第三講導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及應(yīng)用

1、第三講 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及應(yīng)用【基礎(chǔ)回顧】一、知識(shí)梳理：1導(dǎo)數(shù)的概念：（1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，當(dāng)無限趨近于0時(shí)，比值：無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱常數(shù)A為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在點(diǎn)處的切線的斜率2. 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）0（C為常數(shù)）； （2）（為常數(shù)）；（3）) ， ； （4）) ， ；（5），3. 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則（和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)）：（1）；（2）；（3）；（4）（5）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：或（理科用）4利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù)；（3）若求單調(diào)區(qū)間（或證明單調(diào)性），只需在函數(shù)

2、的定義域內(nèi)解（或證明）不等式或；若已知的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式或在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解5利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求極值，則先求方程的根，再檢驗(yàn)在方程根左右兩側(cè)的符號(hào)，求出極值（當(dāng)根中有參數(shù)時(shí)要注意分類討論）；若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程的根的大小或存在情況，從而求解6利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值：求在上的最大值與最小值的步驟：（1）求在上的極值；（2）將第一步中求得的極值與比較得到在區(qū)間上的最大值與最小值二、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1. 函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線平行于x軸，則f(x0)_.2若f(x)x2

3、bln(x2)在(1，)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是 3已知函數(shù)的圖像與x軸切于(1,0)點(diǎn)，則f(x)的極大值、極小值分別為 4函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 5(2009·湖北理)已知函數(shù)，則的值為_【典型例題】例題1：已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程(e2.718)；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例題2：已知函數(shù)（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；（2）若函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證：例題3：已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)(a>0)，設(shè)F(x)f(x)g(x)(1)求F(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若以yF(x)(x(0,3)圖像上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線

4、的斜率k恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)的圖像與的圖像恰好有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由例題4：設(shè)函數(shù).(1)若求的單調(diào)區(qū)間；(2)若時(shí),求的取值范圍.【鞏固練習(xí)】1直線y2xb是曲線ylnx(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b_. 2函數(shù)在處取得極值，則 3（2011年湖南卷）曲線在點(diǎn)M處的切線的斜率為 4（2010年江蘇卷）函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_5函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若，且當(dāng)時(shí)，設(shè)，則a、b、c 的大小關(guān)系是 6已知函數(shù)

5、f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,cR),若函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,0上是單調(diào)減函數(shù)，則a2+b2的最小值為 7函數(shù)，其中是兩兩不相等的常數(shù)，則= 8已知函數(shù)f(x)ln(xa)x2x在x0處取得極值，若關(guān)于x的方程f(x)xb在區(qū)間(0,2)有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是 9在平面直角坐標(biāo)系中，已知是函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的最大值為 10是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則不等式的解集為 11（2011江西卷）設(shè).（1）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值.

6、12 已知函數(shù)f(x)，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為x2y30.(1)求a，b的值；(2)如果當(dāng)x0且x1時(shí)，f(x)，求k的取值范圍13設(shè)函數(shù)f(x)lnxax2bx，(1)當(dāng)ab時(shí)，求f(x)的最大值；(2)令F(x)f(x)ax2bx(0<x3)，其圖象上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處切線的斜率k恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)a0，b1，方程2mf(x)x2有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值14已知， （1）求函數(shù)在上的最小值； （2）對一切的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）證明對一切，都有成立【拓展提高】1設(shè)，函數(shù)，若對任意的，都有 成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 . 2

7、設(shè)函數(shù)（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍【總結(jié)反思】第三講 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及應(yīng)用【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】1； 2； 3，0； 41； 51【典型例題】例題1：解：(1)當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，曲線在 處的切線方程為.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，2ax1<0，在(0,1)上，在(1，)上，所以此時(shí)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<時(shí)，在(0,1)和上，在上，所以此時(shí)f(x)在(0,1)和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a時(shí)，在(0，)上且僅有，所以此時(shí)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>時(shí)，在和(1，)上，在上，所以此時(shí)f(x)在和(1，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)

8、遞減例題2解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，令，則，x(,)(,e)e-0+又 ， ，（2），當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（3）當(dāng)a=1時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，.例題3解：(1)F(x)f(x)g(x)lnx(x>0)，F(xiàn)(x)(x>0)，a>0，由F(x)>0x(a，)，F(xiàn)(x)在(a，)上單調(diào)遞增由F(x)<0x(0，a)，F(xiàn)(x)在(0，a)上單調(diào)遞減F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(a，) (2)F(x)(0<x3)，kF(x0)(0<x03)恒成立，amax.當(dāng)x01時(shí)，x02x0取最

9、大值，a，amin.(3)若ygm1x2m的圖像與yf(1x2)ln(x21)的圖像恰有四個(gè)不同交點(diǎn)，即x2mln(x21)有四個(gè)不同的根，亦即mln(x21)x2有四個(gè)不同的根令G(x)ln(x21)x2，則G(x)x，x(，1)(1,0)(0,1)(1，)G(x)G(x)由表格知：G(x)極小值G(0)，G(x)極大值G(1)G(1)ln2>0，畫出草圖可知，當(dāng)m時(shí)，yG(x)與ym恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)m時(shí)，的圖像與的圖像恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)例題4：解：（1）時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故，從而當(dāng)，即時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，由可得.從而當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.綜合得的取值范圍為.【鞏固練習(xí)】1bln21； 22； 3； 421； 5； 6； 70；8ln31<b<ln2； 9； 10；11解：（1）；（2）.12 (1)a1，b1；(2) (，013 (1) ； (2) a；（3）.14（1）；（2）.【拓展提高】1；2（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)， 令 ， 則當(dāng)時(shí)， 是增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；于是g(x)在x=0處達(dá)到最小值，因