數(shù)列求和方法(帶例題和練習(xí)題)

1、 數(shù)列的求和數(shù)列求和主要思路：1求數(shù)列的和注意方法的選取：關(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式； 2求和過(guò)程中注意分類討論思想的運(yùn)用；3轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用；數(shù)列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5、公式法求和注意事項(xiàng) （1）弄準(zhǔn)求和項(xiàng)數(shù)的值； （2）等比數(shù)列公比未知時(shí)，運(yùn)用前項(xiàng)和公式要分類。例1求和()二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例2求和：例3求數(shù)列前

2、n項(xiàng)的和.三、倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和即可用倒序相加發(fā)，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和就是此法推導(dǎo)的例4求的值例4變式訓(xùn)練1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.例4變式訓(xùn)練2： 數(shù)列an：，求S2002.例4變式訓(xùn)練3：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例

3、5已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。例5變式訓(xùn)練1： 求之和.例5變式訓(xùn)練2：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：；例6求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，五、裂項(xiàng)相消法：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2）（3）若為等差數(shù)列，公差為d，則；（4）（5）(6) (7) 例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和.例8在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.例8變式訓(xùn)練1：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：；參考答案：例2解：時(shí)設(shè). （設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減） 時(shí) 略例3解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的

4、通項(xiàng)之積設(shè) （設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減） 例4解：設(shè). 將式右邊反序得 . （倒序） 又因?yàn)?+得 （反序相加）89 S44.5例4變式訓(xùn)練1：解：設(shè)Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）Sn （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+

5、 cos90° （合并求和） 0例4變式訓(xùn)練2：解：設(shè)S2002由可得 （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S2002 （合并求和） 5例4變式訓(xùn)練3：解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 得 （合并求和） 10例5略例5變式訓(xùn)練1：解：由于 （找通項(xiàng)及特征） （分組求和）例5變式訓(xùn)練2：， 例6解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 （分組）當(dāng)a1時(shí)， （分組求和）當(dāng)時(shí)，例7解：設(shè) （裂項(xiàng)）則 （裂項(xiàng)求和） 例8解： （裂項(xiàng)） 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 （裂項(xiàng)求和） 例8變式訓(xùn)練1：，數(shù)列求和練習(xí)一、選擇題1 設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則的前項(xiàng)和=（）ABCD2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)

6、和為,且4,2,成等差數(shù)列若=1,則=（）A7B8C15D163 數(shù)列，的前n項(xiàng)和為（）ABCD4 已知等差數(shù)列中,記,則的值為（）A130B260C156D168 5 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,則（）A38B20C10D96 等差數(shù)列是5,中,第n項(xiàng)到n+6項(xiàng)的和為,則當(dāng)最小時(shí),n的值為（）A6B4C5D37 等差數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，則的值為 8 將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制是（）ABCD9 設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且, 則下列等式成立的是（）ABC D10已知二次函數(shù)，當(dāng)n依次取時(shí)，其圖像在x軸上所截得的線段的長(zhǎng)度的總和為（）A1BCD 11數(shù)列的前項(xiàng)和（）ABCD12等差數(shù)列an和bn的前n

7、項(xiàng)和分別為Sn與n，對(duì)一切自然數(shù)n，都有=，則等于( )ABCD13數(shù)列的通項(xiàng)公式是，若前n項(xiàng)的和為10，則項(xiàng)數(shù)n為（）A11B99C120D12114已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列，它們的公比為q，則q的取值范圍是（）ABCD15數(shù)列的前n項(xiàng)和為（）ABCD二、填空題16等差數(shù)列前n項(xiàng)和為已知+-=0,=38,則m=_17已知，且對(duì)任意正整數(shù)若，則，則_。18數(shù)列中，=_.19列an的通項(xiàng)公式是an=1-2n,其前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列的11項(xiàng)和為_20數(shù)列的前n項(xiàng)和 ，則 21已知等差數(shù)列的前次和為，且，則過(guò)點(diǎn)和（）的直線方向向量的坐標(biāo)可以是_ 22已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前項(xiàng)和 23在數(shù)列

8、則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為 ；24在等差數(shù)列中,是其前項(xiàng)的和,且,則數(shù)列 的前項(xiàng)的和是_25在小時(shí)候，我們就用手指練習(xí)過(guò)數(shù)數(shù). 一個(gè)小朋友按如圖所示的規(guī)則練習(xí)數(shù)數(shù)，數(shù)到2008時(shí)對(duì)應(yīng)的指頭是 。(填出指頭的名稱，各指頭的名稱依次為大拇指、食指、中指、無(wú)名指、小指).三、解答題26設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且它的前項(xiàng)的平均值是.(1)求等差數(shù)列的公差;(2)求使成立的最小正整數(shù).27已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，是數(shù)列的前項(xiàng)和()求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；() 若數(shù)列滿足，且是數(shù)列的前項(xiàng)和，求與28已知正項(xiàng)數(shù)列中，前項(xiàng)和。（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值。29在等比數(shù)列an中，

9、公比，且，a3與a5的等比中項(xiàng)為2。（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)最大時(shí)，求n的值。30已知等差數(shù)列，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)使得對(duì)任意的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.專題24 數(shù)列求和參考答案一、選擇題數(shù)列求和練習(xí) 第 9 頁(yè) 共 11 頁(yè)1 A 2 C 3 C 4 A 5 C 6 C 7 C 8 C 9 D 10B11D 12B13C14D15C二、填空題1610171000182600 19-66 206621222 23 24 25食指三、解答題26解:(1) (2) 且,使成立的最小正整數(shù)為7 27解：()設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可知：,解得: () 28解：（1）當(dāng)時(shí)，整理得：，數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，