控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析練習題及答案

1、第5章 “控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析”練習題及答案5.1 判斷下列函數(shù)的正定性 1) 2) 3) 解 1) , 因為順序主子式 所以，為正定函數(shù)。 2) , 因為主子式 所以不定，為不定函數(shù)。3) , 因為順序主子式 所以為不定矩陣，為不定函數(shù)。 5.2 用李雅普諾夫第一方法判定下列系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解 解方程組 只有一個實孤立平衡點（0，0）。在（0，0）處將系統(tǒng)近似線性化，得，由于原系統(tǒng)為定常系統(tǒng)，且矩陣的特征根均具有負實部，于是根定理5.3可知系統(tǒng)在原點（0，0）附近一致漸近穩(wěn)定。 5.3 試用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理判斷下列系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解 由于題中未限定利用哪一種

2、方法，且系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，所以利用李雅普諾夫第一方法比較合適。經計算知矩陣的特征根為。由于第一方法關于線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的結果是的全局性的，所以系統(tǒng)在原點是大范圍漸近穩(wěn)定的。 5.4 設線性離散時間系統(tǒng)為試求在平衡狀態(tài)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的值范圍。 解 方法1 令建立離散系統(tǒng)李雅普諾夫方程，得 比較系數(shù)，解此矩陣方程得 若要，應有； 解上述不等式組，知時，原系統(tǒng)在原點是大范圍漸近穩(wěn)定。方法2 由 知系統(tǒng)特征根分別為；，因此只有時，原系統(tǒng)在原點是大范圍漸近穩(wěn)定。5.5 試用李雅普諾夫方法求系統(tǒng)在平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的條件。 解 由于對于線性系統(tǒng)，李雅普諾夫第一方法中結論是全局性的，是充分必要的。這里利

3、用第一方法求解比較簡單。首先求出系統(tǒng)矩陣的特征方程由一元二次方程根與系數(shù)的關系可知兩個特征值同時具有負實部的充要條件為，。5.6下面的非線性微分方程式稱為關于兩種生物個體群的沃爾特納(Volterra)方程式式中，、分別是生物個體數(shù)，、是不為零的實數(shù)。關于這個系統(tǒng)，(1) 試求平衡點；(2) 在平衡點的附近線性化，試討論平衡點的穩(wěn)定性。 解(1) 由，得同時滿足這二式的、有兩組：、和、。即，系統(tǒng)的平衡點為：平衡點(a) 、平衡點(b) 、(2) 分兩種情況討論平衡點的穩(wěn)定性。 在平衡點(a)線性化的微分方程為其特征方程式是、時，平衡點(a)穩(wěn)定，除此以外不穩(wěn)定。 在平衡點(b)，令，得因此，在

4、平衡點(b)線性化的微分方程式是其特征方程式為時，特征根是，為正、負實數(shù)，平衡點(b)不穩(wěn)定。時，特征根是，為共軛純虛數(shù)，平衡點(b)的穩(wěn)定性在這樣的線性化范圍內不能決定。5.7 利用李雅普諾夫第二方法判斷下列系統(tǒng)是否為大范圍漸近穩(wěn)定：解 令矩陣則由得解上述矩陣方程，有即得因為可知是正定的。因此系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)及其沿軌跡的導數(shù)分別為又因為，所以系統(tǒng)在原點處大范圍漸近穩(wěn)定。 5.8 給定連續(xù)時間的定常系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判斷其在平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解 易知為其唯一的平衡狀態(tài)?，F(xiàn)取，則有： 容易看出，除了兩種情況：（a）任意，（b）任意，時以外，均有。所以，

5、為負半定。（iii）檢查是否恒等于零。 考察情況（a）：狀態(tài)軌線 ，則由于，可導出，將此代入系統(tǒng)的方程可得：這表明，除了點（）外，不是系統(tǒng)的受擾運動解?？疾烨闆r（b）： ，則由可導出，將此代入系統(tǒng)的方程可得：顯然這是一個矛盾的結果，表明也不是系統(tǒng)的受擾運動解。綜上分析可知， 。（iv）當時，顯然有。于是，可以斷言，此系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 5.9 試用克拉索夫斯基定理判斷下列系統(tǒng)是否是大范圍漸近穩(wěn)定的。 解 顯然是系統(tǒng)的一個平衡點。由和知。根據(jù)克拉索夫斯基可知系統(tǒng)在原點漸近穩(wěn)定。又因為所以原系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的，同時可說明原系統(tǒng)只有惟一一個平衡點。 5.10 試用克拉索夫斯基定理確定使下列系統(tǒng)的原點為大范圍漸近穩(wěn)定的參數(shù)和的取值范圍。 解 構造雅克比矩陣 ，令 若要求系統(tǒng)在原點漸近穩(wěn)定，則