概率論論文-淺談中心極限定理

1、淺談中心極限定理摘要：中心極限定理的產(chǎn)生具有一定的客觀背景，最常見的是林德伯格-萊維中心極限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。它們表明了當(dāng)n充分大時(shí)，方差存在的n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和近似服從正態(tài)分布，在實(shí)際中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。本文討論了中心極限定理的內(nèi)涵及其在生活實(shí)踐中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：中心極限定理；正態(tài)分布；生活中的應(yīng)用。引言：在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的總的影響，如測(cè)量誤差、炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差等。同時(shí)許多觀察表明，若一個(gè)隨機(jī)變量是由大量相關(guān)獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所構(gòu)成的，而其中每一個(gè)隨機(jī)因素的單獨(dú)作用是微小的，則這樣的隨機(jī)變量通常是服從或近似服從正態(tài)分布。這種

2、現(xiàn)象就是中心極限定理產(chǎn)生的客觀背景。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，中心極限定理是非常重要的一節(jié)內(nèi)容，而且是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之間承前啟后的一個(gè)重要紐帶。王勇老師講到中心極限定理時(shí)，曾非常激動(dòng)地說這個(gè)定理一被提出便震驚了全世界，而且重復(fù)了數(shù)遍。由此足以見得中心極限定理的重要性。目前我們研究的是獨(dú)立同分布條件下的中心極限定理：林德伯格-萊維中心極限定理：設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且存在，若記則對(duì)任意實(shí)數(shù)y，有這個(gè)中心極限定理是由林德伯格和萊維分別獨(dú)立的在1920年獲得的，定理告訴我們，對(duì)于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其共同分布可以是離散分布，也可以是連續(xù)分布，可以是正態(tài)分布，也可以是非正態(tài)分布，只要其共同

3、分布的方差存在，且不為零，就可以使用該定理的結(jié)論。只有當(dāng)n充分大時(shí),才近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而當(dāng)n較小時(shí)，此種近似不能保證。也就是說，在n充分大時(shí)，可用近似計(jì)算與有關(guān)事件的概率，而n較小時(shí)，此種計(jì)算的近似程度是得不到保障的。當(dāng)時(shí)，則有。現(xiàn)如今旅游、汽車等行業(yè)越來越受歡迎。在這些行業(yè)中就會(huì)用得到中心極限定理。例如，某汽車銷售點(diǎn)每天出售的汽車服從參數(shù)為=2的泊松分布，若一年365天都經(jīng)營汽車銷售，且每天出售的汽車數(shù)是相互獨(dú)立的，求一年中售出700輛以上汽車的概率。1解：設(shè)為第i天出售的汽車的數(shù)量，則為一年的總銷量，由，知365×2=730 利用中心極限定理得 P(>700)=1-P

4、(700)1=1-(一111)=0.8665在理論中，我們也可用它來解決一些比較抽象的問題，比如下面的極限求解問題。例如，利用中心極限定理證明： 1證明：設(shè)獨(dú)立同分布且P(1)，k=1，2. 則a=l，=1 由泊松分布的可加性知P(n) 又由中心極限定理知： 如果在林德伯格-勒維中心極限定理中，服從二項(xiàng)分布，就可以得到以下的定理。棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理：設(shè)n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p（0<p<1），記為n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且記，則對(duì)任意實(shí)數(shù)y，有。它表明，n充分大時(shí)，分布近似服從與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，常稱為“二項(xiàng)分布收斂于正態(tài)分布”，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布

5、的極限分布，當(dāng)n充分大時(shí)，我們可以利用該定理的結(jié)論來計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的應(yīng)用也很廣泛，例如：假設(shè)某校要建新校區(qū)，里面有學(xué)生5000人，只有一個(gè)開水房。由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學(xué)排長隊(duì)的現(xiàn)象，為此校學(xué)生會(huì)特向后勤集團(tuán)提議增設(shè)水龍頭。假設(shè)后勤集團(tuán)經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生在傍晚一般有1的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭，現(xiàn)有水龍頭45個(gè)，現(xiàn)在總務(wù)處遇到的問題是：(1)未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？(2)至少要裝多少個(gè)水龍頭，才能以95以上的概率保證不擁擠？2解：（1）設(shè)同一時(shí)刻，5000個(gè)學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為X，則 擁擠的概率是： 由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理

6、，n=5000，p=0.01，q=0.99， 故 即擁擠的概率為 （2）欲求m，使得，則由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理可知， 由于 即 查表得 即 故需裝62個(gè)水龍頭，才能以95以上的概率保證不擁擠。保險(xiǎn)與我們的生活息息相關(guān)。中心極限定理在保險(xiǎn)行業(yè)方面也有很大應(yīng)用。例如，某保險(xiǎn)公司有2500個(gè)人參加保險(xiǎn)，每人每年付1200元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.002，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得20萬元。問：(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大?(2)保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于1010萬元，200萬元的概率各為多大? 3分析：首先，我們先設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為隨機(jī)變量X，保險(xiǎn)公司虧本的概率為P。因?yàn)轭}

7、中人和人之間是獨(dú)立的，而且死亡的概率都一樣為0.002，因此比較容易看出，此題中的X是服從二項(xiàng)分布的，我們也可用二項(xiàng)分布的方法把p具體地求出來，但要想求出絕非易事，更何況還要算上幾千個(gè)呢？為此我們不妨用中心極限定理來求解它。解：設(shè)X為一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則， (1)由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理知 P(虧本)=1-0.99993=0.00007所以，保險(xiǎn)公司虧本的概率為0.00007，幾乎為0。(2)由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理知P(利潤)P(利潤)以上結(jié)果說明，保險(xiǎn)公司幾乎不可能虧本不過，關(guān)鍵之處是對(duì)死亡率的估計(jì)必須正確，如果所估計(jì)的死亡率比實(shí)際低，甚至低得多，那么，情況就會(huì)不同。結(jié)論中心極限定理為數(shù)理統(tǒng)計(jì)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用鋪平了道路。用樣本推斷總體的關(guān)鍵在于掌握樣本特征值的抽樣分布，而中心極限定理表明，只要樣本容量足夠地大，得自未知總體的樣本特征值就近似服從正態(tài)分布。從而，只要采用大量觀察法獲得足夠多的隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，幾乎就可以把數(shù)理統(tǒng)計(jì)的全部處理問題的方法應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)，這從另一個(gè)方面也間接地開辟了統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法領(lǐng)域，其在現(xiàn)代推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)方法論中居于主導(dǎo)地