利用角平分線構(gòu)造全等三角形

1、善于構(gòu)造活用性質(zhì)張雷幾何問題中，若出現(xiàn)角平分線這一條件時(shí),可聯(lián)想角平分線的特性，靈活利用角平分線的特性來解決問題.1 .顯“距離”，用性質(zhì)很多時(shí)候，題意中只給角平分線這個(gè)條件,圖上并沒有出現(xiàn)“距離”，而角平分線性質(zhì)的運(yùn)用又離不開這個(gè)“距離”，所以同學(xué)們應(yīng)大膽地讓“距離”現(xiàn)身（過角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段）例：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，你知道這是為什么嗎分析：我們知道兩條直線是交于一點(diǎn)的,因此可以想辦法證明第三條角平分線通過前兩條角平分線的交點(diǎn).已知：如圖， ABC的角平分線 AD與BE交于點(diǎn)I,求證:點(diǎn)I在/ACB的平分線上.證明：過點(diǎn)I作IHLAB IGAG IF XBC；垂足分

2、別是點(diǎn)G F.點(diǎn)I在/ BAC的角平分線 AD上，且IHAR IGXAC .IH=IG （角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）同理IH=IFIG=IF （等量代換）又IGXAGIF±BC點(diǎn)I在/ACB的平分線上（到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）.即：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn).【例2】已知：如圖，PA、PC分別是ABC外角/MAG口/NCA勺平分線，？它們交于點(diǎn)P,PD±BM于D,PF±BN于F.求證：BP為/MBN勺平分線.【分析】要證BP為/MBN勺平分線，只需證PD=PF而PAPC為外角平分線，？故可過P作P已AC于E.根據(jù)角平分線性質(zhì)定理

3、有PD=PEPF=PE則有PD=PF故問題得證.【證明】過P作PE±AC于E.PAPC分另I為/MAC!/NCA勺平分線,且PDLBMPF±BN.PD=PEPF=PE,，PD=PFX/PD1BMPF±BN,.點(diǎn)P在/MBN勺平分線上，即BP是/MBN勺平分線.2 .構(gòu)距離，造全等有角平分線時(shí)常過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊引垂線，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等，可構(gòu)造處相應(yīng)的全等三角形而巧妙解決問題.例3.4ABC中，/C=90°,AC=BCDA平分/CAB交BC于D點(diǎn)，問能否在AB?上確定一點(diǎn)E使4BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng).請(qǐng)說明理由.解：過D作DE!A

4、B,交AB于E點(diǎn)，則E點(diǎn)即可滿足要求.因?yàn)?C=90°,AC=BC又DELAB,DE=EB.AD平分/CAB且CDLAGEDLAB,，CD=DE由“HL”可證RtAACtDRtAAEtD，AC=AE!_bd=BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB三AB例4.如圖，/B=Z0=90°,M是BC上一點(diǎn)，且DMFK>/ADQAMff分/DAB求證：ad=cd+ab證明：過M作MELAR交AD于E.,.DMFF分/ADC/0=90°.MC=ME,根據(jù)“HL”可以證得RtAMCD2RtAMEID.CD=ED同理可得ab=aecd+ab=

5、ed+ae=aD即ad=cd+ab3 .巧翻折，造全等以角平分線為對(duì)稱軸，構(gòu)造兩三角形全等.即在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.例5.如圖，已知ABC中/BAC=90,AB=ACCD?垂直于/ABC?的平分線BD于D,BD交AC于E,求證：BE=2CD分析：要證BE=2CD想到要卞造等于2CD的線段，結(jié)合角平分線，？利用翻折的方法把CBD沿BD翻折，使BC重疊到BA所在的直線上，即構(gòu)造全等三角形,BCtABFD),然后證明BE和CF(2CD所在的三角形全等.證明：延長(zhǎng)BACD交于點(diǎn)FBD±CF(已知)/BDChBDF=90°BD平分/ABC（已知）/1=72在BC/口

6、BFD中21（已知）BDBD（公共邊）BDCBDF（已證） .BCNBFD（ASA，CD=FD即CF=2CD ，Z5=74=90°,/BDF=90，/3+/F=90°,/1+/F=90°。./1=/3。在ABE和ACF中45ABAC13（已證） .ABEACF（ASABE=CF，BE=2CD?然后證明剩余的線段與另例6.如圖，已知AC/BQEAEB分別平分/CAB和DBACD過點(diǎn)E,貝UAB與AC+BD?相等嗎請(qǐng)說明理由.【分析】要證明兩條線段的和與一條線段相等時(shí)常用的兩種方法.1.可在長(zhǎng)線段上截取與兩條線段中一條相等的一段,條線段相等.（割）2.把一個(gè)三角形移到另一位置，使兩線段補(bǔ)成一條線段，再證明它與長(zhǎng)線段相等.（補(bǔ)）證法一：如圖（1）在AB上截取AF=AG連結(jié)EF.在AC訝口4AFE中ACAFAEAE. .AC® AFE (SAS.Z5 = ZC7：AC£D, .LTC+Z=180，又25必6 = 1眇,6=/ D在EFBABDE中BEBE.EF®EDB(AA9FB=DB.AC+BD=AF+FB=AB證法二：如圖（2）,延長(zhǎng)BE,與AC的延長(zhǎng)線相交于