 故有（1223()1yxxxyxxxxnn-1x）=nx 。一般的，冪函數(shù)為常實(shí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為（ ）=。練習(xí)：求， ， 的導(dǎo)數(shù)。0004( ) sin1.()( ) sin() sin2cos()sin222cos()sin222.2cos()sinsin2223.limlimlimcos()22cos 1 cos ,xxxf xxxxyf xxf

9、 xxxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxx 例、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解： 故（sinx ）=cosx。類似地，可求得（cosx）=-sinx。100005(0,1)1.()( )12.1log (1),00113.limlimlimlimlog (1)log (1)xxxxxxxxxxaxxxxxxttataa aayf xxf xaayaaaaxxxataxtxtyataaaxxtt 例、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解： 在這里，設(shè)，移項(xiàng)并取以 為底的對數(shù)，有且當(dāng)時(shí)，。1lnlog(0,1)ln ;xxaxxxxxaaaea aaaaaae也就是說，指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為(特別地，當(dāng)時(shí)，有（e）=e。00006

10、( )log(0,1)1.()( )log () loglog (1)log (1)2.log (1)13.limlimlimlog (1)11limlog (1)logxaaaaaaaxxxxxaxf xx aaxyf xxf xxxxxyxxxxyxxxxxxxxxxxx 例 、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解： 1ln1log(0,1)logln1logln ,(ln )aaaeexax aaxaexaxxxx即對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）=；特別地，當(dāng)時(shí)，有。四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y = f (x)在 處的導(dǎo)數(shù) 在幾何上表示曲線 y = f (x)在 處的切線的斜率，即 ,為切線與x軸正向的夾角。根據(jù)點(diǎn)斜式

11、直線方程，可得 處的切線方程為：相應(yīng)點(diǎn)處的法線方程為：0 x( )fx00( ,)M x y點(diǎn)( )tanfx00(,)M xy點(diǎn)000()()yyfxxx0001()()yyxxfx 4421cos42(cos )sin2|( sin )|22( )422()22422()24xxyxxxkyxkyyxyx 例、求曲線在點(diǎn)（ ， ）處的切線方程和法線方程。解：由及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，所求切線的斜率為，相應(yīng)的法線斜率為切線方程為：；法線方程為：21230,024()()2 ,12tan14211 1( , )42 41111 (),424()3yxMxxxxxxxyMyxyxyxM x y例

12、、拋物線上一點(diǎn)處的切線與 軸正向的夾角為 ，求該點(diǎn)坐標(biāo)并求曲線方程。解：由冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可知，又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，令，得，相應(yīng)，得點(diǎn) 的坐標(biāo)為切線方程為：即；練習(xí)：曲線在點(diǎn)處切線斜率為 ，則該點(diǎn)坐標(biāo)是多少？可導(dǎo)性與連續(xù)的關(guān)系：若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，則它在點(diǎn)x處必連續(xù)。而若函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)卻不一定可導(dǎo)。五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 0000001|0|(,)00(0)(0)(0)limlimlim1,(0)(0)(0)limlimlim1xxxxxxyxxyxxxxfxfxfxxxxfxfxfxxxx 例 、判斷在點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性。解：函數(shù)在上連續(xù)，在點(diǎn)，當(dāng)然也是連續(xù)的。另一方面，考慮在點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)：；即在0|0|0yxxyxx點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)都存在但不相等。由可導(dǎo)的充要條件，在點(diǎn)不可導(dǎo)。綜上，在點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)。11111101( )1121lim ( )lim1lim ( )lim(21) 11lim (1) 1lim ( )(1)( )xxxxxxxxf xxxxf xxf xxxff xff x例2、討論函數(shù) 在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。解：先討論連續(xù)性，而即在點(diǎn)的左、右極限都存在且相等，由極