【三維設(shè)計(jì)】2013屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(基礎(chǔ)知識+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練)第二章函數(shù)的單調(diào)性與最值教學(xué)案(含解

1、知識能否憶起一、函數(shù)的單調(diào)性1單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對于定義域1內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值xi,X2當(dāng)XlX2 時(shí)，都有f(Xi)Vf(X2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)X1f(X2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述U1IYr.rH -/- Ht、X7 MU . -TF7TI?1 自左向右看圖象逐漸上升自左向右看圖象逐漸下降2. 單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán) 格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義

2、域?yàn)?，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件對于任意xI，都有f(x) M存在XoI，使得f(Xo) =M結(jié)論M為最大值M為最小值小題能否全取1.(2012 陜西高考)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()A.y=x+ 13B.y= xC.1y=_XD. y=x|x|解析：選 D 由函數(shù)的奇偶性排除 A,由函數(shù)的單調(diào)性排除 B、C,由y=x|x|的圖象可IUI函數(shù)的單調(diào)性與最值基礎(chǔ)MliA豪打年J I C H U Z H D S H I YAOIPALAG固本源知此函數(shù)為增函數(shù)，又該函數(shù)為奇函數(shù)，故選D.數(shù)、指數(shù)函數(shù)等；如果是復(fù)合函數(shù)， 應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個(gè)簡2.函數(shù)y=(2k+

3、1)x+b在(a.+m)上是減函數(shù)，則()11A.k2B.k-2D.k 2解析：選 D 函數(shù)y= (2k+ 1)x+b是減函數(shù),則 2k+ 10,即k 2.3.(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x) =1x的最大值是()I 一X 一xB.43C.42/1 3314解析：選 DT1 x(1 x) =xx+ 1 =x - +0-i-.2.丿 441 xJ_ x34._ (教材習(xí)題改編)f(x) =x2 2x(x 2,4)的單調(diào)增區(qū)間為 _ ;f(x)max=解析：函數(shù)f(x)的對稱軸x= 1 ,單調(diào)增區(qū)間為1,4 ,f(X)max=f( 2) =f(4) = 8.答案：1,485._ 已知函數(shù)f(x)為 R

4、 上的減函數(shù)，若mn,則f(m_f(n)；若f(n)；1-1，即 |x|1，且x豐0.x故1x(1,0)U(0,1)1.函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)從定義上看，函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域的某個(gè)子區(qū)間上的性質(zhì)，是局部的特征.在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，在整個(gè)定義域上不一定單調(diào).A.4知此函數(shù)為增函數(shù)，又該函數(shù)為奇函數(shù)，故選D.數(shù)、指數(shù)函數(shù)等；如果是復(fù)合函數(shù)， 應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個(gè)簡2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域.對于基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用已知結(jié)論求解，如二次函數(shù)、對數(shù)函單函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)“同則增

5、，異則減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.注意單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示， 不能用集合或不等式表示； 如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號“U”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié).學(xué)披法|91函數(shù)單調(diào)性的判斷i例 1 證明函數(shù)f(x) = 2x-在(一a,0)上是增函數(shù).X自主解答設(shè)X1,X2是區(qū)間(一a,0)上的任意兩個(gè)自變量的值，且XiX2.11則f(x= 2X1,f(X2) = 2X2X1X2XiX2Xi X2 1 ，由于 1XiX2,所以XiX20,因此g(Xi) g(X2)0，即卩g(Xi)g(X2). 故g(X)在(i,+s)上是增函數(shù).1*- 1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 2(20i2 長沙模擬)設(shè)函數(shù)

6、y=f(X)在(8,+)內(nèi)有定義.對于給定的正數(shù)k,定義函數(shù)fk(x)=k,2單調(diào)遞增區(qū)間為()A. ( , 0)B.(0，+m)C. (a, i)D. (i,+a)=2(X1X2)+1X2f(X1) f(X2)=(X1X2)ii自主解答 由f(x)2 得一 ixi.由f(x) ，得xi.2x,xi,所以 G(x)才 2, iVXVi,2X,X i.i故f?(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一a, i).答案C;題爭變 -若本例中f(X) = 2|X|變?yōu)閒(X) = log2|X|，其他條件不變，則fk(X)的單調(diào)增區(qū)間為i一解析：函數(shù)f(X) = log2|X| ,k= 時(shí)，函數(shù)fk(x)的圖象如圖

7、所示,由圖示可得函數(shù)fk(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0 ,2 .答案：(0, 2 由題悟法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法(1) 利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間.(2) 定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義.(3) 圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.(4) 導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.$以題試法單調(diào)性的應(yīng)用L1 典題導(dǎo)入例 3 (1)若f(x)為 R 上的增函數(shù)，則滿足f(2 m)f(m)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2012 安徽高考)若函數(shù)f(x) = |2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是3 ,+)

8、，貝 Ua=自主解答(1) f (x)在 R 上為增函數(shù)， 2 n0. m1 或m 2.ra2xa,x 2，(2)由f(x)=2,解析：選 A 由于f(x) =|x 2|x=*2x+ 2x,x0,a xx0），若f（x）在, 2 I 上的值域?yàn)?, 2 I，則a=1解析： f(x) =120,x0)在I1,單調(diào)遞增,所以f1=12,r1=2,1 1a2=23,解得1.拒靶褻髙手低解析：選 D 依題意，知函數(shù)圖象的對稱軸為從而bX在(0，+m)上是()A.增函數(shù)C.先增后減b2解析：選 B /y=ax與y=在(0，+m)上都是減函數(shù)，a0,b0,.y=ax+bx Xb2的對稱軸方程x= - 2a

9、0，則一定正確的是( )A.f(4)f( 6)B.f( 4)f( 6)D.f(4)0 知f(X)在(0， +m)上遞增， 所以f(4)f( 6).6.定義在 R 上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y) =f(x) +f(y)，當(dāng)x0 ,則函數(shù)f(x)在a,b上有()A.最小值f(a)C.最小值f(b)解析：選 C/f(x)是定義在 R 上的函數(shù)，且f(x+y) =f(x) +f(y),f(0) = 0, 令y=x，則有f(x) +f( x) =f(0) = 0.f( X) =f(X) . f(X)是 R 上的奇函數(shù).設(shè)X1X2，貝yX1X20.f(x)在 R 上是減函數(shù).f(X)在a,b有最小值f(

10、b).B.減函數(shù)D.先減后增7._函數(shù)y= (x 3)|x|的遞增區(qū)間是.解析：y= (x 3)|x|-x2+ 3x,x0,2x 3x,xX2 2,則f(Xi)f(X2),2y=ai 2xx2(a0 且ai).作出該函數(shù)的圖象，觀察圖象知遞增區(qū)間為答案:而f(xi) f(X2)=axi+ 1xi+ 2ax2+ iX2+ 22axi+X2 2ax2xiX2+得 a#.答案:i0求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：2(1)y= x+ 2|x| + i；x1+ 2,X0,即y= *2一x+1+ 2,x0,則 2a i0.解:一x2+ 2x+ i,(i)由于y=x2 2x+ i,x 0,xl 時(shí)，函數(shù)y=al 2x

11、x的增區(qū)間是(g, 1)，減區(qū)間是(一 1,+)； 當(dāng) 0a0 且f(x)在(1,+g)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解：(1)證明：設(shè)X1X20 ,X1X20,f(X1)f(X2), f(x)在(一g,2)內(nèi)單調(diào)遞增.設(shè) 1X10,X2X10,要使f(X1) f(X2)0 ,只需(X1a)(X2a)0 恒成立，- a0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；若abf(x)時(shí)x的取值范圍.解：(1)當(dāng)a0,b0 時(shí)，任意X1,X2 R,X1X2,貝Uf(X1) f(X2) =a(2X1 2x2) +b(3x1一 3x2)./ 2x10?a(2x1 2x2)0 ,3x10?b(3x1 3x2)0 ,f(X1)

12、 f(X2)0，函數(shù)f(x)在 R 上是增函數(shù).同理，當(dāng)a0,b0,當(dāng)a0 時(shí)，；X則xlog1.5同理，當(dāng)a0,b0 時(shí)，Ix1時(shí)，f(x) = In x,則有()解析：選 C 由f(2 x) =f(x)可知，f(x)的圖象關(guān)于直線x= 1 對稱，當(dāng)xl時(shí)，f(x)=Inx，可知當(dāng)x1時(shí)f(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x1 時(shí)f(x)為減函數(shù)，因?yàn)?|2 1|，所以f弓 f110,故y2= 4+2 xx+；1= 4+2. x2 2x+ 3 = 4 +2x+12+ 4，根據(jù)根式內(nèi)的二次函數(shù)，可得4Wy2w8,故Ky1 時(shí)，有f(x)0.(1) 求f(1)的值；(2) 判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明；(

13、3) 若f(4) = 2,求f(x)在1,16上的值域. 解：(1)T當(dāng)x0,y0 時(shí)，xf=f(x) f(y),.令X=y0，貝yf(1) =f(x) -f(x) = 0.設(shè)xi,X2 (0 ,+)，且xiX2,11-1 -123則xlog1.5-2VAf3 f(2)f2B.ff(2)fCf 1f3f(2)D.f(2)f* 0,y0 都有fx=f(x) f(y)，當(dāng).f(X2)f(xi)，即f(x)在(0,+s)上是增函數(shù).(3)由 知f(x)在1,16上是增函數(shù). f(x)min=f(1) = 0,f(x)max=f(16), f(4) = 2,由f y=f(x) -f(y),知f16=f

14、(16) -f(4),k4Jf(16) = 2f(4) = 4,f(x)在1,16上的值域?yàn)?,4.|裁佛備邃眩1. 求函數(shù)f(x) =x2+x- 6 的單調(diào)區(qū)間.解：設(shè)u=x2+x-6,y=u.由x+x 60,得xw 3 或x2.結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，函數(shù)u=X2+X-6 在(一8,3上是遞減的，在2 ,+)上是遞增的.又函數(shù)y=u是遞增的，函數(shù)f(X)= x2+x-6 在(-8,-3上是遞減的，在2,+8)上是遞增的.2.定義在 R 上的函數(shù)f(x)滿足：對任意實(shí)數(shù)m n,總有f(m+n) =f(n) f(n),且當(dāng)x0 時(shí)，0f(x)f(1),B=(x,y)|f(ax-y+.2)=1,

15、aR,若AnB=?，試確定a的取值范圍.解：(1)在f(m+n) =f(m) f(n)中，令 m= 1,n= 0,得f(1) =f(1) f(0).因?yàn)閒(1)豐0,所以f(0) = 1.(2)任取X1,X2 R,且X10,所以 0f(X2xi)0 時(shí)，0f(X)1 ,1所以當(dāng)x10.fX又f(0) = 1，所以綜上可知，對于任意的X1 R,均有f(x0.所以f(X2) f(X1) =f(X1)f(X2 X 1f(1)，即x+y1.f(axy+ 2) = 1 =f(0) ,即卩axy+ 2 = 0.Kaw1.1由于X1X20,所以X1-X20，因此f(X1) f(X2)0 ,即f(X1)f(X2), 故f(X)在(a,0)上是增函數(shù).-由題悟法對于給出具體解析式的函數(shù)，證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：(1)結(jié)合定義(基本步驟為取值、 作差或作商、變形、判斷)證明；可導(dǎo)函數(shù)則