吉林大學(xué)線性代數(shù)-線性代數(shù)12課xm3-1ppt課件

1、第三章 第一節(jié)矩陣初等變換解方程組12341234123412341234(1)(2)1234(3)/2123412341234(2) (3)(3) 2(1)2(4) 3(1)222446224369792422232369792422xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 342342341234(2)*1/2(3) 5(2)234(4) 3(2)441234(3)(4)234(4) 2(3)420553633432402632402600 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 132343123443343314131003xxxxxxcx

2、cxcxcxc xx方程組是三種變換v交換次序v數(shù)乘v一個(gè)方程加上另一個(gè)方程k倍v（以上三種變換都是可逆的）( )( )( )( )( )( )/( )( )( )( )( )( ),( )( ),( )( ),( )( ),( )( ),( )( ),ijjiikikik jik jABBAABBAABBA 2111211214( , )4622436979BA b初等行變換v對(duì)調(diào)兩行v非零的數(shù)乘某一行v某一行k倍加在另一行上v類似的可以定義 “初等列變換”v統(tǒng)稱為“初等變換”0,ijiijrrkrkrkr逆變換v初等行列變換的逆變換v 還是初等行列變換0,ijiijrrkrkrkr1( )

3、,() ,ijiiijijrrrrkkrk r rkr 矩陣等價(jià)vA經(jīng)過(guò)有限次行變換變成B，就稱A、B行等價(jià)vA經(jīng)過(guò)有限次列變換變成B，就稱A、B列等價(jià)vA經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成B，就稱A、B等價(jià)ABABABrc123434121251034341231423434rrr等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)v反身性v對(duì)稱性v傳遞性,AAAB BAAB BC AC初等行變換 解方程組2111211214462243697911214211122311236979112140222005536033431121401110000260001311214011100001300000B132341234101040110

4、3000130000043341431310303Bxxxxxxcxccxcx xv行階梯只做行變換）v行最簡(jiǎn)行變換下最簡(jiǎn)單形式）v標(biāo)準(zhǔn)型行列變換皆可）112140111000013000001401300030000011110000010000010000000000rEOFOO化簡(jiǎn)之后的矩陣定理一vA、B都是m行n列矩陣，那么v（iA、B行等價(jià)的充分必要條件是：存在m階可逆矩陣Pv（iiA、B列等價(jià)的充分必要條件是：存在n階可逆矩陣Qv（iiiA、B等價(jià)的充分必要條件：存在m可逆矩陣P以及n階可逆矩陣QPABAQBPAQB初等矩陣之一1112112121211011( , )11011(

5、 , )njjjnmiiinmmmnE i jaaaaaaEi j Aaaaaaa112312314567891789456123113245614657891798對(duì)換i，j行初等矩陣之二11( ( )11E i kk112312314564565789354045123112154561453078957845將第i行或列乘以k倍初等矩陣之三11( ( )11kE ij k1123123110456748596178978912311223456110455678917889一行列的k倍加在另一行列）初等變換矩陣 性質(zhì)1vA是m行n列矩陣v對(duì)A實(shí)施一次初等行變換，等于A左邊乘以一個(gè)m階初等

6、矩陣。v對(duì)A實(shí)施一次初等列變換，等于A右邊乘以一個(gè)n階初等矩陣。v初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣1111( , )( , ), ( ( )( ( ), ( ( )( ()E i jE i jE i kE iE ij kE ijkk初等變換矩陣 性質(zhì)2v方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等矩陣v 使得：v證明：假設(shè)A的標(biāo)準(zhǔn)型是F12,lP PP12lAPPP1112| 0sslrlAPP FPPEOFOOFrnFEAPPP12lABPPPABPABr行等價(jià) 矩陣乘法合并全部的行操作121234111121115201115201121418111111512lAPBPP121418341151

7、02ABP如何記錄A到B的變換過(guò)程？ABPABEPPEP12141834111111125101111111515001做相同的行變換PABPEP1111nmm naaaa 1100ABEP( ,)(,)( , )A EAEPPPBP11111100nmm naaaa ( ,)( ,)A EB P定理1的證明vA、B行等價(jià)vA可以做有限次初等行變換變成Bv存在初等矩陣12,lP PP12lPPPABPAB推論v方陣A可逆的充分必要條件是v證明：A可逆AErPPAE存在可逆矩陣 ，使得AEr對(duì)A和E同時(shí)做相同的變換v當(dāng)A做行變換變成B時(shí)，E會(huì)變成PvP是可逆矩陣，滿足PA=B( ,)( , )(

8、 ,) ( , )PABPABP A EB PA EB PPEP求矩陣逆的方法v將A和E做相同的行變換。v當(dāng)A變成E時(shí)，E將變成P。vP就是A的逆矩陣。1( ,)( ,)( ,) ( ,),PAEPAEP A EE PPEPA EE P PA211112462A211 1 0 01 12 01 0( , )1 12 0 1 0 03 312 046 2 0 0 104 42 0 11 013 3111 32110831 013 310 113210 0 0108300 0 0AEFPPA F ，行變換行最簡(jiǎn)變換矩陣1021302230021100( ,)302010230001302010 021100094023302010 02110000194630018912 020846001946100634 010423001946AAA E，求1634423946A行變換進(jìn)一步的應(yīng)用v將A、B兩個(gè)矩陣同時(shí)做相同的行變換111( , )( ,)( , ) ( ,)PAEP A BE PBPAPAEBABBAB121311122 ,2013225ABA B，求12131112220( , )12220 031311322505005