高等數(shù)學(xué) 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(習(xí)題)

1、第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題4-11、驗(yàn)證下列各題,確定的值：(1)對(duì)函數(shù)y=sinx在區(qū)間56,6,上驗(yàn)證羅爾定理； 解：顯然y=f(x)=sinxC且f()=f(55,f(x)D(,)， 666651)=,可見羅爾定理?xiàng)l件成立； 66235(,),有f'()=cos=0, 而f'(x)=cosx,取=26662所以羅爾定理結(jié)論成立.(2)對(duì)函數(shù)y=4x-6x-2在區(qū)間0,1上驗(yàn)證拉格朗日中值定理； 解：顯然y=f(x)=4x-6x-2C0,1,f(x)D(0,1)， 可見拉格朗日中值定理?xiàng)l件成立；而3232f'(x)=12x2-12xx1,2=,令f(1)-f(

2、0)=-4-(-2)=-2, 1-012x2-12x=-2,得6±36-243±3=, 126f(1)-f(0)3+3取=, (0,1),有f'()=1-06所以拉格朗日中值定理結(jié)論成立.32 (3)對(duì)函數(shù)f(x)=x及g(x)=x+1在區(qū)間0,1上驗(yàn)證柯西中值定理.解：顯然f(x),g(x)C0,1,f(x),g(x)D(0,1),且g'(x)=2x0,x(0,1),可見柯西中值定理?xiàng)l件成立； 2f(1)-f(0)1-0f'(x)3x23令=1=x,得x=, 3g(1)-g(0)2-1g'(x)2x2=(0,1),有2、證明下列不等式： 2

3、3f(1)-f(0)f'(), =g(1)-g(0)g'()所以柯西中值定理結(jié)論成立.(1)當(dāng)a>b>0時(shí), 3b2(a-b)<a3-b3<3a2(a-b)；證明：顯然f(x)=x3Cb,a,f(x)D(b,a),于是(b,a),s.t.a3-b3=f(a)-f(b)=f'()(a-b)=32(a-b),因0<b<<a,所以3b2(a-b)<a3-b3<3a2(a-b).a-baa-b<ln<； abb證明：顯然f(x)=lnxCb,a,f(x)D(b,a),于是(b,a),s.t.aa-bln=lna-

4、lnb=f(a)-f(b)=f'()(a-b)=, b因0<b<<a,所以a-baa-b<ln<. abb(2)當(dāng)a>b>0時(shí),(3)|arctana-arctanb|a-b|；證明：當(dāng)a=b時(shí),結(jié)論顯然成立；不妨假設(shè)b<a,由于f(x)=arctanxCb,a,f(x)D(b,a),于是(b,a),s.t.arctana-arctanb=f(a)-f(b)=f'()(a-b)=所以|arctana-arctanb|=(4)當(dāng)x>1時(shí), e>xe.t證明：當(dāng)x>1時(shí),顯然f(t)=eC1,x,f(t)D(1,x)

5、, xa-b, 21+|a-b|a-b|. 1+2于是(1,x),s.t.ex-e=f(x)-f(1)=f'()(x-1)=e(x-1),由于1<<x,所以、有ex=e+e(x-1)>e+e(x-1)=3、證明恒等式：arctanx+arccotx=. 2,(-<x<+).證明：令f(x)=arctanx+arccotx,由于f'(x)=11-0,-<x<+, 1+x21+x2于是f(x)C=常數(shù),顯然C=f(1)=所以arctanx+arccotx=f(x)=34+4=2， 2,-<x<+. 4、證明方程x+x-1=0有且

6、只有一個(gè)正實(shí)根.證明：先證明存在性. 令f(x)=x3+x-1,由于f(x)C0,1,且f(0)=-1<0,f(1)=1>0,由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知,(0,1),s.t.f()=0,即3+-1=0,所以方程在(0,1)中存在實(shí)根.再證明唯一性. 若還>0s.t.f()=0,則必有=,b=max, 用反證法證明.假設(shè),令a=min顯然0<a<b,由于f(x)Ca,b,f(x)D(a,b),且f(a)=f(b)=0,由羅爾定理知, (a,b),s.t.f'()=0, 但f'()=22+1>0,矛盾,可見假設(shè)不成立,所以=.4、不用求出函數(shù)f(x)

7、=x(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù),試判別方程f'(x)=0的根的個(gè)數(shù).解：顯然f(x)在區(qū)間0,1,1,2,2,3上都連續(xù),f(x)在區(qū)間(0,1),(1,2),(2,3)內(nèi)都可導(dǎo),且f(0)=f(1)=f(2)=f(3),由羅爾定理知,1(0,1)2(1,2)3(2,3)f'(1)=f'(2)=f'(3)=0；由于f'(x)在區(qū)間1,2,2,3上都連續(xù),f'(x)在區(qū)間(1,2),(2,3)內(nèi)都可導(dǎo),再由羅爾定,s.t.理,1(1,2),2(2,3),s.t.f'(1)=f'(2)=0,由于方程f''(x

8、)=0是二次多項(xiàng)式,知其至多有兩個(gè)實(shí)根,所以方程f''(x)=0有而且只有兩個(gè)實(shí)根1,2.5、若函數(shù)f(x)在(-,+)內(nèi)滿足關(guān)系式f'(x)=f(x)且f(0)=1,證明：f(x)=ex.證明：令F(x)=f(x)e-x,由于F'(x)=f'(x)e-x-f(x)e-x=0,于是F(x)C=常數(shù),由于C=F(0)=f(0)=1,有f(x)e-x=F(x)=1,所以f(x)=ex,(-<x<+).習(xí)題4-21、用洛必達(dá)法則求下列各極限： 1ln(1+x)1(1)lim=lim=1.x0x0x11ex-e-xex+e-x1+1=lim=2. (

9、2)limx0sinxx0cosx1(3)lim(4)lim(5)cosx-cosa-sinx=lim=-sina. xaxax-a1sinaxacosaxa1a=lim=, (b0). x0tanbxx0bsec2bxb1bcosxlnsinx=-1lim1limcosx=-1lim-sinx=-1lim=lim24xsinxx-2x4x-28x(-2x)x-4(-2x)22222.x5-a55x45x25a2lim3=lim2=lim=. xax-a3xa3xxa33(7)3sec23xlntan3x3sec23xtan4x34sec24xlim=lim+=lim+lim=lim+=122

10、2x0+lntan4xx04sec4xx04sec4xx0+tan3xx043sec3xtan4x.(8) limx2tanxsinxcos5x5sin5x=limlim=lim=5. tan5xxsin5xxcosxxsinx2222ln(1+)=lim(9) limx+arccotxx+-(1+)21+xx222(=limx+1+1)2=2. 1+x2xln(1+x)ln(1+x)(10)lim=limcosxlim=lim=1. 2x0secx-cosxx0x0x0sinx2sinxcosx22(11)limxcot3x=limcos3xlimx0x0x11=lim=. x0sin3xx

11、03cos3x3etet=lim=+. (12)limxe=limx0t+tt+12x2x21t=1(13)lim(x1211-x-11-)=lim=lim=-. 22x1x1x-1x-1x-12x2(14)lim(1+)=ex3xt=x1xln(1+3t)limt0t=e3lim1+3tt01=e3.x0lim+xtanx=ex0limtanxlnx+=elnxlimx0+cotx=e1xlimx0+-cscx=e-limsin2xxx0+=e-lim2sinxcosx1x0+=e0=1.(16)1sinxlim()=ex0+x.lnx-limx0+cscx=e1x-limx0+-cotxc

12、scx=e1sin2xlimxx0+cosxx0+lim=e2sinxcosx1x0+lim=e0=1x+sinx存在,但不能用洛必達(dá)法則求出. xx-sinxsinx1+x+sinx=1+0=1存在, 證明：由于極限lim=limxx-sinxxsinx1-01-x(x+sinx)'1+cosx但lim,顯然不存在, =limx(x-sinx)'x1-cosxx+sinx故不能用洛必達(dá)法則求出極限lim. xx-sinx2、驗(yàn)證極限lim習(xí)題4-31、確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1) y=f(x)=arctanx-x；解：f(x)C(-,+),令f'(x)=1-1=0,

13、得x=0. 21+x 因f'(x)<0，x(-,0), f(x)(-,0； 因f'(x)<0，x(0,+), f(x)0,+),總之, f(x)(-,+). 圖形> plot(arctan(x)-x,x=-5.5);y=f(x)=x+sinx；解：f(x)C(-,+),令f'(x)=1+cosx=0,得x=k=(2k+1),由于f'(x)>0,x(k-1,k),f(x)k-1,k,kZ, 總之, f(x)(-,+). 圖形> plot(x+sin(x),x=-10.10);(3) y=f(x)=2x3-6x2-18x+7；解：f(x

14、)C(-,+),f'(x)=6x2-12x-18=6(x+1)(x-3),令f'(x)=0,得,x1=-1,x2=3. 因f'(x)>0，x(-,-1), f(x)(-,-1； 因f'(x)<0，x(-1,3), f(x)-1,3, 因f'(x)>0，x(3,+), f(x)3,+). 圖形> plot(2*x3-6*x2-18*x+7,x=-4.6);(4) y=f(x)=2x+8(x>0)； x82(x2-4)=0,得x=2. 解：f(x)C(0,+),令f'(x)=2-2=2xx 因f'(x)<0

15、，x(0,2), f(x)(0,2, 因f'(x)>0，x(2,+), f(x)2,+). 圖形> plot(2*x-8/x,x=0.2.10);(5) y=f(x)=xe；解：f(x)C(-,+),令f'(x)=(x+2)xe=0,得x1=-2,x2=0. 因f'(x)>0，x(-,-2), f(x)(-,-2； 因f'(x)<0，x(-2,0), f(x)-2,0, 因f'(x)>0，x(0,+), f(x)0,+). 圖形> plot(x2*exp(x),x=-5.1);(6) y=f(x)=ln(x+4+x2)

16、；解：f(x)C(-,+),由于 x2x2124+xf'(x)=>022x+4+x4+xf(x)(-,-). 1+2x,x(-,+),圖形> plot(ln(x+(4+x2)(1/2),x=-5.5);(7) y=f(x)=x3+x2-x-1；解：f(x)C(-,+),f'(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),1. 3 因f'(x)>0，x(-,-1), f(x)(-,-1；11 因f'(x)<0，x(-1,), f(x)-1, 3311 因f'(x)>0，x(,+), f(x),+). 33令f'(x)

17、=0,得,x1=-1,x2=圖形> plot(x3+x2-x-1,x=-2.2);(8) y=f(x)=x+|sin2x|； 解：f(x)=x+sin22xC(-,+),f'(x)=1+顯然f'(x)是以22sin2xcos2x2sin22x=1+2sin4xk, x, 2-cos4x)內(nèi),由于 220<2x<,有sin2x>0,那么f'(x)=1+2cos2x, 1令f'(x)=2(cos2x+)=0,得x=. 23kkkk,+), f(x),+； 因f'(x)>0,x(223223因?yàn)橹芷诘暮瘮?shù),在(0,f'(x

18、)<0,x(kkkk+,+),f(x)+,+,kZ. 23222322圖形> plot(x+abs(sin(2*x),x=-Pi.Pi);2、證明下列不等式；1x>1+x； 21證明：令f(x)=1+x-1+x, 顯然f(x)C0,+), 211而 f'(x)=->0，x(0,+) 221+x于是 f(x)0,+). 所以x>0, 有11 1+x-1+x=f(x)>f(0)=0, 即1+x>+x. 22(1) 當(dāng)x>0時(shí), 1+x2(2) 當(dāng)x>0時(shí), e>1+x+； 2x2x證明：令f(x)=e-1-x-, 有f'(

19、x)=ex-1-x, 2x當(dāng)x>0時(shí),f''(x)=e-1>0, 于是 f'(x)0,+),那么x>0, 有f'(x)>f'(0)=0,知f(x)0,+), x所x以x>0,有x2e-1-x-=f(x)>f(0)=02x, 即x2e>1+x+. 2(3) 當(dāng)0<x<2時(shí), sinx+tanx>2x；證明：令f(x)=sinx+tanx-2x, 顯然f(x)C0,而 2),當(dāng)0<x<2時(shí),112-2=(cosx-)>0, cos2xcosx于是 f(x)0,). 所以當(dāng)0<

20、x<時(shí), 有 22x+tanx-2x=f(x)>f(0)=0, 即sinx+tanx>2x. sinf'(x)=cosx+sec2x-2>cos2x+x3(4) 當(dāng)0<x<時(shí), sinx>x-； 26x3x2證明：令f(x)=sinx-x+,有f'(x)=cosx-1+, 62當(dāng)0<x<時(shí), f''(x)=x-sinx>0, 于是 f'(x)0,), 22那么f'(x)>f'(0)=0,從而f(x)0,),所以當(dāng)0<x<時(shí),有 22x3x3sinx-x+=f(x

21、)>f(0)=0, 即sinx>x-. 66x3(5) 當(dāng)x>4時(shí),3>x.證明：由于當(dāng)x>4時(shí), 3x>x3xln3>3lnx,令f(x)=xln3-3lnx,有,f'(x)=ln3-當(dāng)x>3時(shí), f'(x)=ln3-所以當(dāng)x>3時(shí),有 3 , x33>ln3->0,于是f(x)3,+), x3xln3-3lnx=f(x)>f(3)=3ln3-3ln3=0,x3于是當(dāng)x>4時(shí),xln3>3lnx,所以當(dāng)x>4時(shí),3>x.x3x2x2證明：令f(x)=3-x,有f'(x)=3

22、ln3-3x,f''(x)=3ln3-6x,x34當(dāng)x>4時(shí),f'''(x)=3ln3-6>3-6>0, f''(x)4,+),有f''(x)>f''(4)=3ln3-24>3-24>0,f'(x)4,+), 又有f'(x)>f'(4)=3ln3-48>3-48>0,f(x)4,+), 所以當(dāng)x>4時(shí),有3x-x3=f(x)>f(4)=34-64>0, 即3x>x3.3、討論下列方程的根的情況；(1) si

23、nx=x；解：設(shè)f(x)=x-sinx, 顯然f(x)C(-,+),令f'(x)=1-cosx=0,得x=k=2k, 44424f'(x)>0,x(k-1,k),f(x)k-1,k,kZ,總之, f(x)(-,+).顯然f(0)=0,從而得知f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)=0,所以方程sinx=x有且僅有一個(gè)實(shí)根=0.(2) lnx=1x. 3解：設(shè)f(x)=lnx-1x, 顯然f(x)C(0,+), 3113-x=0,得x=3, 令f'(x)=-=x33x由于f'(x)>0,x(0,3),f(x)(0,3,f'(x)<0,x(3,+),f(

24、x)3,+). 1因f(1)=-<0,f(3)=ln3-1>0,f(9)=ln9-3<3ln2-3<0, 3f(x)C1,3f(x)C3,9又,知1(1,3)(0,3,2(3,9)3,+),使得f(1)=f(2)=0,從而得知f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)1,2, 1所以方程lnx=x有且僅有兩個(gè)實(shí)根1,2. 34、求下列函數(shù)的極值；(1) y=f(x)=x2-2x+5； 圖形> plot(x2-2*x+5,x=-1.3);解：由于f(x)D(-,+),且f'(x)=2x-2=2(x-1),令f'(x)=0,得x=1,當(dāng)x<1時(shí),f'(x)

25、<0,當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0, 所以函數(shù)有極小值f(1)=4.(2) y=f(x)=2x3-3x2+6； 圖形> plot(2*x3-3*x2+6,x=-2.3);解：由于f(x)D(-,+),且f'(x)=6x2-6x=6x(x-1),令f'(x)=0,得0,.列表如下： 函數(shù)有極大值f(0)=6； 函數(shù)有極小值f(1)=5.(3) y=f(x)=2x3-6x2-18x；圖形> plot(2*x3-6*x2-18*x,x=-4.5);解：由于f(x)D(-,+),且f'(x)=6x2-12x-18=6(x+1)(x-3),令f

26、'(x)=0,得1,.列表如下： 函數(shù)有極大值f(-1)=-2-6+18=10； 函數(shù)有極小值f(3)=54-54-54=-54.(4) y=f(x)=x-ln(1+x)；圖形> plot(x-ln(1+x),x=-1.3);解：由于f(x)D(-1,+),且f'(x)=1-1x=, 1+x1+x令f'(x)=0,得x=0,當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0, 所以函數(shù)有極小值f(0)=0.(5) y=f(x)=2x2-x4+6；圖形> plot(2*x2-x4+6,x=-2.2);解：由于f(x)

27、D(-,+),且f'(x)=4x-4x2=-4x(x+1)(x-1),令f'(x)=0,得1,.列表如下： 函數(shù)有極大值f(-1)=f(1)=7； 函數(shù)有極小值f(0)=6.(6) y=f(x)=x+-x；> plot(x+(1-x)(1/2),x=0.1);解：由于f(x)D(-,1),令f'(x)=1-當(dāng)x<31=0,得x=.421-x33時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x>時(shí),f'(x)<0 , 4435所以函數(shù)有極大值f()=.44(7) y=f(x)=exsinx；圖形> plot(exp(x)*sin(x),x=-6

28、.0.2);f(x)D(-,+)解：由于,且f'(x)=ex(sinx+cosx)=2exsin(x+令4),得f'(x)=0x=k=2k-3.444當(dāng)x(k,k)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x(k,k+1)時(shí),f'(x)<0,x=k=2k+-=2k+322k+34sin(2k+)=e 函數(shù)有極大值f(k)=e；422k-2k-24e4 函數(shù)有極小值f(k)=e,kZ. sin(2k-)=-e422k+34(8) y=f(x)=x；圖形> plot(x(1/x),x=0.5); 解：由于f(x)D(0,+),令f'(x)=(elnxx1x)&

29、#39;=elnxx當(dāng)x<e時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x>e時(shí),f'(x)<0, 所以函數(shù)有極大值f(e)=e.1e1-lnx=0,得x=e. 2x(9) y=f(x)=ex+e-x；圖形> plot(exp(x)+exp(-x),x=-1.1);解：由于f(x)D(-,+),令f'(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1)=0,得x=.當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,所以函數(shù)有極小值f(0)=2.(10) y=f(x)=2-(x+1)； 圖形> plot(2-(x+1)2)

30、(1/3),x=-5.3);解：由于f(x)C(-,+),f'(x)=-在.當(dāng)x<-1時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x>-1時(shí),f'(x)<0,所以函數(shù)有極大值f(-1)=2.(11) y=f(x)=5-2(x-1)；解：由于f(x)C(-,+),f'(x)=-13232,顯然f'(x)在x=-1不存33x+123(x+1)32<0,x-1,f(x)(-,-1,f(x)-1,+),總之,f(x)(-,+), 所以函數(shù)沒有極值.(12) y=f(x)=x+cosx； 圖形> plot(x+cos(x),x=-4*Pi.4*Pi)

31、解：由于f(x)C(-,+),令f'(x)=1-sinx=0,得x=k=2k+由于f'(x)>0,x(k-1,k),f(x)k-1,k,kZ, 總之,f(x)(-,+),所以函數(shù)沒有極值.5、求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)；(1)y=3x-2x2； 圖形> plot(3*x-2*x2,x=-1.2);解：由于f(x)C(-,+),f'(x)=3-4x,f''(x)=-4<0,所以曲線在(-,+)為凸的.(2)y=1+2, 1,(x>0)； x> plot(1+1/x,x=0.2);解：由于f(x)C(0,+),f'(x)

32、=-所以曲線在(0,+)為凹的. 12'',f(x)=>0,x>0, x2x3(3)y=x3-6x2+3x； 圖形> plot(x3-6*x2+3*x,x=-2.6);解：由于f(x)C(-,+),f'(x)=3x2-12x+3,f''(x)=6(x-2),令f''(x)=0,得x=2,f(1)=8-24+6=-10.當(dāng)x<2時(shí),f''(x)<0,當(dāng)x>2時(shí),f''(x)>0,所以曲線在(-,2為凸的,在2,+)為凹的,(2,-10)為拐點(diǎn).(4)y=xe-x； 圖

33、形> plot(x*exp(-x),x=-0.5.6);解：由于f(x)C(-,+),f'(x)=e-x(1-x),f''(x)=e-x(x-2),令f''(x)=0,得x=2,f(1)=2e-2.當(dāng)x<2時(shí),f''(x)<0,當(dāng)x>2時(shí),f''(x)>0,所以曲線在(-,2為凸的,在2,+)為凹的,(2,2e-2)為拐點(diǎn).(5)y=(x+1)2+ex； 圖形> plot(x+1)2+exp(x),x=-3.1);解：由于f(x)C(-,+),f'(x)=2(x+1)+ex,f&

34、#39;'(x)=2+ex>0,所以曲線在(-,+)為凹的.(6)y=ln(x2+1). 圖形> plot(ln(x2+1),x=-4.4);解：由于f(x)C(-,+),f'(x)=2x, x2+12(x2+1)-(2x)22(1-x2)令f''(x)=2=0,得x=±1,f(±1)=ln2. 222(x+1)(x+1)當(dāng)|x|<1時(shí),f''(x)>0,當(dāng)|x|>1時(shí),f''(x)<0,所以曲線在(-,1和1,+)為凸的,在-1,1為凹的,(±1,ln2)為拐點(diǎn).

35、、利用函數(shù)圖形的凹凸性證明下列不等式； 13x+y3(x+y3)>(),(x,y>0,xy)； 22證明：令f(t)=t3,由于f'(t)=3t2,f''(t)=6t>0,t>0,于是曲線在(0,+)為凹的,所以x,y>0,xy,有13f(x)+f(y)x+yx+y3(x+y3)=>f()=(). 2222(1)1x+y(lnx+lny)<ln,(x,y>0,xy)； 2211證明：令f(t)=lnt,由于f'(t)=,f''(t)=-2<0,t>0, tt于是曲線在(0,+)為凸的,所

36、以x,y>0,xy,有1f(x)+f(y)x+yx+y(lnx+lny)=<f()=ln. 2222(2)(3) xe+ye>(x+y)exyx+y2,(x,y>0,xy)；ttt證明：令f(t)=te,由于f'(t)=e(1+t),f''(t)=e(2+t)>0,t>0,于是曲線在(0,+)為凹的,那么x,y>0,xy,有yxex+yeyf(x)+f(y)x+yx+yx+=>f()=e2, 2222所以xe+ye>(x+y)e7、解下列各題； xyx+y2.(1)問(wèn)a,b為何值時(shí),點(diǎn)(1,3)為曲線y=f(x)=a

37、x+bx的拐點(diǎn)？解: 由于f(x)C(-,+),f'(x)=3ax+2bx,f''(x)=6ax+2b, 232f''(1)=0,f(1)=3,有3a+b=0,a+b=3,得339a=-,b=3+=, 222此時(shí)f''(x)=-9x+9=9(1-x),當(dāng)x<1時(shí),f''(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),f''(x)<0,可見,曲線在(-,1為凹的,在1,+)為凸的, 由,當(dāng)a=-39,b=時(shí),點(diǎn)(1,3)為曲線的拐點(diǎn). 22(2)試確定曲線y=f(x)=ax3+bx2+cx+d中的a,b,c,

38、d,使得x=-2處曲線的切線為水平,點(diǎn)(1,-10)為拐點(diǎn),且點(diǎn)(-2,44)在曲線上.解: 由于f(x)C(-,+),f'(x)=3ax2+2bx+c,f''(x)=6ax+2b,由f'(-2)=0,f''(1)=0,f(1)=-10,f(-2)=44,有12a-4b+c=0,a=1,6a+2b=0,b=-3,得 a+b+c+d=-10,c=-24,-8a+4b-2c+d=44.d=16.此時(shí)f''(x)=6x-6=6(x-1),當(dāng)x<1時(shí),f''(x)<0,當(dāng)x>1時(shí),f''(

39、x)>0,可見,曲線在(-,1為凸的,在1,+)為凹的,點(diǎn)(1,-10)為曲線的拐點(diǎn). 所以,a=1,b=-3,c=-24,d=16即為所求.(3)試確定y=f(x)=k(x2-3)2中的k值,使曲線在拐點(diǎn)處的法線通過(guò)原點(diǎn)(0,0).解: 顯然k0,f(x)C(-,+),f'(x)=4k(x3-3x),f''(x)=12k(x2-1),令f''(x)=0,得x=±1,f(±1)=4k,f'(±1)= 8k.由于f''(x)在x=±1左右兩端變號(hào),知曲線在x=±1左右兩端凹凸改

40、變,1x, 于是(±1,4k)為拐點(diǎn).曲線在拐點(diǎn)處過(guò)原點(diǎn)的法線方程為y=- 8k將(±1,4k)代入,有4k=-7、描繪下列函數(shù)的圖形：(1) y=x-6x+8x解：D(f)=(-,),f'(x)=4x-12x+8=4(x+2)(x-1), 3242112(±1)=,得所求k=±. 8k8k8f''(x)=12x2-12=12(x2-1).'" f(x)=0的根為x1=-2,x2,3=1,f(x)=0的根為x5,6=±1plot(x4-6*x2+8*x,x=-3.5.3);(2) y=解x 1+x2：1

41、+x2-2x21-x221, D(f)=(-,),f'(x)=-2222221+x(1+x)(1+x)1+x8x(1+x2)2x(1+x2)2x(x2-3). f''(x)=-+=(1+x2)4(1+x2)3(1+x2)3'"f(x)=0的根為x1,2=±1,f(x)=0的根為x3=0,x4,5=±3列表確定函數(shù)圖形特性-1由于limf(x)=0,因此,圖形有一條水平漸近線y=0xplot(x/(1+x2),x=-6.6); (3) y=e-(x+1)22解：D(f)=(-,),f'(x)=-2(x+1)e-(x+1),f&

42、#39;'(x)=-2+22(x+1)2e-(x+1)=(2x+2+2)(2x+2-2)e-(x+1)22=4(x-1)(x-2)e-(x+1)2.f'(x)=0的根為x1=-1,f"(x)=0的根為x2,3=1,2=-1 22x由于,因此,圖形有一條水平漸近線1 x解：D(f)=(-,0) (0,).函數(shù)間斷點(diǎn)為x=-3,(4) y=x+212x3-12x3+1f'(x)=2x-2=,f''(x)=2+3=. 23xxxxf'(x)=0的根為x1=1,f"(x)=0的根為x2=-132由于,因此,圖形有一條鉛直漸近線x0習(xí)題

43、4-41、求下列函數(shù)的最大值、最小值：(1)y=f(x)=2x3-3x2-80, -1x4； 解：f'(x)=6x-6x=6x(x-1),令f'(x)=0,得x1=-1,x2=0.由于f(-1)=-85, f(0)=-80,f(1)=-81,f(4)=0.比較可知,f(-1)=-85與f(4)=0分別為函數(shù)f(x)在-1,4上的最小值與最大值.(2)y=f(x)=x4-8x2, -1x3；解：f'(x)=4x-16x=4x(x+2)(x-2),-1x3, 令f'(x)=0,得x1=0,x2=2.由于f(-1)=-7,f(0)=0,f(2)=-16,f(3)=9.

44、32比較可知,f(2)=-16與f(3)=9分別為函數(shù)f(x)在-1,3上的最小值與最大值.(2)y=f(x)=x+-x, -5x1； 12-x-1, =2-x21-x3令f'(x)=0,得x=. 435 由于f(-5)=-5+6,f()=,f(1)=1. 4435比較可知,f(-5)=-5+6與f()=分別為函數(shù)f(x)在-5,144解：f'(x)=1-上的最小值與最大值.(4)y=f(x)=2x3-6x2-18x, 1x4.2解：f'(x)=6x-12x-18=6(x-3)(x+1),1x4,令f'(x)=0,得x=3.由于f(1)=-22,f(3)=-54

45、,f(4)=-40.比較可知,f(3)=-54與f(1)=-22分別為函數(shù)f(x)在1,4上的最小值與最大值.2、討論下列函數(shù)的最大值、最小值：(1)y=f(x)=x2-2x-1, -<x<+；解：令f'(x)=2x-2=2(x-1)=0,得x=1,而f''(1)=2>0,由于f(x)只有一個(gè)駐點(diǎn),可見f(1)=-2為函數(shù)f(x)最小值,無(wú)最大值.(2)y=f(x)=2x-5x2, -<x<+；解：令f'(x)=2-10x=2(1-5x)=0,得x=由于f(x)只有一個(gè)駐點(diǎn),可見f()=2(3)y=f(x)=x-11,而f'

46、'()=-10<0, 55151為函數(shù)f(x)最大值,無(wú)最小值. 554,x<0； x542(x3+33)f'(x)=2x+2=0,x<0,得x=-3, 2xx因f'(x)<0,x(-,-3),f(x)(-,-3,因f'(x)>0,x(-3,0),f(x)-3,0),由于f(x)只有一個(gè)駐點(diǎn),可見f(-3)=27為函數(shù)f(x)最小值,無(wú)最大值.x, 0x<+. 1+x21+x2-2x21-x2解：令f'(x)=,得x=1, =2222(1+x)(1+x)(4)y=f(x)=因f'(x)>0,x(0,1),

47、 f(x)0,1,因f'(x)<0,x(1,+),f(x)1,+), 1為函數(shù)f(x)最大值, 2又因f(x)>0,x(0,+),可見f(0)=0為最小值. 于是f(1)=3、求下列經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的最大值或最小值：(1)假設(shè)某種商品的需求量Q是單價(jià)P的函數(shù)Q=12000-80P,是需求量Q的函數(shù)C=25000+50Q,每單位商品需納稅2,試求使銷售利潤(rùn)最大的商品價(jià)格和最大利潤(rùn).解：商品的銷售利潤(rùn)L=R-C-2Q=PQ-25000-50Q-2Q=(P-52)(12000-80P)-25000,L'=(12000-80P)-80(P-52)=16160-160P,令L

48、9;=0,得P=101,而L''=-160<0,所以,當(dāng)商品價(jià)格P=101時(shí),商品的銷售利潤(rùn)達(dá)到最大,)=167080. 此時(shí)最大利潤(rùn)為L(zhǎng)(101(2)設(shè)價(jià)格函數(shù)為P=15e-x3(x為產(chǎn)量),求最大收益時(shí)的產(chǎn)量、價(jià)格和收益.-x3解：顯然,收益為R=xP=15xe,-15xR'=e(15-)=-5e3(x-3), 3xx-x-35R''=-5e3(1-)=(x-6)e3, 33令R'=0,得x=3,而R''(3)=-5e-1<0,所以,當(dāng)產(chǎn)量x=3時(shí), 收益達(dá)到最大,此時(shí)價(jià)格為P(3)=15e-1,最大收益為R(3)

49、=45e-1. -x3x(3)某工廠生產(chǎn)某種商品,其年銷售量為100萬(wàn)件,分為N批生產(chǎn),每批生產(chǎn)需要增加生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)1000元,而每件商品的一年庫(kù)存費(fèi)為0.05元,如果年銷售率是均勻的,且上批售完后立即生產(chǎn)出下批(此時(shí)商品的庫(kù)存量的平均值為商品批量的一半).問(wèn)N為何值時(shí),才能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)兩項(xiàng)之和最?。?解：生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)兩項(xiàng)之和10000001250000.05=1000N+, N2N25000100022W'=1000-=(N-5), 22NN50000令W'=0,得N=5,而W''(5)=>0, N3N=553所以,當(dāng)分N=5批生產(chǎn)時(shí), 生產(chǎn)

50、準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)兩項(xiàng)之和最小. W=1000N+(4)某企業(yè)在生產(chǎn)一種商品x件時(shí)的總收益為R(x)=100x-x,總成本函數(shù)為C(x)=200+50x+x2,問(wèn)政府對(duì)每件商品征收貨物稅為多少時(shí),在企業(yè)獲得最大利潤(rùn)的情況下,總稅額最大？解：設(shè)政府對(duì)每件商品征收貨物稅為t,那么企業(yè)獲得的利潤(rùn)為 2L=R(x)-C(x)-xt=(100x-x2)-(200+50x+x2)-xt=(50-t)x-2x2-200,L'=50-t-4x,50-t令L'=0,得x=,而L''=-4<0, 450-t可見當(dāng)x=時(shí), 企業(yè)可獲得最大利潤(rùn), 4此時(shí)政府征收貨物的總稅額為50t-

51、t250-2t25-t=, T'=, T=xt=4241令T'=0,得t=25,而T''=-<0, 2所以,當(dāng)政府對(duì)每件商品征收貨物稅為25時(shí),在企業(yè)獲得最大利潤(rùn)的情況下,總稅額最大.(5)設(shè)生產(chǎn)某商品的總成本為C(x)=10000+50x+x2(x為產(chǎn)量),問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí),每件產(chǎn)品的平均成本最低？解：每件產(chǎn)品的平均成本為C(x)1000010000x2-1002=+50+x, '=-2+1= 2xxxx30000令'=0,得x=100, 而''=>0, 33xx=100100所以,當(dāng)產(chǎn)量x=100件時(shí),每件產(chǎn)品的平均

52、成本最低.習(xí)題4-51、按(x-4)的乘冪展開多項(xiàng)式f(x)=x4-5x3+x2-3x.322解：由于f'(x)=4x-15x+2x-3,f''(x)=12x-30x+2,f'''(x)=24x-30,f(4)(x)=24,(4)有f(4)=-60,f'(4)=21,f''(4)=74,f'''(4)=66,f(4)=24,于是f(x)=f(4)+f'(4)(x-4)+f''(4)f'''(4)(x-4)2+(x-4)3 2!3!f(4)(4)+(x-

53、4)4 4!746624=-60+21(x-4)+(x-4)2+(x-4)3+(x-4)4 2!3!4!=-60+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4.2、應(yīng)用麥克勞林公式,按x的乘冪展開函數(shù)f(x)=(x-3x+1). 23u=x2-3x+1,有u'=2x-3,u''=2,u'''=0,有u(0)=1,u'(0)=-3.由于f(x)=u3,f'(x)=3u2u',f''(x)=6uu'2+3u2u'',f'''(x)=6u'3+12uu'u''+6uu'u''=6u'3+18uu'u'',f(4)(x)=18u'2u''+18u'2u''+18uu''2=36u'2u''+18uu''2,f(5)(x)=72u'u''2+18u'u''2=90u'u''2,f(6)(x)=90u''3,有f(0)=1,f'(0)=-9,