應變梯度理論的新進展(一)：偶應力理論和SG理論

1、| 維普資訊 h ttp:/vhzi No, 2tunc 19?9t機 械 皤JOURNAL "F MECHANICAL STRENGTH®qq V")別可應變梯度理論的新進展偶應力理論和SG理論RECENT ADVANCES IN STRAIN GRADIENT PLASTICITY ICouple stress theory and SG theory黃克智*旦值明J姜漢卿(清華天*工軽力學親.北京1D0084 JHwang Kehchih Qiu Xmming Jiang Hanging(Detriment vf £川辭初片程耳 Mcchanics

2、*T?iAw</ Umirj/v«-BeijilOCOSi+CAi! >満要仆紹兩種應噸描度塑性本構模型15戰(zhàn)瓷禪度舉哼廉怡偶應力理論、SG應變悌度塑住理論n祁對它H! 在斷製力學中的應用進廳了評述，給出一種葦慮可壓縮性的方法井狠鋸這種模型用薄梁彎曲的例于洽出了可壓堀性的 總響"本文的討論雖眼制在胎變理論范圍內但按照拒應的方法也可戲得到流動理論的形式.關鏈詞應變樺度塑性個應力離階應力斷諛中圖分類$ 03利'一Abfiiracl In lhe paper two kind of framewnrk al strain grp die dt plastici

3、ty recently dpvhpd aixl their applications are rcvicwwl j st ram graditnt piasticuy far CS sEid - ihv cuupie stress-chttur;r, scram gradirnl pieidcity for 5G 艮 ohd. Thp AppIicatiL>jis are mainly focussed on rhe racturt problems. One way cl crcdntin lor Tnaicrial Limpressibilii 旅 auggf Tetl- The r

4、eview is confined to ibe drforTiiatiun thecr version T though xh* flow thury vtrsion can l)e paralle'lly coniTT ucted.Key vords siraLo gradLenh plasticity> pit stress, bightr-order Eire%、fracture| 維普資訊 h ttp:/| 維普資訊 h ttp:/十丹曲的汨收封切犒，旳畸第；3收到修改稿，國家亡翠科學基全址玄帀目*也旳it列I靈助"兩克智*男，主于19絲年亍討江西雨昌丄肌朕.

5、中園科學喘院工作于請華丸學二程力學畚門討朋屮，©壞理論口璽性本陶研究室純授、 磚士主辱聞"9擰年卑業(yè)十江西中!Ek4!i32年清華研究主坐業(yè)走國固體力學專象.溝華尢學工程力學哥究聽斫怏匡射茂事位委員去力 學評徴組召集人遠東與大津制斷裂哮會粗姜、國際理論與應用力學麻合會理事”國樂材料力學行由學盤常委.快期從宇肝裘力半理論艮應 用.包括材粒強M宅理論，蚩細觀新裂才學.匝變棒席與艮寸姣應斷舉力學崔域寒器與置沮工程中的應用；財料平枸理論包聒材料丈變刑乖 構理論.耳肓相麥情況的牛恂理譜、形墟記憶吉金.佚電村*1哥卞罰筈靈等科學研寬，曾主帝了 7頊國蜜車大科研項口.昨為第一號鑿若欝茶

6、國家自性科學三尋誰.國實粒委乙托進歩一等龔等H項可師國癌與部僉貿獎勵，此夕卜僉加張厚國或自然利學三等變.國墓背委科技進步一 茅槳等彳頂遽嵐一已出版5邯專膏*圧國內外學術刊轉與舍裁上屋吉論宜170叢翔，1弓!言新近的試驗表明”當非均勻塑性變理恃征丘度在 徵來量級時材料R有很強的艮度效應.M Fleck 等：在細銅統(tǒng)的扭轉試驗中現(xiàn)務到.當銅絲的直徑為 12 pm時，無哉綱的扭轉融化增加至170 直匣吋的 3倍；Stolken和Evans1- ft薄梁彎曲試驗中也觀霜到 當梁的厚度從100 »rn減至12.5 (xm吋*無量綱的彎 曲硬化也顯著增加；而在單軸拉伸情況這種艮度效應 并不年在。

7、在微米量級的尺度下微觀碩度試驗與縣粒 增強金屬基復合材料中也觀察到尺度效應，當壓痕深 度從10 誠至1 pm時*金屬的硬度增如一倍'"''i 對于M碳化硅顆粒加強的鋁一硅基夏合村料丄 觀察到當保持顆粒體積比為15蚪的條件下將縣粒直 徑從比rim減為7. 5 Mm后境合村料的強度顯著增 加.由于在傳統(tǒng)的塑性理論中本鞫模型不包含任何艮 度所以它不能預測尺度效應。然而，在工程實踐中迫 切需要處理微米量級的設計和制造問題洌如，厚度在 1豐m或者更小尺寸下的薄膜；雅個系統(tǒng)尺寸不超過 1C嚴m(xù)的傳感器、執(zhí)行器和徴電力罷統(tǒng)(MEMS).零部 件尺寸小于10 的微電子封裝：顆

8、?；蛉衾w維的尺 寸在微米量級的先進夏合材料及微加工現(xiàn)在的設計 方法”如肓限元方法1 FEM】和計算機輔助設卄 (CAD幾都是基于經(jīng)典的齟性理論而它們在這微 小尺度不再適用。另一方面現(xiàn)左按照量子力學和原子欖擬的方法在現(xiàn)宴的吋閭和氏度的瓦度下赴理微米瓦 度的結枸依然很兩睢、所LL建立連純介質框架匚考 慮P寸效應的本構模型就成為聯(lián)系經(jīng)與塑性力學和原 子模擬之間磁要的橋梁；促使建立泅硯尺寸下連續(xù)介境理論的另一亍目的 是在韌性材料的堂覘斷裂行為和原子斷裂過程之閘建 立聯(lián)系=在系列值得注意的試驗中-Elssner等測 戢了單品靛/藍寶石界面的宏現(xiàn)斷裂韌度和原子分離 功使用專門設計的四點彎曲試件測量宏觀斷裂

9、功以 測岀界面韌性"原子分翦功通過界面上的微觀孔隙平 商形肽來確定，盡管錘是利性材料,具有很多位惜但 這蘭種材料的界面裂紋仍保持為原子尺度的尖裂蟻, 即裂尖沒有純化匸原子點陣或強界面分離所需要的力 約為0盟E或者IByIE為彈性模量，叭為拉伸屈服 應力而按照經(jīng)典的塑性理論池旳川也指出裂 紋前玄攝大應力水平只施達到4至5倍很明顯這 遠遠小于Elssner等&在試驗中觀察到的結果不足 以達到使原子分離.考慮應變梯度的影響有望解釋這 現(xiàn)象,在下面兩節(jié)中主要介紹最近發(fā)屣起來的兩種應變 梯度塑性理論及苴應用"這兩種理論分別為£5應變 梯度塑性理論是"cou

10、ple .tress"的簡宵WG應變 梯度塑性理論【SG 是"stretch and rotation gradients'' 的商寫兒順便指岀現(xiàn)在已有各沖各樣的應變梯度理論。例 如Aifantis和他的合作護Z把應變梯度表示為等 效應變的-次和二次拉普拉斯算子然而他們在理論 中段有定義應變梯度的功捷矩量；壯網(wǎng)和Bas- 沁考慮應變梯度塑性可能的構造形式它應保持 經(jīng)典齟性的基本結構.并且保證滿足熱力學的限制.他 們斷言應變樺度理論唯一可能的構造形式為流動理 論而應蠻梯度作為一，內變量*表示即時切向硬化模 量的增加訂旦因為并沒有-1統(tǒng)的方法枸造切向糙 fit所

11、愎這種方法尚未具體化;Dai和塊雖在他們 的率擔關單晶應變禪度塑性理論中已經(jīng)采用了這種內 變墾理論一2 應變梯度塑性理論偶應力理論位錯理論表明材料的塑性礎化來癟于幾何必需蒞 <geometrically necessary dislocation* 統(tǒng)計儲存 位錯 I statistically stored dislcxrarions)JT"：Hj,據(jù)此. Fleck和Hutchinson 111及Fleck等力發(fā)展了 種應變 櫛度塑性理論它是經(jīng)典的丄晞變或人擁劫理論的 - D&i H - Farkfc" D Mti tea jJy-necessAjy di

12、isloc 叭 ion densitv :n caniiLnuum cryscal pl&ricity i beory a nd FEM impbinrnWiorL 199? < unpub- IwKpd mrinuirript L 椎廣”在理論中為了考慮魏轉梯度的彫響引人了偶應 力孫£并且淸足二階變形梯度本枸律的Clausius Duhem熱力學限制條件八叫Fleck和Hulchinftod門應用這種理論成功地預測 了前面提到的細銅絲扭轉匸'薄梁彎曲和顆粒增強 金屬基夏合材料.的尺寸效應匸在這牛本構關系中為 了平衡應變和應變梯度的最綱引入了材料常數(shù)"

13、長 哽疑綱、，它被認為是材料的內祟拴度依賴于材料的 微結構：山叭在文獻中對于銅估計F = 4旳而 在文獻工中對于稈.估計#丄 時叫當非均習變底場 的特證尺寸匸比材料內票民寸/大得多時”應更梯度 效應小到可巴略去因為應變梯度項比應變項£的貢 獻小得多即俺/在就H故此時該理論退化 為經(jīng)典的J.塑性理論;但是當變形場特征尺寸L與林 料內與尺寸f JS于個數(shù)就級時例如在上面提到的 一些試驗中】應變梯度效應就很重要“2-1控制方程在本節(jié)中對Fleck和HutcbinBonC1：1及Fleck等門 的應變梯度蜩性理論做一下總結只考慮平面應變變 形環(huán)=Q啲情況h Cauchy應力為如30“ 1*2

14、).把 它分為對稱嚴九J和反應對稱3g=陥兩 部分*偶應力為這里希臘字母表示指標 収值范圍為(12.平衡方程為3 =啤“亠 g =。(1叫' r1? _ Jl = °(2、茸中“表示對坐標的微分 5=肌“丑° 邊界上的應力拽力7和偶應力拽力g為Tt =戲弘q =其中 哄邊界上的單位外法線通過運動學的分析可以得到應變訕和俊移之 間及旋轉向量叫=耐和曲率“ X.之間的關系J (嘰*十宀 =1山 叭.】5/2(4J X，=叫從式中消去位務和旄轉向量卑到X- M調條件及 X所要滿足荊協(xié)調方程X = i2,i 一 i.：X：電.一 1 切門X.= 一 Xc.i = o形蠻理論

15、的本構關系可以適過應變能密度W表 示為如下形式% =朋7金鼬 化=爾7改”與經(jīng)典幾形變理論類佩假設應變能密度呼是應變 張董第一、第二不變量反曲率張量第二不變量(曲率張 量的第一不變量心是零1的函數(shù).即就克智等；應變璋度理論的祈進屣"一)33(3)茸中由于阜綱的需要引入內稟村料常粒人而平面應 變悄況下的不變量為對苦慮應變梯度效應的彈姓強比材料和 Hutclunson Jl及Fleck等門建儀應變能函敕少眼下 面的巧式< 10?其中5 =署.巫是塑性槻化楷數(shù)工是單軸拉伸 屈眼應力的度<，K = £/3(1-2p)是庫積模量E是彈 性僅駅心是怕松比。當曲率很小可以忽略

16、時即 加y 式11"退化為經(jīng)典厲形變理論當/>=1時. 式門山退化詢彈性偶應力理論aw =占匾亠尸爐+鬆& tn? 亠其中站E/屮1亠唧是剪切?，?2.2斷裂力學中的應用2, 2. 1 解折解Fleck和Hutchinson 11應用應變梯度理論計算了 由于稀政的剛體顆粒夾雜引起的宏觀強比由于晞疏 孔洞引起的宏觀軟比*這種理論也被用來解決與斷裂 招關的問題*關于応變梯匿效應在斷製力學上的應用 可燦見Huang等L切的綜述性文章"Xia和Hutchin-S Huang尋"點獲得了考慮應變梯度效應時 彈哇一幕硬化材料的裂尖漸近解他1境現(xiàn)在裂尖偶 應力沒有

17、奇異性*而應力罠有與HRR場九用同樣的 奇異性，通過與路桎無關的/積分表示【型、1型 裂尖場的等效應力工為工=缶5 十 lU/2cVJ,'(r' CJ2J 也就是說.在I型型裂尖場中.奪敢應力與極角H 無關更重耍的是Jluang等陽】證明混伶型裂尖的應 力場是它對應的型型冋題解的我性疊加“ 由于在應更梯度瑕性理論中莪得解栃解很困堆. 所円有限元方法就成為重翌手段*有限元有法的主耍 困唯住于計算結杲與單元選取的關系很大，于是提出 了一個迫切需要解決的問題即判斷某神有限單無是 否合適這需耍用解析解來進行比較而解析解僅僅在 應變梯度彈性情況才有可能*已經(jīng)有k得到基于偶應 力理論彈性材

18、料的應變梯度效應.Steinberg利 MukiL用研究了應變梯度弾性村料無限大介瞳中有限 長裂紋的丨型應力場；Atkinson fQ Leppingten1 J，采用 Wkr-Hopt方法硏住了在半無限長裂紋上年用有隨 距離指數(shù)衰減的法向表面力時的全場解：張林等空得 到了無限大弾性介質中E里裂紋遠性作用場下的 全場解jH訕ng奪禺X悍到了毛限大彈建介質中【型 和I型裂紋遠處受尺場作用的彈性全場解值得注竟 的是.彈性解除用于檢查有限元計算結果的可借性外. 本身還具有很重耍的意義.Chen等L叩證明肆窩狀結 構的連續(xù)件質描述奪同于具有應變拂哽敎應的彈性材 料其內稟村料長度就等同于蜂窩胞元的艮寸-

19、同 時他們由胞元璧的簡單破壞準別證明蜂寓狀彈性材 料的莎裂韌度正比于 M 肛、這里帆呈胞元準的抗 拉強度川和L牛別為胞元的壁厚和尺寸: Fl?ek和 Shu-81得釧殲維增遢夏臺材料同樺具有應變梅度效 應村料內票氏度等同于纖維厚度。2. 2.2 遠場為HRR場和K場的彈型性有限元分特為了定出漸近解主導的范圍+及研究裂綻尖端附 近從應變梯度塑性區(qū)到經(jīng)典塑性區(qū)之間的過渡仏 利Hutchinsionr2<堆展了 一套育限元冇法*并在 ABAQUS有限元程序的基礎上協(xié)人了新的単元和本 構在這種單元中位移和旋轉柞為單元中獨立的節(jié)點 變培:在Xia fH Hutchinson ZKJ的有限元分析中&

20、quot;遠處 為HRR場“切很此全場均進入塑性。計真結果表 明當r>5 I吋服從HRR場*當r<Z/5吋應變梯度塑 性理論的裂尖場占主導它心之間存隹光滑的過渡， 這里尸表示到尖端的距離訂表示村料的內稟獲度*在 Xia和Hutchinson1的有限元分析中作為遠場邊界 條件的HRR場加在r=l(W處hHuang等口肖在小范圍屈服條件下對應變樓度弾 塑性材料的】型J型裂紋進行數(shù)值分祈。他們在有 限元分析中+所取區(qū)域的豐徑為1 30人遠遠大于兀也 和 HutchinsonL2ilBf的區(qū)域 1 叭 在遠方 r= 1 00(V 處"經(jīng)典和場作為遠處的邊界條件來用Xi 和Hutc

21、hinson-展岀的新單元.在裂紋尖端的網(wǎng)格 劃分非常精細英中最小單元的尺寸為10-7*并且力 求使單元雖寬比接近1,在小范圍屈服條件下J型性硬化指數(shù)松=川吋.有| 維普資訊 h ttp:/| 維普資訊 h ttp:/4s ZhdUiig L Hu® 硝 Y Chen J T K 曲The mud? K iull-field wluDOn m dps tic mareru& with strain gradient effeg* bit J Frdcrujne-dnpre 樸 h2 H如益他 ¥ Chen J Y- Guo T F i 岀-1. -and 口*mei

22、埋詁 電w辻出嗎 c口I xnd euTe 3 frctyr? in f Inhfic-phs口wvh fcrtnrad lentTnx J Fractnrr . 1勺勺代 t«n press i.|維普資訊 imp:|1PA& 甲|維普資訊 imp:|維普資訊 imp:|限元結果在r</5范圍內和裂尖場的漸近解很接近. 誤趙只有歆而且此結果也很接近Xifl和Hutcbrn- son L,-于裂尖場主導區(qū)的估算結果士然而如果允許 誤望取10%.®有限元結果表明裂尖場主導區(qū)的尺寸 等于材料內票長度兒憶當K,比較大，塑性爸尺寸遠 遠尢于材料內稟艮度時才能惺證位于遠

23、赴的Ki場 與應變梯度塑性製尖斷近場之間存在有HKR場：彈塑性小范圍屈服I型冋題顯示出一些與H型問 題五同的持去*當塑性硬比指數(shù)W-LO時，裂尖奇異場 的尺寸就是材料內樂氏度大于Xia和Hutchinson'I Cben J Y. Wen Yt Huang Y-er dl. , The nesr-rjp ahymptocic fbeldt in phenumenoloeicall strajn 譽昭d悴n pbsrKity- no be ubmmedli. 所沽計的氐另外在塑性區(qū)中'對任競的r-Hung 等3,都滾有境現(xiàn)苻合HR杞場晌丫的角分布:這牛 結杲與Xi日和Hutchi

24、nson-10的結果不同他們規(guī)察到 T HRR場和應變梯廈塑性製尖場之間的過渡.差別 的原因在于Xia和Hinchin陽n"是全塑性屈服條件“ 而Huflng等門是小范圍屈服條件.X3注記應變梯度塑性的偶應力理惟在定程度上成功地 估計了上面提到的細躺絲扭轉薄梁彎曲比和裂尖 場*應力分析中所岀現(xiàn)的尺度效應.然而，5血和 Fleck-1將這種理論應用到壓痕問題上、其結果與徴壓 痕或者納米壓痕試箍,匸所觀測到的提高2皿甚至 3U0%的結果苻合得不好匚按翌Xia和Hutch“呦及 H訓噸等宀的解析和數(shù)值結果在裂紋而上距裂 矢/牡.塑性便比指數(shù)軒=5時1型阿題的最大切應 力是經(jīng)典塑性解f經(jīng)典鶴

25、性解就是1型的HRR解的 倍”然而在I型問題中沒有觀察到這種結果“原 因是在應變繰度偶應力理論中位移的二階梯度只涉 受旋轉梯席、而I型冋魁的裂尖場是無癥的旋轉梯度 變?yōu)榈碗A項因此對袈紋面上的力沒有貢獻由于這個 原因.Fleck和Hutchinson21提出了另一套理在 應變梯度塑性SG理論.在這個理論中除了考慮癥轉 梯度外還考慮擔仲梯度。在下-査將討論這種理論u3應變梯度塑性SG理論 一拉伸和旋轉梯 度理論M3. 1本構方程在第2章中討論的偶應力理修不是完整的高附梯 度理論由式1中可以看出除了經(jīng)典應變知外只 有旋轉張量3的禪度啓門而沒有考慮植仲梯度”相應 地除了經(jīng)典的Cauchy應力外只有謂應

26、力出現(xiàn)、而 沒有其他的高附應力出現(xiàn).Fleck和Hutchinson提出的應變梯度塑性SG 理論是一牛完整的二防梯度理論：由干在平面應變情 況下，下面的式（14）中定義的分解“靜忒部分"和 “偏量部分”包含了離面分量所以我們給出三維情況 下的公式拉丁字母表示指師的取值范圍為（1氛 3）.應變亦和應變梯度與位穢魴的關系為豈-, +<13&治=和心（13b）應蠻偏量知和應變梯度偏fi$義為叮=務一玄忌3tl4a）帀二加-嗚H4b）其中就為加的靜水部分叨I = ©滄 +<15>與應變偏量叮和應變梯度偏量M功共轆的應力分 別為對稱應力G氣一眄二1*2,3）

27、和對前兩個牯 標對稱的高階應力以=|-,7.4=1,2.3<®變 理論的本構關系可且通過應變能密度IV吉示為；=網(wǎng)M =血睥（1）Fleck和Hutch加訊此假設時于不町壓縮材料來 說'應變能巒度函教少僅僅仮賴于應瘦和應疲梯度張呈 的二階不變量。應變張量的二階不蠻童為= V2<7/73U7>而對于不可壓箔材料來說Smhly占科和FkckK：證 明應變梯度張量有三個二階不變量分別為和/%/心/瑕,和Eg；HS）Fleck和Uutchmson ,2：把應變張量和應變梯蛋張量的 不變址組合成一個新的等效應變 嚴=J討叮+皿山+ oVW + iW（19） 這里常數(shù)

28、z 和6具有怏度尸的呈細。Flec-k和 Hutchinson-圧堡儀這些常數(shù)應該由做觀試驗擬合而 得、這將在第33節(jié)中洋細討論* Fleck和Huhin- son-2：應用這個新的等效應變 << 采用與單軸拉伸形 式相同的應變能函數(shù)即對于不可壓編材料來說應變 能函數(shù)齒W = /ir （h亠1八爲石。川冷J"川 （20） 這里珂是塑性功硬化臘數(shù)圧“是拉伸屈服壷力且有 平術方程和邊界條件可以宙虛功原理獲 得"玉2斷製力學中的應用Fleck和Hutchinson-1-研究了金屬甚材料由剛性 顆粒夾茱導致的強化和孔洞的尖穩(wěn)問題t Chen等觸 得了 T型J型裂紋的漸近

29、無.蟆而在裂紋延民線前方 作用的面力的苻號星“不正確”的它和經(jīng)典嵐黃克智尋：應變梯度理論的新逬展（一】85場或若HRR場相反=因此可以斷盲.按照Flxk Hjtch.nson的應變梯度塑性SG理論求悍的漸近解主 導區(qū)為無限小對製紋尖端場的分析同樣采用有限元方法°由于 在裂誤具有很大的拉伸梯度*且?guī)缀醪活畨?為了精確 地體現(xiàn)裂尖的應變梯度效應* W亡i和Huwhizon發(fā) 展出一種新的有限元方法，這種單元在F】=1的槪限 情況下與和Hunnx住利用Wiencr-Hopf方法律到 的彈性全場解析解不僅是在裂尖而且在全場范圍內 都符合得非常好©這一結果說明Wei和Hutchins

30、on 發(fā)展的新有限元方法可以體現(xiàn)裂尖的應變梯度效應. 包括錠轉禪度和拉伸梯度。在文獻遼:中應用這種單元來研究塑性碩化指數(shù) 情況下的斷裂問題，在遠處施加經(jīng)典K ,或K |場 作為遠場的邊界條件.W?i和日皿咼©1：丄把內稟材 料長度和蹩性區(qū)尺寸之比作為遠處載荷的度量. 其中在I型和Q型冋題，峭性區(qū)尺寸砥估計為& = K 或乩=K-,厲戀： 其中K一和Kl是遠處施加的應力強度因子，萇是拉伸 屈服應力村料長度/>=/：=/1=/2<見下文式（25）. 內集材料長度/和鮑性區(qū)尺寸曲之比打R嚴Z 在 I型間題中對泊松比#=山49的情況.發(fā)現(xiàn)在裂紋延 長線上W=Q）當距裂尖距

31、離r i咸小至005Z時正應 力丁,將會由“正確''的苻號轉變?yōu)椤安徽_”的符號因 此在裂統(tǒng)類端0. 05f的范闔內正應力T.的符號是 “不正確”的°這牛區(qū)Jsto. 05/C<0.1 pm）已經(jīng)超出了 應變樣度理論所討倫的0. 1 jtim 10 Mm的范圍了、然 而當泊松比*6 3時*得到的結論和=0.49的情況 有很大的差別不管距離裂紋尖端有多接近止應力 始終保持正確的苻號。這似乎預示著五町壓縮性在 裂尖漸近解中扮演著重要的甬色還有待進一步的研 究：W占和HLHuhimim"在型裂紋穩(wěn)態(tài)擴展中應用 應變梯度塑性5G理論得到了比應用CS理論高得多

32、的裂尖應力場，3.3應變梯度理論中的材料常數(shù)在應變樺度塑性理論中一個重要的方面是確定材 料常®.Nix和G皿按照細觀或位錯理論的觀點，認 為這卜材料特征長度的呈級是平均位錯間距的平方和 Burner向量之比心人但.是按照連續(xù)介質的觀點、 這個材料常數(shù)和應變梯度不變呈前面的系數(shù)門心和 有一定的關系下面討論這一問題°Smyyhlyaev和Fleck 1 "把應變梯度張量的偏量¥/分為三卜互相正交的張量*其中叭；代表拉伸梯度 張量另兩亍們T和叭2代表碇轉梯度張量乜式（19）+ 應變梯度張量的二階不變址和拉伸、旋轉梯度的關系 為+ 6：錦+仏如=畑;旳工+ f期

33、:訶:；一刖:河:歹 <21） 這里/是與拉仲棉度育關的桿料怏度仏和上是與兩 十旋轉梯度有關的材料長度.Smyshlyaev和Fleck w： 及Fleck和Hutchinson111給出這些怏度與口、門和門 的關系為Z; = <. + c > g =門（“通過密薄梁彎曲試EStolken和Evans-1）.細銅絲扭 轉試驗（Fleck等和微壓痕試驗-'-.Begley和 HufchinsonCtJ定出了這些材料常數(shù)沖處=¥ 一 J滸（23） 也就是銅的 / = 4= 0. 25 梓m 0- 5 me * 存=2 pnitZ = 1-8 找 rru 葆的 I

34、 = 6 pm Ji = 6 3S 從巧 U* 75 pm ,Zn = 3 jitm th 2- 7 嚴m(xù)<基于旋轉梯度的理論（Fl&k和Hutchinson11'1, Fleck等中相應的材料長度為IA = 0 扎=*/ 厶=寸壽 （24 但按照這樣的材料民度d微壓痕或納來試驗中 儀僅能預測10% 20%的增加.與試驗中規(guī)察到的 增加200300 %相望甚遠，（；ao等總:和Hu肋g等發(fā)展出了一種新的模型. 把等效應變梯度與兒何必需位錯密度聯(lián)系起來.按照 這種理論材料悅度為I = & =舊=J/2（,25）很明顯這里厶和厶與Fleck-Hutchinson的理論

35、（式 Q陰）很接近但是L比式（23呻的大很多.按照這種 材料長度得到c=Ci = 0和c = d 在（；說等庁和 Huang等建的模型中除了材料常數(shù)的選擇與Flee" Hutchinson1的啟變梯度塑性SG理論不同外，本構 模型也不一樣在本文第二部分中將詳細討論這種理 論<3.4可壓縮性0 Wdi 十 HuTrhinsc-n J Wr Gn fimir clcmnl mcihod for the mied trnn probhm軋 1日9& fwcxlk in 卩匸口“陽人Shi M X> liudSiR Y The “jkTic kill-fild oliit

36、jon nn maTprsa& with 尋tnHn gudirnT effects,- IS9tl* ork m progress L71 Gdo HiHung Y tNix W Dm 吐Mfii hrtnism-baed sTraan grddlicni pJastanty- J , Tlheaiy. J Mcrh Phys Solids 199乩 hn |?理” h E】Y lOani If. Nix W D< et aJ. . Mpchanim-KaAed 汛活m 財亠山亡血 plasticny* 丨.Analysis. )98- (n prss),按照式仃I定艾的等效應

37、變適用于不可壓縮材 料-現(xiàn)在給出一卜具區(qū)的考慮可壓縮材料的位移場i.i = A ：才；17 jt： j 亠 2月才2 = 2皿-|口 1 R；卅一”一攔I 十 2C2：Tj <26） 叫=241! + 2丑心些+ C才一北十X：相應的應變場為純林積膨脹*即% =金、 e = 2（ Arj + R孔 + Ct 127）把式俚斜代入式門9】*得到尊效應變= 10 在匚驢十爐 +HO （28）既然式吃門給出的是一牛純怵積膨脹.也就卮說既沒 有統(tǒng)計祐存位錯也洼有幾何必需位錯那么笄效應變 應該為0,而不應該是式貂給岀的結果，原因是.在 尋效應變嚴的宦義式HI中.僅反除左了悴積應變 S而投育除去悴積

38、應變的樽度耳心Smyshlyaev和 Heck 引人了曲率張量的偏最*，它和應變梯度偏 量於的關系為X/ = 5加（29）這里縱”是置換張量，把乂分為對稱部分；r和反對稱 部分亡Z；s =（X； + Z/） /2< 3CH Z； = skew<X；）= <1/ - Z/V2利用式（2D.<29）和（劉幾武門4中的等效應變F可 以表示為'蘭=角叮叮+巾加樹+字熾焉十沅元（31） 其中矢量五的定義為7T = e t x*'1 - - 2axl （ / I 沂一斗肆（比：、 黃克智和井上證明廉=* 一訂弘 =扛=卍-厲與樸 武:=&、；并且建議矩竽效應

39、變石的表達式【31】屮用77-'代替五* =務務十琢沖 +號空 g 十4/xJ' （34） 苛只有體積膨脹的位移場（肝幾按糜式（34定更的等 效應變占杷這乍新的尊效應變式”弋入應變能 密度W的表達式黃克智和井卜-X建議應變能密度 函數(shù)采用加下形式W = tl吃曲師尸+ E伽一） 這樣就可以處理可壓縮村科，為了考察可壓縮性的影晌下面紿出一牛薄梁彎 曲的例子口假設薄梁的變形為平面應變彎曲曲率為 肌梁厚為觸內卑材料長度 Z 和I：按照式3取 值它們和門心與心的關系為式畑,無缸綱的彎矩無世躬曲翠訛注殳活國r£須卡*"= I/A=2Zy-lXS ,E I時不同心佚下無

40、攤朝皓彎鋌一無世訓的曲辛宦韻國5 = j.£r =M0>Fi蠱 I NDrmlied hendi-njj, rTLomeniI he nori ria li/rdlcurvacure for differenr raiMis of mtnn&cc msnendkngihs lo the b陽m thLckrw辭沖"<« =九 E$ « 50D 'Af/< E t與無量綱的曲率就之間的關系見圖X底圖 中的曲線可匕看出不同的村料內稟怏度和梁厚之比 Uh下，不可壓編®=止時及可壓縮宀=6歸兩種悄 況的區(qū)貳.其中塑性硯

41、化指數(shù)為為5,彈性模量E是初 始屈服應力壬的500倍-0的這條曲線對應經(jīng)典 塑性理論從圖1可以看出技磐SG理論可以得出很 強的強化效應。當lfh = 2時也就是梁厚是內稟材料 長度的一半時.彎矩比經(jīng)典情況下的彎矩大8倍多。 =0- 3和6$兩種情況下彎矩之間的差別大約為 可壓縮帶來的影響并不大原因是彎曲問題本身 的協(xié)積應變很小a在前面3. 2節(jié)中已經(jīng)指出按照不可壓縮情況,SG 理論計算出的裂紋前方力的苻號是-不正確”的?，F(xiàn)在 違不知道爭慮可壓縮性給斷裂問題帶吏的影響，這一 冋題的研究正在進行中：4結論新近的一些試驗顯示，當非均勻塑性變形的持征 尺寸為徴米量級時，經(jīng)典的連續(xù)仆質塑性理論不再適 用

42、。所以迫切需要建立新的連續(xù)仲質魁性理論來址理 微米尺度下的問題用于殺系統(tǒng)的設計和制造（如 MEMS），或作為研究韌性材料斷裂的工具.為了適應 這些需要，應變梯度塑性理論在近幾年發(fā)展起來本文對兩種應變梯度塑性的理論及其在斷裂力學 中的應用進行了倉紹和評述n除了經(jīng)典的應變分.IT. QS理論考慮了能轉梯度.SG理論考慮了位移的全部 二階梯度* CS理論只是沁理論的一個特珠情況（特續(xù)】 養(yǎng) 宥 文 就1 Fleck N Ai Muller G Atliby M F. et *il - Srr.nti rjdtvnt pl品-CKity： （hecuy and QK-penmyn仁 ArtMBier1

43、 咋©4 12； i7l2 務oik史n J Sw Evatis A G» A mhCnDbeiLd tetr method furthe plasTicity length scale Harvard Umvfriiiy Rpflri Meeh 320-| 維普資訊 h ttp:/導刃巻第2期欝克智等:應變嚴度埋倫的新渥展Ujyj*：JorL of ETiirteeriiing 孔 nd Applied Sc Ltcu t Harvard Una verity * Canihndge% 1997.久 Nix W Lk Mechanical prapcrurs ict ih

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55、ure etnch, In r Kan- h<dg B L > el 呂 L hknlh Int Cyn( Frac turf. Sydney, Au Era I la« VoL 5溝人 5. 2275-22i«6+2& Xi運 Z 匸 Hljlchinsun J W Crdck tip tie-id in strain grditnL plas- ncity. J Mtct Ph« Schds I舲氣 J4 賈 I l昨4只.2 s* Fliij 品 ng ¥ Zhang 1小 Gi>o IT F.軒/L . Nigdr-bp

56、 held for craxk首 do rnairridl& win h tr<nn«gradiienL effc< Ls In s Willlj>. J R叮TAM Synipoium on NunlHiHear Analysis of匚t»jrr. CambrKJge Uni¥r-Mtjp I5t 洗1盟蓋30 Huahg Y i ZtlaHg L i 口叮也 T F心t jF. . M-xttf rngdr ncar-iip fieidl for cracks in nutersak with 各亡(【氓|；勺.J Meeh Phy

57、s Suhdx I眄哄 45； 43-465.31 HiuteJhiriFrtn J VF. Sirlgulr hlhsviciir et the end mf 孔 何nsdg jTgk nr.id hardening matersa!. J Meth Phy* Solids.6a 1371.32 Rice J R T Rqsecigrrn <j F Phrw strain deformatiDsi near & crack npin is prtwr law h自rd色nitig mst&TiaL J Meeh Phys Solids 4h 16 EI-I2 33 Rlit亡R A p*ilL 11 -Jtfude-pend?nt Lnt貯墓ral iind tht appr&x,imBl;e anally- “屮 stfam concenUfltion hv nntchs and jfdtk筑 J Appl MeehA5； 379-3S6.34 Sternberg En hluk】R, The effect d(rested on (he stresscOncntrtJon round 歯 crsek+ Int J S