不確定多屬性決策的單目標(biāo)最優(yōu)化模型

1、 短文不確定多屬性決策的單目標(biāo)最優(yōu)化模型¹達(dá)慶利,徐澤水(東南大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,南京210096摘要:對于屬性權(quán)重及決策矩陣元素均以區(qū)間數(shù)形式給出的不確定多屬性決策問題,提出了一種單目標(biāo)最優(yōu)化模型,給出了規(guī)范決策矩陣的計算公式,并提出了一種基于可能度的決策方案排序法.通過算例說明了該模型及方法的可行性和有效性.關(guān)鍵詞:多屬性決策;可能度;排序中圖分類號:C934文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1000-5781(200201-0050-06Singule-objective optimization model in uncertain multi-attribute decision-ma

2、kingDA Qing-li,XU Ze-shui(Institute o f Econom ics and M anag em ent,Southeast U niv ersity,Nanjing210096,ChinaAbstract:This paper presents a singule-objective optimization m odel in multi-attribute decision making pro blem,in w hich both the attribute weights and the elements in decision-m aking ma

3、trix are in the form s o f interv al numbers,and gives som e form ulas for norm alizing decision m atr ix.A possibility degree-based method for ranking alternativ es is presented,and a num er ical ex ample is also g iv en to show the feasibility and effectiveness of the developed m odel and method.K

4、ey words:multi-attribute decision-making;possibility degree;priority0引言多屬性決策普遍存在于企業(yè)生產(chǎn)規(guī)劃、工程建設(shè)項目優(yōu)選、企業(yè)效益評估等實際問題中,是一個非?；钴S的研究領(lǐng)域1-3.由于客觀事物的復(fù)雜性和不確定性以及人類思維的模糊性,人們所給出的決策信息往往不是以具體數(shù)值來表達(dá),而是以區(qū)間數(shù)的形式來表示.因此,對于這類問題的研究有著重要的理論意義和實際應(yīng)用背景.有關(guān)這方面的研究已取得了一些進(jìn)展,如文4給出了誤差分析方法,此法只能處理決策矩陣元素為區(qū)間形式的情形.文5,6給出了每個方案均單獨處理的線性規(guī)劃方法,采用由該模型求出

5、的所有方案綜合屬性值所在的區(qū)間一般并不是使用同一個屬性權(quán)重向量,這使得所有的方案評價不具有可比性.文7在文5的基礎(chǔ)上給出了一種改進(jìn)模型.但是,這種改進(jìn)模型仍需求出兩個在通常情況下并不相同的權(quán)重向量,而且不能確保每個方案的綜合評價值所在區(qū)間的存在性.本文對于屬性權(quán)重及決策矩陣元素均為區(qū)間數(shù)的不確定多屬性決策問題,提出了一種單目標(biāo)最優(yōu)化模型,給出了規(guī)范決策矩陣的計算公式,并提出了一種基于可能度的決策方案排序法,從而系統(tǒng)地解決了上述問題.最后通過算例說明了該模型及方法的第17卷第1期2002年2月系統(tǒng)工程學(xué)報JO U RN A L OF SYST EM S EN GIN EERIN GV ol.17

6、N o.1F eb.,2002¹收稿日期:2000-02-02;修訂日期:2001-10-31.基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(79970093.可行性和有效性.1預(yù)備知識對于屬性權(quán)重及決策矩陣元素均以區(qū)間數(shù)方式給出的不確定多屬性決策問題,一般可以描述為以下這種形式:設(shè)X =x 1,x 2,x n 為方案集合,U =u 1,u 2,u m 為屬性集,w =(w 1,w 2,w m 為屬性的權(quán)重向量,其中,w i w L i ,w U i,mi =1w L i1,mi =1w U i1,w L i,w U i>0,mi =1w i =1對于方案x j X ,按第i 個屬性u

7、i 進(jìn)行測度,得到x j 關(guān)于u i 的屬性值為區(qū)間數(shù)a ij (這里a ij =a L ij ,a U ij ,從而構(gòu)成決策矩陣A =(a ij m ×n .由于指標(biāo)量綱的不同,需把矩陣A 規(guī)范化,再運用適當(dāng)?shù)乃惴▽Ψ桨高M(jìn)行排序,求出最優(yōu)方案.最常見的屬性類型有效益型屬性、成本型屬性.效益型屬性是指屬性值越大越好的屬性;成本型屬性是指屬性值越小越好的屬性.設(shè)I i (i =1,2分別表示效益型、成本型的下標(biāo)集合,õ表示向量的歐氏范數(shù),且令M =1,2,m ,N =1,2,n .2公式及模型為了消除不同物理量綱對決策結(jié)果的影響,下面給出了規(guī)范決策矩陣的計算公式.可將決策矩陣

8、轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)范化矩陣R =(r ij m ×n ,其中r ij =r L ij ,r Uij ,且r ij =a ij /a i ,i I 1,j N(1r ij =(1/a ij /(1/a i ,i I 2,j N(2a i =nj =1a2 ij,1/a i =nj =1(1/aij2 ,把式(1,(2寫為=a L ij/nj =1(aU ij2=a U ij/nj =1(aLij2i I 1,j N (3r L ij=(1/a U ij/nj =1(1/aL ij2r U ij=(1/a L ij/nj =1(1/aU ij2i I 2,j N (4如何去確定各方案的綜合屬性值?

9、針對此問題,文5給出了兩個線性規(guī)劃模型:LP1m in z øj=mi =1rL ijw i (j N s.t.w L i w i w Ui ,i Mm i =1wi=1LP2max z "j=mi =1rU ijw i (j N s.t.w L i w i w Ui ,i Mmi =1wi=1設(shè)由模型LP1和LP2求出的最優(yōu)解分別為w øj =(w ø1j ,w ø2j ,w ømj T和w "j =(w "1j ,w "2j ,w "mj T,則方案x j 的綜合屬性值為區(qū)間數(shù)z j =z

10、L j ,z Uj ,其中z L j=mi =1rLijw øij ,z U j=mi =1rU ijw "ij ,j N(5求解2n 個線性規(guī)劃模型,可以得到所有方案的綜合屬性值.由于在一般情況下由模型LP1和LP2得到的所有方案的綜合屬性值將分別使用不同的屬性權(quán)重向量,這使得所有的方案評價不具有可比性,因而沒有什么實際意義.考慮到各決策方案之間是公平競爭的,不存在任何偏好關(guān)系.文7對模型LP1和LP2進(jìn)行了改進(jìn),采用等權(quán)的線性權(quán)和法給出了下面模型:LP3m in z ø0=mi =1nj =1rL ijw is.t.w L i w i w Ui ,i Mmi

11、=1wi=1LP4m ax z "0=mi =1nj =1rU ijw is.t.w L i w i w Ui ,i Mmi =1wi=1設(shè)模型LP3和LP4的最優(yōu)解分別為w ø=(w ø1,512002年2月達(dá)慶利等:不確定多屬性決策的單目標(biāo)最優(yōu)化模型w ø2,w øm T和w "=(w "1,w "2,w "m T,則方案x j 的綜合屬性值為區(qū)間數(shù)z j =z Lj ,z Uj ,其中z L j=mi =1r L ijw øi,z U j=mi =1r Uij w "i ,j N

12、(6雖然z L j (j N 和z Uj (j N 分別采用了同一個權(quán)重向量,且計算量有所減少.但是,在一般情況下,兩個權(quán)重向量w ø和w "仍然是不相同的.因此,由模型LP3,LP4及(6式可知,有時可能會出現(xiàn)z L j>z U j的情形,即區(qū)間數(shù)z j =z L j,z U j可能不存在.為了解決上述問題,不妨這樣思考:由于模型LP3等價于下列模型:LP5m ax z ø0=-mi =1nj =1rL ijw is.t.w L i w i w Ui ,i Mm i =1wi=1又因為模型LP4和LP5具有相同的約束條件,因此,合成模型LP4和LP5可得到

13、如下單目標(biāo)優(yōu)化模型:LP6m ax z =mi =1nj =1(rU ij -r L ij w is.t.w Li w i w Ui ,i M mi =1wi=1設(shè)由模型LP6求出的最優(yōu)解為w =(w 1,w 2,w m T ,則方案x j 的綜合屬性值為區(qū)間數(shù)z j =z L j ,z U j,其中z L j=mi =1rLijw i ,z U j=mi =1rU ijw i ,j N (7由于z L j 和z Uj (j N 只采用了單一的權(quán)重向量,因此各方案之間具有可比性,并且對任意j N 均有z Lj z Uj 成立.由模型LP1LP6可以看出,從整體上來說,本文提出的模型最為簡潔、合

14、理,且所需計算量比其它模型小得多,因而實用性較強(qiáng).由模型LP1LP2及模型LP6易知:定理1設(shè)y j =y Lj ,y Uj 和z j =z Lj ,z Uj 分別表示求解模型LP1LP2和模型LP6所得到的方案x j 的綜合屬性值所在區(qū)間,則必有y L j ,y U j B z L j ,z Uj 3排序方法為了對各方案進(jìn)行排序,先給出區(qū)間數(shù)兩兩比較的可能度概念:定義16,8設(shè)a =a L ,a U ,b =b L ,b U,且記L (a =a U-a L ,L (b =b U -b L ,則稱p(a b =max (0,L (a +L (b -m ax(0,b U -a L L (a +L

15、 (b (8為a b 的可能度.在此定義下,p(a b 具有下述性質(zhì):1若p(a b =p(b a ,則p(a b =p(b a =1/2.2p(a b +p(b a = 1.3若a U b L ,則p(a b =0;若a L b U ,則p(a b = 1.4對于三個區(qū)間數(shù)a ,b ,c ,若a b ,則p(a c p(b c .利用公式(8對所有的區(qū)間數(shù)z j =z L j ,z Uj (j N 進(jìn)行兩兩比較,建立可能度矩陣P =(p ij n ×n 其中p ij =p(z i z j .由性質(zhì)2可知矩陣P 是一個互補(bǔ)判斷矩陣.利用文9中給出的一個簡潔的互補(bǔ)判斷矩陣排序公式進(jìn)行求

16、解:X i =1n (n -1nj =1pij+n2-1,i N (9得到可能度矩陣P 的排序向量X =(X 1,X 2,X n T,并按其分量大小對方案進(jìn)行排序,即得到最優(yōu)方案.4算例分析為了說明本文提出的模型及排序方法的有效性,采用文5,7提供的例子:例考慮一個市政圖書館的空調(diào)系統(tǒng)選擇問題,有五個備選方案x j (j =1,2,3,4,5,而評價方案的主要依據(jù)是三個因素,即經(jīng)濟(jì)性、功能性和可操作性.這三個因素又可劃分為八個屬性,即固定成本(Q 1、管理成本(Q 2、性能(Q 3、噪音(Q 4、可維護(hù)性(Q 5、可靠性(Q 6、靈活性(Q 7和安全性(Q 8.其中,Q 3,Q 5,Q 7,Q

17、 8的屬性值為打分值,其范圍為1分(最差到10分(最好之間.另外,Q 1,Q 2和Q 4為成本型屬性,其它五個屬性為效益型屬性.該問題的決策矩陣及屬性的權(quán)重范圍如表1所示.52系統(tǒng)工程學(xué)報第17卷第1期表1決策矩陣A 和屬性權(quán)重向量wQ i w is 1s 2s 3s 4s 5Q 10.0419,0.04913.7,4.71.5,2.53,43.5,4.52.5,3.5Q 20.0840,0.09825.9,6.94.7,5.74.2,5.24.5,5.55,6Q 30.1211,0.13738,104,64,67,96,8Q 40.1211,0.137330,4065,7560,7035,4

18、550,60Q 50.1680,0.18183,53,57,98,105,7Q 60.2138,0.229490,10070,8080,9085,9585,95Q 70.0395,0.04573,57,97,96,84,6Q 80.1588,0.17066,84,65,77,98,10利用公式(1(2得到規(guī)范化決策矩陣(表2:表2規(guī)范化決策陣RQ i s 1s 2s 3s 4s 5Q 10.2281,0.42810.4288,0.71460.2680,0.35730.2382,0.30630.3063,0.4288Q 20.3089,0.43820.3740,0.55010.4099,0.50

19、750.3876,0.47370.3553,0.4263Q 30.4493,0.74330.2247,0.44600.2247,0.44600.3932,0.66900.3370,0.5946Q 40.4690,0.79040.2501,0.36480.2680,0.39520.4169,0.67750.3126,0.4743Q 50.1793,0.40030.1793,0.40030.4183,0.72060.4781,0.80080.2988,0.5604Q 60.4363,0.54350.3394,0.43480.3878,0.48920.4121,0.51640.4121,0.5164

20、Q 70.1771,0.39650.4132,0.71390.4132,0.71390.3542,0.63440.2361,0.4758Q 80.3303,0.58040.2202,0.43530.2752,0.50780.3853,0.65290.4404,0.72551求解模型LP1和LP2得到相應(yīng)于方案x j 最優(yōu)解w øj =(w ø1j ,w ø2j ,w ø8j T 和w "j =(w "1j ,w "2j ,w "8j T 及方案x j 綜合屬性值所在區(qū)間z j =z L j ,z Uj (j =1,

21、2,3,4,5,如表3所示.表3求解模型L P 1和L P2的結(jié)果 532002年2月達(dá)慶利等:不確定多屬性決策的單目標(biāo)最優(yōu)化模型2求解模型LP3和LP4所得結(jié)果為w ø=(0.0491,0.0840,0.1373,0.1211,0.1818,0.2138,0.0457,0.1672Tw "=(0.0419,0.0840,0.1373,0.1249,0.1818,0.2138,0.0457,0.1706T z 1=0.3448,0.5616z 2=0.2745,0.4556z 3=0.3348,0.5230z 4=0.4044,0.6255z 5=0.3559,0.5525

22、3求解模型LP6所得結(jié)果為w =(0.0419,0.0840,0.1373,0.1249,0.1818,0.2138,0.0457,0.1706T z 1=0.3461,0.5616z 2=0.2731,0.4556z 3=0.3348,0.5230z 4=0.4055,0.6255z 5=0.3563,0.5525從上述結(jié)果可以看出,一般來說,由模型LP6所得各方案的綜合屬性值所在區(qū)間范圍最小.為了對各方案進(jìn)行排序,先利用(8式分別求出上述三種模型所得各方案的綜合屬性值兩兩比較的可能度矩陣,然后利用式(9對方案排序:(P 1=0.50.71570.56470.36740.503 20.284

23、30.50.33690.13850.27290.43530.66310.50.29200.43440.63260.86150.70800.50.64430.49680.72710.56560.35570.5X =(0.2076,0.1516,0.1912,0.2423,0.2073Tx 4>x 1>x 5>x 3>x 2(P 2=0.50.72150.56000.35900. 49760.27850.50.32710.12730.26400.44000.67290.50.28980.43440.64100.87270.71020.50.64540.50240.73600

24、.56570.35460.5X =(0.2069,0.1498,0.1919,0.2435,0.2079Tx 4>x 5>x 1>x 3>x 2(P 3=0.50.72490.56180.35840.49870.27510.50.32590.12450.26220.43820.67410.50.28780.43370.64160.87550.71220.50.64680.50130.73780.56630.35320.5X =(0.2072,0.1494,0.1917,0.2438,0.2079Tx 4>x 5>x 1>x 3>x 2因此,(和(

25、中方案排序相同,相比之下,(中方案x 1和x 5產(chǎn)生了逆序.但最優(yōu)方案均為x 4.5結(jié)束語對于屬性權(quán)重及決策矩陣元素均以區(qū)間數(shù)形式給出的不確定多屬性決策問題,本文提出了一種單目標(biāo)最優(yōu)化模型,給出了規(guī)范決策矩陣的計算公式.與其它模型相比,該模型簡潔合理;所需計算量最小.不僅保證了計算出來的每個方案綜合屬性值都使用唯一的一個屬性權(quán)重向量,使得所有的方案評價具有可比性,而且保證了每個方案的綜合屬性值所在區(qū)間的存在性.數(shù)值結(jié)果表明:一般來說,由該模型所得各方案的綜合屬性值所在區(qū)間范圍也最小.值得一提的是,文中所提出的基于可能度的決策方案排序法,解決了屬性權(quán)重及決策矩陣元素均為區(qū)間數(shù)的不確定多屬性決策的

26、方案排序問題.因此,本文的結(jié)果具有較高的理論意義及實用價值.參考文獻(xiàn):1Hwang C L ,Yo on K .M ultiple attr ibute decision making M .N ew Yo rk :Spr ing er -V er la g ,Ber lin :Heidelberg ,19812陳王廷.決策分析M .北京:科學(xué)出版社,19873徐南榮,仲偉俊.科學(xué)決策理論與方法M .南京:東南大學(xué)出版社,19964Y o on K .T he pr opag atio n of er r or s in mult iple -a ttr ibut e decision ana

27、ly sis :A pr actical appr oach J .Jo urnal of t heO perational Research So ciety ,1989,40(7:681-68654系統(tǒng)工程學(xué)報第17卷第1期2002 年 2 月 達(dá)慶利等: 不確 定多屬性決策的單目標(biāo)最優(yōu)化模型 55 5 Bry so n N , M o bolur in A . An actio n lea rning ev aluation pr ocedur e fo r multiple criteria decisio n making pr oblems J . Euro pean Jo ur

28、nal o f Oper atio na l R esear ch, 1996, 96( 3 : 379386 6 徐澤水. 模糊綜合評價的排 序方法研究 A . Systems Engineer ing , Sy st ems Science and Complexity Research C . Research Infor mation L td 出版社, Hemel Hem pstead Hp2 7T D, U nited K ing do m, 2000, 507511 7 樊治平, 張 權(quán). 一種不確定性多屬性決策模型的改進(jìn) J . 系統(tǒng)工程理論與實踐, 1999, 19( 12

29、: 4247 8 達(dá)慶利, 劉新旺. 區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃及其滿意解 J . 系統(tǒng)工 程理論與實踐, 1999, 19( 4 : 37 9 徐澤水. 模糊互補(bǔ)判斷矩陣排序的一種算法 J . 系統(tǒng)工程學(xué)報, 2001, 16( 4 : 311314 10 徐澤 水. 一種部分概率信息下的策略優(yōu)選方法及其應(yīng)用 J . 系統(tǒng)工程學(xué)報, 2001, 16( 3 : 228231 作者簡介: 達(dá)慶利( 1945- , 男, 江蘇六合人, 教授, 博士生導(dǎo)師, 研究方向: 虛擬企業(yè)管理, 經(jīng)營過程分析與決策. 徐澤水( 1968- , 男, 安徽南陵人, 副教授, 博士生. 研 究方向: 決策分析等. 在國內(nèi)外學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表論文 80 余篇. ( 上接第 49 頁 又利用 PB 啟發(fā)式算法能進(jìn)行局部細(xì)致的搜索的 特點彌補(bǔ)了遺傳算法收斂速度較慢的弱點, 增加 參 考 文 獻(xiàn): 了得到全局最優(yōu)解的概率. 實驗結(jié)果表明, 這個算 法是行之有效的. 1