淺析經(jīng)典數(shù)學的邏輯基礎

1、淺析經(jīng)典數(shù)學的邏輯根底摘要：目前，對于經(jīng)典數(shù)學的邏輯根底，很多學者持有不同的意見，主要有兩個分支：一局部學者認為經(jīng)典數(shù)學的邏輯根底為一階邏輯，還有一局部學者認為經(jīng)典數(shù)學的邏輯根底是二階邏輯。這兩種觀點之間沒有得到統(tǒng)一。經(jīng)典數(shù)學的邏輯根底不僅與一階邏輯有關，同時也離不開二階邏輯，一階邏輯和二階邏輯作為經(jīng)典數(shù)學的邏輯根底不存在矛盾性。關鍵詞：經(jīng)典數(shù)學；邏輯根底；一階邏輯；二階邏輯中圖分類號：G63文獻標識碼：A文章編號：1673-9132202106-0173-02DOI：10.16657/j ki.issn1673-9132.2021.06.110目前，經(jīng)典數(shù)學理論的邏輯根底主要有兩種爭論，一個

2、是一階邏輯，一個是二階邏輯。自上個世紀20年代至今一直是邏輯學爭論的問題，到現(xiàn)在還沒有達成一致。目前，數(shù)學根底的任務是在重構數(shù)學分支的過程中給出各個數(shù)學分支間的關系，描繪出數(shù)學的大圖景。因此，在這種狀況下，數(shù)學根底的研究必須涉及二階邏輯。不管是一階邏輯還是二階邏輯的邏輯學家和數(shù)學家，都成認經(jīng)典數(shù)學，但是主張一階邏輯的邏輯學家和數(shù)學家認為，經(jīng)典數(shù)學的邏輯根底是一階邏輯；而主張二階邏輯的邏輯學家和數(shù)學家認為，經(jīng)典數(shù)學的邏輯根底是二階數(shù)學。本文的主要觀點為經(jīng)典數(shù)學的邏輯根底以一階邏輯為主，但是二階邏輯同樣起到一定的作用。一、相關定義一一階邏輯一階邏輯是一種形式系統(tǒng)FormalSystem，即形式符號

3、推理系統(tǒng)，也叫一階謂詞演算、低階謂詞演算PredicateCalculus、限量詞Quantifier理論，也有人稱其為“謂詞邏輯，雖然這種說法不夠精確。總之，不管怎么說，一階邏輯就是一種形式推理的邏輯系統(tǒng)，是一種抽象推理的符號工具。二二階邏輯在邏輯和數(shù)學中，二階邏輯是一階邏輯的擴展，一階邏輯是命題邏輯的擴展。二階邏輯接著被高階邏輯和類型論所擴展。一階邏輯和二階邏輯都使用了論域有時叫做“域或“全集的想法。論域是可以在其上量化的個體元素的集合。一階邏輯只包括取值為論域的個體元素的變量和量詞。例如，在一階句子？坌xxx+1中，變量x被用來表示一個任意的個體。二階邏輯擴展了一階邏輯，通過增加取值在個

4、體的集合上變量和量詞。二、一階邏輯和二階關系的不矛盾性目前已經(jīng)有很多邏輯學家或者哲學家能夠認可一階邏輯的存在，這是由于一階邏輯在語義和語法上的一致性，主要表現(xiàn)為一階邏輯在語法后承和語義后承方面一致性。但是即使如此，一階邏輯也不能證明完全作為根底數(shù)學的邏輯根底。這是由于，如果僅憑一致性和合理性確定邏輯的標準，那么會出現(xiàn)更多的邏輯思想作為經(jīng)典數(shù)學的邏輯根底，顯然很多邏輯是不可以作為經(jīng)典數(shù)學的根底的。追溯到數(shù)學和邏輯史可以發(fā)現(xiàn)，一階邏輯的出現(xiàn)相對高階邏輯反而較晚，因此說明，一階邏輯作為經(jīng)典數(shù)學的根底并非是研究者的最初目的。第一個提出一階邏輯的完全性觀點的邏輯學家是希爾伯特，于1929年提出。次年，哥

5、德爾對一階邏輯的完全性給出證明。一階邏輯的提出和證明極大地推動了邏輯學的開展。二階邏輯和一階邏輯的存在并沒有存在很大反差，相反，一階邏輯的出現(xiàn)和研究推動了二階邏輯的開展。因此，學者在對于二階邏輯的研究過程中，不得不成認一階邏輯的合理性，同時成認二階邏輯在某些方面比一階邏輯更具優(yōu)越性，例如對數(shù)學性質(zhì)的建模與反映等方面。本文對當代哲學家支持一階邏輯的具體觀點進行表述。哲學家蒯因認為二階邏輯在語義方面包含“類的概念，使邏輯學和數(shù)學之間的邊界變得模糊不清，但是邏輯學和數(shù)學是兩個不同的學科分類，應該有明確的界限劃分。單從蒯因所持有的觀點上來看，看不出數(shù)學和邏輯學之間的明顯界限。從數(shù)學邏輯的角度分析，一階

6、邏輯的語義學同樣包含了數(shù)學的概念。因此，數(shù)學和邏輯學之間是存在內(nèi)在聯(lián)系的，無法清晰的劃分開。以一階邏輯為例，一階邏輯中包含一階算數(shù)理論，其中包含自然數(shù)的函數(shù)，函數(shù)本身是自變量與因變量的關系，這就導致一階算數(shù)理論涉及個體域上的關系類。蒯因認為這樣的說法由于缺少二階約束而不存在實質(zhì)性的理論關系。在這個方向考慮，蒯因認為二階邏輯的根本是集合論，因此在討論二階邏輯時不可以帶有明顯的傾向性，因為集合不是純粹的固定性數(shù)學思維。但是如果是一個完全的整體主義，那么數(shù)學和邏輯之間是否存在清楚的界限是沒有必要討論的。蒯因對于二階邏輯的討論，成認二階邏輯的本體論承諾，同時還要保證隨著本體承諾增加二階邏輯的合法性，這

7、是因為一階邏輯同樣包含了對于數(shù)集的討論。更進一步說，由于邏輯學和數(shù)學沒有明確的劃分，我們可以通過已經(jīng)得到的數(shù)學成果來討論邏輯學的內(nèi)容，通過一些公式判斷二階邏輯的評價是否合理。關于二階邏輯語義的評價和批評存在一定的容許度，這是由于個體域及其子類確實定存在確定的關系。直到羅素悖論出現(xiàn)時，戴德金和皮阿諾的邏輯思想仍然得以繼續(xù)開展，二階邏輯也沒有受到影響。直至今日，出現(xiàn)問題的根源是語義的混亂或者語境的使用不恰當。支持二階邏輯的研究者對于二階邏輯語義的反對沒有一階邏輯的語義反駁那么強烈，因為在二階邏輯中包含了集合的概念。我們不得不成認在數(shù)學中，直覺同樣發(fā)揮著一定的作用。在對數(shù)學結構的二階邏輯描述時，可以對子集的直覺上的概念保持固有的看法。假設持一階邏輯主張的研究者不是相對主義者，同時還肯定算數(shù)結構的唯一概念，那么這名學者就會成認一階邏輯語言并非適用于任何場所。如果只有一階邏輯理論的存在，那么在一些模型分析和嵌入問題上很難完成。這時不得不借助二階邏輯對于嵌入模型的刻畫功能進行補充和配合。三、結語一階邏輯主要描述元素的子結構，二階邏輯增加了集合的概念，即可以通過集合描述任意多的元素。因此，二階邏輯比一階邏輯具有更強的表達功能，在分析數(shù)學的邏輯根底時，不可以單純的分析一階邏輯或者二階邏輯，二者可以作為不