第七節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、考綱要求考情分析1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算3.理解指數(shù)函數(shù)的概念、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn).1.從近幾年的高考命題看，對(duì)本節(jié)的考查以基礎(chǔ)知識(shí)為主，一是考查函數(shù)的圖象、運(yùn)算、數(shù)值大小的比較；二是與二次函數(shù)、方程、不等式等結(jié)合，考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用2.題型主要以選擇題、填空題為主，如運(yùn)算、比較大小、性質(zhì)運(yùn)用等；與方程、不等式結(jié)合時(shí)以解答題形式出現(xiàn)，屬中檔題.知識(shí)能否憶起知識(shí)能否憶起一、根式一、根式1根式的概念根式的概念根式的概念根式的概念符號(hào)表示符號(hào)表示備注備注如果如果 ，那么，那么x叫做叫做a的的n次方根次方根

2、n1且且nN*xna負(fù)數(shù)負(fù)數(shù) 兩個(gè)兩個(gè) 相反數(shù)相反數(shù) 正數(shù)正數(shù) 2兩個(gè)重要公式兩個(gè)重要公式a a -a a 二、有理數(shù)指數(shù)冪二、有理數(shù)指數(shù)冪1冪的有關(guān)概念冪的有關(guān)概念(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 ,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 0沒(méi)有意義沒(méi)有意義1mna2有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)(1)aras (a0，r，sQ)；(2)(ar)s (a0，r，sQ)；(3)(ab)r (a0，b0，rQ)arsarsarbr三、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)三、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)函數(shù)yax(a0，且，且a1)圖象圖象0a1圖象圖象特征特征在在x軸軸 ，過(guò)定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)上方上方(0,1)

3、動(dòng)漫演示更形象，見(jiàn)配套課件動(dòng)漫演示更形象，見(jiàn)配套課件超鏈超鏈接接函數(shù)函數(shù)yax(a0，且，且a1)性性質(zhì)質(zhì)定義域定義域值域值域 單調(diào)性單調(diào)性函數(shù)函數(shù)值變值變化規(guī)律化規(guī)律 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，(0，)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)y1y10y10y1RA9B7C10 D9答案：答案：B小題能否全取小題能否全取A(，0 B0，)C(，0) D(，)解析：解析：12x0，2x1，x0.答案：答案：A3已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)4ax1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐的坐 標(biāo)是標(biāo)是()A(1,5) B(1,4)C(0,4) D(4,0)解析：解析：當(dāng)當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，f

4、(x)5.答案：答案：A4若函數(shù)若函數(shù)y(a23a3)ax是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值的值 為為_(kāi) 解析：解析：a23a31，a2或或a1(舍舍) 答案：答案：25若函數(shù)若函數(shù)y(a21)x在在(，)上為減函數(shù)，則上為減函數(shù)，則 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義把根式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為冪的運(yùn)算，從而簡(jiǎn)指數(shù)冪的意義把根式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為冪的運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程化計(jì)算過(guò)程2指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a的大小決定的，的大小

5、決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)a按按0a1進(jìn)行分類討論進(jìn)行分類討論指數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值指數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值 例例1化簡(jiǎn)下列各式化簡(jiǎn)下列各式(其中各字母均為正數(shù)其中各字母均為正數(shù))指數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，要注意與其他代數(shù)式的指數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，要注意與其他代數(shù)式的化簡(jiǎn)規(guī)則相結(jié)合，遇到同底數(shù)冪相乘或相除，可依據(jù)化簡(jiǎn)規(guī)則相結(jié)合，遇到同底數(shù)冪相乘或相除，可依據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行，一般情況下，宜化負(fù)指數(shù)同底數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行，一般情況下，宜化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪對(duì)于化簡(jiǎn)結(jié)果，形為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪對(duì)于化簡(jiǎn)結(jié)果，形式力求統(tǒng)一式力求統(tǒng)一 答案答案D1與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函

6、數(shù)的圖象的研究，往往與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過(guò)平移、對(duì)稱變換得到利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過(guò)平移、對(duì)稱變換得到其圖象其圖象2一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解奇思妙想：本例B、C改為下圖，A、D不變，則函數(shù)yaxa(a0，且a1)的圖象可能是？解：C由f(1)0可知選C.A關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱 B關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D關(guān)于直線關(guān)于直線yx對(duì)稱對(duì)稱 (2)方程方程2x2x的解的個(gè)數(shù)是的解的個(gè)數(shù)是_(2)方程的解可看作

7、函數(shù)方程的解可看作函數(shù)y2x和和y2x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出這兩個(gè)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出這兩個(gè)函數(shù)圖象函數(shù)圖象(如圖如圖)由圖象得只有一個(gè)交點(diǎn)，因此該方程只由圖象得只有一個(gè)交點(diǎn)，因此該方程只有一個(gè)解有一個(gè)解答案：答案：(1)A(2)1答案：C例例3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用答案答案(，00，)答案：答案：2 求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要熟知求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單

8、調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助題時(shí)，都要借助“同增異減同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終這一性質(zhì)分析判斷，最終將問(wèn)題歸納為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題加以解決將問(wèn)題歸納為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題加以解決3(1)(2012福州質(zhì)檢福州質(zhì)檢)已知已知a20.2，b0.40.2，c 0.40.6，則，則() AabcBacb Ccab Dbca (2)(2012上海高考上海高考)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)e|xa|(a為常為常 數(shù)數(shù))若若f(x)在區(qū)間在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則上是增函數(shù)，則a的取的取 值范圍是值范圍是_解析：解析：(1)由由0.20.6,0.40.40.6，即，即bc；因?yàn)?；因?yàn)閍20.21，b0.4

9、0.2b.綜上，綜上，abc.(2)結(jié)合函數(shù)圖象求解因?yàn)榻Y(jié)合函數(shù)圖象求解因?yàn)閥eu是是R上的增函數(shù)，所以上的增函數(shù)，所以f(x)在在1，)上單調(diào)遞增，只需上單調(diào)遞增，只需u|xa|在在1，)上單調(diào)遞增，由函數(shù)圖象可知上單調(diào)遞增，由函數(shù)圖象可知a1.答案：答案：(1)A(2)(，1變式探究2013天津模擬如果函數(shù)ya2x2ax1(a0，且a1)在區(qū)間1,1上的最大值是14，試求a的值解：設(shè)tax，則yt22t1(t1)22.其對(duì)稱軸為直線t1，當(dāng)a1時(shí)，ta1，a，ymaxa22a114，解得a3或a5(舍)；當(dāng)0a1時(shí)，ta，a1，ymax(a1)22a1114， 2對(duì)于含對(duì)于含ax、a2x的表達(dá)式，通常可以令的表達(dá)式，通常可以令tax進(jìn)行換進(jìn)行換元，但換元過(guò)程中一定要注意新元的范圍，換元后轉(zhuǎn)化元，但換元過(guò)程中一定要注意新元的范圍，換元后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元二次關(guān)系為我們熟悉的一元二次關(guān)系 若若0a1，函數(shù)，函數(shù)ya2x2ax1在在1,1上的最大值上的最大值是是14，則，則a的值為的值為_(kāi)解題訓(xùn)練要高效解題訓(xùn)練要高效見(jiàn)見(jiàn)“課時(shí)跟蹤檢課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十）測(cè)（十）”教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）（給有能力的學(xué)生加餐）0ba；其中不可能成立的關(guān)系式有其中不可能成立的關(guān)系式有()A1個(gè)個(gè) B2個(gè)個(gè)C3個(gè)個(gè) D4個(gè)個(gè)ab0；0ab；ba0；ab答案答案 ：B