矩陣可交換的條件及其性質(zhì)

1、中文摘要 特殊矩陣在矩陣分析和矩陣計(jì)算中占有十分重要的地位，它們?cè)谟?jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)特殊矩陣的研究取得的實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，都將會(huì)對(duì)計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展起著重要的推動(dòng)作用.隨著矩陣應(yīng)用程度的不斷加深，矩陣的可交換性越來(lái)越被學(xué)者和技術(shù)人員所重視.矩陣的可交換性不僅在矩陣計(jì)算中起著重要作用，而且在衛(wèi)星通訊等等許多領(lǐng)域也有著直接的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：矩陣交換 矩陣 可交換 特殊矩陣 上三角矩陣 數(shù)量矩陣ABSTRACT Special matrices play an important role in matrix analysis and matrix computati

2、on and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutat

3、ivity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields. Keywords: the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special ma

4、trices,upper triangle matrices,scalar matrices矩陣的可交換性在各類矩陣的運(yùn)算中應(yīng)用十分重要，特別是在現(xiàn)在這種信息時(shí)代，在衛(wèi)星通訊、網(wǎng)絡(luò)安全方面、解碼器以及電路系統(tǒng)鎮(zhèn)定性問(wèn)題、路由交換處理器等等都有著不可替代的作用.本文主要介紹了矩陣的可交換性質(zhì)和可交換條件的研究以及矩陣交換的相關(guān)概念和基本定義.對(duì)矩陣可交換的基本定理和一些優(yōu)美性質(zhì)進(jìn)行了敘述和總結(jié)，以及對(duì)一些特殊的矩陣?yán)鐢?shù)量矩陣、上三角矩陣等等，滿足可交換條件的矩陣進(jìn)行了探究.在高等代數(shù)及線性代數(shù)的教學(xué)中，矩陣是一個(gè)重要的教學(xué)內(nèi)容。由矩陣的理論可知，矩陣的乘法不同于數(shù)的乘法，矩陣的乘法不滿足交換律

5、，即當(dāng)矩陣有意義時(shí)，矩陣未必有意義；即使矩陣、都有意義時(shí)它們也未必相等。由于矩陣的乘法不滿足滿足交換律，所以對(duì)于研究與的關(guān)系有重要意義。我們知道，若對(duì)階實(shí)方陣、，如果滿足，則稱、可交換?？山粨Q矩陣有許多良好的性質(zhì)，研究矩陣可交換的條件及可交換矩陣的一些性質(zhì)對(duì)矩陣?yán)碚摰难芯烤哂兄匾囊饬x（文中的矩陣均指階實(shí)方陣）。一 基本定義和相關(guān)概念 以下定義1.1.1到定義1.1.8均來(lái)自參考文獻(xiàn)6.定義1.1.1 若同階矩陣、有，則稱與為可交換矩陣.定義1.1.2 階方陣中若元素，稱為階對(duì)角矩陣，記 .定義1.1.3 主對(duì)角線上的元素都是1，其余元素全是0的矩陣 稱為階單位矩陣，記為，或者在不致引起含混的

6、時(shí)候簡(jiǎn)寫(xiě)為.顯然有 ， .定義1.1.4 在階對(duì)角陣中，若，稱此時(shí)的為數(shù)量陣.記其中為階單位陣.定義1.1.5 若階方陣滿足其中為的轉(zhuǎn)置陣，則稱為對(duì)稱陣.定義1.1.6 若階方陣滿足，即，其中為的轉(zhuǎn)置陣，則稱為反對(duì)稱陣.定義1.1.7 若同階方陣滿足,其中為同階單位陣，則稱與互為逆方陣，記逆矩陣或者.定義1.1.8 若階方陣滿足，其中為同階單位陣，則稱為正交矩陣.定義1.1.9 若階方陣，滿足,則稱為正矩陣.定義1.1.10 若對(duì)于矩陣、矩陣存在可逆矩陣，使得則稱矩陣和矩陣相似.這里對(duì)于置換矩陣有.二矩陣可交換的充分條件定理2.1.1 設(shè)、至少有一個(gè)為零矩陣，則、可交換；定理2.1.2 設(shè)、至

7、少有一個(gè)為單位矩陣，則、可交換；定理2.1.3 設(shè)、至少有一個(gè)為數(shù)量矩陣，則、可交換；定理2.1.4 設(shè)、均為對(duì)角矩陣，則、可交換；定理2.1.5 設(shè)、均為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，則、可交換；定理2.1.6 設(shè)是的伴隨矩陣，則與可交換；定理2.1.7 設(shè)是可逆矩陣，則與可交換; 推論2.1.8 設(shè)，則、可交換. 證明： 2.1.1對(duì)任意矩陣，均有：，表示零矩陣； 2.1.2對(duì)任意矩陣，均有：，表示單位矩陣； 2.1.3對(duì)任意矩陣，均有：，為任意實(shí)數(shù)； 2.1.4、2.1.5顯然成立； 2.1.6； 2.1.7； 2.1.8當(dāng)時(shí)，、均可逆，且為互逆矩陣.定理2.1.9 設(shè)是對(duì)角元為的對(duì)角陣，為與同階的方陣.

8、如果，則與可交換.定理2.1.10設(shè),其中為非零實(shí)數(shù)，則、可交換.證明：由可得,即， 故依推論2.1.8 得,于是 ,所以 .定理2.1.11設(shè)，其中為正整數(shù)，為非零實(shí)數(shù)，則、可交換；證明：由得 ,故依定理2.1.8得, 于是 ， 所以可得.定理2.1.12 設(shè)可逆，若或或，則、可交換；證明：若，由可逆得,從而，故； 若，同理可得,故; 若,則,故.定理2.1.13 設(shè)、均可逆，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，則、 可交換. 證明：因、均可逆，故由得可逆，且, 則 兩邊取轉(zhuǎn)置可得.或由 兩邊取逆可得.定理2.1.14 設(shè)階方陣 其中為階方陣，階方陣 ，是與分塊方法相同是矩陣，若則與可交換.三矩陣可交換的充

9、要條件定理2.2.1 下列均是、可交換的充要條件： （1）;（2）;（3）;（4）.證明：（1）由及可證得；（2）由可證得；（3）分別由，兩邊取轉(zhuǎn)置可證得；（4）分別由，兩邊取伴隨可證得.定理2.2.2設(shè)階矩陣、，其中有個(gè)互不相同的特征根，則的充分必要條件是、可同時(shí)對(duì)角化。證明：必要性 由于有個(gè)互不相同的特征根，則存在可逆矩陣使得 因?yàn)?，所以有而與可交換的矩陣只能是對(duì)角矩陣，故為對(duì)角矩陣.即存在可逆矩陣使得、同時(shí)對(duì)角化. 充分性 由已知存在可逆矩陣使得 , 那么有.擴(kuò)展：設(shè)是一個(gè)矩陣集合，中每個(gè)矩陣都與對(duì)角矩陣相似，那么中任意兩個(gè)矩陣是可交換的存在可逆矩陣使得對(duì)中所有矩陣為對(duì)角陣.證明：必要性

10、（1）先證明當(dāng)為有限集時(shí)結(jié)論成立，設(shè),用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng)時(shí)，仿定理6的必要性易證得.設(shè)時(shí)成立，考慮時(shí):因?yàn)榭蓪?duì)角化，從而存在可逆矩陣使得 ,其中各不相同, ,為階單位矩陣. ， ,由知為準(zhǔn)對(duì)角陣，且與是同階矩陣.因?yàn)榭蓪?duì)角化，那也可對(duì)角化，由得，從而由歸納假設(shè)知存在可逆矩陣使得，為對(duì)角陣.令,則可逆，且使得為對(duì)角陣.也為對(duì)角陣， 此即時(shí)也成立.再考慮為無(wú)限集時(shí)，由于，而包含于，從而中必存在一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，其中.則由（1）知存在，使得都是對(duì)角陣，任意,有，為對(duì)角陣.得證.充分性：利用數(shù)學(xué)歸納法易證得.定理2.2.3均為實(shí)對(duì)稱矩陣，則可交換的充分必要條件是、可同時(shí)正交對(duì)角化.證明：必

11、要性 由于均為實(shí)對(duì)稱矩陣。則可對(duì)角化， 所以存在正交矩陣，使得，其中是 的特征值，. 由得 為準(zhǔn)對(duì)稱矩陣. 由于可對(duì)角化，則它的初等因子都是一次的， 的初等因子也是一次的，所以存在使得為對(duì)角陣.令則為對(duì)角陣.令,則為正交陣，且為對(duì)角陣. 充分性 由可同時(shí)正交對(duì)角化，則存在正交陣使得 , 所以. 定理2.2.4可逆矩陣、可交換的充要條件是 證明：分別由；兩邊取逆可證得.定理2.2.5（1）設(shè)、均為（反）對(duì)稱矩陣，則、可交換的充要條件是為對(duì)稱矩陣；（2）設(shè)、有一為對(duì)稱矩陣，另一為反對(duì)稱矩陣，則、 可交換的充要條件是為反對(duì)稱矩陣. 證明 （1）必要性 設(shè)、均為對(duì)稱矩陣，那么有 ,因此為對(duì)稱矩陣; 若

12、、均為反對(duì)稱矩陣，則,因此也為對(duì)稱矩陣. 充分性 設(shè)、均為對(duì)稱矩陣，則 若、均為反對(duì)稱矩陣，則.仿（1）可證（2）.定理2.2.6設(shè)、為正定矩陣，那么正定. 證明： 必要性 由得即是實(shí)對(duì)稱矩陣. 由于、都是正定的，從而都可對(duì)角化，所以存在可逆陣使得，,其中大于零.且大于零，即為正定陣. 充分性 由是正定陣，從而是實(shí)對(duì)稱陣.所以. 定理2.2.7 為階矩陣，且有個(gè)互不相同的特征根，那么是的線性組合. 證明 充分性：顯然； 必要性：由定理5知存在使得 ，,又由拉格朗日內(nèi)插法知，存在唯一的次多項(xiàng)式使得于是 所以，即是的線性組合.定理2.2.8 是階矩陣，那么存在可逆矩陣使得與均為對(duì)角陣.證明 必要性

13、：由得可對(duì)角化，設(shè)使得， 由得,即 ，所以有 ,為階子塊. ，故，即. 于是存在，使得令則即可同時(shí)對(duì)化. 充分性：同定理2.2.6充分性的證明.四可交換矩陣的一些性質(zhì)設(shè)可交換，則有性質(zhì)2.3.1 其中都是正整數(shù)；證明：由可得 同理可證.性質(zhì)2.3.2 ,其中是的多項(xiàng)式，即與的多項(xiàng)式可交換； 由性質(zhì)2.3.1可證性質(zhì)2.3.3 ;性質(zhì)2.3.4 （矩陣二項(xiàng)式定理）. 性質(zhì)2.3.3、性質(zhì)2.3.4對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法可證得. 性質(zhì)2.3.5 設(shè)、是階方陣，則存在一個(gè)階可逆矩陣，使得與同為上三角矩陣. 性質(zhì)2.3.6 型如 的二階方陣的可交換陣為二階方陣 （其中為任意實(shí)數(shù)）. 性質(zhì)2.3.7 型如 （且

14、）的二階上三角形矩陣的可交換矩陣仍是二階上三角陣 （且，其中為任意實(shí)數(shù)）. 性質(zhì)2.3.8 型如 （且） 的三階上三角形矩陣的可交換矩陣仍是三階上三角陣 （且，其中為任意實(shí)數(shù)）. 性質(zhì)2.3.9 型如 的三階方陣的可交換矩陣仍是三階方陣 （其中為任意實(shí)數(shù)）.性質(zhì)2.3.7到2.3.9是關(guān)于比較特殊的二階、三階上三角矩陣可交換的性質(zhì)，下邊給出的是更一般的關(guān)于特殊的階上三角矩陣可交換的性質(zhì).型如的上三角形矩陣.若約定矩陣的對(duì)角線從主對(duì)角線向右數(shù)起，則第一條對(duì)角線上的元素皆為，第二條對(duì)角線上的元素皆為，.,針對(duì)型如的矩陣有如下結(jié)論：引理2.2.9 與階方陣 的可交換矩陣型如性質(zhì)2.3.10 階方陣能

15、同一切型如的階方陣可交換的充要條件是也是型如的階方陣.證明：必要性：設(shè)方陣能同一切型如的階方陣可交換，則與 也可交換，由引理知為型如的階方陣. 充分性：設(shè)，中是任意數(shù)，通過(guò)矩陣的乘法比較和，易證得.性質(zhì)2.3.11 第一行為的型如的矩陣是可逆的，且它的逆矩陣仍為主對(duì)角線上的元素皆為的型如的矩陣.證明：易證是可逆的.設(shè)，其中當(dāng)時(shí)，因，由引理2.2.9及逆矩陣的唯一性得又因，所以故為主對(duì)角線上元素皆為的型如的矩陣.五舉例例1 設(shè)與所有的階矩陣均可交換，則一定是數(shù)量矩陣. 證明：記，用將第行第列的元素表示為1，而其余元素為零的矩陣.因與任何矩陣均可交換，所以必與可交換. 由得及，故是數(shù)量矩陣. 例2

16、 (1)設(shè)矩陣為對(duì)角矩陣，其中時(shí)，則可交換的充要條件是為對(duì)角矩陣.(2)設(shè)為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中其中時(shí)，是階單位矩陣，則可交換的充要條件是為準(zhǔn)對(duì)角矩陣. 證明：（1）若均為對(duì)角矩陣，則由定理1（4）可知可交換；若與可交換，時(shí)，.設(shè)，因?yàn)闉閷?duì)角矩陣，所以.由,即得，而時(shí)，.故，所以為對(duì)角矩陣.仿（1）不難證明（2）.結(jié)論 本文針對(duì)一般的矩陣不可交換這一性質(zhì)進(jìn)行了深入研究.對(duì)一些特殊的矩陣（如上三角矩陣、數(shù)量矩陣等）給出了一些可交換的性質(zhì)、充分條件和必要條件.本文主要參考一些特殊的公式和通過(guò)一些特殊的矩陣如對(duì)焦矩陣、數(shù)量矩陣、上三角矩陣等的研究來(lái)對(duì)矩陣可交換性的充分條件、充要條件的探討和總結(jié)以及矩陣可

17、交換性的一些優(yōu)美性質(zhì)的探討. In this thesis,we focus on the most matrices that can not be satisfying the commutativity.We give some quality and sufficiency conditions for some special matrices,scalar matrices and some upper triangle matrices. In this thesis,by the study of some special formula,matrix such as,diag

18、onal matrix upper triangle matrix etc,we get some sufficiency conditions for the commutant of the matrix,and some beautiful quality about commutativity.致謝歷時(shí)將近兩個(gè)月的時(shí)間終于將這篇論文寫(xiě)完，在論文的寫(xiě)作過(guò)程中遇到了無(wú)數(shù)的困難和障礙，都在同學(xué)和老師的幫助下度過(guò)了。尤其要強(qiáng)烈感謝我的論文指導(dǎo)老師王寬小老師，他對(duì)我進(jìn)行了無(wú)私的指導(dǎo)和幫助，不厭其煩的幫助進(jìn)行論文的修改和改進(jìn)。另外，在校圖書(shū)館查找資料的時(shí)候，圖書(shū)館的老師也給我提供了很多方面的支持與幫助。在此向幫助和指導(dǎo)過(guò)我的各位老師表示最中心的感謝！感謝這篇論文所涉及到的各位學(xué)者。本文引用了數(shù)位學(xué)者的研究文獻(xiàn)，如果沒(méi)有各位學(xué)者的研究成果的幫助和啟發(fā)，我將很難完成本篇論文的寫(xiě)作。 感謝我的同學(xué)和朋友，在我寫(xiě)論文的過(guò)程中給予我了很多你問(wèn)素材，還在論文的撰寫(xiě)和排版燈過(guò)程中提供熱情的幫助。 由于我的學(xué)術(shù)水平有限，所寫(xiě)論文難免有不足之處，懇請(qǐng)各位老師和學(xué)友批評(píng)和指正！參考文獻(xiàn)1 倪國(guó)熙.常用的矩陣?yán)碚摵头椒?上海：科學(xué)技術(shù)出版社，19842 王松桂，楊