卡爾曼濾波器介紹

1、卡爾曼濾波器介紹摘要在1960年，R.E.Kalman發(fā)表了關(guān)于遞歸解決線性離散數(shù)據(jù)濾波器的著名論文，從那時(shí)間起，由于在數(shù)字計(jì)算的大部分提高，Kalman濾波器已成為廣泛研究和應(yīng)用的學(xué)科，尤其是自動(dòng)或輔助導(dǎo)航系統(tǒng)。Kalman濾波器是一套數(shù)學(xué)等式，它提供了一種有效的以最小均方誤差來估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)的計(jì)算（遞歸的）方法。它在以下幾方面是非常強(qiáng)大的：它支持過去、現(xiàn)在、甚至將來估計(jì)，甚至在系統(tǒng)準(zhǔn)確模型也未知的情況下。本文的目的是提供一種對(duì)離散的Kalman濾波器的實(shí)用介紹。這些介紹包括對(duì)基本離散kalman濾波器、起源和與之相關(guān)的簡單（有形）的帶有真實(shí)數(shù)字和結(jié)果的描述和討論。1、離散的kalman濾波器

2、在I960年，R.E.Kalman發(fā)表了關(guān)于遞歸解決線性離散數(shù)據(jù)濾波器的著名論文，從那時(shí)間起，由于在數(shù)字計(jì)算的大部分提高，Kalman濾波器已成為廣泛研究和應(yīng)用的學(xué)科，尤其是自動(dòng)或輔助導(dǎo)航系統(tǒng)。關(guān)于kalman濾波器一般方法的友好介紹可以在maybeck79的Chapter.1中找到，但是更完整部分的討論能在Sorenson70中發(fā)現(xiàn)，它還包括許多有趣的歷史解釋。在Gelb74;Grewal93;Maybeck79;Lewis86;Brown92;jacobs93中有更多爹苦。估值過程Kalman濾波器解決估計(jì)離散時(shí)間控制過程的狀態(tài)X玳”的一般性問題，定義線性隨機(jī)差分方程4=出*1+h，a-i

3、,（I/）其中，測量值ZCRm,定義為4+以,（1.2）隨機(jī)變量Wk和Vk各自表示系統(tǒng)噪聲和測量噪聲，我們假定它們?yōu)橄嗷オ?dú)立的、白噪聲且為正常概率分布Q）,（13）-K）.（1.4）在實(shí)際中，系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣Q和測量噪聲協(xié)方差矩陣R可能隨過程和測量時(shí)間而改變，無論怎樣，我們?cè)谶@里假定它們是常量。在差分方程（1.1）中，n沏階矩陣A與前一時(shí)刻（K-1）和當(dāng)前時(shí)刻K相關(guān)，這里缺少傳遞函數(shù)或系統(tǒng)噪聲。注意的是，在實(shí)際中，A可能隨各自時(shí)刻改變，但這里我們假定其為常量，nM階矩陣R與非強(qiáng)制性輸入U(xiǎn)貝1和狀態(tài)x有關(guān)，在測量公式（1.2）中，mxn階矩陣H與狀態(tài)及測量值Zk有關(guān)，在實(shí)際中，H可能隨各自過程

4、或測量時(shí)刻而改變，這里假定它們是常數(shù)。濾波器計(jì)算初步我們定義XCRn（注意負(fù)號(hào)）為k時(shí)刻及系統(tǒng)k時(shí)刻以前數(shù)據(jù)的priori狀態(tài)估計(jì)，定義Xk-CRn在得到測量值Zk的k時(shí)刻的posteriori狀態(tài)估計(jì)。我們這時(shí)定義前后兩狀態(tài)的估計(jì)誤差為ck=and-L4一維這時(shí)priori估計(jì)協(xié)方差為Pk-£丞門，（1.5）并且posteriori估計(jì)協(xié)方誤差為4二EVekek'（L6）在推導(dǎo)kalman濾波器方程時(shí)，我們開始找到Posteriori狀態(tài)估計(jì)Xk與priori估計(jì)Xk-和實(shí)際測量值Zk與預(yù)測值Hx之差的加權(quán)的線性組合的公式，如式（1.7）。對(duì)于（1.7）的一些調(diào)整在下面的“

5、濾波器的概率初步”中給出。xk=短十長仁無一臬）（1.7）式（1.7）中（ZkHxk）的差叫測量協(xié)方差或叫余數(shù)，這余數(shù)反映的是預(yù)測值Hxk與實(shí)際值Zk的不合。一個(gè)零余數(shù)意味著這兩個(gè)數(shù)完全一致。式（1.7）中nxm階矩陣選擇Posteriori協(xié)方誤差的最小增益或混合因子，這最小值可以獲得：首先代式（1.7）到上面定義的ek，代入到（1.6）中，得到期望值，然后然后推導(dǎo)期望結(jié)果K的跡，并設(shè)其為0,最后解得Ko對(duì)于更詳細(xì)的看Maybeck79;Brown92;Jacobs93。最小化式（1.6）的結(jié)果K的一種形式如下PHtHPHT+RA.從（1.8）中，我們可以看到測量均方誤差R趨于0時(shí)，增益K加

6、權(quán)余數(shù)會(huì)越大，尤其limKl=H_1.此一0另一方面，當(dāng)Priori估計(jì)協(xié)方誤差P-趨于。時(shí)，增益k加權(quán)余數(shù)越小，尤其limKk=0.o考慮加權(quán)K的另一種方法：當(dāng)測量協(xié)方誤差R趨于0時(shí)，真實(shí)測量值Zk越來越真實(shí)，這時(shí)，預(yù)測值Hx1越來越不真實(shí)，另一方面，當(dāng)Priori估計(jì)協(xié)方誤差Pl趨于0時(shí)，真實(shí)測量值Zk越來越不真實(shí)，預(yù)測值Hxj越來越不真實(shí)。濾波器概率初步式（1.7）的調(diào)整來源制約于在先前測量值Zk（Bayes準(zhǔn)則）上Priori估計(jì)X的概率。此時(shí)，我們足夠指出：Kalman濾波器保持了分布狀態(tài)的一、二階矩。£鼻|=xk研每-）（4-針=Pf式（1.7）的Posteriori狀態(tài)

7、估計(jì)反映了分布狀態(tài)的均值（一階矩）這是在條件（1.3）和（1.4）同時(shí)滿足的自然分布。Posteriori估計(jì)協(xié)方誤差（1.6）反映分布狀態(tài)的變化（二階非中心矩），換之，p（x&E£）N（£|x/E（xk-xk）（xk-xk）TI）對(duì)于Kalman濾波器的更詳細(xì)的概率初步，可以參考Maybeck79;Brown92;Jacobs93。離散Kalman濾波器算法我們從大體概述了一種包含離散Kalman濾波器形式的高級(jí)算法來開始這部分（看以前腳注）。在描述完它的高級(jí)目的之后，我們將在濾波器的本文集中到特定的公式和應(yīng)用。Kalman濾波器是用反饋控制的形式來估計(jì)過程：在當(dāng)

8、時(shí)濾波器估計(jì)過程狀態(tài)，然后在噪聲測量值時(shí)獲得反饋。比如，Kalman濾波器的等式有兩組：timeupdate等式和measurementupdate等式。這timeupdate等式是當(dāng)前狀態(tài)之前的過程和獲得下一個(gè)時(shí)刻的Priori狀態(tài)的估計(jì)協(xié)方誤差。這measurementupdat外式反映的是反饋。如伴有新測量值的Priori狀態(tài)估計(jì)和獲得提高的Posteriori估計(jì)的組合。當(dāng)measurementupdate被作為修正方程時(shí)，timeupdate也被作為原始等式。確實(shí)，最后的估計(jì)算法與解決數(shù)字問題的預(yù)測修正算法相似，如下Figure1-1所示Figure1-1不間斷離散Kalman濾波器

9、循環(huán)，Timeupdate適時(shí)計(jì)算當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)。Measurementupdate那時(shí)通過真實(shí)測量值來調(diào)整設(shè)計(jì)估計(jì)。在Table1-1和Table1-2表示暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)方程Table1-1:DiscreteKalmanfiltertimeupdateequations.,=Axk_1十Buk_j(1.9)Pk=APk_AT+Q(1.10)再次注意，在Table1-1計(jì)劃中，無論Timeupdate方程如何，狀態(tài)和協(xié)方差估計(jì)從K-1狀態(tài)到K狀態(tài)。當(dāng)Q來自式(1.3)是，A和B來自式(1.1)。濾波器的內(nèi)部條件在早先的參考書中已經(jīng)討論了。Table1-2:)iscrctcKalmanfiltertn

10、casurciiieniupdateequations.K.=PiHT(HPHT+R/(1J1)l.fl1%.xk=Wq-(1J2)Pk=(1-KJ/)月(1.13)在Measurementupdate期間，最初任務(wù)是計(jì)算Kalman濾波器的增益Kk。注意的是，當(dāng)式Zk。然后通1.11）和（1.8）相同時(shí)，等式已經(jīng)給出。下一步是根據(jù)真實(shí)計(jì)算過程來獲得過式（1.12）合并測量值來生成Posteriori狀態(tài)估計(jì)。式（1.12）在這里是式（1.7）的完全重復(fù)。最后通過式（1.13）來獲得Posteriori估計(jì)協(xié)方誤差。每次Timeupdate和Measurementupdate成對(duì)后，系統(tǒng)重復(fù)用

11、以前的Posteriori估計(jì)過去計(jì)劃或預(yù)測的新的Priori估值。這遞歸的本質(zhì)是Kalman濾波器的一大特色它的實(shí)際應(yīng)用比設(shè)計(jì)每次操作直接數(shù)據(jù)的Wiener濾波器的應(yīng)用更為有效Brown92。在過去所有過去測量值的基礎(chǔ)上Kalman濾波器遞歸的代替當(dāng)前估計(jì)。下面的Figure1-2提供了濾波器操作的完整圖片，從Table1-1和Table1-2組合成前面圖表Figure1-1。濾波器參數(shù)和調(diào)整在濾波器的實(shí)際應(yīng)用中，測量噪聲協(xié)方差R通常先于濾波器操作之前測量。測量值協(xié)方誤差R一般是實(shí)際的（可能的）因?yàn)槲覀兡軌驕y量過程，無論如何（當(dāng)運(yùn)行濾波器）為了決定測量噪聲的變化我們一般能夠得到離線例子測量值

12、。系統(tǒng)噪聲協(xié)方誤差Q的測定一般是很困難的，因?yàn)槲覀儾荒苤苯拥玫接^測估計(jì)過程。有時(shí)候相關(guān)簡單的系統(tǒng)模型能產(chǎn)生可能的結(jié)果，如果通過選擇Q它注入足夠不確定進(jìn)入過程。的確，在這種情況下，我們希望系統(tǒng)測量值是可信的。在另一種情況，無論我們是否選擇一個(gè)有理數(shù)參數(shù)，時(shí)間前級(jí)濾波器參數(shù)（統(tǒng)計(jì)說）通過調(diào)整濾波器參數(shù)Q和R便能得到。這個(gè)調(diào)整經(jīng)常離線操作，通常的在系統(tǒng)中，另一種（明顯的）Kalman濾波器一般參考系統(tǒng)鑒定。18Measiircniait Update'(【mtect'1(1)CiimputvtheKulmaiigiin(1) PiK>ivU the slate uhcaM果=八

13、般一 i + "年-IA；=4“7（"幾"丁+長尸(2) Updult L：stimiUt: with metisurcmvtU 二4 篩=% 十七(%一耳)(3) Upilalc I he ci rt)r covuri;mcu(2) Pnycct the error ixwsuriaiKe ahedInitial estimates for 工上_】and 4r iFigure 1-2 Kalman濾波器操作的完整圖片，Table 1-1和Table 1-2組合成 前面圖表Figure 1-1。在結(jié)束時(shí)，我們注意在Q和R是常數(shù)的條件下，估計(jì)協(xié)方誤差Pk和Kalm

14、an增益Kk將快速穩(wěn)定，然后保才I常量（看Figure1-2濾波器修正公式）。如果這種場合，這些參數(shù)能在Grewal93中通過離線運(yùn)行濾波器或決定Pk的穩(wěn)態(tài)值來提前計(jì)算。測量協(xié)方誤差（特別的）不能保持常數(shù)是通常情況。例如，當(dāng)在我們的光電跟蹤面板看到信號(hào)是，在靠近信號(hào)的測量值比遠(yuǎn)離信號(hào)的測量噪聲將更小。同樣，系統(tǒng)噪聲Q在濾波操作一一變成Qk期間為了調(diào)整動(dòng)態(tài)差有時(shí)候也會(huì)動(dòng)態(tài)的改變。例如，在跟蹤虛擬環(huán)境的使用過程情況下，如果目標(biāo)移動(dòng)慢，我們能夠減小Qk的量值，如果動(dòng)態(tài)變化快，我們?cè)黾恿恐?。在這種情況下，Qk能夠選擇計(jì)算不確定的用戶目的和用戶模型。2、擴(kuò)展的Kalman濾波器（EKF）估值系統(tǒng)正如上一

15、節(jié)的描述，Kalman濾波器解決估計(jì)離散時(shí)間控制過程的狀態(tài)X頁n的一般性問題，定義線性隨機(jī)差分方程。但是如果被估值系統(tǒng)或系統(tǒng)的測量值關(guān)系是非線性的，會(huì)發(fā)生什么變化呢？許多Kalman濾波器重要的或成功的應(yīng)用已用于這種情況。線性Kalman濾波器的當(dāng)前均值和協(xié)方差可以作為EKF的參考。在類似Taylor級(jí)數(shù)的時(shí)候，即使是非線性關(guān)系時(shí)我們也能圍繞當(dāng)前估計(jì)，通過系統(tǒng)的部分推導(dǎo)公式和測量公式計(jì)算估計(jì)來把估值線性化。為了如此，我們?cè)诒静糠直仨毿薷囊恍┲匾枋?。我們?cè)俅渭俣ㄏ到y(tǒng)有一個(gè)狀態(tài)矢量XCRn,但是，這個(gè)系統(tǒng)現(xiàn)在被定義為非線性隨機(jī)差分方程。4=/（/_1，以_，心_1）（2,1）其中，測量值ZCRm

16、,定義為二力（/，va），（22）這里，隨機(jī)變量Wk和Vk再次表示系統(tǒng)噪聲和測量噪聲。正如式（1.3）和（1.4）一樣。在這種情況下，在差分方程式（2.1）中，線性函數(shù)f與上時(shí)刻狀態(tài)K-1和當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)K有關(guān)。它包括驅(qū)動(dòng)函數(shù)Uk-i和零均值系統(tǒng)噪聲Wk的參數(shù)。在測量等式（2.2）中，非線性函數(shù)h與狀態(tài)Xk和測量值Zk有關(guān)。在實(shí)際過程中，我們不知道每個(gè)時(shí)刻的Wk和Vk的獨(dú)立值，然而，我們可以在沒有Wk和Vk的狀態(tài)下近似狀態(tài)矢量和測量矢量，如下kA£-I，ki，°）（23）andZk=M%。）.（2.4）這里，Xk是Posteriori估計(jì)狀態(tài)（從上一個(gè)時(shí)刻K開始）。重點(diǎn)注意：

17、EKF和基本缺陷是在遭到各自非線性變換后，不同的隨機(jī)變量的分布（連續(xù)情況下的密度）不再正常。在EKF是簡單的接近線性最佳Bayes公式的特殊狀態(tài)估值。Julieretal.已經(jīng)通過用非線性變換來優(yōu)質(zhì)正常分布來了發(fā)展了EKF變量Julier962.3）和（2.4）方（2.6）濾波器計(jì)算初步為了估計(jì)非線性系統(tǒng)差分值和測量值的關(guān)系，我們重新寫線性估計(jì)式（程的控制方程，xkxk+A（xk_-xk_x）+Wwk_,“0:#+一晨）+vk-這里Xk和Zk是真實(shí)狀態(tài)和測量矢量,Xk和Zk是由式（2.3）和（2.4）而得到近似狀態(tài)和測量值矢量,Xk是K時(shí)刻的Posteriori估計(jì)犬態(tài),隨機(jī)變量Wk和Vk表示

18、在（1.3）和的（1.4）的系統(tǒng)噪聲和測量噪聲A是關(guān)于X的由f部分派生的Jacobian矩陣,定義為W是關(guān)于w的由f部分派生的Jacobian矩陣,定義為a/R".力"工用一，以一I，°）dHjH是關(guān)于X的由h部分派生的Jacobian矩陣,定義為（果,0）,V是關(guān)于v的由h部分派生的Jacobian矩陣，定義為二”在這種，f#況下，簡單注意，我們不能用Jacobians的A,W,H,的時(shí)間下標(biāo)，即使在各自時(shí)刻真正不同。現(xiàn)在我們?yōu)轭A(yù)測誤差定義一個(gè)新符號(hào)和測量余數(shù),記得，在實(shí)際中，式2.7不能接近Xk,它便是真實(shí)狀態(tài)矢量，例如，要估計(jì)的量。另一方面，式2.8不能接近

19、Xk,它是用Xk估計(jì)真實(shí)測量值。用式（2.7）和（2.8）我們能寫系統(tǒng)誤差的控制方程，如下=八（4_臬（2-9）=Hex+“火，（2.10）這里，ek和Yk表示新的有零均值和協(xié)方差WQWT和VRVT并同帶有Q和R的式（1.3）和式（1.4）一樣的獨(dú)立隨機(jī)變量。注意的是等式（2.9）和等式（2.10）是線性的，從離散Kalman濾波器我們得到真得得到類似的差分方程和測量等式（1.1）和（1.2）。這種激勵(lì)在式（2.8）用真實(shí)測量值余數(shù)Ezk和第二（假定的）Kalman濾波器來估計(jì)預(yù)測誤差Exk由式（2.9）給出，然后這叫Ek測量能連同式（2.7）被用來獲得原始非線性系統(tǒng)的Posteriori狀態(tài)

20、估計(jì)，如下xk=+0.（2JI）式（2.9）和（2.10）的隨機(jī)變量有近似的下面可能的分布（看以前腳注）：p（J）N（0,Eeej（以）MSW。/*）（山）N（0,%yT）給定一些ek的近似值和預(yù)測值為0,用來估計(jì)ek的Kalman濾波器等式是ek二KkeZk.（2.12）把式（2.12）代回（2.11）,利用（2.8）,我們可以看到，實(shí)際不用兩個(gè)Kalman濾波器。（2J3）用M院+式（2.13）在擴(kuò)展的Kalman濾波器中用作Measurementupdate,其中Xk和Zk來源于式（2.3）和式（2.4）,Kalman增益Kk來自帶有測量協(xié)方差的特有代替式（1.11）。EKF完整等式如下

21、Talble2-1和Table2-2所示。注意，我們用Xk一代替Xk,并且保持了與以前上標(biāo)負(fù)號(hào)的一致。現(xiàn)在我們給JacobiansA,W,H,V,附加下標(biāo)k來標(biāo)注他們?cè)诟鱾€(gè)時(shí)刻的不同。Table2-1:EKFtimeupdateequations.戈支二，f（X#_I，"A_I，。）（2.14P"（2.15）如同基本的離散Kalman濾波器，在Table2-1中的Timeupdate等式計(jì)算從前一時(shí)刻K-1到當(dāng)前時(shí)刻K的估計(jì)狀態(tài)和協(xié)方差。此外，式（2.14）的f來源于式（2.3）,Ak和Wk是K時(shí)刻的系統(tǒng)Jacobians,Qk是K時(shí)刻的系統(tǒng)噪聲協(xié)方差。luhlc2-2:E

22、KF（tKasiircn）entupdatecquauons.初八"心以十y*丸=窺+如一雙耳。）（2J7）Pt=（2J8）如同基本離散Kalman濾波器，Table2-2中Measurementupdate等式修正了測量值Zk的估計(jì)狀態(tài)和協(xié)方差。此外，式（2.17）的h來自式（2.4）,Hk和V是K時(shí)刻的測量值Jacobians,Rk是測量噪聲協(xié)方差（注意，現(xiàn)在R的下標(biāo)允許隨每個(gè)測量值而改變）。EKF的基本算法同線性離散Kalman濾波器Figure1-1所示的一樣，下面的合并了前面表格Figure1-1和Table2-1和Table2-2等式的Figure2-1提供了EKF算法的

23、完整描述。Tinn- I ptUtc rlVwlkt'4)(1 I Projetl the iLuIr JkikI(I) Compute ihe KJ man gin臬= 皂_ 1,O)(2) theerrnr «natidrte desd8 -+叫。*7啤42 lPpddite csliTTLiilc wi ih mcjiMJircmenl .% = £+ 馬(q-雙耳。)(3) Updjrie die coot covariance尸* =。-勺HJP上Figure 2-1合并了高級(jí)表格Figure1-1和Table2-1和Table2-2等式的EKF的完整描述

24、EKF的重要特征是正常增大或放大相關(guān)測量數(shù)據(jù)的Kalman增益Kk等式中的Jacobians例如，如果測量值Zk和測量狀態(tài)通過h不是一對(duì)一的映射，JacobianHk將影響Kalman增益，以致于精僅僅放大了影響因素的XK-h(XK,0)余數(shù)的部分。當(dāng)然，如果測量值Zk和測量狀態(tài)通過h都不是一對(duì)一的映射關(guān)系，你可以很快預(yù)測到濾波器是發(fā)散的，這種情況是不可觀測的。3、Kalman濾波器的應(yīng)用：估計(jì)隨機(jī)常量在前兩節(jié)中，我們描述了離散Kalman和擴(kuò)展Kalman濾波器的基本形式，為了更好的了解濾波器的運(yùn)算和性能，我們?cè)谶@里舉一個(gè)簡單的例子。系統(tǒng)模型在這個(gè)簡單例子中，我們估計(jì)一個(gè)隨機(jī)常標(biāo)量，例如，電

25、壓。假設(shè)，我們能夠獲得測量常數(shù)，但是測量值是被均方根為0.1的白噪聲破壞(例如，從模擬到數(shù)字轉(zhuǎn)換是不準(zhǔn)確的)。在這個(gè)例子中，系統(tǒng)為線性差分方程=兒以-1+8%-】:叫="1+股'其中，測量值ZkCR1,并定義:*=H“+Vk=4+Aflb在種狀態(tài)不隨時(shí)刻而變化，因此A=0。這里沒有控制輸入，因此u=0。噪聲測量值為直接狀態(tài)，于是H=1。（注意，我們?cè)谠S多地方?jīng)]有考慮下標(biāo)，這是因?yàn)樵诤唵文Ｐ椭校鲄?shù)均為常數(shù)）濾波器等式和參數(shù)Timeupdate等式為%=和Measurementupdate等式為勺=尸R（3.1）露=+4二U-號(hào)吠假設(shè)一個(gè)很小的系統(tǒng)變化，我們使Q=1e-5。（

26、我們能夠確定Q=0,但是為了更好的調(diào)整濾波器，假定一個(gè)很小但又不為0的值，下面我們會(huì)給出證明）。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，隨機(jī)常量的真實(shí)值有標(biāo)準(zhǔn)自然概率分布，于是我們定義濾波器常量為0,換句話說，工作前，我們使Xk-i=0。類似的，我們需要選擇Pk-i的初始值，如果我們完全確定初始化狀態(tài)估計(jì)Xo=0是正確的，那么Po=0o然而，初始估計(jì)Xo是不確定的，選擇Po=0能起濾波器初始化和使Xk=0o于是證明，二者的選擇是臨界的，我們能夠選擇任何PoR,最終，濾波器是收斂的，我們以Po=1開始。仿真開始，我們隨機(jī)選擇一個(gè)標(biāo)量Z=0.37727。（Z不是hat'；因?yàn)樗硎菊鎸?shí)值）。然后,我們模擬50個(gè)不同

27、的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.1的零自然誤差分布的測量值Zko（記得，我們假設(shè)測量值被均方根為0.1的白噪聲破壞）。我們只有在同一準(zhǔn)確測量情況下的一系列的50個(gè)仿真值能在濾波器循環(huán)內(nèi)得到單獨(dú)的測量值（例如，相同的測量噪聲）。于是在不同參數(shù)的模擬的比較是很有用的。在第一次仿真時(shí)，我們確定了在R=（0.1）2=0.01時(shí)的測量協(xié)方差。因?yàn)檫@是真實(shí)測量協(xié)在第二次和第三次仿真中，將有更x= 0.37727的真實(shí)值已經(jīng)在實(shí)方誤差，我們根據(jù)平衡響應(yīng)和估計(jì)方差來預(yù)測最優(yōu)特性。多的證據(jù)。Figure3-1描述了第一次仿真的結(jié)果。隨機(jī)常量線上給定了，噪聲值為“+”標(biāo)記，濾波器估計(jì)仍保持曲線。tlj1020304050Iter

28、ationFigure3-1第一次仿真：R=（0.1）2=0.01。隨機(jī)常量x=0.37727的真實(shí)值已經(jīng)在實(shí)線上給定了，噪聲值為標(biāo)記，濾波器估計(jì)仍保持曲線。當(dāng)考慮到上面選擇P0時(shí)，我們提到：這選擇在P0卻時(shí)候不是臨界的，因?yàn)闉V波器最終會(huì)收斂。下面Figure3-2中，我們畫出了相對(duì)于重復(fù)的Pk的值。通過第50個(gè)重復(fù)，它解決了從1到近似0.0002的最初選擇。Figure 3-2 50個(gè)重復(fù)后，我們最初協(xié)方誤差 Pk從1到0.0002的調(diào)整。在“濾波器參數(shù)和調(diào)整”那節(jié)中，我們簡要討論了為了獲得不同濾波器特性而改變或調(diào)整參數(shù)Q和R。在下面Figure3-3和Figure3-4中，我們能看到當(dāng)R各

29、自以100的因子增加或減小時(shí)，濾波器是如何改變的。在Figure3-3中，濾波器告訴測量方差是大100次（例如,R=1）。于是假定測量值為慢的。Figure3-3第二次仿真：R=1。濾波器響應(yīng)測量較慢，導(dǎo)致減小估計(jì)方差在Figure 3-4中，濾波器說明：測量方差小于100次（例如：R=0.0001 ）于是假定噪聲測量值是非常快。Figure 3-4第三次仿真：R=0.0001。濾波器快速響應(yīng)測量值，增加估計(jì)方差雖然，常數(shù)的估計(jì)是相對(duì)直接的。它明顯的證明Kalman濾波的運(yùn)轉(zhuǎn)。特另LFigure3-3中，Kalman濾波是明顯的，因?yàn)楣烙?jì)出現(xiàn)比噪聲測量明顯平滑。RefercneesBrukii

30、92BrinMi,R.G.andP.Y.C.H*ung-H為？.hitreKlucfitmit)RifiuitniiSignalsandAppliedKalmanFiltering,SecondEdhwntJohnWiley&SonstInc.Gclb74Grewal93GdbtA.1974-AppliedOptimalEstimation,MITGess,Cambridge.MA.Grewal,MohinderS.tandAngusP.Andrews(1993).KalmanFilteringTheoryandJlacticc.LppcrSaddleRier.NJUSAPrcnlieeHidLJacobs93Jaeobji.O.L.R.1993.hiutKluciiontoControlllicoiy.2ndEdition.O.xfordUtiiversilyPress.Julicr%Ijlkr.SinumundJeflrcyIhliiiiiii-bAGcutralhieIhndufAp